四川省泸县第四中学2020届高三三诊模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

这是一份四川省泸县第四中学2020届高三三诊模拟考试数学（文）试题 Word版含解析，共22页。试卷主要包含了定义运算，则函数的大致图象是，已知，且是第四象限角，则的值是，已知圆等内容，欢迎下载使用。
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2020年春四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数 ，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
在复平面内对应的点坐标为在第一象限，故选A.
2.已知集合，则满足的集合的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
先求解集合，然后根据可求集合的个数.
【详解】因为，，
所以集合可能.
故选：A.
【点睛】本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
3.若实数满足则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
作出不等式组所表示的平面区域如图所示，其中.作直线，平移直线，当其经过点时，取得最小值，，

故选B.
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）
A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱
【答案】B
【解析】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别,则,解得,又,则,故选B.
5.定义运算，则函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
图象题应用排除法比较简单，先根据函数为奇函数排除、；再根据函数的单调性排除选项，即可得到答案．
【详解】根据题意得，且函数为奇函数，排除、；
；
当时，，
令，
令，
函数在上是先递减再递增的，排除选项；
故选：．
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
6.已知，且是第四象限角，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简已知得到，再化简=，再利用平方关系求值得解.
【详解】因为，所以，
因为=，是第四象限角，所以.
故答案为B
【点睛】(1)本题主要考查诱导公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号.
7.已知圆:，定点，直线:，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.
【详解】若点在圆外，则，圆心到直线:的距离，此时直线与圆相交；
若直线与圆相交，则，即，此时点在圆外.
故选：C.
【点睛】本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
8.在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足为锐角的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据为直角时，得到点M在以AB为直径的圆周上，然后确定当为锐角时，点M所在的区域，分别求得面积，代入公式求解.
【详解】当为直角时，点M在以AB为直径的圆周上，此时，半圆的面积为，
因为为锐角，所以点M在正方形内与圆周以外的部分，
如图所示阴影部分：

所以满足为锐角的概率为.
故选：A
【点睛】本题主要考查几何概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
9.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性把变换为对应函数值，再利用函数的单调性得到答案.
【详解】函数在为奇函数．若，满足
则：
函数在单调递减
即：
故答案为D
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题型.
10.函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得，，由此根据求得的值，得到函数解析式即可求最值．
【详解】函数的图象向右平移个单位后，
得到函数的图象，
再根据所得图象关于原点对称，可得，，
∵，∴，，
由题意，得，
∴，
∴函数在区间的最大值为，
故选B．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．
11.已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用双曲线：的焦点到渐近线的距离为，求出，的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．
【详解】双曲线：的焦点到渐近线的距离为，
可得：，可得，，则的渐近线方程为．
故选A．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.
12.已知，则，不可能满足的关系是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据即可得出，，根据，，即可判断出结果．
【详解】∵；
∴，；
∴，，故正确；
，故C错误；
∵
，故D正确
故C．
【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：和不等式的应用，属于中档题
第II卷非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数在处取得极值，则的值为___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
求导，根据在处取得极值，令求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为在处取得极值，
所以
解得，经检验成立.
故答案为：1
【点睛】本题主要考查导数与函数极值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14.已知向量，，则在方向上的投影为___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据，，得在上的投影为，，求出，代入投影的公式计算即可．
【详解】向量，，，，
，，
在方向上的投影为，．
故答案为：1．
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义，属于基础题．
15.若过点且斜率为的直线与抛物线的准线相交于点，与的一个交点为，若，则____．
【答案】
【解析】
【分析】
由直线方程为与准线得出点坐标，再由可得，点为线段的中点，由此求出点A的坐标，代入抛物线方程得出的值.
【详解】解：抛物线的准线方程为
过点且斜率为的直线方程为，
联立方程组，
解得，交点坐标为，
设A点坐标为，
因为，
所以点为线段的中点，
所以，解得，
将代入抛物线方程，
即，
因为，
解得.
【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.
16.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，现有如下四个结论：
；平面；
三棱锥的体积为定值；异面直线所成的角为定值，
其中正确结论的序号是______．

【答案】
【解析】
【分析】
对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值．
【详解】对于①，由，可得面，故可得出，此命题正确；
对于②，由正方体的两个底面平行，在平面内，故与平面无公共点，故有平面，此命题正确；
对于③，为定值，到距离为定值，所以三角形的面积是定值，又因为点到面距离是定值，故可得三棱锥的体积为定值，此命题正确；
对于④，由图知，当与重合时，此时与上底面中心为重合，则两异面直线所成的角是，当与重合时，此时点与重合，则两异面直线所成的角是，此二角不相等，故异面直线所成的角不为定值，此命题错误．
综上知①②③正确，故答案为①②③
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.如图：在中，，，.

（1）求角；
（2）设为的中点，求中线的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）通过求出的值，利用正弦定理求出即可得角；（2）根据求出的值，由正弦定理求出边，最后在中由余弦定理即可得结果.
【详解】（1）∵，∴.
由正弦定理，即.
得，∵，∴为钝角，为锐角，
故.
（2）∵，
∴.
由正弦定理得，即得.
在中由余弦定理得：，∴.
【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.
18.在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．

(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．

女生
男生
总计
获奖



不获奖



总计








附表及公式：















其中,．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于列式可解得；
(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,从而可得列联表,再计算出,与临界值比较可得．
【详解】解：(Ⅰ),
．
(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,
列联表如下：

女生
男生
总计
获奖



不获奖



总计




因为,
所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与女生,男生有关．”
【点睛】本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法即可，属于常考题型.
19.四棱锥中,平面，，，为的中点，，过点作于.
(1) 求证：；
(2) 求三棱锥的体积.

【答案】（1）见解析（2）
【解析】
试题分析：（1）取的中点，连接，由是的中点，可推出四边形CDEM为平行四边形，从而可证；（2）过过作交于点，由平面，推出，再根据，，，求得，由，从而可求出三棱锥的体积.
试题解析：(1)证明:取的中点，连接.
∵是的中点
∴,
∴,
∴四边形CDEM为平行四边形，
∴
∵，
∴

(2)过作交AB于N点.
∵平面
∴，则.
∴为点到面的距离，
在直角中，，，.
∴，，
∴ ，
∵
∴三棱锥体积
20.已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设为直线上一点，为坐标原点，且，求面积的最小值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）设出A、P点坐标，用P点坐标表示A点坐标，然后代入圆方程，从而求出P点的轨迹；

（2）设出P点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出面积的值，当斜率存在时，利用点P坐标表示的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值.
【详解】解：（1） 设，
由题意得：，
由，可得点是的中点，
故，
所以，
又因为点在圆上，
所以得，
故动点的轨迹方程为.
（2）设，则，且，
当时，，此时；
当时，
因为,
即
故，
，
，
①，
代入①

设
因为恒成立，
在上是减函数，
当时有最小值，即,
综上：的最小值为
【点睛】本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.
21.已知函数，，且点处取得极值．
（Ⅰ）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；
（Ⅱ）证明：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求导，利用求值；分离常数，构造函数，转化为求函数的值域问题；（Ⅱ）作差构造函数，将证明不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．
【详解】（Ⅰ）∵， ∴
∵函数在点处取得极值，
∴，即当时，
∴，则得．经检验符合题意
∵，∴， ∴．
令， 则．
∴当时，随的变化情况表：


1

（1，2）

2

（2，3）

3





+

0

-







↗

极大值

↘





计算得：，，，
所以的取值范围为．
（Ⅱ）证明：令，
则，
令，则，
函数在递增，在上的零点最多一个
又，，存在唯一的使得，
且当时，；当时，．
即当时，；当时，．
在递减，在递增，从而．
由得即，两边取对数得：，，
，从而证得．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是: （是参数）.
若直线与曲线相交于、两点，且，试求实数值.
设为曲线上任意一点，求的取值范围.
【答案】或；.
【解析】
【分析】
把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离求出值；
把曲线的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出的取值范围.
【详解】解：曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为：，直线的直角坐标方程为：.
圆心到直线的距离（弦心距）,
圆心到直线的距离为 ：,

或.
曲线的方程可化为，其参数方程为： （为参数）
为曲线上任意一点，
的取值范围是.
【点睛】本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数，.
（Ⅰ）若不等式对恒成立，求正实数的取值范围；
（Ⅱ）设实数为（Ⅰ）中的最大值.若正实数，，满足，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）8.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用绝对值不等式可求的最小值为，从而有，结合可得的取值范围.
（Ⅱ）利用基本不等式可求的最小值.
【详解】（1），当且仅当时等号成立，
，解得，正实数的取值范围为.
（2）由（1）知，，即.
，，
，
当且仅当时取得最小值为8.
【点睛】本题考查绝对值不等式以及基本不等式的应用，注意绝对值不等式中，等号成立的条件是，而用基本不等式求最值时，注意验证等号成立的条件.