数学21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系习题

这是一份数学21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系习题，文件包含九年级数学上册212一元二次方程根的判别式及根与系数的关系讲+练-重要笔记2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练人教版原卷版docx、九年级数学上册212一元二次方程根的判别式及根与系数的关系讲+练-重要笔记2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。

21.2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系


一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.



注意：
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.
题型1：利用判别式判断一元二次方程根的情况
1.下列方程有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣9＝0
【答案】A
【解析】【解答】解：A、x2﹣2x+1＝0，判别式Δ=(−2)2−4=0，有两个相等的实数根，符合题意；
B、x2﹣3x+2＝0，判别式Δ=(−3)2−4×2=1>0，有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、x2﹣2x+3＝0，判别式Δ=(−2)2−4×3=−8<0，没有实数根，不符合题意；
D、x2﹣9＝0，判别式Δ=(9)2−4×(−9)=36>0，有两个不相等的实数根，不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
【变式1-1】若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A．2 B．±2 C．±4 D．±22
【答案】C
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，
∴△=m2－4×4=0，
解得：m=±4，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
【变式1-2】判断关于 x 的方程 (x−3)(x−2)=p2 根的情况，并说明理由.
【答案】解：方程有两个不相等的实数根.理由如下：
方程整理为一般式得 x2−5x+6−p2=0 ，
∵Δ=b2−4ac=25−4(6−p2)=25−24+4p2=4p2+1 ，
而4p2≥0，
∴1+4p2＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
【解析】【分析】先将方程化为一般形式，再求出判别式△的值，根据一元二次方程“ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0）”中△＞0时，方程有两个不相等的实数根，△=0时，方程有两个相等的实数根，△＜0时，方程没有实数根，据此判断即可.

一元二次方程根的判别式的逆用
在方程中，
（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；
（2）方程有两个相等的实数根=0；
（3）方程没有实数根﹤0.
注意：
（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；
（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.
题型2：逆用判别式求未知数的值或取值范围
2.已知：关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0，求证：方程有两个不相等的实数根．
【答案】证明：∵△=k2﹣4×1×（﹣1）=k2+4，
而k2≥0，
∴△＞0．
所以方程有两个不相等的实数根．
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可。
【变式2-1】关于x的方程x2﹣（k+1）x+k＝0有两个相等的实数根，求k的值．
【答案】解：∵关于x的方程x2−(k+1)x+k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=[−(k+1)]2−4k=0，
∴k2+2k+1−4k=0，
∴(k−1)2=0，
解得k=1．
【解析】【分析】先求出 Δ=b2−4ac=[−(k+1)]2−4k=0， 再计算求解即可。

【变式2-2】已知关于x的方程x2+kx+k-2＝0，证明不论k为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．
【答案】解：在方程x2+kx+k-2＝0中，
∵Δ=k2−4×1×(k−2)=k2−4k+8=(k−2)2+4>0 ，
∴方程x2+kx+k-2＝0不论k为什么实数，总有两个不相等的实数根．
【解析】【分析】在方程x2+kx+k-2＝0中，因为Δ=k2−4×1×(k−2)=k2−4k+8=(k−2)2+4>0 ，所以得出方程x2+kx+k-2＝0不论k为什么实数，总有两个不相等的实数根．

一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
题型3：求一元二次方程两根的和与积
3.若x1，x2是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，则x1+x2，x1x2的值分别是（ ）
A．1和6 B．5和-6 C．-5和6 D．5和6
【答案】D
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，
∴x1+x2=5，x1x2=6，
故答案为：D．

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=5，x1x2=6。

【变式3-1】已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2-3x-4＝0的两根，
∴a+b=3.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得出答案.

【变式3-2】已知关于x的一元二次方程x2−bx+c=0的两根互为相反数，则（　　）
A．b=0 B．c=0 C．b>0 D．b<0
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得−−b1=0，
所以b=0.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合相反数的概念可得x1+x2=−ba=0，据此可得b的值.

一元二次方程的根与系数的关系的应用
不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩．
题型4：已知一根求另一根或字母的值
4.关于x的方程x²＋mx＋6＝0的一个根为－2，则另一个根是（　　）
A．－3 B．－6 C．3 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：设方程的另一根为x1，
又∵x2=−2，
∴根据根与系数的关系可得：x1+(−2)=−mx1·(−2)=6，
解得：x1=−3，m=−5．
故答案为：A．
【分析】设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系可得x1+(−2)=−mx1·(−2)=6，据此求解即可.

【变式4-1】若 3+7 是方程 x2−6x+c=0 的一个根，求方程的另一个根及c的值.
【答案】解：∵x=3+7 是此方程的一个根，设另一个解为 x2
则 x1+x2=6 ，
∴x2=3−7 ，即方程的另一个根为 3−7
∵x1x2=c
∴c=(3+7)(3−7)=2 .
【解析】【分析】设另一根为x2，根据根与系数的关系可得x1+x2=6，据此可得x2，然后根据x1x2=c可得c的值.

【变式4-2】若关于x的一元二次方程x2－bx＋3＝0有一个根是x＝1，求b的值及方程的另一根.
【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+3=0有一个根是x=1，
∴1﹣b+3=0，
解得：b=4，
把b=4代入方程得：x2﹣4x+3=0，
设另一根为m，可得1+m=4，
解得：m=3，
则b的值为4，方程另一根为x=3.
【解析】【分析】将x=1代入原方程中可得b的值，进而可得关于x的一元二次方程，设另一根为m，根据根与系数的关系可得1+m=−ba=4，求解可得m的值，即方程的另一根.

题型5：利用根与系数的关系构造方程
5.如果关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两根分别为 x1=3，x2=1 ，那么这个一元二次方程是（　　）
A．x2+3x+4=0 B．x2+4x−3=0 C．x2−4x+3=0 D．x2+3x−4=0
【答案】C
【解析】【解答】
解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，∴3+1=-p，3×1=q，
∴p=-4，q=3，
∴一元二次方程是x2-4x+3=0，
故答案为：C．
【分析】若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，可得x1+x2=−ba，x1·x2=ca，据此解答即可.

【变式5-1】若x1+x2=3，x12+x22=5，则以x1、x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2-3x+2=0 B．x2+3x-2=0 C．x2+3x+2=0 D．x2-3x-2=0
【答案】A
【解析】【解答】解：∵x12＋x22＝5，
∴（x1＋x2）2−2x1x2＝5，
而x1＋x2＝3，
∴9−2x1x2＝5，
∴x1x2＝2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2−3x＋2＝0．
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式可得(x1＋x2)2−2x1x2＝x12＋x22＝5，结合x1＋x2的值可求出x1x2的值，然后结合根与系数的关系可得对应的方程.

题型6：求涉根代数式的值
6.若一元二次方程 x2−2x=1 的两个实数根分别为 x1 ， x2 ，求 (x1−1)(x2−1) 的值.
【答案】解：∵x2−2x=1 的两个实数根分别为 x1 ， x2 ，
∴变形为 x2−2x−1=0 ，
∴根据一元二次方程根与系数的关系，得： x1+x2=2x1x2=−1 ，
∴(x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1=−1−2+1=−2 ，
故答案为：-2.
【解析】【分析】首先将方程整理成一般形式，然后根据根与系数的关系得出 x1+x2=2x1x2=−1 ， 然后将代数式去括号后整体代入即可.
【变式6-1】已知x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（x1+1）（x2+1）；
（2）x12+x22．
【答案】解：∵x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，
∴x1+x2=﹣2，x1x2=﹣32．
（1）原式=x1x2+x1+x2+1=﹣52；
（2）原式=（x1+x2）2﹣2 x1x2=7．
【解析】【分析】由根与系数的关系得出x1+x2=﹣2，x1x2=﹣32，进一步整理代数式，整体代入求得答案即可．
【变式6-2】已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设x1、x2方程的两个实数根，请你为m选取一个合适的整数，求x12+x22+x1x2的值．
【答案】解：（1）根据题意得△=42﹣4（m﹣1）＞0，
解得m＜5；
（2）当m=1时，方程化为x2+4x=0，
则x1+x2=﹣4，x1x2=0，
所以x12+x22+x1x2=（x1+x2）2﹣x1x2=（﹣4）2﹣0=16．
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△=42﹣4（m﹣1）＞0，然后解不等式即可；
（2）在（1）的范围内取m=1，则根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣4，x1x2=0，再把x12+x22x1x2变形为（x1+x2）2﹣x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
题型7：根与系数的关系与三角形综合
7.一个三角形的两边为方程 2x2−kx+8=0 的两根，第三边长为4，则k的范围是（　　）
A．−82 C．−82 【答案】B
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长是方程2x2﹣kx＋8＝0的两个根，
∴△≥0，
即Δ＝（﹣k）2﹣4×2×8≥0，
解得：k≥8或k≤﹣8，
设方程的两根为x1，x2，
又∵第三边长为4，
∴x1＋x2＝ −ba ＝ k2 ＞4，x1x2＝ ca ＝4，|x1﹣x2|＜4，
∴k＞8，（x1﹣x2）²＜16，
即：（x1＋x2）²－4x1x2＜16，
∴（ k2 ）²－4×4＜16，
解得： −82 ＜k＜ 82 ，
∴k的取值范围为8＜k＜ 82.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得△≥0，据此可得k的范围，设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系以及三角形的三边关系可得x1＋x2＝k2＞4，x1x2＝4，|x1-x2|＜4，据此求解即可.

【变式7-1】已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长
【答案】解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，
∴c=3
【解析】【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算。
【变式7-2】已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值.
【答案】解：当a=4时，b＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，
∴4+b=12，
∴b=8不符合；
当b=4时，a＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，
∴4+a=12，
∴a=8不符合；
当a=b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，
∴12=2a=2b，
∴a=b=6，
∴m+2=36，
∴m=34.
【解析】【分析】分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b时；结合根与系数的关系即可求解.

题型8：根与系数中的新定义问题
8.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　）
A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c
【答案】A
【解析】【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得（-a-c)2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系。
【解答】∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=0，
又a+b+c=0，即b=-a-c，
代入b2-4ac=0得（-a-c)2-4ac=0，
即（a+c)2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=（a-c)2=0，
∴a=c．
故选A
【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根。
【变式8-1】x1 ， x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个实数根，若满足 |x1−x2|=1 ，则此类方程称为“差根方程”.根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2−4x−5=0 ；
②2x2−23x+1=0 ；
（2）已知关于x的方程 x2+2ax=0 是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程 ax2+bx+1=0 （a，b是常数， a>0 ）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式.
【答案】（1）解：①设 x1 ， x2 是一元二次方程 x2−4x−5=0 的两个实数根，
∴x1+x2=4 ， x1⋅x2=−5 ，
∴|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=42−4×(−5)=6 ，
∴ 方程 x2−4x−5=0 不是差根方程；
②设 x1 ， x2 是一元二次方程 2x2−23x+1=0 的两个实数根，
∴x1+x2=3 ， x1⋅x2=12 ，
∴|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=(3)2−4×12=1 ，
∴ 方程 2x2−23x+1=0 是差根方程；
（2）解： x2+2ax=0 ，
因式分解得： x(x+2a)=0 ，
解得： x1=0 ， x2=−2a ，
∵ 关于x的方程 x2+2ax=0 是“差根方程”，
∴2a=±1 ，
即 a=±12 ；
（3）解：设 x1 ， x2 是一元二次方程 ax2+bx+1=0 （a，b是常数， a>0 ）的两个实数根，
∴x1+x2=−ba ， x1⋅x2=1a ，
∵ 关于x的方程 ax2+bx+1=0 （a，b是常数， a>0 ）是“差根方程”，
∴|x1−x2|=1 ，
∴|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=1 ，
即 (−ba)2−4⋅1a=1 ，
∴b2=a2+4a .
【解析】【分析】（1）①由根与系数的关系可求得x1−x2的值，然后根据差根方程的定义可判断求解；
②由根与系数的关系可求得x1−x2的值，然后根据差根方程的定义可判断求解；
（2）由题意先用提公因式法解方程，再根据差根方程的定义可得关于a的方程，解方程可求解；
（3）由根与系数的关系和差根方程的定义可求解.




一、单选题
1．已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（　　）
A．1 B．﹣1 C．32 D．−32
【答案】C
【解析】【解答】设方程的另一根为x1，
根据根与系数的关系可得：﹣1•x1＝﹣ 32 ，
解得x1＝ 32 .
故答案为：C.

【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，x1.x2=ca，把a、c和x1=-1的值代入计算即可求解.
2．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则（　　）
A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6
C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝6
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得2+（-3）=-b，2×（-3）=c，
解得b=1，c=-6.
故答案为：A.

【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=−ba,x1.x2=ca，于是可得ba=-(x1+x2)，ca=x1.x2，把x1=2，x2=-3代入计算即可求解。
3．一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x1、x2，则x1＋x2等于(　　)
A．5 B．6 C．－5 D．－6
【答案】A
【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求得两根的和．
【解答】∵一元二次方程x2-5x+6=0的两根分别是x1，x2，
∴x1+x2=-ba=5；故选A．
【点评】此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0)的两个实数根分别是x1、x2，则：x1+x2=-ba，
x1x2=ca．
4．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α，β满足1α+1β=1，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣3 或1 D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：根据根与系数关系得出：α+β=3﹣2m，αβ=m2，
∵1α+1β=1，
∴α+βαβ=1，
∴3−2mm2=1，
m=﹣3，m=1，
把m=﹣3代入方程得：x2﹣9x+9=0，△=（﹣9）2﹣4×1×9＞0，此时方程有解；
把m=1代入方程得：x2﹣x+1=0，△=（﹣1）2﹣4×1×1＜0，此时方程无解，即m=1舍去；
故选：A．
【分析】根据根与系数关系得出：α+β=3﹣2m，αβ=m2，代入1α+1β=1求出m=﹣3，m=1，再进行检验即可．
5．已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则 ba+ab ＝（　　）
A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2
【答案】D
【解析】【解答】当a=b时， ba+ab =1+1=2；
当a≠b时，∵a、b满足a2-6a+2=0，b2-6b+2=0，
∴a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，
∴a+b=6，ab=2，
∴ba+ab = b2+a2ab=(a+b)2−2abab=62−2×22 =16．
故答案为：D．
【分析】当a=b时，可得出 ba+ab =2；当a≠b时，a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，利用根与系数的关系可得出a+b=6，ab=2，再将其代入 ba+ab = (a+b)2−2abab 中即可求出结论．
6．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两个实根，则x1+x2等于（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=3．
故选B．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
二、填空题
7．二次项系数为2的一元二次方程的两个根分别是1 −3 和1 +3 ，那么这个方程是　 　．
【答案】2x2-4x-4=0
【解析】【解答】设这个方程为ax2+bx+c=0，将原方程变形为x2+ ba x+ ca =0，
∵一元二次方程的两个根分别为1 −3 和1 +3 ．
∴x1+x2=（1+ 3 ）+（1- 3 ）=- ba ，
x1•x2=（1+ 3 ）×（1- 3 ）= ca ．
解得 ba =-2， ca =-2．
则所求方程为2x2-4x-4=0．
故答案是：2x2-4x-4=0．
【分析】欲求方程先设方程为ax2+bx+c=0（a≠0且a，b，c是常数），将原方程变形为x2+ ba x+ ca =0，再根据两根之和或两根之积公式求出 −ba 、 ca 的值，代入数值即可得到方程．
8．已知一元二次方程x2 －5x－1=0的两根为x1，x2，则x1+x2= 　 　．
【答案】5
【解析】【解答】解：由两根之和公式可得，x1+x2=5．
【分析】本题要求算出x1+x2的结果，x1+x2正好与两根之和公式一致，根据两根之和公式可以求出x1+x2的值．
9．已知方程 x2+2x-1=0 的两根分别为 x1，x2，则 x1+x2=　 　.
【答案】-2
【解析】【解答】.解: ∵ 方程x2+2x-1=0的二次项系数a=1,一次项系数b=2,
∴x1+x2=−ba = −21 =-2.
故答案是:-2.

【分析】 由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2= −ba可求解。
10．已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为a、b，则 1a+1b 的值是　 　．
【答案】﹣ 65
【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程的两根，
∴a+b=6，ab=﹣5，
1a+1b = a+bab = 6−5 =﹣ 65 ．
故答案是：﹣ 65 ．
【分析】根据根与系数的关系，得到a+b=6，ab=﹣5，把a+b和ab的值代入化简后的代数式，求出代数式的值．
11．方程 x2+2x−3=0 的两根为 x1 、 x2 则 x1⋅x2 的值为　 　.
【答案】-3
【解析】【解答】解：∵方程 x2+2x−3=0 的两根为x1、x2，
∴x1·x2= ca =-3，
故答案为：-3.
【分析】直接根据韦达定理x1·x2= ca 可得.
三、解答题
12．已知方程关于x的一元二次方程3x2+5x-4k=0的一个根是-2，求k和方程另一个根a的值．
【答案】解：将x=-2代入方程
12-10-4k=0
k= 12
∴a+-2=- 53
∴a= 13
【解析】【分析】根据方程根的含义求出k的值，继而根据一元二次方程根与系数的关系求出a即可。
13．已知方程2x2+3x-4=0的两实数根为x1、x2，不解方程求：
（1）x12+x22的值；
（2）(x1-2)(x2-2) 的值
【答案】（1）解：根据题意得 x1+x2=−32，x1x2=−2
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−32)2−2×(−2)=254；
（2）解：由（1）可知 x1+x2=−32，x1x2=−2
所以： (x1−2)(x2−2)=x1x2−2(x1+x2)+4=−2−2×(−32)+4=5
【解析】【分析】（1）根据题意，由一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式，即可计算得到答案；
（2）将式子去括号展开，由一元二次方程根与系数的关系，代入值求出答案即可。
四、综合题
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2+x1+x2=15，求m的值．
【答案】（1）解：由题意得，△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，
解得m≤4
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1x2=2m+1，x1+x2=6，
∴x1x2+x1+x2=2m+1+6=15，
解得m=4
【解析】【分析】（1）由根的判别式△≥0来求实数m的取值范围；（2）直接利用根与系数的关系解答．
15．已知关于 x 的一元二次方程 x2−2x+k−1=0 ．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数 k 的取值范围；
（2）已知 x=3 是此方程的一个根，求方程的另一个根及 k 的值．
【答案】（1）解：∵关于 x 的一元二次方程 x2−2x+k−1=0 有两个不相等的实数根， ∴b2−4ac=4−4(k−1)>0 ， 解得： k<2
（2）解：∵x=3 是此方程的一个根， ∴代入方程得： 9−6+k−1=0 ， 解得： k=−2 ， ∴原方程为： x2−2x−3=0 ， 解得： x1=3 ， x2=−1
【解析】【分析】（1）根据方差有两个相等的实数根可得b2-4ac>0即可求得k的范围；
（2）由题意把x=3代入方程可求得k的值，再将k的值代入方程，解这个一元二次方程即可求解。