北京市2022-2023年上学期九年级期末数学试题知识点分类汇编-09勾股定理②

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北京市2022-2023年上学期期末数学试题知识点分类汇编-09勾股定理②

一、解答题
1．（2023·北京海淀·九年级期末）蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，求高度．

2．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长.

3．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．量得托板长，支撑板长，底座长．托板固定在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．如图2，若，，求点A到底座的距离．
（参考数据：，，）（结果精确到）

4．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，在中，是边的中点，，垂足为点E．已知．

(1)求线段的长；
(2)求的值．
5．（2023·北京海淀·九年级期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．

6．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．

7．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA

（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若AD＝，求⊙O的半径．
8．（2023·北京海淀·九年级期末）在平面直角坐标系中，对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点为线段的融合点．

(1)已知，，
①在点，，中，线段的融合点是______；
②若直线上存在线段的融合点，求的取值范围；
(2)已知的半径为4，，，直线过点，记线段关于的对称线段为．若对于实数，存在直线，使得上有的融合点，直接写出的取值范围．
9．（2023·北京海淀·九年级期末）对于平面直角坐标系中的图形G和点P给出如下定义；Q为图形G上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，则称点P为图形G的“k分点”．

已知点，，，．
(1)①在点A，B，C中，线段的“分点”是______；
②点，若点C为线段的“二分点”，求a的值；
(2)以点O为圆心，r为半径画图，若线段上存在的“二分点”，直接写出r的取值范围．
10．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图为正方形ABCD中，点M、N在直线BD上，连接AM，AN并延长交BC、CD于点E、F，连接EN．

(1)如图1，若M，N都在线段BD上，且AN=NE，求∠MAN；
(2)如图2，当点M在线段DB延长线上时，AN=NE，（1）中∠MAN的度数不变，判断BM，DN，MN之间的数量关系并证明；
(3)如图3，若点M在DB的延长线上，N在BD的延长线上，且∠MAN=135°，AB=，MB=，求DN．
11．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）＝0．已知A（﹣4，0），B（0，4），C（﹣2，0），
（1）d（点A，点B）＝　 　，d（点A，线段BC）＝　 　．
（2）⊙O半径为r，
①当r＝1时，⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）＝　 　．
②若d（⊙O，△ABC）＝1，则r＝　 　．

参考答案：
1．
【分析】弦，半径，根据题意得是直角三角形，可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，在中，，半径，
∴，，，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
2．.
【分析】由垂径定理得到，推出，在中，利用勾股定理即可求解.
【详解】解：如图，连接．

∵是的直径，弦于点E，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
3．
【分析】过点A作于点H，过点C作于点N，于点M．先证四边形是矩形，再利用含30度的直角三角形的性质证明，进而证明四边形是正方形，推出，即可根据求解．
【详解】解：过点A作于点H，过点C作于点N，于点M．

，
四边形是矩形，，
，，
，，
，
，，
，
，，
，，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
即点A到底座的距离为．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质，平行线的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是通过作辅助线构造出含30度角的直角三角形．
4．(1)；
(2)．

【分析】（1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可；
（2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵为直角三角形，D是边的中点，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵为直角三角形，D是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5．0.8m
【分析】过点作于点，连接，根据垂径定理得到，再在中，根据勾股定理可求出，进而即可求解．
【详解】解：如图，作于点，连接，

∵，，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∴水的最大深度为0.8m．
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
6．⊙O的半径为5，AC的长为8
【分析】利用切线的性质得∠OAB＝90°，则根据勾股定理可计算出OA＝5，再根据垂径定理得到AH＝CH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC的长．
【详解】解：∵AB为切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
在中，OA＝＝＝5，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH，
在中，AH＝＝＝4，
∴AC＝2AH＝8，
答：⊙O的半径为5，AC的长为8．
【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，勾股定理，掌握利用垂径定理与勾股定理结合，求线段长是解题的关键．
7．（1）见解析；（2）1
【分析】（1）根据切线的性质可得OE⊥AB，再依据题中已知条件E是AB中点，根据等腰三角形的判定即可证明线段相等；
（2）根据等腰三角形的性质及切线长定理可得，再由三个角之间的等量关系可得：，设⊙O的半径为r，则，在和中，两次应用勾股定理，求解方程即可得出圆的半径．
【详解】解：（1）证明：在⊙O中，连接，
∵ 直线AB与⊙O相切于点E，
∴ OE⊥AB．
∵ E是AB中点，
∴；
（2）解：∵，
∴ ．
∵，

∴AE，AC是⊙O的切线，
∴，（切线长定理）
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设⊙O的半径为r，则，
在中，，
∴ ，
在中，
∵，
，
∴ ，
解得，
∴ ⊙O的半径为1．
【点睛】题目主要考查切线的性质、等腰三角形的判定和性质、切线长定理、勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用各个性质和定理是解题关键．
8．(1)①，；②当时，直线上存在线段的融合点
(2)或

【分析】（1）①画出对应线段的垂直平分线，再根据融合点的定义进行判断即可；②先确定线段融合点的轨迹为分别以点，为圆心，长为半径的圆及两圆内区域，则当直线与两圆相切时是临界点，据此求解即可；
（2）先推理出的融合点的轨迹即为以T为圆心，的长为半径的圆和以T为圆心，以的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上），再求出两个圆分别与内切，外切时a的值即可得到答案．
【详解】（1）解：①如图所示，根据题意可知，是线段的融合点，
故答案为；，；

②如图1所示，设的垂直平分线与线段的交点为Q，
∵点Q在线段的垂直平分线上，
∴，
∴当点Q固定时，则点P在以Q为圆心，的长为半径的圆上，
∴当点Q在上移动时，此时点P的轨迹即线段的融合点的轨迹为分别以点，为圆心，长为半径的圆及两圆内区域．

当直线与两圆相切时，记为，，如图2所示．

∵，，
∴,
∴或．
∴当时，直线上存在线段的融合点．
（2）解：如图3-1所示，假设线段位置确定，
由轴对称的性质可知，
∴点在以T为圆心，的长为半径的圆上运动，点在以T为圆心，以的长为半径的圆上运动，
∴的融合点的轨迹即为以T为圆心，的长为半径的圆和以T为圆心，以的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上）；

当时，
如图3-2所示，当以T为圆心，为半径的圆与外切时，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；

如图3-3所示，当以为圆心，为半径的圆与内切时，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
∴时，存在直线，使得上有的融合点；
同理当时，
当以T为圆心，为半径的圆与外切时，
∴，
∴，
∴，
∴（正值舍去）；
当以为圆心，为半径的圆与内切时，
∴，
∴，
∴，
∴（正值舍去）；
∴时，存在直线，使得上有的融合点；
综上所述，当或时存在直线，使得上有的融合点．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆与圆的位置关系等等，正确推理出对应线段的融合点的轨迹是解题的关键．
9．(1)①点B，②
(2)或

【分析】（1）①分别找出点A、B、C到线段的最小值和最大值，是否满足“分点”定义即可，
②对a的取值分情况讨论：，，和，根据“二分点”的定义可求解，
（2）设线段上存在的“二分点”为．对r的取值分情况讨论，且，且，，根据二分点的定义可求解．
【详解】（1）解：①∵点A在上，故最小值为0，不符合题意，
点B到的最小值为，最大值为，
∴点B是线段的“分点”，
点C到的最小值为1，最大值为
∴点C不是线段的“分点”，
故答案为：点B；
②当时，点C到的最小值为，
点C到的最大值为，
∵点C为线段的“二分点”，
∴，
即，
∵，
故无解，舍去；
当时，点C到的最小值为1，
点C到的最大值为，最大值不是最小值的2倍，所以舍去，
当时，点C到的最小值为1，
点C到的最大值为，
∵点C为线段的“二分点”，
∴，（舍去），
当时，点C到的最小值为，
点C到的最大值为，
∵点C为线段的“二分点”，
同时，无解，舍去；
综上．
（2）
如图所示，设线段上存在的“二分点”为，
当时，最小值为：，最大值为：，
∴，即，
∵，
∴，
当且时，最小值为：，最大值为，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴r不存在，
当且时，最小值为：，最大值为：，
∴，即，
∵，
∵，
∴r不存在．
当时，最小值为：，最大值为：，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
综上所述，r的取值范围为或．
【点睛】本题考查坐标上的两点距离，勾股定理，点到圆的距离．根据题目所给条件，掌握“二分点”的定义是解题的关键．
10．(1)∠MAN=45°；
(2)，证明见解析
(3)DN=2．

【分析】（1）如图1，作辅助线，构建全等三角形，根据HL证明Rt△AGN≌Rt△NKE（HL），从而可得∠ANE=90°，所以△ANE是等腰直角三角形，可得结论；
（2）将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，连接NH，由全等三角形的性质可得AM=AH，∠MAB=∠DAH，∠ABM=∠ADH，BM=DH，由“SAS”可证△AMN=△AHN，可得MN=NH，由勾股定理可得BM，DN，MN之间的数量关系；
（3）如图3，作辅助线，构建三角形全等，证明△BAK≌△DAM和△AKN≌△AMN，得NK=MN，设DN=x，则MN=3+x，根据勾股定理列方程可求DN的长．
【详解】（1）解：如图1，过N作GK⊥BC，交AD于G，交BC于K，

∵四边形ABCD是正方形，
∴ADBC，∠ADB=45°，
∴GK⊥AD，
∴∠AGN=∠EKN=90°，
∵△BNK是等腰直角三角形，
∴BK=NK，
∵AD=DC=GK，
∴AG=BK，
在Rt△AGN和Rt△NKE中，，
∴Rt△AGN≌Rt△NKE（HL），
∴∠ANG=∠NEK，
∵∠ENK+∠NEK=90°，
∴∠ANG+∠ENK=90°，
∴∠ANE=90°，
∴△ANE是等腰直角三角形，
∴∠MAN=45°；
（2）解：，
理由如下：
如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，连接NH，

∴△ABM≌△ADH，
∴AM=AH，∠MAB=∠DAH，∠ABM=∠ADH，BM=DH，
∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠ABM=∠ADH=135°，
∴∠NDH=90°，
∵∠MAD=∠BAD+∠MAB=∠MAH+∠DAH，
∴∠MAH=∠BAD=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠MAN=∠HAN=45°，且AM=AH，AN=AN，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴MN=NH，
∵在Rt△DHN中，，
∴；
（3）解：如图3，过A作AK⊥AM，且AK=AM，连接MK、KB、KN，

∵AB=，
∴BD=AB=2，
∴MD=BD+BM=3，
∵∠KAM=∠BAD=90°，
∴∠KAB=∠DAM，且AB=AD，AK=AM，
∴△BAK≌△DAM（SAS），
∴DM=BK=3，
，∠ABK=∠ADM=45°，
∴∠NBK=45°+45°=90°，
∵∠MAN=135°，∠KAM=90°，
∴∠NAK=135°=∠MAN，
∵AN=AN，
∴△AKN≌△AMN（SAS），
∴NK=MN，
设DN=x，则MN=3+x，
在Rt△NBK中，由勾股定理得：，
解得：x=2，
∴DN=2．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，添加恰当辅助线是本题的关键．
11．（1）；2；（2）①-1，②或5．
【分析】（1）根据A（﹣4，0），B（0，4），利用勾股定理两点距离AB=，可求d（点A，点B）＝，点A与线段BC上的点中最近的点为C，根据两点距离公式可求d（点A，线段BC）＝2．
（2）①过O作OE⊥AB，根据（1）得AB=，利用面积求出OE=，当r＝1时，可求 d（⊙O，线段AB）＝OE-r=-1，
②分两种情况讨论：当在的外部时，过O作OD⊥BC于D，根据勾股定理BC=，利用面积，可求d（⊙O，△ABC）＝1=OD-r，得出r=即可．当在内部时，显然此时．
【详解】解：（1）∵A（﹣4，0），B（0，4），
∴AB=，
∴d（点A，点B）＝，
点A与线段BC上的点中最近的点为C，
∴AC=-2-（-4）=2，
d（点A，线段BC）＝2．
故答案为：；2；
（2）①过O作OE⊥AB，
∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴AB=，
∴S△AOB=，
∴OE=，
∴当r＝1时，⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）＝OE-1=-1，
故答案为-1，
②当在的外部时，过O作OD⊥BC于D，

∴OC=2，OB=4，
∴BC=，
∴S△COB=，
∴，
∵d（⊙O，△ABC）＝1=OD-r，
∴r=．
当在内部时，如图，

此时．
【点睛】本题考查新定义“近距离”仔细阅读，抓住新定义实质，图形与坐标，圆的半径，勾股定理，三角形面积，点到直线距离，掌握新定义“近距离”仔细阅读，抓住新定义实质，勾股定理，三角形面积，点到直线距离是解题关键．