北京市2022-2023年上学期九年级期末数学试题知识点分类汇编-09勾股定理③

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北京市2022-2023年上学期期末数学试题知识点分类汇编-09勾股定理③

一、解答题
1．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，是等边三角形．点D是边上一点（点D不与B，C重合），，，连接．

(1)判断与的位置关系，并证明；
(2)过D过，垂足为G．用等式表示，与之间的数量关系，并证明．
2．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，内接于，是的直径，，垂足为D．

(1)求证：；
(2)已知的半径为5，，求长．
3．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，是直角三角形的外接圆，直径，过点作的切线，与延长线交于点，为的中点，连接，且与相交于点．

(1)求证：与相切；
(2)当时，在的圆上取点，使，求点到直线的距离．
4．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，四边形内接于，为的直径，若 ，，，求的长度．

5．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，的三个顶点在上，的半径为5，，求弦的长．

6．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为．

(1)请用尺规作图，作出圆弧所在圆的圆心O，并计算圆的半径；
(2)当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，水面离拱顶只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
7．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，中，D为边中点，E为延长线上一点，连接并延长，使，连接．

(1)依题意补全图形；
(2)连接，若，猜想与的数量关系，并证明．
8．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，在中，，平分交边于点D，于点E，若，，求的长．

9．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，是的直径，点在上．过点作的切线，过点作于点．

(1)求证：平分；
(2)连接，若，，求的长．
10．（2023·北京海淀·九年级期末）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1．当制显艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若，，求这个紫砂壶的壶口半径的长．

11．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，是的直径，点D，E在上，，点C在的延长线上，与相切与点E，延长交于K．

(1)求证：；
(2)连接，若的半径长为，，求的长．
12．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）．
(1)方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
(2)设为方程的两个实数根，若是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的对角线长为；试求k的值．
13．（2023·北京海淀·九年级期末）已知吃刀深度h为时，能在直径是d（）的轴上铣出宽的一块平面（如图）．

(1)求d的值．
(2)若吃刀深度增加到，求轴上铣出平面的宽度．
14．（2023·北京海淀·九年级期末）如图1，斜坡与水平面夹角．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看成抛物线的一部分．如图2，当水柱与A水平距离为4米时，达到最高点D，D与水平线的距离为4米．

(1)在图2中建立平面直角坐标系，求水柱所在的抛物线的解析式（不需要写出自变量取值的范围）；
(2)若斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水柱能否越过这棵树．
15．（2023·北京海淀·九年级期末）图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆的中点，（即当支架水平放置时直线平行于水平线，支撑杆垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节的高度．当经过圆心O时，它的宽度达到最大值，在支架水平放置的状态下：

(1)当滑动杆的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆的高度．
(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（），求该手机的宽度．
16．（2023·北京海淀·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)． 特别地，当图形M与图形N有公共点时，d(M，N)=0． 已知A(-6，0)，B(0，6)，C(-3，0)．
（1）d(点A，点B)= ，d(点A，线段BC)= ．
（2）⊙O半径为r，
①当r=2时，⊙O与线段AB的“近距离”d(⊙O，线段AB)= ；
②若d(⊙O，ABC)=1，求r的值．

参考答案：
1．(1)，证明见解析
(2)，证明见解析

【分析】（1）连接，根据等边三角形的判定和性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，利用平行线的判定定理即可证明；
（2）延长交于点M，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理得出，利用等角对等边得出，过点C作，垂足为F，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理即可得出结果．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图所示，连接，

∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，延长交于点M，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点C作，垂足为F，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴
【点睛】题目主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
2．(1)见解析
(2)8

【分析】（1）由垂径定理可得，由圆周角定理得到，由得到，即可得到结论；
（2）由垂径定理可得，，在中，由勾股定理可得，即可得到长．
【详解】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∴；
（2）∵是的直径，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理的内容是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)或

【分析】（1）根据题意可得，根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而得出，证明，得出，即可得证；
（2）分点在以及半圆上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，

为的中点，是中点，
，
是的直径，
，
，
，
又，
，
，
是切线
，
，
，
是切线；
（2）当点在上时，连接，交于点，

，
，
，
，
直径，
，

，
当点在半圆上时，过点作，垂足为点,，垂足为点，

四边形是矩形，
在中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．
4．
【分析】根据为的直径，可得，然后根据同弧所对的圆周角相等可得，然后根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
在中， ，
在中， ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，熟知直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等是解本题的关键．
5．弦的长为5
【分析】连接并延长交于，根据圆周角定理得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于，连接，
则，，
的半径为5，
，
，
，
故弦的长为．

【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
6．(1)拱桥所在的圆的半径
(2)不需要采取紧急措施，理由见解析

【分析】（1）连接，作的垂直平分线，延长与的垂直平分线相交于点O，点O即为所求的圆弧所在圆的圆心，连接，由垂径定理可知，再在中，由勾股定理得出方程，即可求出半径；
（2）求出，再由勾股定理可得，则，即可得出结论．
【详解】（1）如图，点O即为所求的圆弧所在圆的圆心，连接，

设半径为，则，
由垂径定理可知，
∵，
∴，
在中，，
由勾股定理可得，，
即，
解得，
∴拱桥所在的圆的半径；
（2）∵，
∴
在中，由勾股定理可得，
，
∴，
∴不需要采取紧急措施．
【点睛】本题考查了作图—垂直平分线、垂径定理和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
7．(1)补全图形见解析
(2)，证明见解析

【分析】（1）根据题意延长至，再连接即可；
（2）连接，，证明，可得，再证明，可得，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得结论．
【详解】（1）解：如图，补全图形如下：

（2），理由如下：
连接，，
∵D为边中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是根据题意画图，勾股定理的逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
8．6
【分析】先根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出，再根据角平分线的性质可得，即可求出的长度，最后根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出的长度．
【详解】解：∵，，，
∴在中，，
在中，根据勾股定理可得：，
∵平分， ，，
∴，
∴，
在中，，
∴在中，根据勾股定理可得：
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是掌握根据锐角三角函数解直角三角形的方法和步骤，角平分线上的点到两边的距离相等．
9．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，求得，得到，即可求得平分．
（2）连接，求得，在中，求得；在中，，；在中，利用勾股定理可求得．
【详解】（1）证明：如图，连接．

∵直线与相切于点，
∴于点．
∴．
∵于点，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴平分．
（2）解：连接．

∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
在中，
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，  
∴．
∴．
在中，
∵，
∴．
【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线是解决问题的关键
10．
【分析】连接，根据垂径定理求得，又由，即可由勾股定理求解．
【详解】解：如图，连接．

∵过圆心，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
解得．
∴这个紫砂壶的壶口半径的长为．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据圆周角定理，以及外角的性质，求出，即可得证．
（2）连接，过点作，交于点，通过圆周角定理和对顶角相等，得到，从而得到，利用等腰三角形三线合一和勾股定理，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，过点作，交于点，
∵，
∴，
∴，
∴为的中点，
∵的半径长为，，
∴，
∴，，
在中，，
在中，．

【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握直径所对的圆周角是，同弧所对的圆周角相等，是解题的关键．
12．(1)
(2)1

【分析】（1）由根的判别式得到关于k的一元一次不等式，通过解不等式求得k的取值范围；
（2）设方程的两根为，依题意，又根据根与系数的关系可以得到，而，利用等式变形，解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
∴；
（2）解：设方程的两根为，
依题意，
∵，
∴，
整理得：，
∴或，
由（1）知，
∴．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，首先利用判别式是非负数确定k的取值范围，然后利用根与系数的关系确定k的值．
13．(1)
(2)

【分析】（1）设圆心为O，过点O作于点C，的延长线交于点D，连接，在中，利用勾股定理列出方程求出半径，即可解答；
（2）在中，利用勾股定理先求出，即可求出．
【详解】（1）设圆心为O，过点O作于点C，的延长线交于点D，连接，如图，

∵，，
∴，
∵，
设，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得，
∴直径，
即直径d的值为；
（2）根据（1）中的结果有：，
当时，则，
∵ ，
∴ ，
根据勾股定理得，，
即，
解得，
∴，
∴轴上铣出平面的宽度为．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形利用勾股定理解决问题．
14．(1)；
(2)不能．

【分析】（1）如图建立平面直角坐标系，首先找出抛物线的顶点坐标，设抛物线解析式为顶点式，再将点A坐标代入即可得解；
（2）根据题意，求出树的顶端点的纵坐标，然后求当时，抛物线线上点的纵坐标，然后比较两个纵坐标的大小即可得解．
【详解】（1）解：以点A坐标原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图3，
依题，，最高点即抛物线的顶点，
设此抛物线的解析式为：，
将代入上式，得，
，
抛物线的解析式为：；

（2）解：斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，如图4，
，
在中，，
设，则
，
，
，
又当时，
故从A喷出的水柱不能越过这棵树．

【点睛】此题是二次函数的实际应用题，主要考查了待定系数法求抛物线的解析式、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法、勾股定理、二次函数的图像与性质是解此题的关键．
15．(1)支撑杆的高度为9cm．
(2)手机的宽度为8cm．

【分析】（1）如图，连结OA，由题意可得：的直径为10， 由 先求解 从而可得答案；
（2）如图，记圆心为O，连结OA，证明 设则则 再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，连结OA，由题意可得：的直径为10，

即




所以此时支撑杆的高度为9cm．
（2）解：如图，记圆心为O，连结OA，

由题意可得：
∴四边形为正方形，



设
则


由勾股定理可得：
解得
经检验不符合题意，舍去，取
（cm），
即手机的宽度为8cm．
【点睛】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，建立方程解题是关键．
16．（1），；（2）；（3）
【分析】（1）利用勾股定理求出两点距离即可；点A与线段BC上的点中最近的点为C，根据两点距离公式可求d（点A，线段BC）；
（2）①过O作OE⊥AB，根据（1）得AB=，利用面积求出OE=，当r＝2时，可求 d（⊙O，线段AB）；②过O作OD⊥BC于D，根据勾股定理BC=，利用面积，可求d（⊙O，△ABC）,得出即可．
【详解】解：（1）∵A(-6，0)，B(0，6)，
∴，
∴d(点A，点B)，
点A与线段BC上的点中最近的点为C，
∴，
d(点A，线段BC)= ；
故答案为：，；
（2）①过O作OE⊥AB，如下图：
∵OA=OB=6，∠AOB=90°，
∴，
∴S△AOB=，
∴，
∴当r＝2时，⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB），
故答案为，
②过O作OD⊥BC于D，如下图：

∴OC=3，OB=6，
∴，
∴，
∴，
∵d（⊙O，△ABC），
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义“近距离”仔细阅读，抓住新定义实质，图形与坐标，圆的半径，勾股定理，三角形面积，点到直线距离，掌握新定义“近距离”仔细阅读，抓住新定义实质，勾股定理，三角形面积，点到直线距离是解题关键．