四川省绵阳市2020届高三高考适应性考试（四诊）理科数学试题 Word版含解析

这是一份四川省绵阳市2020届高三高考适应性考试（四诊）理科数学试题 Word版含解析，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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绵阳市高中2017级高考适应性考试
理科数学
一、选择题
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先解不等式，得到，再求即可.
【详解】因为，所以.
.
故选：A
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了指数不等式的解法，属于简单题.
2. 等差数列中，，则（ ）
A. 5 B. 9 C. 11 D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差中项直接计算即可.
【详解】因为是的等差中项，
所以，
即，
解得，
故选：C
【点睛】本题主要考查了等差中项，考查了运算能力，属于容易题.
3. 在平面内，则（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
分析】
根据向量减法可得，直接计算向量的模即可.
【详解】

，
故选：B
【点睛】本题主要考查了向量的减法，向量的模，向量的坐标运算，属于容易题.
4. 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如下统计图，根据该统计图，下列说法错误的是（ ）

A. 2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多
B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小
C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量
D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量
【答案】D
【解析】
【分析】
根据统计图，逐项分析即可.
【详解】对于A，由柱状图可得五月出货量最高，故A正确;
对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确;
对于C,根据曲线上数据可得仅仅四月五月比同比高，其余各月均低于2018年，
且明显总出货量低于2018年，故C正确;
对于D，可计算的2018年12月出货量为，8月出货量为，故12月更高，故D错误,
故选：D
【点睛】本题主要考查了学生合情推理能力，考查数据分析与图表分析能力，属于容易题.
5. 已知直线和平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
A.根据直线与直线的位置关系判断； B.根据直线与直线的位置关系判断；C.根据直线与平面的位置关系判断；D.根据线面垂直的性质定理判断.
【详解】A.若，，则或异面，故错误；
B.若，，则或异面或相交，故错误；
C.若，，则或，故错误；
D.若，，则，由线面垂直的性质定理知，正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查线与线，线与面的关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
6. 函数的图象（ ）
A. 关于点对称 B. 关于直线对称
C. 关于轴对称 D. 关于轴对称
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知利用正弦函数的图象和性质即可逐项判断求解.
【详解】对于A，由于f (1) =sin (1-1) =sin0=0， 可得函数y=sin (x-1) 的图象关于点(1, 0)对称,故A正确;
对于B，由于f (1) =sin (1-1) =sin0=0≠士1,可得函数y=sin (x-1) 的图象不关于直线x=1对称，故B错误;
对于C,由于f (0) =sin (0-1) =-sin1≠0,可得函数y=sin (x-1) 的图象不关于x轴对称，
故C错误;
对于D，由知不是偶函数，图象不关于y轴对称,D错误.
故选：A
【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题.
7. 公元263年，数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，提出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则圆周合体而无所失矣”.如图是利用“割圆术”思想求图形面积的一个程序框图，则其输出的的值为（ ）

（参考数据：）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】
列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环.
【详解】模拟执行程序，可得:
n=6，，
不满足条件S<3.2,执行循环体，n=12，
不满足条件S<3.2,执行循环体，n=24,
此时，满足条件S<3.2,退出循环，输出n的值为24 .
故选： C.
【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.
8. 已知数列的前项和，则为等比数列的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由求通项，根据数列为等比数列即可求解.
【详解】,
当时，，
当时，，
为等比数列，


当时，，
可得，
由知为等比数列，
故为等比数列的充要条件是，
故选：B
【点睛】本题主要考查了由求数列的通项公式，等比数列的通项公式、定义，充要条件，属于中档题.
9. 已知曲线的焦点为，是上一点，以为圆心的圆过点且与直线相切，若圆的面积为，则圆的方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据以为圆心的圆过点且与直线相切，由抛物线的定义可知直线为抛物线的准线，则，得到抛物线方程，根据圆的面积为，求得圆的半径，设，由抛物线的定义和直线与圆的位置关系，由，求得圆心坐标即可.
【详解】因为曲线的焦点为，是上一点，以为圆心的圆过点且与直线相切，
由抛物线的定义得：直线为抛物线的准线，
则，
所以，
所以抛物线方程为：，
因为圆的面积为，
所以圆的半径为5，
设，
因为圆与直线相切，
所以，
解得，则，
又，
所以，
所以圆的方程为，
故选：C
【点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
10. 已知在上是减函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先比较，，的大小关系，然后根据函数在上是减函数，即可判断的大小关系.
【详解】根据对数函数的单调性可知：，由 ，所以，两边同时取对数可得，即，所以，因为在上是减函数，所以，所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查函数的单调性，解题的关键是会根据基本初等函数的单调性判断自变量的大小关系.
11. 定义在上的偶函数对任意实数都有，且当时，，则函数的零点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意判断出函数为周期的周期函数，将求的零点个数转化为求函数的零点个数，在平面直角坐标系里作出为函数与图象，分析出其交点个数即可.
【详解】由，所以，因为为定义在上的偶函数，所以，所以，所以函数的为周期的周期函数，

由可化为，
所以，令，所以，所以函数的零点个数即为函数与图象交点的个数，作出与图象如下：

由函数图象可得，函数与图象交点的个数共10个，所以函数的零点个数有10个.
故选：C
【点睛】本题主要考查函数图像与零点，解题的关键是准确作出不含参数的函数图象，然后用数形结合的思想解题.
12. 我们把数列（其中）与叫做“互为隔项相消数列”，显然.已知数列的通项公式为，其中表示不超过实数的最大整数，则除以的余数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意根据二项式定理先设，其中，
，其中，求出的关系等式，再由表示不超过实数的最大整数，求出，即可得出答案.
【详解】根据二项式定理可设：
，其中，
由题意可得：
，其中，
则，
即，
所以有：，
因为，
所以，
所以，
即有：，
因为
即，
所以有
因为，
所以除以的余数为
故选：B
【点睛】本题考查了二项式定理及根据新的定义求解，属于较难题.
二、填空题
13. 复数__________．
【答案】;
【解析】
【详解】 ，故答案为
14. 某工件模具的三视图如图所示，已知俯视图中正方形的边长为，则该模具的体积为_____

【答案】
【解析】
【分析】
由三视图可知，该几何体是在一个长方体中挖去一个半径为的半球而形成，结合三视图中的数据可计算出该几何体的体积.
【详解】由三视图可知，该几何体是在一个长方体中挖去一个半径为的半球而形成，且长方体的底面是边长为的正方形，长方体的高为，
因此，该几何体体积为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键就是要结合三视图确定几何体的结构，考查计算能力，属于基础题.
15. 实数满足约束条件若目标函数的最大值为4，则的最大值为______
【答案】2
【解析】
【分析】
作出不等式对应的平面区域,利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求，可得的最大值.
【详解】作出不等式对应的平面区域,

由得，
则目标函数对应直线的斜率，平移直线，
由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大.
由
解得
此时z的最大值为，当且仅当时取等号.

解
故答案为: 2.
【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键.
16. 已知双曲线的左右焦点为，点是双曲线上任意一点，若的最小值是，则双曲线的离心率为______
【答案】
【解析】
【分析】
设，先得的表达式，再由其最小值解出a，即可求出离心率.
【详解】设，
则，
，
，
当时等号成立，
的最小值是，
，
解得，
又，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，向量的运算，离心率的求法，属于中档题.
三、解答题
17. 为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：
单价（元/件）
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量（万件）
90
84
83
80
75
68


（1）根据以上数据，求关于的线性回归方程；
（2）若该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润?
（参考公式：回归方程，其中）
【答案】（1）（2）8.25元
【解析】
【分析】
(1)根据所给数据及参考公式求得与的值，可得线性回归方程；
(2) 设工厂获得的利润为L万元，则 ，利用二次函数求最值即可.
【详解】（1），
.


，

，
.
，
回归直线方程为.
（2）设工厂获得利润为万元，
则
，
该产品的单价定为8.25元时，工厂获得利润最大，最大利润为361.25万元.
【点睛】本题主要考查了线性回归方程，利用二次函数求最值，考查了运算能力， 属于中档题.
18. 已知向量
（1）求最小正周期和最大值；
（2）在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，求.
【答案】（1），最大值为；（2）
【解析】
【分析】
(1)先利用向量的数量积运算和三角函数的二倍角公式对函数的解析式化简整理,可求得函数最小正周期T和最大值.
(2)根据，求得,进而根据A的范围求得A，再由余弦定理和三角形的面积公式可求得值.
【详解】（1）由题意得，
函数的最小正周期为，
当，即，时，函数的最大值为.
（2），即，.
由题意得的面积，解得.
由余弦定理得，
.
【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及余弦定理.考查了学生综合运用基础知识的能力，属于中档题.
19. 在几何体中，如图，四边形为平行四边形，，平面平面，平面，，.

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）由，得到平面，平面，根据平面平面，由面面平行的性质定理得到，进而得到四边形为平行四边形，再根据平面，得到，由，得到，同理得到，由线面垂直的判定定理得到平面得证.

（2）由（1）可知，直线、、两两垂直.以为坐标原点，以、、为坐标轴建立的空间直角坐标系，设，则，，分别求得平面和平面的一个法向量，代入求解.
【详解】（1）证明：由，
可知、、、四点确定平面，、、、四点确定平面.
∵平面平面，且平面平面，
平面平面，
∴，四边形为平行四边形.
同理可得，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形.
∵平面，平面，
∴，
而，于是.
由，，
则.
由，平面，平面.
∴平面，而平面，
∴.
（2）由（1）可知，直线、、两两垂直.以为坐标原点，以、、为坐标轴建立的空间直角坐标系.

不妨设，则，.
∴，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，则，，
∴平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，则，，
∴平面的一个法向量为.
∴二面角的余弦值为.
【点睛】本题主要考查线线平行，线面平行，面面平行的转化，线线垂直与线面垂直的转化以及向量法求二面角问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题.
20. 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为坐标原点．
（1）若直线过椭圆的右焦点，求的面积；
（2）椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）存在
【解析】
【分析】
（1）根据直线过右焦点求出直线方程，联立直线与椭圆方程，求出或，利用面积公式即可得解；
（2）设中点，联立直线与椭圆方程，根据四边形为平行四边形，根据韦达定理求得，进而求得求出点的坐标，代入椭圆方程，可得，即可求得答案．
【详解】（1）设，．
直线过椭圆的右焦点，则，
∴直线的方程为．
联立得，
解得或．
∴的面积为．
（2）设中点．
联立得，
∴，
解得．
由韦达定理得，．
∵，
∴．
假设椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，
则，且，
即．
又点在椭圆上，将其代入椭圆方程，
解得，满足，且．
综上所述，存在，使得四边形为平行四边形．
【点睛】圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决，考查了分析能力和计算能力，属于难题．
21. 已知函数.
（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
（2）当时，为函数在上的零点，求证：.
【答案】（1）或.（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先求导，根据函数在上是单调函数，转化为在上恒成立，即，在上恒成立，即，令，用导数法求导其最值即可.

（2）由时，，则，易得 在上单调递增，由，得到在上单调递减，结合，，，进一步确定，将证明，转化为证，令，，用导数法证即可.
【详解】（1），
当函数在上单调递减，
则在上恒成立，即，
设，，
则.
因为，
所以.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以，故.
当函数在上单调递增时，
则在上恒成立，即，
由上可知，故.
综上所述，实数的取值范围为或.
（2）当时，，故，
，由于和在上单调递增，
∴在上单调递增，
∴，故在上单调递减.
又，，
∴存在唯一的，使得，
∴在单调递增，在单调递减.
又，，，
∴函数在上的零点，
即.
要证，
即证.
设，，
则.
显然在上恒成立，
所以在上单调递增.
∴，故原不等式得证.
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式证明以及零点存在定理，还考查了转化化归，分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线与交于两点，若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由曲线的极坐标方程,结合运算即可;
（2）将曲线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，结合直线参数方程中参数的几何意义求解即可.
【详解】解：（1），
由，
曲线的直角坐标方程为.
（2）将曲线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，
化简得，
由，得.
设两点对应的参数分别为，
则，
，
又，，
的取值范围为.
【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,重点考查了直线参数方程中参数的几何意义,属基础题.
23. 已知函数
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】
（1）先解不等式,然后利用待定系数法求解即可;
（2）原不等式等价于恒成立,然后结合绝对值三角不等式的性质求解即可.
【详解】解：（1）由，得，
即，
得，
解得.
又不等式的解集为，
，
.
（2）恒成立，
恒成立.
，
，
.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，重点考查了绝对值三角不等式的性质，属基础题.