专题中考数学 锐角三角函数（课件）

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1. 锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b正弦：余弦：余切：
2. 几个重要公式：设α是一个锐角，则sinα＝cs(90°－α)，csα＝sin(90°－α)，sin2α＋cs2α＝1．3. 特殊角的三角函数值：
4. 锐角三角函数值的变化规律：①当0°＜α＜90°时，sinα（tanα）随着角度的增大（减小）而 增大（减小） ．②当0°＜α＜90°时，csα随着角度的增大（减小）而 减小（增大） ．
【例1】（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为 ．
【例2】（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A的值为 ．
【例3】 （3分）（2021•天津2/25）tan30°的值等于（ ） A． B． C．1 D．2
【例5】（6分）（2021•云南15/23）计算： .
1. 解直角三角形：在直角三角形中，由 已知元素 求 未知元素 的过程，叫做解直角三角形．
3. 解直角三角形的应用常用知识：（1）仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．（2）坡度和坡角坡度（坡比）：坡面的 铅直高度h 与 水平宽度l 的比 ，叫做坡度或坡比，一般用i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα．坡度越大，α角越大，坡面 越陡 ．
（3）方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
【例7】 （6分）（2021•北京22/28）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，csB ，求BF和AD的长．
【分析】（1）证AD∥CE，再由AE∥DC，即可得出结论；（2）先由锐角三角函数定义求出BF＝4，再由勾股定理求出EF＝3，然后由角平分线的性质得EC＝EF＝3，最后由平行四边形的性质求解即可．
【例8】 （8分）（2021•西藏25/27）如图，为了测量某建筑物CD的高度，在地面上取A，B两点，使A、B、D三点在同一条直线上，拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30°，小明同学在点B处测得该建筑物顶部C的仰角为45°，且AB=10 m．求建筑物CD的高度．（拉姆和小明同学的身高忽略不计．结果精确到0.1 m， ）
【例9】 （3分）（2021•山西14/23）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=5：12 （为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为 米．
【考点】解直角三角形的应用—坡度坡角问题【分析】由坡度的定义，可设BC=5a米，则AC=12a米，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解．
【例10】 （10分）（2021•天津22/25）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84， 取1.73．
【考点】解直角三角形的应用—方向角问题【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可．
【例11】 （10分）（2021•青海24/25）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin35°≈0.6，cs35°≈0.8， ≈1.4）
【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，∵AB＝CE，AB+CD＝AD＝2，∴AB＝CD＝1，在Rt△ABE中，∠A＝35°，AB＝1，∴BE＝AB•sin∠A＝1×sin35°≈0.6，∴AE＝AB•cs∠A＝1×cs35°≈0.8，
【例12】 （8分）（2021•江西20/23）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28 cm，MB＝42 cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3 cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5 cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5 cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cs66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40， ≈1.414）