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专题4.5.4 一次函数中的平移和旋转问题专题（专项练习）
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这是一份专题4.5.4 一次函数中的平移和旋转问题专题（专项练习），共42页。
专题4.5.4 一次函数中的平移和旋转问题专题（专项练习）
1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1) 求这个一次函数的解析式；
(2) 当函数的值大于一次函数的值时，直接写出x的取值范围．
2．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点（2，2）．
(1) 求这个一次函数的表达式；
(2) 当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
3．如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与全等，试确定点Q的横坐标．
4．如图，直线与直线交于轴上一点，直线与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）将直线向左平移个单位后刚好经过点，求的值．
5． 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于.
（1）求证：.
（2）已知直线与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式.
6．如图,直线l 在平面直角坐标系中,直线l与y轴交于点A,点B(-3,3)也在直线1上,将点B先向右平移1个单位长度、再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l上．
(1) 求点C的坐标和直线l的解析式
(2) 若将点C先向左平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点D,请你判断点D是否在直线l上;
(3) 已知直线l:y=x+b经过点B,与y轴交于点E,求△ABE的面积．
7．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒2个单位的速度沿x轴向左移动．
(1) 求A，B两点的坐标；
(2) 求的面积S与点M的移动时间t之间的函数关系式；
(3) 求当t为何值时，并求此时M点的坐标．
8．如图，一次函数y＝﹣kx+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，且∠BAO＝30°．
(1) 如图1，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到，则点的坐标是多少？
(2) 如图2，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到，则点的坐标是多少？
(3) 如图3，若存在x轴上一点C，使△ACB为等腰三角形，直接写出点C坐标．
9．一次函数y＝x＋2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC．
(1)求C点的坐标；
(2)在第二象限内有一点M（m，2），使，求M点的坐标；
(3)将△ABC沿着直线AB翻折，点C落在点E处；再将△ABE绕点E顺时针方向旋转15°，点B落在点F处，过点F作FG⊥y轴于G．求△EFG的面积．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式．
11． 如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D，过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）
[模型应用]若一次函数y＝kx+4（h≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
(1)如图2，当k＝﹣1时，若B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求A到直线l的距离AD的长．
(2)如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标．
(3)当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，当Q在第一象限落在直线y＝0.5x+1上时，在x轴上求一点H，使HQ+HB的值最小，请求出H的坐标．
12． 如图，一次函数y＝k1x﹣4的图象与反比例函数y（x＞0）的图象相交于A
（3，﹣6），并与x轴交于点B，点D是线段AB上一点，连结OD、OA，且S△BOD：S△BOA＝1：3．
(1) 求一次函数与反比例函数解析式；
(2) 求点D的坐标；
(3) 若将△BOD绕点O逆时针旋转，得到△B'OD'，其中点D'落在x轴的正半轴上，判断点B'是否落在反比例函数y（x＞0）图象上，并说明理由．
13．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于、两点．
（1）求一次函数解析式和m的值；
（2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式；
（3）在第二象限是否存在点D，使是以BC为腰的等腰直角等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A(6，0)、B(0，2)两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：BOC≌CED；
（2）求经过 A、B两点的一次函数表达式及点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．（不用写过程）
15．如图1，已知一次函数y＝x＋2的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
（1）边AB的长为 ；
（2）求点C，D的坐标；
（3）作直线BD，将∠BAD绕点B逆时针旋转，两边分别交正方形的边AD，DC于点M，N（如图2），若M恰为AD的中点，请求出点N的坐标．
16．如图，一次函数y＝2x+b经过M（1，3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求△AOB的面积．
（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．
17．【问题背景】
平移、旋转和翻折是初中阶段三大基本几何变换．平移、旋转或翻折后的图形与原图形全等，所以我们又把这些几何变换称之保形变换．我市某校数学思维社团成员在学习了平面直角坐标系及一次函数以后，尝试在平面直角坐标系中研究几何变换．
【初步研究】
（1）本着简单到复杂的原则，他们先研究了点的变换：已知平面内一点．
①将点向左平移个单位，平移后点的坐标为_ ；
②点关于直线的对称点的坐标为_ ；
③将点绕点旋转，旋转后点的坐标为 ；
【深度探究】
（2）数学思维社团成员认为线的变换只要抓住一些关键点的变换就可以了．已知如图，直线分别与轴、轴交于点两点，直线交直线于点．
① 直线向右平移个单位，平移后的直线表达式为 ；
② 将直线沿直线翻折，翻折后的直线表达式为 ；
③ 将直线绕点旋转，旋转后的直线表达式为 ；
④ 将直线绕点逆时针旋转，添加一个你认为合适的角度_ ；并直接写出旋转后的直线表达式_ ．
18．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，△ABC的三个顶点均在坐标轴上，若∠BAO＝30°，AB＝4，点C的坐标为（2，0）．
(1) 如图1，求证：△ABC是等边三角形．
(2) 如图2，点D是x轴上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，在点D运动过程中，求线段CE的最小值．
(3) 如图3，若将△ABO沿直线AC平移，记平移后的△ABO为△，在平移过程中，是否存在这样的点，使得△为等腰三角形？若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．(1)(2)
【分析】（1）先根据直线平移时的值不变得出，再将点代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）由题意得，解不等式即可求得．
（1）解：一次函数的图象由直线平移得到，
，
将点代入，
得，解得，
一次函数的解析式为；
（2）由题意得，
解得，
的取值范围是．
【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，解不等式，熟知一次函数的性质是解题的关键．
2．(1)
(2)
【分析】（1）由平移可知平移前后平移后的直线平行，所以，然后将点（2，2）带入可得．
（2）当时，得到点是临界点，此时可得由函数图象知道函数值大于代表对应的函数图象在上方，可得到，分析图象另外的临界为两条直线平行即可得到答案．
解：（1）∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴，把（2，2）代入，解得
∴这个一次函数的表达式为．
（2）分析两个临界图象如图所示：
分析可得到答案为：．
【点拨】本题考查一次函数图象平行时的解析式求法，一次函数与不等式的联系，明确直线平行时，直线的k相等，在解决一次函数与不等式联系的题型时，运用数形结合的思想方法正确找到临界是解题的关键．
3．7或8
【分析】根据与全等分两种情况分类讨论即可解答．
解：在直线中，
当x=0时，y=0+4=4，即，
当y=0时，0=，
∴ ，即；
∵与全等，
∴分两种情况：
当时，，如图所示，
则，
∴点Q的横坐标为：，
当时，，如图所示，
则，
∵ ，
∴点Q的横坐标为：；
综上所述：点Q的横坐标为7或8．
【点拨】本题主要考查三角形全等的应用，一次函数的应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
4．（1），；（2）．
【分析】（1）把点A代入直线表达式计算即可求出n的值，得出A点坐标后代入表达式计算即可求出m的值；
（2）把代入即可得到点B的纵坐标，根据平移的性质向左平移后可得：，再把点B代入即可求出的值．
解：（1）解：把代入可得：
∴
把代入可得：
（2）把代入可得：
∴
又∵向左平移个单位后解析式为：
∴把代入可得：
【点拨】本题主要考查了一次函数图象与性质，一次函数图象平移，熟练运用代数计算求值是解题的关键．
5．（1）见分析；（2）y=x+4；
【分析】（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB=CA，再由AAS定理可知；
（2）过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC=45°可知△ABC为等腰Rt△，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线l2的函数解析式即可；
解：(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB=CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，
∴∠D=∠E=90°,∠ACD+∠BCE=180°−90°=90°，
又∵∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴ (AAS)；
(2)过点B作BC⊥AB于点B,交l2于点C,过C作CD⊥x轴于D,
∵∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰Rt△，
由(1)可知：△CBD≌△BAO，
∴BD=AO，CD=OB，
∵直线l1:y=x+4，
∴A(0,4),B(−3,0)，
∴BD=AO=4.CD=OB=3，
∴OD=4+3=7，
∴C(−7,3),
设l2的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴ ，
∴ ，
∴l2的解析式：y=x+4；
【点拨】此题考查一次函数综合题，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理.
6．（1）(-2,1)，y=-2x-3（2）点D在直线l上，理由见分析（3）13.5
【分析】(1)根据平移的性质得到点C的坐标;把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b(k≠0)来求该直线方程
(2)根据平移的性质得到点D的坐标,然后将其代入(1)中的函数解析式进行验证即可
(3)根据点B的坐标求得直线l的解析式,据此求得相关线段的长度,并利用三角形的面积公式进行解答
解：(1)∵B(-3,3),将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C,
∴-3+1=-2,3-2=1，
∴C的坐标为(-2,1)
设直线l的解析式为y=kx+c,
∵点B，C在直线l上
代入得
解得k=-2,c=-3,
∴直线l的解析式为y=-2x-3
(2)∵将点C先向左平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点D,C(-2,1),
∴-2-3=-5,1+6=7
∴D的坐标为(-5,7)
代入y=-2x-3时,左边=右边,
即点D在直线l上
(3)把B的坐标代入y=x+b得:3=-3+b,
解得:b=6
∴y=x+6,
∴E的坐标为(0,6),
∵直线y=-2x-3与y轴交于A点,
∴A的坐标为(0,-3)
∴AE=6+3=9;
∵B(-3,3)
∴△ABE的面积为×9×|-3|=13.5
【点拨】此题考查一次函数图象与几何变换，利用平移的性质是解题关键
7．(1)，(2)当时，；当时，(3)秒时，M点的坐标是或秒时，M点的坐标是．
【分析】（1）由直线l的函数解析式，令y＝0求A点坐标，x＝0求B点坐标；
（2）分情况求出OM，由面积公式S＝×OM×OC求出S与t之间的函数关系式；
（3）若△COM≌△AOB，则OM＝OB，分情况求出AM，可算出t值，并得到M点坐标．
（1）解：对于直线，
当时，；当时，，
则A，B两点的坐标分别为，；
（2）∵，，
∴，
当时，，
∴；
当t＝2时，无法组成三角形；
当时，，
∴；
（3）解：分为两种情况：
①当M在OA上时，
∵，
∴，
∴，
∴t＝2÷2＝1秒，；
②当M在AO的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
∴t＝6÷2＝3秒，；
即秒时，M点的坐标是或秒时，M点的坐标是．
【点拨】此题考查了一次函数的图象和性质，三角形面积计算，全等三角形的性质等，正确分类讨论是解题的关键．
8．(1)点（，2）(2)点的坐标为（+1，）(3)点C的坐标为：（﹣，0）或（2+，0）或（﹣2，0）或（，0）
【分析】（1）求出AB，OA，OB，然后根据旋转角是60°判断出A⊥x轴，再写出点的坐标即可；
（2）根据旋转的性质可知：＝OA＝，＝OB＝1，且⊥x轴，x轴，可得点到x轴距离为，到y轴距离为+1，即可得点B′的坐标；
（3）分三种情况：①当AB＝BC时，②当AB＝AC时，③当AC＝BC时，分别求解即可．
（1）解：∵一次函数y＝﹣kx+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令x＝0，则y＝1，
∴点B（0，1），
∴OB＝1，
∵∠BAO＝30°．
∴AB＝2，OA＝，
∵旋转角是60°，
∴∠OA＝30°+60°＝90°，A＝AB＝2，
∴A⊥x轴，
∴点（，2）；
（2）∵把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到，
∴＝OA＝，＝OB＝1，＝90°，∠＝∠AOB＝90°，
∴⊥x轴，x轴，
∴点到x轴距离为，到y轴距离为+1，
∴点的坐标为（+1，）；
（3）如图，
①当AB＝BC时，
∵OB⊥x轴，
∴OA＝OC，
∴点的坐标为：（﹣，0）；
②当AB＝AC时，
∵AB＝2，
点（2+，0），点（﹣2，0）；
③当AC＝BC时，
设点（x，0），
则﹣x＝，
解得：x＝，
∴点的坐标为：（，0）；
综上可得：点C的坐标为：（﹣，0）或（2+，0）或（﹣2，0）或（，0）．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形性质，旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，等腰三角形的性质．掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用是解题的关键．
9．(1)C（﹣2，4）(2)M（﹣4，2）(3)2
【分析】（1）先求得A、B的坐标，由勾股定理得到AB＝4，取AB的中点D，连接OD，则OD＝BD＝AB＝2，然后可得到∠BAO＝30°，则∠CAO＝90°，从而可得到点C的坐标；
（2）过点C作CMAB，则S△ABM＝S△ABC．设直线CM的解析式为yx+b，将点C的坐标代入求得b的值，然后将y＝2代入MC的解析式可求得点M的横坐标；
（3）先求出∠FHG＝30°，进而表示出FG，EG，用勾股定理建立方程求出a2，最后用面积公式即可得出结论．
（1）解：对于一次函数y＝x＋2，
当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
当y＝0时，x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴OB＝2，OA＝2，
∴AB＝，
如图1，取AB的中点D，连接OD，则OD＝BD＝AB＝2，
∴OB＝OD＝BD＝2，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝4，
∴∠CAO＝90°，
∴CA⊥AO，
∴C（﹣2，4）；
（2）过点C作CMAB，如图2，
∵CMAB，
∴，
设直线CM的解析式为y＝，将点C的坐标代入得：（﹣2）+b＝4，
解得b＝6，
∴直线CM的解析式为yx+6，
将y＝2代入MC的解析式得：2x+6，
解得：x＝﹣4，
∴M（﹣4，2）；
（3）∵∠ABC＝∠ABO＝60°，
∴点E落在y轴上，
如图3所示，取EG上取一点H使，EH＝FH，连接FH，
由（1）知A（﹣2，0），B（0，2），AB＝4，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝4，
由折叠知，BE＝BC＝4，
由旋转知，EF＝BE＝4，∠BEF＝15°，
∴∠EFH＝∠BEF＝15°，
∴∠FHG＝∠EFH＋∠BEF＝30°，
设FG＝a，
∴FH＝2a，
∴EH＝FH＝2a，
在Rt△FHG中，由勾股定理得，
HG＝，
∴EG＝EH+HG＝2aa＝（2）a，
在Rt△EFG中，根据勾股定理得，，
即a2+[（2）a]2＝16，
∴a2，
∴EG×FG（2）a×aa22．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，添加适当的辅助线是解答本题的关键．
10．
【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣3），求得OA＝，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的判定与性质证明△AOB≌△FEA得到AE＝OB＝3，EF＝OA＝，求得F（，－），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．
解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，
∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=，
∴A（，0），B（0，﹣3），
∴OA=，OB=3，
过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E．
则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°，
∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°，
∴∠OAB=∠AFE．
又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°，
∴∠AFB＝45°，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴ AB＝AF
∴△AOB≌△FEA（AAS）
∴AE＝OB，EF＝OA，
∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝，
∴F（，－）．
设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中，
∴－＝k－3，
∴k＝，
∴直线BC的函数表达式为．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质、等角对等边，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．(1)(2)M（，）(3)点H坐标为（，0）
【分析】（1）由题意可知△BEO≌△AOD（K型全等），OE=AD，B（0，4），OE=，AD=；
（2）k=-时，A（3，0），分三种情况讨论，①当BM⊥AB，且BM=AB时，过点M作MN⊥y轴，由“AAS”可证△BMN≌△ABO，所以MN=OB，BN=OA；
②当AB⊥AM，且AM=AB时，过点M作x轴垂线MK，可知△ABO≌△AMK（AAS），所以OB=AK，OA=MK；
③当AM⊥BM，且AM=BM时，过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，由“AAS”可证△BMG≌△AHM，所以BG=AH，GM=MH，GM=MH，则有4-MH=MH-3；
（3）由“AAS”可证△MAB≌△NBQ，可得BN=AM=4，，可求点Q坐标，作点Q关于x轴的对称点Q'（4，-3），连接BQ'，交x轴于H，此时HB+HQ最小，求出BQ'的解析式，联立方程组，可求解．
解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），
∴OE＝AD，
∵k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
令x=0，则y=4
∴B（0，4），OB＝4，
∵BE＝3，
∴由勾股定理得，OE＝=，
∴AD＝；
（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，
当y=0时，x=3
∴A（3，0），
①当BM⊥AB，且BM＝AB时，
如图3﹣1，过点M作MN⊥y轴，
∴∠MNB＝∠AOB＝∠ABM＝90°，
∵∠ABO+∠MBN＝90°＝∠ABO+∠BAO，
∴∠BAO＝∠MBN，
又∵AB＝BM，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
∴MN＝OB，BN＝OA，
∴MN＝4，BN＝3，
∴M（4，7）；
②如图3﹣2，当AB⊥AM，且AM＝AB时，
过点M作x轴垂线MK，
同理可证：△ABO≌△AMK（AAS），
∴OB＝AK，OA＝MK，
∴AK＝4，MK＝3，
∴M（7，3）；
③当AM⊥BM，且AM＝BM时，
如图3﹣3，过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，
同理可证：△BMG≌△AHM（AAS），
∴BG＝AH，GM＝MH，
∴GM＝MH，
∴4﹣MH＝MH﹣3，
∴MH＝，
∴M（，）；
综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；
（3）设AB的解析式为y＝kx+4，
∴点A（﹣，0），点B（0，4），
如图4，过点B作MN//AO，过点A作AM⊥MN于M，过点Q作QN⊥MN于N，
∵将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，
∴AB＝BQ，∠ABQ＝90°，
∴∠ABM+∠MAB＝90°，∠MBA+∠NBQ＝90°，
∴∠MAB＝∠NBQ，
在△MAB与△NBQ中，
，
∴△MAB≌△NBQ（AAS），
∴BN＝AM＝4，NQ＝MB＝|﹣|＝||，
∴点Q（4，||），
∴||＝0.5×4+1，
∴点Q（4，3），
作点Q关于x轴的对称点Q'（4，﹣3），连接BQ'，交x轴于H，
此时HB+HQ最小，
设直线BQ'解析式为y＝mx+n，
由题意可得：，
解得：，
∴直线BQ'解析式为y＝﹣x+4，
当y＝0时，﹣x+4＝0，
∴x＝，
∴点H坐标为（，0）．
【点拨】本题考查了待定系数法解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形解题是关键．
12．(1)一次函数的解析式为y=-x-4，反比例函数的解析式为y=-；(2)D（-3，-2）；
(3)点B'不在函数y=-的图象上，理由见分析
【分析】（1）将点A分别代入一次函数和反比例函数求解可得：
（2）过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，根据面积的比得到DM和AN的比，求出DM的长，即点D纵坐标，从而求解；
（3）根据旋转的性质得到S△ODB=S△ODB'，求出B'G的长，进而求得B'点的坐标，判断是否在反比例函数图象上．
（1）解：将点A（3，-6）代入y=k1x-4，
得-6=3k1-4，
解得k1=-，
将点A（3，-6）代y=（x＞0）得，-6=，
∴k2=-18，
∴一次函数的解析式为y=-x-4，反比例函数的解析式为y=-；
（2）解：如图，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，
∵，
∴，
∵点A的坐标为（3，-6），
∴AN=6，
∴DM=2，即点D的纵坐标为-2，
把y=-2代入y=-x-4中，
得x=-3，
∴点D（-3，-2）；
（3）解：令y=0，则0=-x-4，解得：x=-6，
∴点B（-6，0），
∵点D（-3，-2），
∴OM=3，DM=2，OB=6，
∴OD'=OD= ，OB'=OB=6，
如图，过点B'作B'G⊥x轴于点G，
∵S△ODB=S△OD′B′，
∴OB•DM=OD'•B'G，即6×2=×B'G，
∴B'G=，
在Rt△OB'G中，
∵OG=，
∴B'点坐标（，），
∵×（）≠-18，
∴点B'不在函数y=-的图象上．
【点拨】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求反比例和一次函数表达式、直角坐标系内三角形面积的计算、反比例函数上点的性质，解题关键是能够将面积的关系转化到线段之间的关系，从而求出所需要点的坐标．
13．（1），的值为；（2）或；；（3）存在，点坐标或
【分析】（1）将点A，点B代入一次函数解析式可得；
（2）分情况讨论，△ACP的面积△ABC的面积或求解，利用底一样，面积比等于高的比求解；
（3）分情况讨论D点位置，利用三角形全等求解．
解：（1）把点，代入，
得，解得，，
∴一次函数解析式为，的值为；
（2）过点作轴，垂足为点Q，
由（1）得，，点，
∴，，，
∵线段AB 绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处，
∴，∴，
∴，
若直线把分成面积之比为2：1的两部分，则有以下两种情况：
①当时，，
∴，∴点的纵坐标为，
将其代入一次函数得，点的坐标为，
设直线的解析式为，将点，点代入得，
，解得，
∴直线的解析式；
②当时，，
∴，
将其代入一次函数得，点的坐标为，
设直线的解析式为，将点，点代入得，
，解得
∴直线的解析式；
综上所述：直线的解析式或；
（3）存在，
∵是以为腰的等腰直角等腰三角形，
①当时，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，∴，，
∴点；
②当时，
，
，
，
在和中，
，
，
∴，，
∴点；
综上所述，点坐标或．
【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数待定系数法求解、函数图像上点的特点、直线的旋转和等腰直角三角形，第二问解题关键是利用底相等，面积比等于高的比求解，第三问是借助三角形全等的判定和性质进行求解．
14．（1）见分析；（2），；（3）或或或
【分析】（1）由“AAS”即可证明；
（2）设直线的解析式为，待定系数法即可求得解析式，设，即可得的坐标，代入解析式即可求得，进而求得的坐标；
（3）设，分别表示出的长，分三种情况讨论，根据平面直角坐标系中的点的坐标，利用勾股定理求得两点距离，分别求解即可．
解：（1），
，
，
，
在与中，
，
（AAS），
（2）设直线的解析式为，
将代入，得：
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
设，
，
，
点在直线上，将代入，
即，
解得，
，
（3）存在，理由如下：
设，
，
，
①当时，
，
解得，
②当时，
，
解得：，
③当时，
，
解得或（与C点重合，舍），
综上所述，的坐标为： 或或或
【点拨】本题考查了一次函数的综合运用，一次函数的性质，等腰三角相对性状，三角形全等的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键．
15．（1）；（2）C(－6，4)，D(－2，6)；（3）N(，)
【分析】（1）根据题意，求得的坐标，进而可知，运用勾股定理即可求得；
（2）过点D作DH⊥x轴于点H，过点C作CG⊥y轴一点G，由已知可得∠CBG=∠BAO，进而证明△BCG≌△ABO，即可求得C的坐标，同理可得D的坐标；
（3）如图，过点E分别作EP⊥BE，交BF于点P，EQ⊥x轴，交x轴有的Q，过点P作PR⊥EQ于点R，取AH得中点M，同(2)方法可证：△BEQ≌△EPR，可得点坐标，设直线CD的解析式为y=kx+b，根据待定系数法求解析式，同理可得直线BP的解析式为y=-7x-28，联立CD，BP的解析式即可求得点的坐标．
解：(1)在y＝x＋2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－4，
∴A(0，2)，B(－4，0)．∴OA＝2，OB＝4
∴AB＝；
故答案为：；
(2)过点D作DH⊥x轴于点H，过点C作CG⊥y轴一点G.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°=∠AOB=∠BGC，
∴∠CBG+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBG=∠BAO，
在△ABO和△BCG中，
∴△BCG≌△ABO，
∴CG＝OB＝4，BG＝OA＝2.
∴OG＝6.
∴C(－6，4)，
同理可得D(－2，6)；
(3)如图，过点E分别作EP⊥BE，交BF于点P，EQ⊥x轴，交x轴有的Q，过点P作PR⊥EQ于点R，取AH得中点M，
由三角形的中位线的性质可得：，
∴EM=1，E(-1，4)，
∴BQ=3，
同(2)方法可证：△BEQ≌△EPR，
∴PR=EQ=4，RE=BQ=3，
∴P(-5，7)，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
将C(－6，4)，D(－2，6)代入得，，
解得，，
∴设直线CD的解析式为，
同理可得直线BP的解析式为y=-7x-28，
联立CD，BP的解析式，
解得，，
∴N(，)
【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，求一次函数交点等，根据题意作出辅助线是解题的关键．
16．（1）；（2）
【分析】（1）根据待定系数法求得直线AB的解析式，进而即可求得A、B的坐标，根据三角形面积公式求得即可；
（2）过点C作CD⊥y轴于D，通过证得△AOB≌△BDC，即可求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l的解析式．
解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），
∴3＝2+b，
解得b＝1，
∴y＝2x+1，
令y＝0，则x＝；令x＝0，则y＝1，
∴A ，B（0，1），
∴OA＝，OB＝1
∴△AOB的面积＝＝；
（2）过点C作CD⊥y轴于D，如图，
∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，
∴OD＝OB﹣BD＝ ，
∴C ，
设直线l的解析式为y＝mx+n，
把A ，C 代入得，
解得，
∴直线l的解析式为．
【点拨】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，图形的面积等知识，本题的关键是过点C作y轴的垂线，得到两个全等的三角形．
17．（1）①；②；③或；（2）①；②；③；④（答案不唯一）
【分析】（1）①根据点的平移规律，直接求解即可；②根据点关于直线y=x的变化规律，直接求解即可；③分两种情况：当点绕点顺时针旋转时，当点绕点逆时针旋转时，分别求解即可；
（2）①根据一次函数图像的平移规律，直接求解即可；②先求出A点关于直线OC的对称点A′（0，-2），B点关于直线OC的对称点B′（1，0），再根据待定系数法求解即可；③分别求出点B绕点A顺时针旋转90°后，B′（-1，-2），点B绕点A逆时针旋转90°后，B′′（-3，2），再根据待定系数法求解即可；④先求出将直线绕点逆时针旋转，点A的对应点A′（3，0），再根据待定系数法求解即可．
解：（1）①点P向左平移5个单位，则纵坐标不变，横坐标减5，即3-5=-2，
∴平移后点P的坐标为：；
②点P关于直线y=x的对称点坐标为：；
③当点绕点顺时针旋转时，过点P作PN⊥x轴，过P′作P′M⊥x轴，连接OP，OP′，如图：
则∠POP′=∠PON+∠MOP′=90°，
又∵∠PON+∠OPN=90°，
∴∠OPN=∠MOP′，
又∵∠ONP=∠P′MO=90°，OP=OP′，
∴∆ONP≅∆ P′MO，
∴ON=P′M=3，PN=OM=4，
∴P′（4，-3）．
同理：当点绕点逆时针旋转时，P′（-4，3）．
故答案是：①；②；③或；
（2）①直线向右平移个单位，平移后的直线表达式为：，
即：，
②对于直线，当y=0时，x=-2；当x=0时，y=1，
∴A（-2，0），B（0，1），
∵A点关于直线OC的对称点A′（0，-2），B点关于直线OC的对称点B′（1，0），
∴根据待定系数法，可得，将直线沿直线翻折，翻折后的直线表达式为：；
③由第（1）③可知：点B绕点A顺时针旋转90°后，B′（-1，-2），
根据待定系数法，得，将直线绕点顺时针旋转，旋转后的直线表达式为：，
同理：点B绕点A逆时针旋转90°后，B′′（-3，2），
根据待定系数法，得，将直线绕点逆时针旋转，旋转后的直线表达式为：，
综上所述：将直线绕点旋转，旋转后的直线表达式为：；
④将直线绕点逆时针旋转，则点A的对应点A′（3，0），
根据待定系数法，得，将直线绕点C逆时针旋转，旋转后的直线表达式为：．
故答案是：①；②；③；④．
【点拨】本题主要考查点的平移，旋转以及轴对称，一次函数图像的平移，旋转以及轴对称规律，熟练掌握三种图形变换的性质以及一次函数的待定系数法，是解题的关键．
18．(1)见分析(2)(3)点A'的坐标是（-1，3）或（2-，3）或（1，）或（2+3，-3）．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质得BO=2，∠ABC=60°，可得直线AO垂直平分BC，则AB=AC，即可得出结论；
（2）过点E作x轴垂线EH，过点A作y轴垂线，两条垂线相交于点F，因为线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，所以易证得△ADO≌△AEF（AAS）．可得AO=AF=2，则点E的运动轨迹是直线FE，当点E与H重合时，CE的值最小，求出CH即可；
（3）分四种情况画出图形，根据等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质即可求解．
（1）证明：在Rt△ABO中，∠BAO=30°，AB=4
∴BO=2，∠ABC=60°，
∵点C的坐标为（2，0），
∴CO=2，
∴BO=CO，
∴直线AO垂直平分BC，
∴AB=AC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：如图2，过点E作x轴垂线EH，过点A作y轴垂线，两条垂线相交于点F，
∴∠AOD=∠AFE=90°，∠DAE=90°，∠OAF=90°，
∴∠OAD=∠FAE，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴AE=AD，
∴△ADO≌△AEF（AAS）．
∴AO=AF．
在Rt△ABO中，∠BAO=30°，AB=4，
∴AO＝，
∴AF＝．
∴点E的运动轨迹是直线FE，
∴当点E与H重合时，CE的值最小，CE的最小值=CH=−2；
（3）解：存在，
∵△ABO沿直线AC平移，记平移后的△ABO为△A'B'O'，
∴，，，
∴=OA=，
①如图， = =，过点O′作H⊥C于H，延长交x轴于D，
∴A′H=CH=C，
∵，
∴∠=∠OAC=30°，
∴H=3，
∴C=6，
∴CD=3，D=，
∴OD=CD=OC=3-2=1，
∴点A'的坐标是（-1，）；
②=C，如图，交x轴于D，
∵AC=AB=4，
∴C==，
∵OA，
∴∠C=∠OAC=30°，
∴CD=，A′D=3，
∴OD=OC-CD=2-，
∴点A'的坐标是（2-，3）；
③C= C，如图，交x轴于D，
∵OA，OA⊥BC，
∴⊥BC，
∴D=D==，
∵∠C=∠OAC=30°，
∴CD=1，
∴OD=OC-CD=2-1=1，
∴点A'的坐标是（1，）；
④C=，如图，过点作D⊥y轴于D，
∴C= =2，
∴A=4+2，
∵∠OAC=30°，
∴D=2+，AD=2+3，
∴OD=AD-OA=2+3-2=3，
∴点的坐标是（2+3，-3）；
综上，存在，点的坐标是（-1，3）或（2-，3）或（1，）或（2+3，-3）．
【点拨】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转、平移的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
专题4.5.4 一次函数中的平移和旋转问题专题（专项练习）
1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1) 求这个一次函数的解析式；
(2) 当函数的值大于一次函数的值时，直接写出x的取值范围．
2．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点（2，2）．
(1) 求这个一次函数的表达式；
(2) 当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
3．如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与全等，试确定点Q的横坐标．
4．如图，直线与直线交于轴上一点，直线与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）将直线向左平移个单位后刚好经过点，求的值．
5． 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于.
（1）求证：.
（2）已知直线与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式.
6．如图,直线l 在平面直角坐标系中,直线l与y轴交于点A,点B(-3,3)也在直线1上,将点B先向右平移1个单位长度、再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l上．
(1) 求点C的坐标和直线l的解析式
(2) 若将点C先向左平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点D,请你判断点D是否在直线l上;
(3) 已知直线l:y=x+b经过点B,与y轴交于点E,求△ABE的面积．
7．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒2个单位的速度沿x轴向左移动．
(1) 求A，B两点的坐标；
(2) 求的面积S与点M的移动时间t之间的函数关系式；
(3) 求当t为何值时，并求此时M点的坐标．
8．如图，一次函数y＝﹣kx+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，且∠BAO＝30°．
(1) 如图1，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到，则点的坐标是多少？
(2) 如图2，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到，则点的坐标是多少？
(3) 如图3，若存在x轴上一点C，使△ACB为等腰三角形，直接写出点C坐标．
9．一次函数y＝x＋2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC．
(1)求C点的坐标；
(2)在第二象限内有一点M（m，2），使，求M点的坐标；
(3)将△ABC沿着直线AB翻折，点C落在点E处；再将△ABE绕点E顺时针方向旋转15°，点B落在点F处，过点F作FG⊥y轴于G．求△EFG的面积．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式．
11． 如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D，过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）
[模型应用]若一次函数y＝kx+4（h≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
(1)如图2，当k＝﹣1时，若B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求A到直线l的距离AD的长．
(2)如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标．
(3)当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，当Q在第一象限落在直线y＝0.5x+1上时，在x轴上求一点H，使HQ+HB的值最小，请求出H的坐标．
12． 如图，一次函数y＝k1x﹣4的图象与反比例函数y（x＞0）的图象相交于A
（3，﹣6），并与x轴交于点B，点D是线段AB上一点，连结OD、OA，且S△BOD：S△BOA＝1：3．
(1) 求一次函数与反比例函数解析式；
(2) 求点D的坐标；
(3) 若将△BOD绕点O逆时针旋转，得到△B'OD'，其中点D'落在x轴的正半轴上，判断点B'是否落在反比例函数y（x＞0）图象上，并说明理由．
13．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于、两点．
（1）求一次函数解析式和m的值；
（2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式；
（3）在第二象限是否存在点D，使是以BC为腰的等腰直角等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A(6，0)、B(0，2)两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：BOC≌CED；
（2）求经过 A、B两点的一次函数表达式及点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．（不用写过程）
15．如图1，已知一次函数y＝x＋2的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
（1）边AB的长为 ；
（2）求点C，D的坐标；
（3）作直线BD，将∠BAD绕点B逆时针旋转，两边分别交正方形的边AD，DC于点M，N（如图2），若M恰为AD的中点，请求出点N的坐标．
16．如图，一次函数y＝2x+b经过M（1，3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求△AOB的面积．
（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．
17．【问题背景】
平移、旋转和翻折是初中阶段三大基本几何变换．平移、旋转或翻折后的图形与原图形全等，所以我们又把这些几何变换称之保形变换．我市某校数学思维社团成员在学习了平面直角坐标系及一次函数以后，尝试在平面直角坐标系中研究几何变换．
【初步研究】
（1）本着简单到复杂的原则，他们先研究了点的变换：已知平面内一点．
①将点向左平移个单位，平移后点的坐标为_ ；
②点关于直线的对称点的坐标为_ ；
③将点绕点旋转，旋转后点的坐标为 ；
【深度探究】
（2）数学思维社团成员认为线的变换只要抓住一些关键点的变换就可以了．已知如图，直线分别与轴、轴交于点两点，直线交直线于点．
① 直线向右平移个单位，平移后的直线表达式为 ；
② 将直线沿直线翻折，翻折后的直线表达式为 ；
③ 将直线绕点旋转，旋转后的直线表达式为 ；
④ 将直线绕点逆时针旋转，添加一个你认为合适的角度_ ；并直接写出旋转后的直线表达式_ ．
18．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，△ABC的三个顶点均在坐标轴上，若∠BAO＝30°，AB＝4，点C的坐标为（2，0）．
(1) 如图1，求证：△ABC是等边三角形．
(2) 如图2，点D是x轴上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，在点D运动过程中，求线段CE的最小值．
(3) 如图3，若将△ABO沿直线AC平移，记平移后的△ABO为△，在平移过程中，是否存在这样的点，使得△为等腰三角形？若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．(1)(2)
【分析】（1）先根据直线平移时的值不变得出，再将点代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）由题意得，解不等式即可求得．
（1）解：一次函数的图象由直线平移得到，
，
将点代入，
得，解得，
一次函数的解析式为；
（2）由题意得，
解得，
的取值范围是．
【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，解不等式，熟知一次函数的性质是解题的关键．
2．(1)
(2)
【分析】（1）由平移可知平移前后平移后的直线平行，所以，然后将点（2，2）带入可得．
（2）当时，得到点是临界点，此时可得由函数图象知道函数值大于代表对应的函数图象在上方，可得到，分析图象另外的临界为两条直线平行即可得到答案．
解：（1）∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴，把（2，2）代入，解得
∴这个一次函数的表达式为．
（2）分析两个临界图象如图所示：
分析可得到答案为：．
【点拨】本题考查一次函数图象平行时的解析式求法，一次函数与不等式的联系，明确直线平行时，直线的k相等，在解决一次函数与不等式联系的题型时，运用数形结合的思想方法正确找到临界是解题的关键．
3．7或8
【分析】根据与全等分两种情况分类讨论即可解答．
解：在直线中，
当x=0时，y=0+4=4，即，
当y=0时，0=，
∴ ，即；
∵与全等，
∴分两种情况：
当时，，如图所示，
则，
∴点Q的横坐标为：，
当时，，如图所示，
则，
∵ ，
∴点Q的横坐标为：；
综上所述：点Q的横坐标为7或8．
【点拨】本题主要考查三角形全等的应用，一次函数的应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
4．（1），；（2）．
【分析】（1）把点A代入直线表达式计算即可求出n的值，得出A点坐标后代入表达式计算即可求出m的值；
（2）把代入即可得到点B的纵坐标，根据平移的性质向左平移后可得：，再把点B代入即可求出的值．
解：（1）解：把代入可得：
∴
把代入可得：
（2）把代入可得：
∴
又∵向左平移个单位后解析式为：
∴把代入可得：
【点拨】本题主要考查了一次函数图象与性质，一次函数图象平移，熟练运用代数计算求值是解题的关键．
5．（1）见分析；（2）y=x+4；
【分析】（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB=CA，再由AAS定理可知；
（2）过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC=45°可知△ABC为等腰Rt△，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线l2的函数解析式即可；
解：(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB=CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，
∴∠D=∠E=90°,∠ACD+∠BCE=180°−90°=90°，
又∵∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴ (AAS)；
(2)过点B作BC⊥AB于点B,交l2于点C,过C作CD⊥x轴于D,
∵∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰Rt△，
由(1)可知：△CBD≌△BAO，
∴BD=AO，CD=OB，
∵直线l1:y=x+4，
∴A(0,4),B(−3,0)，
∴BD=AO=4.CD=OB=3，
∴OD=4+3=7，
∴C(−7,3),
设l2的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴ ，
∴ ，
∴l2的解析式：y=x+4；
【点拨】此题考查一次函数综合题，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理.
6．（1）(-2,1)，y=-2x-3（2）点D在直线l上，理由见分析（3）13.5
【分析】(1)根据平移的性质得到点C的坐标;把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b(k≠0)来求该直线方程
(2)根据平移的性质得到点D的坐标,然后将其代入(1)中的函数解析式进行验证即可
(3)根据点B的坐标求得直线l的解析式,据此求得相关线段的长度,并利用三角形的面积公式进行解答
解：(1)∵B(-3,3),将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C,
∴-3+1=-2,3-2=1，
∴C的坐标为(-2,1)
设直线l的解析式为y=kx+c,
∵点B，C在直线l上
代入得
解得k=-2,c=-3,
∴直线l的解析式为y=-2x-3
(2)∵将点C先向左平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点D,C(-2,1),
∴-2-3=-5,1+6=7
∴D的坐标为(-5,7)
代入y=-2x-3时,左边=右边,
即点D在直线l上
(3)把B的坐标代入y=x+b得:3=-3+b,
解得:b=6
∴y=x+6,
∴E的坐标为(0,6),
∵直线y=-2x-3与y轴交于A点,
∴A的坐标为(0,-3)
∴AE=6+3=9;
∵B(-3,3)
∴△ABE的面积为×9×|-3|=13.5
【点拨】此题考查一次函数图象与几何变换，利用平移的性质是解题关键
7．(1)，(2)当时，；当时，(3)秒时，M点的坐标是或秒时，M点的坐标是．
【分析】（1）由直线l的函数解析式，令y＝0求A点坐标，x＝0求B点坐标；
（2）分情况求出OM，由面积公式S＝×OM×OC求出S与t之间的函数关系式；
（3）若△COM≌△AOB，则OM＝OB，分情况求出AM，可算出t值，并得到M点坐标．
（1）解：对于直线，
当时，；当时，，
则A，B两点的坐标分别为，；
（2）∵，，
∴，
当时，，
∴；
当t＝2时，无法组成三角形；
当时，，
∴；
（3）解：分为两种情况：
①当M在OA上时，
∵，
∴，
∴，
∴t＝2÷2＝1秒，；
②当M在AO的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
∴t＝6÷2＝3秒，；
即秒时，M点的坐标是或秒时，M点的坐标是．
【点拨】此题考查了一次函数的图象和性质，三角形面积计算，全等三角形的性质等，正确分类讨论是解题的关键．
8．(1)点（，2）(2)点的坐标为（+1，）(3)点C的坐标为：（﹣，0）或（2+，0）或（﹣2，0）或（，0）
【分析】（1）求出AB，OA，OB，然后根据旋转角是60°判断出A⊥x轴，再写出点的坐标即可；
（2）根据旋转的性质可知：＝OA＝，＝OB＝1，且⊥x轴，x轴，可得点到x轴距离为，到y轴距离为+1，即可得点B′的坐标；
（3）分三种情况：①当AB＝BC时，②当AB＝AC时，③当AC＝BC时，分别求解即可．
（1）解：∵一次函数y＝﹣kx+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令x＝0，则y＝1，
∴点B（0，1），
∴OB＝1，
∵∠BAO＝30°．
∴AB＝2，OA＝，
∵旋转角是60°，
∴∠OA＝30°+60°＝90°，A＝AB＝2，
∴A⊥x轴，
∴点（，2）；
（2）∵把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到，
∴＝OA＝，＝OB＝1，＝90°，∠＝∠AOB＝90°，
∴⊥x轴，x轴，
∴点到x轴距离为，到y轴距离为+1，
∴点的坐标为（+1，）；
（3）如图，
①当AB＝BC时，
∵OB⊥x轴，
∴OA＝OC，
∴点的坐标为：（﹣，0）；
②当AB＝AC时，
∵AB＝2，
点（2+，0），点（﹣2，0）；
③当AC＝BC时，
设点（x，0），
则﹣x＝，
解得：x＝，
∴点的坐标为：（，0）；
综上可得：点C的坐标为：（﹣，0）或（2+，0）或（﹣2，0）或（，0）．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形性质，旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，等腰三角形的性质．掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用是解题的关键．
9．(1)C（﹣2，4）(2)M（﹣4，2）(3)2
【分析】（1）先求得A、B的坐标，由勾股定理得到AB＝4，取AB的中点D，连接OD，则OD＝BD＝AB＝2，然后可得到∠BAO＝30°，则∠CAO＝90°，从而可得到点C的坐标；
（2）过点C作CMAB，则S△ABM＝S△ABC．设直线CM的解析式为yx+b，将点C的坐标代入求得b的值，然后将y＝2代入MC的解析式可求得点M的横坐标；
（3）先求出∠FHG＝30°，进而表示出FG，EG，用勾股定理建立方程求出a2，最后用面积公式即可得出结论．
（1）解：对于一次函数y＝x＋2，
当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
当y＝0时，x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴OB＝2，OA＝2，
∴AB＝，
如图1，取AB的中点D，连接OD，则OD＝BD＝AB＝2，
∴OB＝OD＝BD＝2，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝4，
∴∠CAO＝90°，
∴CA⊥AO，
∴C（﹣2，4）；
（2）过点C作CMAB，如图2，
∵CMAB，
∴，
设直线CM的解析式为y＝，将点C的坐标代入得：（﹣2）+b＝4，
解得b＝6，
∴直线CM的解析式为yx+6，
将y＝2代入MC的解析式得：2x+6，
解得：x＝﹣4，
∴M（﹣4，2）；
（3）∵∠ABC＝∠ABO＝60°，
∴点E落在y轴上，
如图3所示，取EG上取一点H使，EH＝FH，连接FH，
由（1）知A（﹣2，0），B（0，2），AB＝4，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝4，
由折叠知，BE＝BC＝4，
由旋转知，EF＝BE＝4，∠BEF＝15°，
∴∠EFH＝∠BEF＝15°，
∴∠FHG＝∠EFH＋∠BEF＝30°，
设FG＝a，
∴FH＝2a，
∴EH＝FH＝2a，
在Rt△FHG中，由勾股定理得，
HG＝，
∴EG＝EH+HG＝2aa＝（2）a，
在Rt△EFG中，根据勾股定理得，，
即a2+[（2）a]2＝16，
∴a2，
∴EG×FG（2）a×aa22．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，添加适当的辅助线是解答本题的关键．
10．
【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣3），求得OA＝，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的判定与性质证明△AOB≌△FEA得到AE＝OB＝3，EF＝OA＝，求得F（，－），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．
解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，
∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=，
∴A（，0），B（0，﹣3），
∴OA=，OB=3，
过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E．
则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°，
∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°，
∴∠OAB=∠AFE．
又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°，
∴∠AFB＝45°，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴ AB＝AF
∴△AOB≌△FEA（AAS）
∴AE＝OB，EF＝OA，
∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝，
∴F（，－）．
设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中，
∴－＝k－3，
∴k＝，
∴直线BC的函数表达式为．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质、等角对等边，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．(1)(2)M（，）(3)点H坐标为（，0）
【分析】（1）由题意可知△BEO≌△AOD（K型全等），OE=AD，B（0，4），OE=，AD=；
（2）k=-时，A（3，0），分三种情况讨论，①当BM⊥AB，且BM=AB时，过点M作MN⊥y轴，由“AAS”可证△BMN≌△ABO，所以MN=OB，BN=OA；
②当AB⊥AM，且AM=AB时，过点M作x轴垂线MK，可知△ABO≌△AMK（AAS），所以OB=AK，OA=MK；
③当AM⊥BM，且AM=BM时，过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，由“AAS”可证△BMG≌△AHM，所以BG=AH，GM=MH，GM=MH，则有4-MH=MH-3；
（3）由“AAS”可证△MAB≌△NBQ，可得BN=AM=4，，可求点Q坐标，作点Q关于x轴的对称点Q'（4，-3），连接BQ'，交x轴于H，此时HB+HQ最小，求出BQ'的解析式，联立方程组，可求解．
解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），
∴OE＝AD，
∵k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
令x=0，则y=4
∴B（0，4），OB＝4，
∵BE＝3，
∴由勾股定理得，OE＝=，
∴AD＝；
（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，
当y=0时，x=3
∴A（3，0），
①当BM⊥AB，且BM＝AB时，
如图3﹣1，过点M作MN⊥y轴，
∴∠MNB＝∠AOB＝∠ABM＝90°，
∵∠ABO+∠MBN＝90°＝∠ABO+∠BAO，
∴∠BAO＝∠MBN，
又∵AB＝BM，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
∴MN＝OB，BN＝OA，
∴MN＝4，BN＝3，
∴M（4，7）；
②如图3﹣2，当AB⊥AM，且AM＝AB时，
过点M作x轴垂线MK，
同理可证：△ABO≌△AMK（AAS），
∴OB＝AK，OA＝MK，
∴AK＝4，MK＝3，
∴M（7，3）；
③当AM⊥BM，且AM＝BM时，
如图3﹣3，过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，
同理可证：△BMG≌△AHM（AAS），
∴BG＝AH，GM＝MH，
∴GM＝MH，
∴4﹣MH＝MH﹣3，
∴MH＝，
∴M（，）；
综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；
（3）设AB的解析式为y＝kx+4，
∴点A（﹣，0），点B（0，4），
如图4，过点B作MN//AO，过点A作AM⊥MN于M，过点Q作QN⊥MN于N，
∵将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，
∴AB＝BQ，∠ABQ＝90°，
∴∠ABM+∠MAB＝90°，∠MBA+∠NBQ＝90°，
∴∠MAB＝∠NBQ，
在△MAB与△NBQ中，
，
∴△MAB≌△NBQ（AAS），
∴BN＝AM＝4，NQ＝MB＝|﹣|＝||，
∴点Q（4，||），
∴||＝0.5×4+1，
∴点Q（4，3），
作点Q关于x轴的对称点Q'（4，﹣3），连接BQ'，交x轴于H，
此时HB+HQ最小，
设直线BQ'解析式为y＝mx+n，
由题意可得：，
解得：，
∴直线BQ'解析式为y＝﹣x+4，
当y＝0时，﹣x+4＝0，
∴x＝，
∴点H坐标为（，0）．
【点拨】本题考查了待定系数法解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形解题是关键．
12．(1)一次函数的解析式为y=-x-4，反比例函数的解析式为y=-；(2)D（-3，-2）；
(3)点B'不在函数y=-的图象上，理由见分析
【分析】（1）将点A分别代入一次函数和反比例函数求解可得：
（2）过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，根据面积的比得到DM和AN的比，求出DM的长，即点D纵坐标，从而求解；
（3）根据旋转的性质得到S△ODB=S△ODB'，求出B'G的长，进而求得B'点的坐标，判断是否在反比例函数图象上．
（1）解：将点A（3，-6）代入y=k1x-4，
得-6=3k1-4，
解得k1=-，
将点A（3，-6）代y=（x＞0）得，-6=，
∴k2=-18，
∴一次函数的解析式为y=-x-4，反比例函数的解析式为y=-；
（2）解：如图，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，
∵，
∴，
∵点A的坐标为（3，-6），
∴AN=6，
∴DM=2，即点D的纵坐标为-2，
把y=-2代入y=-x-4中，
得x=-3，
∴点D（-3，-2）；
（3）解：令y=0，则0=-x-4，解得：x=-6，
∴点B（-6，0），
∵点D（-3，-2），
∴OM=3，DM=2，OB=6，
∴OD'=OD= ，OB'=OB=6，
如图，过点B'作B'G⊥x轴于点G，
∵S△ODB=S△OD′B′，
∴OB•DM=OD'•B'G，即6×2=×B'G，
∴B'G=，
在Rt△OB'G中，
∵OG=，
∴B'点坐标（，），
∵×（）≠-18，
∴点B'不在函数y=-的图象上．
【点拨】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求反比例和一次函数表达式、直角坐标系内三角形面积的计算、反比例函数上点的性质，解题关键是能够将面积的关系转化到线段之间的关系，从而求出所需要点的坐标．
13．（1），的值为；（2）或；；（3）存在，点坐标或
【分析】（1）将点A，点B代入一次函数解析式可得；
（2）分情况讨论，△ACP的面积△ABC的面积或求解，利用底一样，面积比等于高的比求解；
（3）分情况讨论D点位置，利用三角形全等求解．
解：（1）把点，代入，
得，解得，，
∴一次函数解析式为，的值为；
（2）过点作轴，垂足为点Q，
由（1）得，，点，
∴，，，
∵线段AB 绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处，
∴，∴，
∴，
若直线把分成面积之比为2：1的两部分，则有以下两种情况：
①当时，，
∴，∴点的纵坐标为，
将其代入一次函数得，点的坐标为，
设直线的解析式为，将点，点代入得，
，解得，
∴直线的解析式；
②当时，，
∴，
将其代入一次函数得，点的坐标为，
设直线的解析式为，将点，点代入得，
，解得
∴直线的解析式；
综上所述：直线的解析式或；
（3）存在，
∵是以为腰的等腰直角等腰三角形，
①当时，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，∴，，
∴点；
②当时，
，
，
，
在和中，
，
，
∴，，
∴点；
综上所述，点坐标或．
【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数待定系数法求解、函数图像上点的特点、直线的旋转和等腰直角三角形，第二问解题关键是利用底相等，面积比等于高的比求解，第三问是借助三角形全等的判定和性质进行求解．
14．（1）见分析；（2），；（3）或或或
【分析】（1）由“AAS”即可证明；
（2）设直线的解析式为，待定系数法即可求得解析式，设，即可得的坐标，代入解析式即可求得，进而求得的坐标；
（3）设，分别表示出的长，分三种情况讨论，根据平面直角坐标系中的点的坐标，利用勾股定理求得两点距离，分别求解即可．
解：（1），
，
，
，
在与中，
，
（AAS），
（2）设直线的解析式为，
将代入，得：
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
设，
，
，
点在直线上，将代入，
即，
解得，
，
（3）存在，理由如下：
设，
，
，
①当时，
，
解得，
②当时，
，
解得：，
③当时，
，
解得或（与C点重合，舍），
综上所述，的坐标为： 或或或
【点拨】本题考查了一次函数的综合运用，一次函数的性质，等腰三角相对性状，三角形全等的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键．
15．（1）；（2）C(－6，4)，D(－2，6)；（3）N(，)
【分析】（1）根据题意，求得的坐标，进而可知，运用勾股定理即可求得；
（2）过点D作DH⊥x轴于点H，过点C作CG⊥y轴一点G，由已知可得∠CBG=∠BAO，进而证明△BCG≌△ABO，即可求得C的坐标，同理可得D的坐标；
（3）如图，过点E分别作EP⊥BE，交BF于点P，EQ⊥x轴，交x轴有的Q，过点P作PR⊥EQ于点R，取AH得中点M，同(2)方法可证：△BEQ≌△EPR，可得点坐标，设直线CD的解析式为y=kx+b，根据待定系数法求解析式，同理可得直线BP的解析式为y=-7x-28，联立CD，BP的解析式即可求得点的坐标．
解：(1)在y＝x＋2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－4，
∴A(0，2)，B(－4，0)．∴OA＝2，OB＝4
∴AB＝；
故答案为：；
(2)过点D作DH⊥x轴于点H，过点C作CG⊥y轴一点G.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°=∠AOB=∠BGC，
∴∠CBG+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBG=∠BAO，
在△ABO和△BCG中，
∴△BCG≌△ABO，
∴CG＝OB＝4，BG＝OA＝2.
∴OG＝6.
∴C(－6，4)，
同理可得D(－2，6)；
(3)如图，过点E分别作EP⊥BE，交BF于点P，EQ⊥x轴，交x轴有的Q，过点P作PR⊥EQ于点R，取AH得中点M，
由三角形的中位线的性质可得：，
∴EM=1，E(-1，4)，
∴BQ=3，
同(2)方法可证：△BEQ≌△EPR，
∴PR=EQ=4，RE=BQ=3，
∴P(-5，7)，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
将C(－6，4)，D(－2，6)代入得，，
解得，，
∴设直线CD的解析式为，
同理可得直线BP的解析式为y=-7x-28，
联立CD，BP的解析式，
解得，，
∴N(，)
【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，求一次函数交点等，根据题意作出辅助线是解题的关键．
16．（1）；（2）
【分析】（1）根据待定系数法求得直线AB的解析式，进而即可求得A、B的坐标，根据三角形面积公式求得即可；
（2）过点C作CD⊥y轴于D，通过证得△AOB≌△BDC，即可求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l的解析式．
解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），
∴3＝2+b，
解得b＝1，
∴y＝2x+1，
令y＝0，则x＝；令x＝0，则y＝1，
∴A ，B（0，1），
∴OA＝，OB＝1
∴△AOB的面积＝＝；
（2）过点C作CD⊥y轴于D，如图，
∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，
∴OD＝OB﹣BD＝ ，
∴C ，
设直线l的解析式为y＝mx+n，
把A ，C 代入得，
解得，
∴直线l的解析式为．
【点拨】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，图形的面积等知识，本题的关键是过点C作y轴的垂线，得到两个全等的三角形．
17．（1）①；②；③或；（2）①；②；③；④（答案不唯一）
【分析】（1）①根据点的平移规律，直接求解即可；②根据点关于直线y=x的变化规律，直接求解即可；③分两种情况：当点绕点顺时针旋转时，当点绕点逆时针旋转时，分别求解即可；
（2）①根据一次函数图像的平移规律，直接求解即可；②先求出A点关于直线OC的对称点A′（0，-2），B点关于直线OC的对称点B′（1，0），再根据待定系数法求解即可；③分别求出点B绕点A顺时针旋转90°后，B′（-1，-2），点B绕点A逆时针旋转90°后，B′′（-3，2），再根据待定系数法求解即可；④先求出将直线绕点逆时针旋转，点A的对应点A′（3，0），再根据待定系数法求解即可．
解：（1）①点P向左平移5个单位，则纵坐标不变，横坐标减5，即3-5=-2，
∴平移后点P的坐标为：；
②点P关于直线y=x的对称点坐标为：；
③当点绕点顺时针旋转时，过点P作PN⊥x轴，过P′作P′M⊥x轴，连接OP，OP′，如图：
则∠POP′=∠PON+∠MOP′=90°，
又∵∠PON+∠OPN=90°，
∴∠OPN=∠MOP′，
又∵∠ONP=∠P′MO=90°，OP=OP′，
∴∆ONP≅∆ P′MO，
∴ON=P′M=3，PN=OM=4，
∴P′（4，-3）．
同理：当点绕点逆时针旋转时，P′（-4，3）．
故答案是：①；②；③或；
（2）①直线向右平移个单位，平移后的直线表达式为：，
即：，
②对于直线，当y=0时，x=-2；当x=0时，y=1，
∴A（-2，0），B（0，1），
∵A点关于直线OC的对称点A′（0，-2），B点关于直线OC的对称点B′（1，0），
∴根据待定系数法，可得，将直线沿直线翻折，翻折后的直线表达式为：；
③由第（1）③可知：点B绕点A顺时针旋转90°后，B′（-1，-2），
根据待定系数法，得，将直线绕点顺时针旋转，旋转后的直线表达式为：，
同理：点B绕点A逆时针旋转90°后，B′′（-3，2），
根据待定系数法，得，将直线绕点逆时针旋转，旋转后的直线表达式为：，
综上所述：将直线绕点旋转，旋转后的直线表达式为：；
④将直线绕点逆时针旋转，则点A的对应点A′（3，0），
根据待定系数法，得，将直线绕点C逆时针旋转，旋转后的直线表达式为：．
故答案是：①；②；③；④．
【点拨】本题主要考查点的平移，旋转以及轴对称，一次函数图像的平移，旋转以及轴对称规律，熟练掌握三种图形变换的性质以及一次函数的待定系数法，是解题的关键．
18．(1)见分析(2)(3)点A'的坐标是（-1，3）或（2-，3）或（1，）或（2+3，-3）．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质得BO=2，∠ABC=60°，可得直线AO垂直平分BC，则AB=AC，即可得出结论；
（2）过点E作x轴垂线EH，过点A作y轴垂线，两条垂线相交于点F，因为线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，所以易证得△ADO≌△AEF（AAS）．可得AO=AF=2，则点E的运动轨迹是直线FE，当点E与H重合时，CE的值最小，求出CH即可；
（3）分四种情况画出图形，根据等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质即可求解．
（1）证明：在Rt△ABO中，∠BAO=30°，AB=4
∴BO=2，∠ABC=60°，
∵点C的坐标为（2，0），
∴CO=2，
∴BO=CO，
∴直线AO垂直平分BC，
∴AB=AC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：如图2，过点E作x轴垂线EH，过点A作y轴垂线，两条垂线相交于点F，
∴∠AOD=∠AFE=90°，∠DAE=90°，∠OAF=90°，
∴∠OAD=∠FAE，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴AE=AD，
∴△ADO≌△AEF（AAS）．
∴AO=AF．
在Rt△ABO中，∠BAO=30°，AB=4，
∴AO＝，
∴AF＝．
∴点E的运动轨迹是直线FE，
∴当点E与H重合时，CE的值最小，CE的最小值=CH=−2；
（3）解：存在，
∵△ABO沿直线AC平移，记平移后的△ABO为△A'B'O'，
∴，，，
∴=OA=，
①如图， = =，过点O′作H⊥C于H，延长交x轴于D，
∴A′H=CH=C，
∵，
∴∠=∠OAC=30°，
∴H=3，
∴C=6，
∴CD=3，D=，
∴OD=CD=OC=3-2=1，
∴点A'的坐标是（-1，）；
②=C，如图，交x轴于D，
∵AC=AB=4，
∴C==，
∵OA，
∴∠C=∠OAC=30°，
∴CD=，A′D=3，
∴OD=OC-CD=2-，
∴点A'的坐标是（2-，3）；
③C= C，如图，交x轴于D，
∵OA，OA⊥BC，
∴⊥BC，
∴D=D==，
∵∠C=∠OAC=30°，
∴CD=1，
∴OD=OC-CD=2-1=1，
∴点A'的坐标是（1，）；
④C=，如图，过点作D⊥y轴于D，
∴C= =2，
∴A=4+2，
∵∠OAC=30°，
∴D=2+，AD=2+3，
∴OD=AD-OA=2+3-2=3，
∴点的坐标是（2+3，-3）；
综上，存在，点的坐标是（-1，3）或（2-，3）或（1，）或（2+3，-3）．
【点拨】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转、平移的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
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