2020大庆市中考数学试卷

这是一份2020大庆市中考数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020大庆市初中升学统一考试
数学试题
一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上)
1. 在－1，0，π，这四个数中，最大的数是(　　)
A. －1　　　B. 0　　　C. π　　　D.
2. 天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2 900 000 000 km，数字2 900 000 000用科学记数法表示为(　　)
A. 2.9×108 B. 2.9×109
C. 29×108 D. 0.29×1010
3. 若|x＋2|＋(y－3)2＝0，则x－y的值为(　　)
A. －5 B. 5 C. 1 D. －1
4. 函数y＝的自变量x的取值范围是(　　)
A. x≤0 B. x≠0
C. x≥0 D. x≥
5. 已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1·k2>0的是(　　)

第5题图
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
6. 将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为(　　)

第6题图
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0(单位：分)．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是(　　)
A. 平均分 B. 方差 C. 中位数 D. 极差
8. 底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1∶3 ，则圆锥与圆柱的体积的比为(　　)
A. 1∶1 B. 1∶3 C. 1∶6 D. 1∶9
9. 已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m＋n的值为(　　)
A. 10＋或5＋2
B. 15
C. 10＋
D. 15＋3
10. 如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合．设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y，则当y＝时，x的值为(　　)

第10题图

A. 或2＋ B. 或2－
C. 2± D. 或
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
11. 点P(2，3)关于y轴的对称点Q的坐标为________．
12. 分解因式：a3－4a＝________．
13. 一个周长为16 cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为________cm.
14. 将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD＝108°，则∠COB＝________．

第14题图
15. 两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为________．
16. 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为________．

第16题图
17. 已知关于x的一元二次方程x2－2x－a＝0，有下列结论：
①当a>－1时，方程有两个不相等的实根；
②当a>0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a>－1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a>3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.
以上4个结论中，正确的个数为________．
18. 如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为________．

第18题图
三、解答题(本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19. (本题4分)
计算：|－5|－(1－π)0＋()－1




20. (本题4分)
先化简，再求值：(x＋5)(x－1)＋(x－2)2，其中x＝.






21. (本题5分)
解方程：－1＝



22. (本题6分)
如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M.从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°.若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离(结果精确到1 m．参考数据：≈1.414，≈1.732).

第22题图




23. (本题7分)
为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数(次数为整数，且最高次数不超过150次)，整理后绘制成如下的频数直方图，图中的a，b满足关系式2a＝3b.后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120.请结合所给条件，回答下列问题．
( 1)求问题中的总体和样本容量；
(2)求a，b的值(请写出必要的计算过程)；
(3)如果一分钟跳绳次数在125次以上(不含125次)为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？ (注：该年级共1000名学生)

第23题图




24. (本题7分)
如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC相交于M，N两点，连接CM，AN.
(1)求证：四边形ANCM为平行四边形；
(2)若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．

第24题图











25. (本题7分)
期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．
(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
(2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时提高2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90% ，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求出购买两种笔记本总费用的最大值．






26. (本题8分)
如图，反比例函数y＝与一次函数y＝－x－(k＋1)的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO(O为坐标原点)与函数y＝的图象交于另一点B.过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6.
(1)求反比例函数y＝的表达式；
(2)求点A，C的坐标和△AOC的面积．

第26题图







27. (本题9分)
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N.
(1)求证：MN是⊙O的切线；
(2)求证：DN2＝BN·(BN＋AC)；
(3)若BC＝6，cosC＝，求DN的长．

第27题图










28. (本题9分)
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋12与x轴交于A，B两点(B在A的右侧)，且经过点C(－1，7)和点D(5，7)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F.连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1∶7.点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t.当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；
(3)在抛物线y＝ax2＋bx＋12上， 当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m－n的取值范围．(直接写出结果即可)

第28题图　 备用图
















2020年黑龙江大庆市中考数学解析
1. C
2. B　【解析】2900000000＝ 2.9×109.
3. A　【解析】由题意可得，x＋2＝0，y－3＝0, 解得x＝－2，y＝3，∴x－y＝－5.
4. C　【解析】由题意可得，2x≥0，解得x≥0.
5. B　【解析】根据正比例函数和反比例函数的性质，当k＞0 时，函数图象经过第一，三象限；当k＜0时，函数图象经过第二，四象限，∵k1k2＞0，∴k1和k2同号，函数图象同过第一，三象限或同过第二，四象限，∴正确的有①④，故选B.
6. B　【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，∴1与6相对，3与4相对，5与2相对，故选B.
7. C　【解析】∵中位数的特征是不受极端值的影响，∴七位评委，去掉最高分和去掉最低分，数据按从小到大排列最中间的数未发生变化，∴中位数没有改变．
8. D　【解析】设圆锥的底面积为S，圆锥的高为h，则圆柱的底面积为S，圆柱的高为3h，则V锥＝Sh，V柱＝3Sh，V锥∶V柱＝1∶9，故选D.
9. A　【解析】根据题意，两个直角三角形不相似， 当m为直角三角形斜边时，由勾股定理得，m＝5，则另一个直角三角形斜边长为8，由勾股定理得，n＝2，∴m＋n＝5＋2，当n为直角三角形斜边时，由勾股定理得，n＝10，则另一个直角三角形斜边长为4，由勾股定理得，m＝ ，∴m＋n＝10＋，故选A.
10. A　【解析】如解图①，当点A运动到MN中点时，E、F恰好是AB、AC边中点．∵MN＝EF＝2，∴AM＝1，∴EM＝FM＝1，△AEF，△ABC是等腰直角三角形．①当点A在MN中点以下时，如解图②，设AB，AC分别与EF交于点P、Q，则AM＝PM＝QM＝x，∴重合部分面积y＝＝x2，当y＝时，x2＝，解得x1＝，x2＝－(舍去)；∵x＝>1，∴此时点A不在MN中点以下，不符合题意；②当A在MN中点上方时，如解图③，AM＝x，设AB、AC与EH、GF的交点分别为P、Q，连接PQ，MN与PQ交点为D.由题意知，四边形PEFQ为矩形，∴PQ＝EF＝2.AD＝PD＝DQ＝1，∴DM＝x－1，∴重合部分面积y＝＋(x－1)×2，即y＝2x－1，令2x－1＝，解得x＝.③如解图④中，当点A在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC－2S△BQR－S△AWT，∴2.5＝×2×2－1－×2AN×AN，解得AN＝，∴AM＝2＋，综上所述，满足条件的AM的值为或2＋，故选：A.

图① 图② 图③ 图④
第10题解图
11. (－2，3)
12. a(a＋2)(a－2)　【解析】原式＝a(a2－4)＝a(a＋2)(a－2)．
13. 8　【解析】根据三角形中位线定理可知：三角形的中位线等于第三边的一半，根据题意可知：三角形的周长为16 cm，则由它的三条中位线构成的三角形周长为8 cm.
14. 72°　【解析】∵∠AOD＝108°， ∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠AOD－∠COD＝18°，∵∠AOB＝∠AOC＋∠COB＝90°，∴∠COB＝72°.
15. 　【解析】画树状图如解图所示，共有9种等可能的结果，其中两人所写整数的绝对值相等的结果有5种，∴P(两人所写整数的绝对值相等)＝.

第15题解图
16. 440　【解析】 第1个图形，正三角形上的黑色棋子共3×1＝3(个)；第2个图形，正方形上的黑色棋子共4×2＝8(个)，第3个图形，正五边形上的黑色棋子共5×3＝15(个)；第4个图形，正六形上的黑色棋子共6×4＝24(个)；…；第n个图形，正n边形上的黑色棋子共n(n＋2)个，∴第20个图需要黑色棋子22×20＝440(个)．
17. 3　【解析】如果方程有两个不相等的实数根，则(－2)2－4×(－a)＞0，解得a＞－1，故①正确；如果方程有两个异号的实数根，则x1x2＝－a＜0，解得a＞0，∴当a＞0时， 方程有两个异号的实数根，故②错误；由题意得，x1＋x2＝2，对称轴为直线x＝ ＝1，∴当a＞－1时，方程有两个不相等的实数根，两个实数根不可能都小于1，故③正确；把原方程变形为x2－2x＋1＝a＋1 ，∴(x－1)2＝a＋1，解得x＝1±，∵a＞3，∴＞2，∴当a＞3时， 方程有两个实数根，一个大于3，另一个小于3，故④正确，综上所述，正确的结论有3个．
18. π　【解析】∵△ABC是等边三角形，BD＝CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴∠BAD＝∠CBE，∵∠AFE＝∠BAD＋∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE＋∠ABE＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝120°.如解图，

第18题解图
∵在点D从点B运动到点C时，∠AFB的度数始终为120°，∴根据同弦所对的圆周角相等得，点F的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的圆弧上，当点D从点B运动到点C时，点F的运动轨迹为，∵∠AFB＝120°，∴∠AOB＝120°，∵AB＝3，∴OA＝＝，∴点F的运动路径的长度为＝π.
19. 解：原式＝5－1＋3＝7.
20. 解：原式＝x2－x＋5x－5＋x2－4x＋4
＝2x2－1，
当x＝时，原式＝2×()2－1＝5.
21. 解：方程两边同时乘以(x－1)得，2x－(x－1)＝4，
整理得，x＋1＝4，
解得x＝3，
经检验x＝3是原方程的根，
∴原方程的根为x＝3.
22. 解：根据题意得，∠AMB＝45°， ∠ACM＝45°， ∠CMD＝75°，
∴∠AMC＝60°，
如解图， 过A点作AN⊥CM于点N，

第22题解图
∵AB＝20，
∴BM＝20，
∴在Rt△ABM中，由勾股定理得，AM＝20，
∵在Rt△ANM中， ∠AMC＝60°， AM＝20，
∴AN＝AM·sin∠AMC＝10，
∵在Rt△ANC中， ∠ACM＝45°， AN＝10，
∴AC＝＝20≈20×1.732≈35，
答：两建筑物顶点A，C之间的距离为35米．
23. 解：(1)由题意可得，总体是1000名学生，样本容量是40；
(2)根据题意，由题图可知，分数小于100.5的有20人，
∴20＋a＋b＝40，
∵2a＝3b，
∴a＝b，
∴20＋b＋b ＝40，
解得b＝8，则a＝b＝12；
(3)根据题意得，8÷40＝20%，
1000×20%＝200(人)，
答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约200人．
24. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AMO＝∠CNO，
∵∠AOM＝CON，AO＝CO，
∴△AOM≌△CON(AAS)，
∴MO＝NO，
∴四边形ANCM是平行四边形；
(2)解：设DM＝x，
由(1)知四边形ANCM是平行四边形，
又∵MN⊥AC，
∴四边形ANCM是菱形，
∴AM＝CM，
∴CM＝AD－MD＝4－x，
∵在Rt△CDM中，CD＝AB＝2，
∴由勾股定理得(4－x)2＝x2＋4，解得x＝，
∴线段DM的长为.
25. 解：(1)设一本甲种笔记本的价格为x 元，一本乙种笔记本的价格为y元，
依据题意得，解得，
答：一本甲种笔记本的价格为10元，一本乙种笔记本的价格为5元；
(2)设再次购买甲种笔记本m个，则再次购买乙种笔记本(35－m)个，
此时甲种笔记本的价格为10＋2＝12(元)，乙种笔记本的价格为5×80%＝4(元)，
依据题意得，12m＋4(35－m)≤250×90%，
解得m≤10，
∵m为整数，
∴m的最大值为10，
∵两种笔记本总费用的关系式为12m＋4(35－m)＝8m＋140，是一次函数，
∴当m取得最大值时，两种笔记本总费用也取得最大值，
∴两种笔记本总费用最大值为8×10＋140＝220.
答：最多可以买10本甲种笔记本，两种笔记本总费用最大值为220元．
26. 解：(1)根据题意，设点A的坐标为(m，n)，且m＜0，n＞0，
则B点的坐标为(－m，－n)，
∵S△AEB＝·|AE|·|BE|＝6，
∴·(－2m)·2n＝6，
∴mn＝－3，
∵点A(m，n)在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝mn＝－3，
∴反比例函数的表达式为y＝－；
(2)如解图，设直线AC与x轴的交点为D，
由(1)得一次函数的解析式为y＝－x＋2.
令y＝0，得x＝2，
∴D(2，0)，
A，C两点的坐标满足，
解得，，
∴A(－1，3)，C(3，－1)，
∴S△AOC＝S△AOD＋S△COD＝·OD·|yA|＋·OD·|yC|＝·OD·(|yA|＋|yC|)＝ ×2×(3＋1)＝4.

第26题解图
27. (1)证明：如解图，连接OD，

第27题解图
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴AD平分BC，即BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DM⊥AC，∴OD⊥DM，
∵OD是⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线；
(2)证明：∵MN是⊙O的切线，
∴∠ODB＋∠BDN＝90°.
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD＋∠BDN＝90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠DAB＋∠OBD＝90°，
∴∠DAB＝∠BDN，
∵∠BND＝∠DNA，
∴△NDB∽△NAD，
∴DN∶AN＝BN∶DN，
即DN2＝BN·AN.
∵AN＝AB＋BN，AB＝AC，
∴AN＝BN＋AC，
∴DN2＝BN·(BN＋AC)；
(3)解：∵AB＝AC，∠DAC＝∠DAB，
∴∠C＝∠ABD＝∠ADM，
在Rt△ABD中，
cos∠ABD＝cosC＝＝，
∵BC＝6，
∴BD＝3，
∴AB＝5，
由勾股定理得AD＝4，
∴sin∠ABD＝，
在Rt△ADM中，
sin∠ADM＝sin∠ABD＝＝，
∴AM＝.
∵OD∥AM，
∴△NDO∽△NMA，
∴＝，即＝，
解得BN＝，
由(2)知DN2＝BN·(BN＋AC)，
即DN2＝×(＋5)，
∴DN＝.
28. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋12经过点C(－1，7)和点D(5，7)，
∴将点C，D的坐标代入抛物线的函数表达式得，，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋4x＋12；
(2)∵抛物线y＝－x2＋4x＋12与x轴交于A、B两点，
∴令y＝0，即－x2＋4x＋12＝0，
解得x1＝6，x2＝－2.
∵B在A右侧，
∴A(－2，0)，B(6，0)．
∵点C(－1，7)，点D(5，7)，
∴CD与x轴平行．
∵△CED与△CAD的高相同，
∴S△CED∶S△CAD＝ED∶AE＝1∶7，
设直线AD的解析式为y＝kx＋b，
将点A、D坐标代入解析式得，解得.
∴直线AD的解析式为y＝x＋2，
设E(x，x＋2)，由题意得，
ED＝(5－x)，AD＝7，
∴＝＝
解得x＝4，
∴E点坐标(4，6)，
设直线BE的解析式为y＝mx＋n，
依题意得，解得，
∴直线BE的解析式为y＝－3x＋18.
∵直线BE与抛物线交于点F，
∴－x2＋4x＋12＝－3x＋18，
解得x1＝1，x2＝6(舍去)．
∴当x＝1时，y＝－3×1＋18＝15，
∴点F的坐标为(1，15)，
如解图，过点P作PN⊥x轴于点N，交BF于点M，

第28题解图
∵点P的横坐标为t，
∴P(t，－t2＋4t＋12)，M(t，－3t＋18)，
∵S△PFB＝S△PFM＋S△PBM，
∴S△PFB＝[(t－1)＋(6－t)](－t2＋4t＋12＋3t－18)，
整理得S△PFB＝－(t－)2＋，
∴当t＝时，△PFB面积最大，最大值为；
(3)－4≤m－n≤－2.
【解法提示】当y＝12时，－x2＋4x＋12＝12，解得x1＝0，x2＝4，当y＝16时，－x2＋4x＋12＝16，解得x3＝2.∵m≤x≤n时，y的取值范围12≤y≤16，∴m－n≤0－2＝－2或m－n≥0－4＝－4，∴－4≤m－n≤－2.