2020哈尔滨市中考数学试卷

这是一份2020哈尔滨市中考数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
哈尔滨市2020年初中升学考试
数学试卷
第Ⅰ卷　选择题(共30分)(涂卡)
一、选择题(每小题3分，共计30分)
1. －8的倒数是(　　)　　　　　　　　　　　　　
A. － B. －8 C. 8 D.
2. 下列运算一定正确的是(　　)
A. a2＋a2＝a4 B. a2·a4＝a8
C. (a2)4＝a8 D. (a＋b)2＝a2＋b2
3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)

4. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是(　　)

5. 如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为(　　)

第5题图
A. 25° B. 20° C. 30° D. 35°
6. 将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为(　　)
A. y＝(x＋3)2＋5 B. y＝(x－3)2＋5
C. y＝(x＋5)＋3 D. y＝(x－5)2＋3

第7题图
7. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，则∠CAB′的度数为(　　)
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
8. 方程＝的解为(　　)
A. x＝－1 B. x＝5 C. x＝7 D. x＝9
9. 一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是(　　)
A. B. C. D.
10. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是(　　)

第10题图
A. ＝
B. ＝
C. ＝
D. ＝
第Ⅱ卷　非选择题(共90分)
二、填空题(每小题3分，共计30分)
11. 将数4790000用科学记数法表示为__________．
12. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是________．
13. 已知反比例函数y＝的图象经过点(－3, 4)，则k的值为__________．
14. 计算＋6的结果是________．
15. 把多项式m2n＋6mn＋9n分解因式的结果是________．
16. 抛物线y＝3(x－1)2＋8的顶点坐标为________．
17. 不等式组的解集是________．
18. 一个扇形的面积是13π cm2，半径是6 cm，则此扇形的圆心角是________度．
19. 在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为________．
20. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为________．

第20题图
三、解答题(其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分)
21. (本题7分)
先化简，再求代数式(1－)÷的值，其中x＝4cos30°－1.

22. (本题7分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出以AB为边的正方形ABEF，点E和点F均在小正方形的顶点上；
(2)在图中画出以CD为边的等腰三角形CDG，点G在小正方形的顶点上，且△CDG的周长为10＋.连接EG，请直接写出线段EG的长．

第22题图





23. (本题8分)
为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？(必选且只选一类)”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的30%.请你根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
(2)请通过计算补全条形统计图；
(3)若冬威中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．

第23题图








24. (本题8分)
已知：在△ABC中，AB＝AC，点D、点E在边BC上，BD＝CE，连接AD、AE.
(1)如图①，求证：AD＝AE；
(2)如图②，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°.

第24题图














25. (本题10分)
昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪．若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．
(1)求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
(2)昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？












26. (本题10分)
已知：⊙O是△ABC的外接圆，AD为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F.
(1)如图①，求证：∠BFC＝3∠CAD；
(2)如图②，过点D作DG∥BF交⊙O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BE＝OH；
(3)如图③，在(2)的条件下，连接CG，若DG＝DE，△AOF的面积为，求线段CG的长．

图① 图② 图③
第26题图




















27. (本题10分)
已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y＝x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9.
(1)如图①，求直线AB的解析式；
(2)如图②，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求的值；
(3)如图③，在(2)的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ－FG＝AF，求点P的坐标．

图① 图② 图③
第27题图





















2020年黑龙江哈尔滨市中考数学解析
一、选择题
1. A
2. C　【解析】逐项分析如下：
A
a2＋a2＝2a2≠a4
×
B
a2·a4＝a6≠a8
×
C
4＝a8
√
D
2＝a2＋2ab＋b2≠a2＋b2
×
3. B　【解析】逐项分析如下：
A
是轴对称图形，但不是中心对称图形
×
B
既是轴对称图形又是中心对称图形
√
C
是轴对称图形，但不是中心对称图形
×
D
是轴对称图形，但不是中心对称图形
×
4. C　【解析】从左边看第一层有两个小正方形，第二层右边有一个小正方形，故选C.
5. B　【解析】∵＝ ，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×35°＝70°，∵AB为圆O的切线，∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°－∠AOC＝90°－70°＝20°.
6. D　【解析】将抛物线y＝x2先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为y＝2＋3.
7. A　【解析】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB′关于直线AD对称，∴∠AB′D＝∠B＝50°，∴∠CAB′＝50°－40°＝10°.
8. D　【解析】方程可化简为2＝x＋52x－4＝x＋5x＝9　　 经检验x＝9是原方程的解.
9. A　【解析】∵一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为＝.
10. C　【解析】∵EF//BC，∴△AEF∽△ACD，∴＝＝，故选项A错误；∴＝＝，∵EG//AB，∴△CEG∽△CAB，∴＝＝，∴＝，故选项B错误；＝，故选项D错误；∵EF//BC，∴＝，∵EG//AB，∴＝，∴＝，故选项正确C.
二、填空题
11. 4.79×106　【解析】4790000＝4.79×106.
12. x≠7　【解析】由y＝有意义，得x－7≠0，解得x≠7.
13. ﹣12　【解析】依题意，将点代入y＝，得：4＝，解得k＝﹣12.
14. 3　【解析】原式＝2＋＝3.
15. n(m＋3)2　【解析】原式＝n(m2＋6m＋9)＝n(m＋3)2.
16. (1，8)　【解析】由二次函数性质可知，y＝a2＋k的顶点坐标为(h，k)∴y＝3(x－1)2＋8的顶点坐标为(1，8)．
17. x≤－3.　【解析】解不等式①得，x≤－3；解不等式②得，x＜－1；所以不等式组的解集为：x≤－3.
18. 130°　【解析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式得：13π＝，解得n＝130.
19. 7或5　【解析】如解图，∵在Rt△ABD中，∠ABC＝60°，AD＝6，∴tan ∠ABC＝，即：＝，∴BD＝6，当D在BC之间时，BC＝BD＋CD＝6＋1＝7；当D在BC延长线上时，BC＝BD－CD＝6－1＝5.

第19题解图
20. 2　【解析】设BE＝x，∵菱形ABCD，∴AB＝ AD＝CD＝2x，∵∠DAE＝∠DEA，∴DE＝AD＝2x，∴BD＝3x，∴OB＝OD＝x，∴OE＝x＝1，∴x＝2，∴AB＝4，BE＝2，∴OA＝＝，∴AE＝＝＝2.
三、解答题
21. 解：原式＝÷
＝·
＝，
∵x＝4cos 30°－1＝4×－1＝2－1，
∴原式＝
＝
＝.
22. 解：(1)如解图，正方形ABEF即为所求；

第22题解图
(2)如解图，△CDG即为所求，线段EG的长为.
【解法提示】由勾股定理，得EG＝＝.
23. 解：(1)15÷30%＝50(名)，
答：本次调查共抽取了50名学生；
(2)50﹣15﹣20﹣5＝10(名)，
补全条形统计图如解图所示：

第23题解图
(3)800×＝320(名)，
答：估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有320名．
24. (1)证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≅△ACE(SAS)，
∴AD＝AE；
(2)顶角为45°的等腰三角形有以下四个：△ADE、△BAE、△CAD、△BDF.
【解法提示】 证明：∵∠C＝45°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠ACB＝90°，∵∠DAE＝45°，AD＝AE，即：△ADE是等腰三角形，∠DAE＝45°；∴∠ADE＝∠AED＝＝67.5°，∴∠BAD＝∠CAE＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠BAE＝∠CAD＝22.5°＋45°＝67.5°，∴∠BAE＝∠BEA＝∠CAD＝∠CDA＝67.5°，∴CA＝CD、AB＝AE即：△BAE、△CAD是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BF//AC∴∠DBF＝∠C＝45°，∠F＝∠CAD＝67.5°，又∵∠BDF＝∠ADC＝67.5°，∴∠BDF＝∠F＝67.5°，∴BD＝BF、即：△BDF是等腰三角形，∠DBF＝45°.
25. 解：(1)设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，
由题意可得，
解得：，
答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；
(2)设昌云中学可以购买m个大地球仪，则购买小地球仪(30－m)个，
根据题意得52m＋28(30－m)≤960
解得m≤5
∴昌云中学最多可以购买5个大地球仪．
26. (1)证明：∵AD为⊙O的直径，AD⊥BC，

第26题解图①
∴＝，BE＝CE，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝2∠CAD，
∵∠BOD＝∠AOF，
∴∠AOF＝2∠CAD，
∵∠BFC＝∠AOF＋∠CAD，
∴∠BFC＝2∠CAD＋∠CAD＝3∠CAD；
(2)证明：如解图①，连接OG，
∵点H为GD的中点，OG＝OD，
∴DH＝GH，OH⊥DG，
∵AD⊥BC，
∴∠AEB＝∠OHD＝90°，
∵DG∥BF，
∴∠BOH＝∠OHD＝90°，
即∠DOH＋∠BOD＝90°，
∵∠BOD＋∠OBE＝90°，
∴∠OBE＝∠DOH，
又∵OB＝OD，
∴△OBE≌△DOH，
∴BE＝OH；

第26题解图②
(3)解：如解图②，连接AG，过A点作AM⊥CG于点M，过F点作FN⊥AD于点N，
由(2)可知DH＝OE，
∵DG＝2DH＝2OE，DG＝DE，
∴DE＝2OE，
设OE＝m，则DE＝2m，
∴OB＝OD＝OA＝3m，
∴AE＝4m，
在Rt△OBE中，BE＝＝2m，
∴CE＝BE＝2m，tan ∠BOE＝＝＝2，tan ∠EAC＝＝＝，
∵tan ∠AOF＝tan ∠BOE＝2，
∴＝2，
设ON＝a，则NF＝2a，
∴tan ∠EAC＝＝＝，
∴AN＝4a，
∵AN＋NO＝AO，
∴4a＋a＝3m，
∴a＝m，
∴FN＝2×m＝m，
∵S△AOF＝·OA·FN＝，
∴·3m·m＝，
∴m2＝1，
∴m＝±1，
∵m>0，
∴m＝1，
∴DH＝1，OD＝3，由(2)得BE＝CE＝OH＝2，AE＝4，
在Rt△AEC中AC＝2，
∵OD＝OA，DH＝HG，
∴AG＝2OH＝4，
∵∠ADG＋∠ACG＝180°，∠ACM＋∠ACG＝180°，
∴∠ADG＝∠ACM，
∴cos ∠ADG＝cos ∠ACM，
∴＝，
∴＝，
∴CM＝，
在Rt△ACM中，AM＝＝，
在Rt△AGM中，GM＝＝，
∴CG＝GM－CM＝.
27. 解：(1)∵CM⊥y轴，OM＝9，
∴当y＝9时，9＝x，解得：x＝12，
∴C(12，9)，
∵CA⊥x轴，则A(12，0)，
∴OB＝OA＝12，则B(0，－12)，
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得：，
∴y＝x－12；
(2)由题意可得，∠CMO＝∠OAC＝∠MOA＝90°，
∴四边形MOAC为矩形，
∴MC＝OA＝12，
∵NC＝OM，
∴NC＝9，则MN＝MC－NC＝3，
∴N(3，9)
设直线ON的解析式为y＝k1x，
将N(3，9)代入得：9＝3k1，解得：k1＝3，
∴y＝3x，
设P(a，3a)
∵PD⊥x轴交OC于点E，交x轴于点D，
∴E(a，a)，D(a，0)，
∴PE＝3a－a＝a，OD＝a，
∴＝＝；
(3)如解图，设直线GF交CA延长线于点R，交y轴于点S，过点F作FT⊥x轴于点T，

第27题解图
∵GF∥x轴，
∴∠OSR＝∠MOA＝90°，∠CAO＝∠R＝90°，∠BOA＝∠BSG＝90°，∠OAB＝∠AFR，
∴∠OSR＝∠R＝∠AOS＝∠BSG＝90°，
则四边形OSRA为矩形，
∴OS＝AR，SR＝OA＝12，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴∠FAR＝90°－∠AFR＝45°，
∴∠FAR＝∠AFR，
∴FR＝AR＝OS，
∵QF⊥OF，
∴∠OFQ＝90°，
∴∠OFS＋∠QFR＝90°，
∵∠SOF＋∠OFS＝90°，
∴∠SOF＝∠QFR，
∴△OFS≌△FQR，
∴SF＝QR，
∵∠SFB＝∠AFR＝45°，
∴∠SBF＝∠SFB，
∴BS＝SF＝QR，
∵∠SGB＝∠RGQ，
∴△BSG≌△QRG，
∴SG＝RG＝6，
设FR＝m，则AR＝m，
∴QR＝SF＝12－m，
∴AF＝＝m，
∵GQ－FG＝AF，
∴GQ＝×m＋6－m＝m＋6，
∵QG2＝GR2＋QR2，即(m＋6)2＝62＋(12－m)2，解得：m＝4，
∴FS＝8，AR＝4，
∵∠OAB＝∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR，
∴FT＝FR＝AR＝4，∠OTF＝90°，
∴四边形OSFT为矩形，
∴OT＝FS＝8，
∵∠DHE＝∠DPH，
∴tan ∠DHE＝tan ∠DPH，
∴＝，
由(2)可知，DE＝a，PD＝3a，
∴＝，解得：DH＝a，
∴tan ∠PHD＝＝＝2，
∵∠PHD＝∠FHT，
∴tan ∠FHT＝＝2，
∴HT＝2，
∵OT＝OD＋DH＋HT，
∴a＋a＋2＝8，
∴a＝，
∴P(，)．