2019年江苏南京市初中学业水平考试数学

这是一份2019年江苏南京市初中学业水平考试数学，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

南京市2019年初中学业水平考试
数学
一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1. 2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元．用科学记数法表示13000是(　　)
A. 0.13×105　　　　　　 B. 1.3×104
C. 13×103 D. 130×102
2. 计算(a2b)3的结果是(　　)
A. a2b3　　 B. a5b3　　 C. a6b　　 D. a6b3
3. 面积为4的正方形的边长是(　　)
A. 4的平方根 B. 4的算术平方根
C. 4开平方的结果 D. 4的立方根
4. 实数a、b、c满足a>b且ac
5. 下列整数中，与10－最接近的是(　　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6. 如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是(　　)

第6题图
A. ①④
B. ②③
C. ②④
D. ③④
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
7. －2的相反数是________；的倒数是________．
8. 计算－的结果是________．
9. 分解因式(a－b)2＋4ab的结果是________．
10. 已知2＋是关于x的方程x2－4x＋m＝0的一个根，则m＝________．
11. 结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式： ∵________，∴a∥b.

第11题图
12. 无盖圆柱形杯子的展开图如图所示，将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有________ cm.
　
第12题图
13. 为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查，整理样本数据，得到下表：
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
102
98
80
93
127
根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是________．
14. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝________°.

第14题图
15. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB，若AD＝2，BD＝3，则AC的长为________．

第15题图
16. 在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．
三、解答题(本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚)
17. (7分)计算 (x＋y)(x2－xy＋y2).





18. (7分)解方程 －1＝.







19. (7分)如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F，求证△ADF≌△CEF.

第19题图



20. (8分)下图是某市连续5天的天气情况．

第20题图
(1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；
(2)根据上图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．









21. (8分)某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
(1)甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
(2)乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是________．





22. (7分)如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD，求证PA＝PC.

第22题图







23. (8分)已知一次函数y1＝kx＋2(k为常数，k≠0)和y2＝x－3.
(1)当k＝－2时，若y1>y2，求x的取值范围；
(2)当x<1时，y1>y2，结合图象，直接写出k的取值范围．





24. (8分)如图，山顶有一塔AB，塔高33 m，计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF，从与E点相距80 m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50 m的D处测得A的仰角为45 °，求隧道EF的长度．
(参考数据：tan 22°≈0.40，tan 27°≈0.51.)

第24题图






25. (8分)某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50 m，宽40 m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2，扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

第25题图






26. (9分)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．

图① 图②
第26题图
1. 如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G
2. 以点D为圆心DG长为半径画弧，交AB于点E
3. 在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．　
(1)证明小明所作的四边形DEFG是菱形．
(2)小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化…请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．













27. (11分)
【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，用以下方式定义两点间距离：d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.
【数学理解】
(1)①已知点A(－2，1)，则d(O，A)＝________；
②函数y＝－2x＋4(0≤x≤2)的图象中图①所示，B是图象上一点，d(O，B)＝3，则点B的坐标是________．

第27题图
(2)函数y＝(x>0)的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d(O，C)＝3.
(3)函数y＝x2－5x＋7(x≥0)的图象如图③所示，D是图象上一点，求d(O，D)的最小值及对应的点D的坐标．
【问题解决】
(4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？(要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由)

第27题图④

2019年南京市初中学业水平考试试卷数学解析
一、选择题
1. B　【解析】13000用科学记数法可以表示成1.3×104，故选B.
2. D　【解析】(a2b)3＝a6b3，故选D.
3. B　【解析】面积为4的正方形的边长是4的算术平方根，故选B.
4. A　【解析】∵a>b，且ac 5. C　【解析】∵3.52＝12.25，∴>3.5，∴10－<6.5，∴10－最接近6，故选C.
6. D　【解析】由于题图中两个三角形可以直接看成是通过平移形成的，所以不可能通过一次旋转得到，因为这两个三角形组成的图形不是中心对称图形；如果经过一次旋转，再经过一次轴对称，前后两个图形不可能直接由平移形成；而两次旋转或两次轴对称形成的图形可以由一次平移形成，故选D.
二、填空题
7. 2；2　【解析】－2的相反数是2，的倒数是2.
8. 0　【解析】原式＝2－2＝0.
9. (a＋b)2　【解析】原式＝a2－2ab＋b2＋4ab＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
10. 1　【解析】设方程的另一个根为n，则有n＋2＋＝4，∴n＝2－，∴m＝(2＋)(2－)＝1.
11. ∠1＋∠3＝180°　【解析】图中用数字标识的同旁内角是∠1和∠3，∴同旁内角互补，应为∠1＋∠3＝180°.
12. 5　【解析】由展开图可知：圆柱底面圆的直径为9 cm，高为12 cm，由勾股定理可得圆柱内木筷的长度为＝15(cm)，∴露在杯子外面的部分至少为：20－15＝5 cm.
13. 7200　【解析】12000×＝7200(名).
14. 219　【解析】如解图，连接OA，OB，则∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝102°，∴∠AOB＝78°，∴弧AB的度数为78°，而∠DAB与∠C所对(或夹)弧加上弧AB为整个圆，∴∠DAP＋∠C＝(360°＋78°)＝219°.

第14题解图
15. 　【解析】∵MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠B＝∠DCB，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD×AB＝2×(2＋3)，∴AC＝，AC＝－.(舍去)
16. 4
第16题解图
三、解答题
17. 解：原式＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3
＝x3＋y3.
18.解：方程两边乘(x－1)(x＋1)，得x(x＋1)－(x－1)(x＋1)＝3.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，(x－1)(x＋1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝2.
19.证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴BD＝CE.
∵D是AB的中点，
∴AD＝DB.
∴AD＝CE.
∵CE∥AB，
∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E.
∴△ADF≌△CEF(ASA).
20. 解：(1)这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是
x高＝＝24，x低＝＝18.
方差分别是
s＝×[(23－24)2＋(25－24)2＋(23－24)2＋(25－24)2＋(24－24)2]＝0.8，
s＝×[(21－18)2＋(22－18)2＋(15－18)2＋(15－18)2＋(17－18)2]＝8.8.
由s＜s可知，这5天的日最低气温的波动较大．
(2)本题答案不唯一，下列解法供参考．例如，①25日、26日、27日、28日、29日的天气现象依次是大雨、中雨、晴、晴、多云，日温差依次是2℃、3℃、8℃、10℃、7℃，可以看出雨天的日温差较小．②25日、26日、27日的天气现象依次是大雨、中雨、晴，空气质量依次是良、优、优，说明下雨后空气质量改善了．
21.解：(1)甲同学随机选择两天，所有可能出现的结果共有6种，即(星期一，星期二)、(星期一，星期三)、(星期一，星期四)、(星期二，星期三)、(星期二，星期四)、(星期三，星期四)，这些结果出现的可能性相等．所有的结果中，满足有一天是星期二(记为事件A)的结果有3种，即(星期一，星期二)、(星期二，星期三)、(星期二，星期四)，∴P(A)＝＝.
(2).【解法提示】乙同学随机选择连续的两天，所有可能出现的结果共有3种，即(星期一，星期二)、(星期二、星期三)、(星期三、星期四)，这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二(记为事件B)的结果有2种，即(星期一，星期二)、(星期二、星期三)，∴P(B)＝.
22.证法1：证明：如解图①，连接AC.
∵AB＝CD，
∴＝.
∴＋＝＋，即＝.
∴∠C＝∠A.
∴PA＝PC.

图① 图②
第22题解图
证法2：证明：如解图②，过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N.连接OA、OC、PO.
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM＝AB，CN＝CD.
∵AB＝CD，
∴AM＝CN.
在Rt△OAM和Rt△OCN中，∠OMA＝∠ONC＝90°，
根据勾股定理，得OM＝，ON＝.
又OA＝OC，AM＝CN，∴OM＝ON.
又OP＝OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN(HL).
∴PM＝PN.∴PM＋AM＝PN＋CN，即PA＝PC.
23.解：(1)当k＝－2时，y1＝－2x＋2.
根据题意，得－2x＋2＞x－3.
解得x＜.
(2)－4≤k≤1且k≠0.
【解法提示】如解图，易得k1＝－4，k2＝1.如果当x＜1时，y1＞y2，那么k1≤k≤k2(k≠0)，则k的取值范围为－4≤k≤1(k≠0).

第23题解图
24.解：如解图，延长AB交CD于点H，则AH⊥CD.

第24题解图
在Rt△ACH中，∠ACH＝27°，
∵tan 27°＝，∴AH＝CH·tan 27°.
在Rt△BCH中，∠BCH＝22°，
∵tan 22°＝，∴BH＝CH·tan 22°.
∵AB＝AH－BH，∴CH·tan 27°－CH·tan 22°＝33.
∴CH≈300.∴AH＝CH·tan 27°≈153.
在Rt△ADH中，∠D＝45°，
∵tan 45°＝，∴HD＝AH＝153.
∴EF＝CD－CE－FD
＝CH＋HD－CE－FD
＝300＋153－80－50
＝323.
因此，隧道EF的长度约为323 m．
25.解：设扩充后广场的长为3x m，宽为2x m.
根据题意，得3x·2x·100＋30(3x·2x－50×40)＝642000.
解得x1＝30，x2＝－30(不合题意，舍去).
∴3x＝90，2x＝60.
答：扩充后广场的长和宽应分别为90 m和60 m.
26.(1)证明：∵DG＝DE，DE＝EF，∴DG＝EF.
又∵DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵DE＝EF，∴四边形DEFG是菱形．
(2)解：当0≤CD＜或＜CD≤3时，菱形的个数为0；当CD＝或＜CD≤时，菱形的个数为1；为＜CD≤时，菱形的个数为2.
【解法提示】当以D为圆心，DG长为半径作弧，与AB只有一个交点时，此时四边形DGFE为正方形，如解图①，过点C作CH⊥AB于H，交DG于点K，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，
设CD＝x，则AD＝3－x，
∵DE＝DG，∴(3－x)＝，解得x＝.
当点F与B重合时，如解图②，
设DG＝x，则CG＝x，∵CG＋BG＝4，∴x＋x＝4，解得CD＝x＝.
∴当 当以D为圆心，以DG长为半径画圆，当圆经过点A时，如解图③，设AD＝DE＝DG＝m，则CD＝m，由CD＋AD＝AC，m＋m＝3，解得CD＝m＝，∴当 综上所述，当
第26题解图
27.解：(1)①3；②(1，2).
(2)假设函数y＝(x＞0)的图象上存在点C(x，y)，使d(O，C)＝3.
根据题意，得|x－0|＋|－0|＝3.
∵x＞0，∴＞0，|x－0|＋|－0|＝x＋.
∴x＋＝3.
方程两边乘x，得x2＋4＝3x.
整理，得x2－3x＋4＝0.
∵a＝1，b＝－3，c＝4，b2－4ac＝(－3)2－4×1×4＝－7＜0，
∴方程x2－3x＋4＝0无实数根．
∴函数y＝(x＞0)的图象上不存在点C，使d(O，C)＝3.
(3)设D(x，y).
根据题意，得d(O，D)＝|x－0|＋|x2－5x＋7－0|＝|x|＋|x2－5x＋7|.

∵x2－5x＋7＝(x－)2＋＞0，又x≥0，
∴d(O，D)＝|x|＋|x2－5x＋7|＝x＋x2－5x＋7＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3.
∴当x＝2时，d(O，D)有最小值3，此时点D的坐标是(2，1).
(4)如解图，以M为原点，MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.将函数y＝－x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止．设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H.修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．
理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F.在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G.∵∠EFH＝45°，∴EH＝HF，d(O，E)＝OH＋EH＝OF.同理d(O，P)＝OG.∵OG≥OF，∴d(O，P)≥d(O，E).因此，上述方案修建的道路最短．

第27题解图