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重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试数学试题
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这是一份重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试数学试题，共17页。试卷主要包含了作图请一律用黑色签字笔完成；，下列命题正确的是，《九章算术》中有这样一个题等内容，欢迎下载使用。
重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试数学试题(A卷)
全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图(包括作辅助线)请一律用黑色签字笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－，)，对称轴为x＝－.
一、选择题：(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列各数中，比－1小的数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－2
2．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ）
3．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5 第3题图
4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD，若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（ ）
第4题图
A．40° B．50° C．80° D．100°
5．下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
6．估计(2＋6)×的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（ ）
A. B. C. D.
8．按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ）
A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝0 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝1
第8题图
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为（ ）
第9题图
A．16 B．20 C．32 D．40
10．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度(或坡比)i＝1∶2.4的山坡AB上发现有一颗古树CD，测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为(参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)（ ）
A．17.0米 B．21.9米
C．23.3米 D．33.3米
第10题图
11．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程－＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．6
12． 如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC′与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（ ）
A.
B.
C.
D. 第12题图
二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
13．计算：(π－)0＋()－1＝________．
14．今年五一节期间，重庆市旅游持续火爆，全市共接待境内外游客超过25600000人次，请把数25600000用科学记数法表示为________．
15．一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为________．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2.分别以点A，点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
第16题图
17．某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲、乙两人相距的路程y(米)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示(乙给甲手机的时间忽略不计)，则乙回到公司时，甲距公司的路程是________米．
第17题图
18．在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入，经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比是4∶3∶5.根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的，为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3∶4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是________．
三、解答题：(本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．计算：(1)(x＋y)2－y(2x＋y)；
(2)(a＋)÷.
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
(2)求证：FB＝FE.
第20题图
21．每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100)，下面给出了部分信息：
七年级10名学生竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82.
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94.
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
b
众数
c
100
方差
52
50.4
第21题图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中a、b、c的值；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由(一条理由即可)；
(3)该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥90)的学生人数是多少？
22．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．
定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．
例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．
(1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
(2)求出不大于100的“纯数”的个数．
23．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象，同时，我们也学习了绝对值的意义：|a|＝，
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx－3|＋b中，当x＝2时，y＝－4；当x＝0时，y＝－1.
(1)求这个函数的表达式；
(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；
(3)已知函数y＝x－3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx－3|＋b≤x－3的解集．
第23题图
24．某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍，物管公司每月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费．
(1)该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
(2)为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动，为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一，经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%.每户物管费将会减少a%，这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值．
25．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP.
(1)若DP＝2AP＝4，CP＝，CD＝5，求△ACD的面积；
(2)若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝CM＋2CE.
第25题图
四、解答题：(本大题1个小题，共8分)解答时必须给出必要的演算过程成推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.
(1)连接BD，点M是线段BD上一动点(点M不与端点B，D重合)，过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N(点N在对称轴的右侧)，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF＋FP＋PC的最小值；
(2)在(1)中，当MN取得最大值，HF＋FP＋PC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α(0°＜α＜360°)，得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G，在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q′＝∠Q′OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．
第26题图 备用图
2019重庆中考数学A卷解析
一、选择题
1．D 【解析】根据两个负数的比较大小，绝对值大的反而小可知，|－2|＝2，|－1|＝1，2＞1，∴－2＜－1.
2．A 【解析】主视图是从一个几何体的正面从上向下看所得到的视图，从这个几何体的正面看，可得到两排小正方形，其中上排左侧有1个，下排有2个．
3．C 【解析】∵△ABO∽△CDO，∴＝，即＝，解得AB＝4.
4．C 【解析】∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，∴∠BAC＝90°，∵∠C＝50°，∴∠ABD＝40°，∴∠AOD＝2∠ABD＝80°.
5．A 【解析】根据矩形的判定定理可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故A正确；四条边相等的四边形是菱形，不是矩形，故B错误；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不是矩形，故C错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故D错误．
6．C 【解析】(2＋6)×＝(2＋6)×＝2×＋6×＝2＋2，∵2＝，16＜24＜25，∴4<2<5，∴6<2＋2<7，∴所求结果在6和7之间．
7．A 【解析】∵甲的钱数是x，乙的钱数是y，甲把自己的给乙，则乙有钱50，∴x＋y＝50；乙把自己的给甲，则甲有钱50，∴x＋y＝50，则所得方程组为.
8．D 【解析】
选项
逐项分析
正误
A
∵m＝1，n＝1，∴m＝n，∴y＝2×1＋1＝3≠1，不合题意
B
∵m＝1，n＝0，∴m＞n，∴y＝2×0－1＝－1≠1，不合题意
C
∵m＝1，n＝2，∴m＜n，∴y＝2×1＋1＝3≠1，不合题意
D
∵m＝2，n＝1，∴m＞n，∴y＝2×1－1＝1，符合题意
√
9.B 【解析】在Rt△AOD中，AO＝2，OD＝4，∴AD＝＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°＝∠AOD，∵BD∥x轴，∴∠BDA＝∠DAO，∴△AOD∽△DAB，∴＝，即＝，解得BD＝10，∵点E是矩形ABCD两条对角线交点，∴DE＝BE＝5，∴点E的坐标为(5，4)，∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴k＝5×4＝20.
10．C 【解析】如解图，延长DC交EA的延长线于点F.根据题意可知DF⊥EF，∵斜坡AB的坡度i＝1∶2.4，∴设CF＝x，则AF＝2.4x，由勾股定理得AC＝＝2.6x＝26，解得x＝10，∴CF＝10，AF＝24，∵AE＝6，∴EF＝30，在Rt△DEF中，∠AED＝48°，∴DF＝FE·tanE＝30·tan48°≈33.3，∴CD＝DF－CF＝33.3－10＝23.3米．
第10题解图
11．B 【解析】解不等式
第12题解图
二、填空题
13．3 【解析】原式＝(π－)0＋()－1＝1＋2＝3.
14．2.56×107 【解析】将一个大于10的数用科学记数法表示，其形式为a×10n，其中1≤a＜10，n为原数整数位数减1.则25600000＝2.56×107.
15. 【解析】列表如下：
二
一
红
红
红
白
白
黄
红
红，红
红，红
红，红
红，白
红，白
红，黄
红
红，红
红，红
红，红
红，白
红，白
红，黄
红
红，红
红，红
红，红
红，白
红，白
红，黄
白
白，红
白，红
白，红
白，白
白，白
白，黄
白
白，红
白，红
白，红
白，白
白，白
白，黄
黄
黄，红
黄，红
黄，红
黄，白
黄，白
黄，黄
由列表可知，共有36种等可能情况，其中两次摸到的球都是红球的情况有9种，∴P(两次摸到的球都是红球)＝＝.
16．2－π 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AB＝2，∴AO＝1，BO＝，∴S四边形ABCD＝AC·BD＝2AO·BO＝2，S扇形＝2·＝，∴S阴影＝2－.
17．6000 【解析】设甲的速度为a米/分钟，乙的速度为b米/分钟，根据题意，甲出发后到达离公司4000米处时，乙开始追赶甲，再经过2分钟后，甲折返，经过2分钟后，两人相遇，此时甲一共出发12分钟，由此可知，甲经过12－2－2＝8分钟，到达4000米处，则甲的速度为4000÷8＝500米/分钟，则甲出发10分钟，共走出5000米路程，甲返回行走了2分钟，则返回走了500×2＝1000米，则乙用4分钟走完4000米，则乙的速度b＝4000÷4＝1000米/分钟，乙再返回公司需4分钟，则甲再走4分钟，距离公司的路程为4000＋4×500＝6000米．
18．3∶20 【解析】设三种药材种植总面积为40m，则根据题意，黄连种植总面积为19m，川香种植总面积为9m，贝母种植总面积为12m.设一开始种植的川香面积为4x，则种植的贝母面积为3x，种植的黄连面积为5x，共种植面积为12x，根据题意得(40m－12x)·＋5x＝19m，解得x＝2m，∴种植贝母面积与种植三种药材总面积的比为＝＝.
三、解答题(本大题7个小题，每小题10分，共70分)
19. 解：(1)原式＝x2＋2xy＋y2－2xy－y2
＝x2；
(2)原式＝(＋)÷
＝·
＝.
20. (1)解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C.
又∵D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠BAC.
∵∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°－2∠C＝180°－2×36°＝108°，
∴∠BAD＝54°；
(2)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE＝∠EBD.
∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠EBD.
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE.
21. 解：(1)a＝40，b＝94，c＝99；
(2)八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由如下(写出其中一条即可)：
①七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的中位数94高于七年级学生成绩的中位数93；
②七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的众数100高于七年级学生成绩的众数99.
(3)∵七年级10名学生中，成绩在C，D两组中有6人，八年级10名学生中，成绩在C，D两组中有7人，∴6＋7＝13(人)．
∴×720＝468(人)．
答：估计此次竞赛中，七、八年级成绩优秀的学生有468人．
22. 解：(1)2019不是“纯数”，2020年是“纯数”，理由如下：
∵在计算2019＋2020＋2021时，个位9＋0＋1＝10，产生了进位，
∴2019不是“纯数”．
∵在计算2020＋2021＋2022时，个位0＋1＋2＝3，十位2＋2＋2＝6，百位0＋0＋0＝0，千位2＋2＋2＝6，它们都没有产生进位，
∴2020是“纯数”；
(2)由题意，当“纯数”n为一位数时，n＋(n＋1)＋(n＋2)＝3n＋3＜10，
∴0≤n＜，故n＝0，1，2，即在一位数的自然数中，“纯数”有3个，
当“纯数”n为两位数时，设n＝10b＋a(其中1≤b≤9，0≤a≤9，且a，b为自然数)，
则n＋(n＋1)＋(n＋2)＝30b＋3a＋3.
此时a，b应满足的条件分别为：
3a＋3＜10，即a＝0，1，2；1≤b≤3，即b＝1，2，3.
∵3×3＝9(个)，
∴在两位数的自然数中，“纯数”有9个．
∵100＋101＋102＝303，不产生进位，∴100是“纯数”，
∴3＋9＋1＝13(个)
∴在不大于100的自然数中“纯数”的个数是13.
23. 解：(1)将x＝2，y＝－4和x＝0时，y＝－1分别代入y＝|kx－3|＋b中，
得，解得，
∴这个函数的表达式是y＝|x－3|－4；
(2)函数图象如解图：
函数的性质(写出其中一条即可)：
①当x＜2时，函数值y随x的增大而减小；当x＞2时，函数值y随x的增大而增大；
②当x＝2时，函数有最小值，最小值是－4.
(3)不等式的解集是1≤x≤4.
第23题解图
24. 解：(1)设该小区共有x套80平方米的住宅，则有2x套50平方米的住宅，
根据题意，得
2×80x＋2×50×2x＝90000.
解得x＝250.
答：该小区共有250套80平方米的住宅；
(2)6月份参加活动的50平方米这部分住户将减少的物管费是：
500×40%(1＋2a%)×50×2×a%＝20000(1＋2a%)×a%(元)，
6月份参加活动的80平方米这部分住户将减少的物管费是：
250×20%(1＋6a%)×80×2×a%＝8000(1＋6a%)×a%(元)，
6月份参加活动的这部分住户将减少的物管费是：
[500×40%(1＋2a%)×50×2＋250×20%(1＋6a%)×80×2]×a%(元)，
即[20000(1＋2a%)＋8000(1＋6a%)]×a%(元)．
根据题意，得
20000(1＋2a%)×a%＋8000(1＋6a%)×a%＝[20000(1＋2a%)＋8000(1＋6a%)]×a%
设a%＝m，
化简，得2m2－m＝0.
解得m1＝，m2＝0(舍)，
∴a＝50.
答：a的值是50.
25. (1)解：如解图①，过点C作CQ⊥AD，垂足为点Q，
第25题解图①
∴∠AQC＝∠DQC＝90°，
∵DP＝2AP＝4，∴AP＝2，AD＝6.
在Rt△PQC和Rt△DQC中，
由勾股定理，得
CP2－PQ2＝CQ2，CD2－DQ2＝CQ2，
∴CP2－PQ2＝CD2－DQ2，
∴()2－PQ2＝52－(4－PQ)2，
解得PQ＝1.
在Rt△PCQ中，由勾股定理，得CQ＝＝＝4.
∴S△ACD＝AD·CQ＝×6×4＝12；
(2)证明：如解图②，∵BH⊥AE，AF⊥BC，∴∠AHB＝∠AFC＝90°.
第25题解图②
∴∠ANH＋∠EAF＝∠AEF＋∠EAF，即∠ANH＝∠AEF.
∴∠ANB＝∠CEA，
在△ANB和△CEA中，
∴△ANB≌△CEA(SAS)．
∴∠BAN＝∠ACE，AB＝AC.
∵∠ACF＋∠CAF＝90°，∴∠BAN＋∠CAF＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝45°，AF＝BF＝CF.
∵AN＝CE，∴NF＝EF.
连接EN，如解图②，则△NFE为等腰直角三角形，
∴EF＝NE，∠ENF＝45°.
∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC＝45°，
∴∠ECM＝135°.
∵∠ANE＝180°－∠ENF＝135°，
∴∠ANE＝∠ECM.
∵AE⊥EM，∴∠AEM＝90°，
∴∠AEF＋∠EAN＝∠AEF＋∠MEC，即∠EAN＝∠MEC.
在△ANE和△ECM中，
∴△ANE≌△ECM(ASA)，∴NE＝CM.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝2FC.
∵FC＝FE＋CE＝NE＋CE＝CM＋CE.
∴AD＝2FC＝2(CM＋CE)＝CM＋2CE.
四、解答题(本题1个小题，共8分)
26. 解：(1)∵点A，B是抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点，点D是抛物线顶点，
∴点A(－1，0)、点B(3，0)、点D(1，－4)．
∴直线BD的表达式是y＝2x－6.
∵点N在抛物线y＝x2－2x－3上，可设点N的坐标为(t，t2－2t－3)．
则点F的坐标为(t，2t－6)．
∴FN＝(2t－6)－(t2－2t－3)＝－t2＋4t－3.
根据已知条件，可得△MNF∽△EBD.
∴＝.
∵EB＝2，DE＝4，∴DB＝2.
∴MN＝FN＝－(t－2)2＋.
∴当t＝2时，MN取得最大值，此时点F(2，－2)，HF＝2.
如解图①，以CP为斜边，以CP的长为直角边，作Rt△CRP，当点F，P，R在一条直线上时，PF＋CP取得最小值，此时，PF＋CP＝RF，过点F作FS⊥y轴，垂足为S，点F，P，R在一条直线上，△CPR∽△FPS.
第26题解图①
则＝＝3.
在Rt△SPF中，SF＝2，FP＝3SP，
由勾股定理，得SF2＋SP2＝FP2，
∴SP＝，FP＝，
∴CP＝CS－PS＝1－＝.
∴RP＝CP＝.
∴RF＝RP＋PF
＝＋
＝.
∵HF＝2.
∴HF＋PF＋CP的最小值为2＋＝；
(2)存在点G，使得LQ′＝LQ′OG，满足条件的点Q′的坐标为(－－)或(－，)或(，)或(，－)．
【解法提示】由(1)知CP＝，∵点C的坐标为(0，－3)，
∴点P的坐标为(0，－2－)．
∵点Q是由点P向上平移个单位得到，
∴点Q的坐标为(0，－2)，
∵A(－1，0)，∴AQ＝.
设点Q′的坐标为(m，n)．
由旋转性质可知OQ′＝OQ＝2，∴m2＋n2＝4，
如解图②，当点G在y轴的正半轴时，点Q′在第二象限，
当∠OQ′G＝∠Q′OG时，OG＝GQ′，
∵∠A′＋∠OQ′A′＝90°，∠Q′OG＋∠A′OG＝90°，
∴∠A′OG＝∠A′，∴OG＝GA′，
∴Q′G＝OG＝A′Q′＝.
∴点G的坐标为(0，)，
在Rt△Q′MG中，由勾股定理，得m2＋(n－)2＝()2，则
解得或，
此时点Q′的坐标为(－，)．
同理，将△AOQ旋转至解图③所示时，即点G在y轴的负半轴时，此时点Q′与点(－，)关于原点对称，
∴此时点Q′的坐标为(，－)．
当点G在x轴的负半轴上时，如解图④，Q′在第三象限，
则，解得或，
此时点Q′的坐标为(－，－)；
同理，当点G在x轴的正半轴时，如解图⑤，点Q′的坐标为(，)．
第26题解图
重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试数学试题(A卷)
全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图(包括作辅助线)请一律用黑色签字笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－，)，对称轴为x＝－.
一、选择题：(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列各数中，比－1小的数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－2
2．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ）
3．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5 第3题图
4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD，若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（ ）
第4题图
A．40° B．50° C．80° D．100°
5．下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
6．估计(2＋6)×的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（ ）
A. B. C. D.
8．按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ）
A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝0 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝1
第8题图
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为（ ）
第9题图
A．16 B．20 C．32 D．40
10．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度(或坡比)i＝1∶2.4的山坡AB上发现有一颗古树CD，测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为(参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)（ ）
A．17.0米 B．21.9米
C．23.3米 D．33.3米
第10题图
11．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程－＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．6
12． 如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC′与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（ ）
A.
B.
C.
D. 第12题图
二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
13．计算：(π－)0＋()－1＝________．
14．今年五一节期间，重庆市旅游持续火爆，全市共接待境内外游客超过25600000人次，请把数25600000用科学记数法表示为________．
15．一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为________．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2.分别以点A，点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
第16题图
17．某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲、乙两人相距的路程y(米)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示(乙给甲手机的时间忽略不计)，则乙回到公司时，甲距公司的路程是________米．
第17题图
18．在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入，经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比是4∶3∶5.根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的，为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3∶4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是________．
三、解答题：(本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．计算：(1)(x＋y)2－y(2x＋y)；
(2)(a＋)÷.
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
(2)求证：FB＝FE.
第20题图
21．每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100)，下面给出了部分信息：
七年级10名学生竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82.
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94.
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
b
众数
c
100
方差
52
50.4
第21题图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中a、b、c的值；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由(一条理由即可)；
(3)该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥90)的学生人数是多少？
22．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．
定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．
例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．
(1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
(2)求出不大于100的“纯数”的个数．
23．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象，同时，我们也学习了绝对值的意义：|a|＝，
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx－3|＋b中，当x＝2时，y＝－4；当x＝0时，y＝－1.
(1)求这个函数的表达式；
(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；
(3)已知函数y＝x－3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx－3|＋b≤x－3的解集．
第23题图
24．某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍，物管公司每月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费．
(1)该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
(2)为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动，为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一，经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%.每户物管费将会减少a%，这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值．
25．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP.
(1)若DP＝2AP＝4，CP＝，CD＝5，求△ACD的面积；
(2)若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝CM＋2CE.
第25题图
四、解答题：(本大题1个小题，共8分)解答时必须给出必要的演算过程成推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.
(1)连接BD，点M是线段BD上一动点(点M不与端点B，D重合)，过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N(点N在对称轴的右侧)，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF＋FP＋PC的最小值；
(2)在(1)中，当MN取得最大值，HF＋FP＋PC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α(0°＜α＜360°)，得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G，在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q′＝∠Q′OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．
第26题图 备用图
2019重庆中考数学A卷解析
一、选择题
1．D 【解析】根据两个负数的比较大小，绝对值大的反而小可知，|－2|＝2，|－1|＝1，2＞1，∴－2＜－1.
2．A 【解析】主视图是从一个几何体的正面从上向下看所得到的视图，从这个几何体的正面看，可得到两排小正方形，其中上排左侧有1个，下排有2个．
3．C 【解析】∵△ABO∽△CDO，∴＝，即＝，解得AB＝4.
4．C 【解析】∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，∴∠BAC＝90°，∵∠C＝50°，∴∠ABD＝40°，∴∠AOD＝2∠ABD＝80°.
5．A 【解析】根据矩形的判定定理可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故A正确；四条边相等的四边形是菱形，不是矩形，故B错误；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不是矩形，故C错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故D错误．
6．C 【解析】(2＋6)×＝(2＋6)×＝2×＋6×＝2＋2，∵2＝，16＜24＜25，∴4<2<5，∴6<2＋2<7，∴所求结果在6和7之间．
7．A 【解析】∵甲的钱数是x，乙的钱数是y，甲把自己的给乙，则乙有钱50，∴x＋y＝50；乙把自己的给甲，则甲有钱50，∴x＋y＝50，则所得方程组为.
8．D 【解析】
选项
逐项分析
正误
A
∵m＝1，n＝1，∴m＝n，∴y＝2×1＋1＝3≠1，不合题意
B
∵m＝1，n＝0，∴m＞n，∴y＝2×0－1＝－1≠1，不合题意
C
∵m＝1，n＝2，∴m＜n，∴y＝2×1＋1＝3≠1，不合题意
D
∵m＝2，n＝1，∴m＞n，∴y＝2×1－1＝1，符合题意
√
9.B 【解析】在Rt△AOD中，AO＝2，OD＝4，∴AD＝＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°＝∠AOD，∵BD∥x轴，∴∠BDA＝∠DAO，∴△AOD∽△DAB，∴＝，即＝，解得BD＝10，∵点E是矩形ABCD两条对角线交点，∴DE＝BE＝5，∴点E的坐标为(5，4)，∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴k＝5×4＝20.
10．C 【解析】如解图，延长DC交EA的延长线于点F.根据题意可知DF⊥EF，∵斜坡AB的坡度i＝1∶2.4，∴设CF＝x，则AF＝2.4x，由勾股定理得AC＝＝2.6x＝26，解得x＝10，∴CF＝10，AF＝24，∵AE＝6，∴EF＝30，在Rt△DEF中，∠AED＝48°，∴DF＝FE·tanE＝30·tan48°≈33.3，∴CD＝DF－CF＝33.3－10＝23.3米．
第10题解图
11．B 【解析】解不等式
第12题解图
二、填空题
13．3 【解析】原式＝(π－)0＋()－1＝1＋2＝3.
14．2.56×107 【解析】将一个大于10的数用科学记数法表示，其形式为a×10n，其中1≤a＜10，n为原数整数位数减1.则25600000＝2.56×107.
15. 【解析】列表如下：
二
一
红
红
红
白
白
黄
红
红，红
红，红
红，红
红，白
红，白
红，黄
红
红，红
红，红
红，红
红，白
红，白
红，黄
红
红，红
红，红
红，红
红，白
红，白
红，黄
白
白，红
白，红
白，红
白，白
白，白
白，黄
白
白，红
白，红
白，红
白，白
白，白
白，黄
黄
黄，红
黄，红
黄，红
黄，白
黄，白
黄，黄
由列表可知，共有36种等可能情况，其中两次摸到的球都是红球的情况有9种，∴P(两次摸到的球都是红球)＝＝.
16．2－π 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AB＝2，∴AO＝1，BO＝，∴S四边形ABCD＝AC·BD＝2AO·BO＝2，S扇形＝2·＝，∴S阴影＝2－.
17．6000 【解析】设甲的速度为a米/分钟，乙的速度为b米/分钟，根据题意，甲出发后到达离公司4000米处时，乙开始追赶甲，再经过2分钟后，甲折返，经过2分钟后，两人相遇，此时甲一共出发12分钟，由此可知，甲经过12－2－2＝8分钟，到达4000米处，则甲的速度为4000÷8＝500米/分钟，则甲出发10分钟，共走出5000米路程，甲返回行走了2分钟，则返回走了500×2＝1000米，则乙用4分钟走完4000米，则乙的速度b＝4000÷4＝1000米/分钟，乙再返回公司需4分钟，则甲再走4分钟，距离公司的路程为4000＋4×500＝6000米．
18．3∶20 【解析】设三种药材种植总面积为40m，则根据题意，黄连种植总面积为19m，川香种植总面积为9m，贝母种植总面积为12m.设一开始种植的川香面积为4x，则种植的贝母面积为3x，种植的黄连面积为5x，共种植面积为12x，根据题意得(40m－12x)·＋5x＝19m，解得x＝2m，∴种植贝母面积与种植三种药材总面积的比为＝＝.
三、解答题(本大题7个小题，每小题10分，共70分)
19. 解：(1)原式＝x2＋2xy＋y2－2xy－y2
＝x2；
(2)原式＝(＋)÷
＝·
＝.
20. (1)解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C.
又∵D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠BAC.
∵∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°－2∠C＝180°－2×36°＝108°，
∴∠BAD＝54°；
(2)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE＝∠EBD.
∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠EBD.
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE.
21. 解：(1)a＝40，b＝94，c＝99；
(2)八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由如下(写出其中一条即可)：
①七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的中位数94高于七年级学生成绩的中位数93；
②七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的众数100高于七年级学生成绩的众数99.
(3)∵七年级10名学生中，成绩在C，D两组中有6人，八年级10名学生中，成绩在C，D两组中有7人，∴6＋7＝13(人)．
∴×720＝468(人)．
答：估计此次竞赛中，七、八年级成绩优秀的学生有468人．
22. 解：(1)2019不是“纯数”，2020年是“纯数”，理由如下：
∵在计算2019＋2020＋2021时，个位9＋0＋1＝10，产生了进位，
∴2019不是“纯数”．
∵在计算2020＋2021＋2022时，个位0＋1＋2＝3，十位2＋2＋2＝6，百位0＋0＋0＝0，千位2＋2＋2＝6，它们都没有产生进位，
∴2020是“纯数”；
(2)由题意，当“纯数”n为一位数时，n＋(n＋1)＋(n＋2)＝3n＋3＜10，
∴0≤n＜，故n＝0，1，2，即在一位数的自然数中，“纯数”有3个，
当“纯数”n为两位数时，设n＝10b＋a(其中1≤b≤9，0≤a≤9，且a，b为自然数)，
则n＋(n＋1)＋(n＋2)＝30b＋3a＋3.
此时a，b应满足的条件分别为：
3a＋3＜10，即a＝0，1，2；1≤b≤3，即b＝1，2，3.
∵3×3＝9(个)，
∴在两位数的自然数中，“纯数”有9个．
∵100＋101＋102＝303，不产生进位，∴100是“纯数”，
∴3＋9＋1＝13(个)
∴在不大于100的自然数中“纯数”的个数是13.
23. 解：(1)将x＝2，y＝－4和x＝0时，y＝－1分别代入y＝|kx－3|＋b中，
得，解得，
∴这个函数的表达式是y＝|x－3|－4；
(2)函数图象如解图：
函数的性质(写出其中一条即可)：
①当x＜2时，函数值y随x的增大而减小；当x＞2时，函数值y随x的增大而增大；
②当x＝2时，函数有最小值，最小值是－4.
(3)不等式的解集是1≤x≤4.
第23题解图
24. 解：(1)设该小区共有x套80平方米的住宅，则有2x套50平方米的住宅，
根据题意，得
2×80x＋2×50×2x＝90000.
解得x＝250.
答：该小区共有250套80平方米的住宅；
(2)6月份参加活动的50平方米这部分住户将减少的物管费是：
500×40%(1＋2a%)×50×2×a%＝20000(1＋2a%)×a%(元)，
6月份参加活动的80平方米这部分住户将减少的物管费是：
250×20%(1＋6a%)×80×2×a%＝8000(1＋6a%)×a%(元)，
6月份参加活动的这部分住户将减少的物管费是：
[500×40%(1＋2a%)×50×2＋250×20%(1＋6a%)×80×2]×a%(元)，
即[20000(1＋2a%)＋8000(1＋6a%)]×a%(元)．
根据题意，得
20000(1＋2a%)×a%＋8000(1＋6a%)×a%＝[20000(1＋2a%)＋8000(1＋6a%)]×a%
设a%＝m，
化简，得2m2－m＝0.
解得m1＝，m2＝0(舍)，
∴a＝50.
答：a的值是50.
25. (1)解：如解图①，过点C作CQ⊥AD，垂足为点Q，
第25题解图①
∴∠AQC＝∠DQC＝90°，
∵DP＝2AP＝4，∴AP＝2，AD＝6.
在Rt△PQC和Rt△DQC中，
由勾股定理，得
CP2－PQ2＝CQ2，CD2－DQ2＝CQ2，
∴CP2－PQ2＝CD2－DQ2，
∴()2－PQ2＝52－(4－PQ)2，
解得PQ＝1.
在Rt△PCQ中，由勾股定理，得CQ＝＝＝4.
∴S△ACD＝AD·CQ＝×6×4＝12；
(2)证明：如解图②，∵BH⊥AE，AF⊥BC，∴∠AHB＝∠AFC＝90°.
第25题解图②
∴∠ANH＋∠EAF＝∠AEF＋∠EAF，即∠ANH＝∠AEF.
∴∠ANB＝∠CEA，
在△ANB和△CEA中，
∴△ANB≌△CEA(SAS)．
∴∠BAN＝∠ACE，AB＝AC.
∵∠ACF＋∠CAF＝90°，∴∠BAN＋∠CAF＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝45°，AF＝BF＝CF.
∵AN＝CE，∴NF＝EF.
连接EN，如解图②，则△NFE为等腰直角三角形，
∴EF＝NE，∠ENF＝45°.
∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC＝45°，
∴∠ECM＝135°.
∵∠ANE＝180°－∠ENF＝135°，
∴∠ANE＝∠ECM.
∵AE⊥EM，∴∠AEM＝90°，
∴∠AEF＋∠EAN＝∠AEF＋∠MEC，即∠EAN＝∠MEC.
在△ANE和△ECM中，
∴△ANE≌△ECM(ASA)，∴NE＝CM.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝2FC.
∵FC＝FE＋CE＝NE＋CE＝CM＋CE.
∴AD＝2FC＝2(CM＋CE)＝CM＋2CE.
四、解答题(本题1个小题，共8分)
26. 解：(1)∵点A，B是抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点，点D是抛物线顶点，
∴点A(－1，0)、点B(3，0)、点D(1，－4)．
∴直线BD的表达式是y＝2x－6.
∵点N在抛物线y＝x2－2x－3上，可设点N的坐标为(t，t2－2t－3)．
则点F的坐标为(t，2t－6)．
∴FN＝(2t－6)－(t2－2t－3)＝－t2＋4t－3.
根据已知条件，可得△MNF∽△EBD.
∴＝.
∵EB＝2，DE＝4，∴DB＝2.
∴MN＝FN＝－(t－2)2＋.
∴当t＝2时，MN取得最大值，此时点F(2，－2)，HF＝2.
如解图①，以CP为斜边，以CP的长为直角边，作Rt△CRP，当点F，P，R在一条直线上时，PF＋CP取得最小值，此时，PF＋CP＝RF，过点F作FS⊥y轴，垂足为S，点F，P，R在一条直线上，△CPR∽△FPS.
第26题解图①
则＝＝3.
在Rt△SPF中，SF＝2，FP＝3SP，
由勾股定理，得SF2＋SP2＝FP2，
∴SP＝，FP＝，
∴CP＝CS－PS＝1－＝.
∴RP＝CP＝.
∴RF＝RP＋PF
＝＋
＝.
∵HF＝2.
∴HF＋PF＋CP的最小值为2＋＝；
(2)存在点G，使得LQ′＝LQ′OG，满足条件的点Q′的坐标为(－－)或(－，)或(，)或(，－)．
【解法提示】由(1)知CP＝，∵点C的坐标为(0，－3)，
∴点P的坐标为(0，－2－)．
∵点Q是由点P向上平移个单位得到，
∴点Q的坐标为(0，－2)，
∵A(－1，0)，∴AQ＝.
设点Q′的坐标为(m，n)．
由旋转性质可知OQ′＝OQ＝2，∴m2＋n2＝4，
如解图②，当点G在y轴的正半轴时，点Q′在第二象限，
当∠OQ′G＝∠Q′OG时，OG＝GQ′，
∵∠A′＋∠OQ′A′＝90°，∠Q′OG＋∠A′OG＝90°，
∴∠A′OG＝∠A′，∴OG＝GA′，
∴Q′G＝OG＝A′Q′＝.
∴点G的坐标为(0，)，
在Rt△Q′MG中，由勾股定理，得m2＋(n－)2＝()2，则
解得或，
此时点Q′的坐标为(－，)．
同理，将△AOQ旋转至解图③所示时，即点G在y轴的负半轴时，此时点Q′与点(－，)关于原点对称，
∴此时点Q′的坐标为(，－)．
当点G在x轴的负半轴上时，如解图④，Q′在第三象限，
则，解得或，
此时点Q′的坐标为(－，－)；
同理，当点G在x轴的正半轴时，如解图⑤，点Q′的坐标为(，)．
第26题解图
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