第22章 二次函数 人教版九年级数学上册基础测试(含答案)

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第二十二章 二次函数（测基础）——2022-2023学年人教版数学九年级上册单元闯关双测卷
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.把二次函数化成的形式是( )
A. B.
C. D.
2.二次函数的图象的顶点坐标是( )
A.(1,3) B.(1,-3) C. D.
3.共享单车为市民出行带来了方便,某单车公司第一个月投放a辆单车,计划第三个月投放单车y辆,若第二个月的增长率是x,第三个月的增长率是第二个月的2倍,那么y与x的函数关系是( )
A. B.
C. D.
4.已知二次函数的图像与x轴的两个交点坐标分别为和，则一元二次方程的两个根是( )
A.， B.，
C.， D.，
5.二次函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.如图，现要在抛物线上找点，针对b的不同取值，所找点P的个数不同，三人的说法如下，
甲：若，则点P的个数为0；
乙：若，则点P的个数为1；
丙：若，则点P的个数为1.
下列判断正确的是( )

A.乙错，丙对 B.甲和乙都错 C.乙对，丙错 D.甲错，丙对
7.已知点，，均在抛物线上，下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
8.一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为( )
A.60元 B.65元 C.70元 D.75元
9.已知二次函数（其中x是自变量），当时，，则a的值为( )
A.1 B.2 C. D.
10.如图,在平面直角坐标系中,正方形四个顶点的坐标分别为.若抛物线向下平移m个单位长度()与正方形的边(包括四个顶点)有交点,则m的值不可能是( )

A.5 B.6 C.35 D.36
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.已知二次函数，在内函数的最小值为____________.
12.抛物线的顶点为，与y轴交于点，则该抛物线的解析式为___________.
13.若，是抛物线上两点，若，，则与的大小关系是________.
14.在直角坐标系中，点A的坐标为，若抛物线与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为_______________.
15.如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形.现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离是2.4 m.这时，离水面1.5 m处，涵洞的宽DE为____________.

三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）已知函数.
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m满足什么条件？
17.（8分）如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4 m处起跳投篮时，球运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)之间满足关系式，当球运行的水平距离为1.5 m时，球离地面高度为3.3 m，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内.已知篮框中心与地面的距离为3.05 m.

(1)当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？
(2)若该运动员身高为1.8 m，这次起跳投篮时，球在他头顶上方0.25 m处出手，问球出手时，他跳离地面多高？
18.（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是.

（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当时x的取值范围；
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
19.（10分）如图，抛物线（a为常数且）与y轴交于点.

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为，，当时，求k的值；
（3）当时，y有最大值，求m的值.
20.（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为.

（1）求m的值及抛物线的顶点坐标.
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标.
21.（12分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66 m，基准点K到起跳台的水平距离为75 m，高度为h m（h为定值）.设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为.

（1）c的值为__________；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
（3）若运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：.故选C.
2.答案：A
解析：顶点坐标为(1,3).
3.答案：A
解析：第二个月的增长率是x,则第三个月的增长率是.依题意得第三个月投放单车辆,则.故选A.
4.答案：C
解析：若二次函数的图像与x轴有交点，则交点的横坐标就是一元二次方程的根.
5.答案：C
解析：∵二次函数,,∴图象的开口向上,对称轴是y轴,与y轴的交点坐标是(0,1).故选C.
6.答案：C
解析：，抛物线的顶点坐标为，即抛物线上的点的纵坐标的最大值为4，当时，点P的个数为0；当时，点P是抛物线的顶点，即点P的个数为1；当时，结合抛物线的对称性，可知点P的个数为2.故丙错误，甲和乙正确.
7.答案：D
解析：抛物线，抛物线的开口向上，对称轴是直线，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大.点离对称轴最远，点离对称轴最近，.故选D.
8.答案：C
解析：设每顶头盔降价x元，利润为w元.由题意可得，，当时，w取得最大值，此时，即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70，故选C.
9.答案：C
解析：二次函数图象的对称轴为直线.根据题意，①当时，；时，，则解得②当时，；时，，则解得a的值为，故选C.
10.答案：D
解析：设平移后的解析式为,将B点坐标代入,得,解得.
将D点坐标代入,得,解得.若向下平移m个单位长度与正方形的边(包括四个顶点)有交点,则m的取值范围是.观察选项,只有选项D符合题意.故选D.
11.答案：0
解析：因为函数的图像在内的最低点为，所以函数的最小值为0.
12.答案：
解析：抛物线的顶点为，设这个抛物线的解析式为，抛物线与y轴交于点，，解得，这个抛物线的解析式为.
13.答案：
解析：抛物线的对称轴为直线，若，
则.又，则点离抛物线的对称轴较远.
，抛物线的开口向下..
14.答案：或
解析：点A的坐标为，抛物线与线段OA有且只有一个公共点，或解得或，故答案为或.
15.答案：
解析：设抛物线的表达式为.点B在抛物线上，将代入，解得，抛物线的表达式为.设D点坐标为.代入抛物线的表达式为，解得.所以.
16.答案：解：（1）依题意得.
（2）依题意得，且.
17.答案：(1)当球运行的水平距离为2.5 m时，球在空中达到最大高度，最大高度为3.5 m
(2)0.2 m
解析：(1)依题意，抛物线经过点和，
解得
.
当球运行的水平距离为2.5 m时，球在空中达到最大高度，最大高度为3.5 m.
(2)时，..即球出手时，他跳离地面0.2 m.
18.答案：（1）把代入，得.解得.
.
A的坐标为.对称轴为直线，B，C关于对称轴对称，
C的坐标为.当时，.
（2）D的坐标为，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位后，点D恰好落在点A的位置上.
平移后抛物线的表达式为.
19.答案：（1）
（2）k的值为2或
（3）m的值为或
解析：（1）抛物线与y轴交于点，
，，
抛物线的解析式为.
（2）直线与抛物线有两个交点，
，
整理得，
.
，，
，
或，
k的值为2或.
（3）抛物线的对称轴为直线，
当时，当时，y有最大值，，
解得，；
当时，当时，y有最大值，
，.
综上所述，m的值为或.
20.答案：解：（1）把点B的坐标代入抛物线解析式，
得，解得，
，
抛物线的顶点坐标为.
（2）连接BC，交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，

由知，C点坐标为.
设直线BC的解析式为，
，，
解得
直线BC的解析式为，
当时，，
当的值最小时，点P的坐标为.
21.答案：（1）66
（2）①h的值为21
②
（3）运动员的落地点能超过K点
解析：（2）①，，，
.
当时，，
h的值为21.
②
方法一：，，
.
将代入，得.
运动员落地点超过K点，则，
解得.
方法二：抛物线与①中抛物线开口方向及开口大小都相同，且与y轴交于同一个点，所以只要满足对称轴在抛物线的对称轴的右侧，落地点就能超过K点.
由，得.
（3）运动员的落地点能超过K点.
理由如下：
易得抛物线的顶点的坐标为，
可设抛物线的解析式为.
抛物线过点，
，
解得，
.
方法一：当时，，
运动员的落地点能超过K点.
方法二：当时，即，
解得，（舍）.
，
运动员的落地点能超过K点.