初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数第2课时教案

第二十二章 二次函数

22.3实际问题与二次函数

第2课时二次函数与最大利润问题

一、教学目标

1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.

2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.

二、教学重难点

重点：应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.

难点：商品销售问题中的数量关系及自变量的取值范围.

三、教学过程

【新课导入】

（1）营销问题的基本等量关系：

    总利润=每件利润×销售量

    每件利润=每件售价﹣每件进价.

（2）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的最值问题：

   ①若a>0，则当x= 时，y最小值=

   ②若a<0，则当x=   时，y最大值=           .

[思考]  某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

涨价销售

①设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：

[分析]

建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.

②自变量x的取值范围如何确定？

[分析]营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.

③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？

[分析]y=-10x2+100x+6000，

当 x= =5时,y=-10×52+100×5+6000=6250.

即定价65元时，最大利润是6250元.

[思考] 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

降价销售

[提出问题]①设每件降价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：

建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，即：y=-20x2+100x+6000.

[提出问题]②自变量x的取值范围如何确定？

[分析]营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.

[提出问题]③涨价多少元时，利润最大，是多少？

[分析]即：y=-20x2+100x+6000，

当 x=- =2.5 时，y=-202 +100 +6000=6125

即定价57.5元时，最大利润是6125元.

综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.

[归纳总结]求解最大利润问题的一般步骤

（1）建立利润与价格之间的函数关系式：

运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”

（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；

（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：

   可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，

 利用简图和性质求出.

[思考] 东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为

t+30，（1≤t≤24，t为整数）

P=   

- t+48，（25≤t≤48，t为整数）

且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如下表：

已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？

解：依题意，设y=kt+b，将（10，100），（20，80）代入y=kt+b，

   100=10k+b                   k=-2，

   80=20k+b           解得：   b=120.

∴日销售量y（kg）与时间t（天）的关系 y=120-2t，

 当t=30时，y=120-60=60，

∴在第30天的日销售量为60千克.

[思考] （2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

解：设日销售利润为W元，则W=（p-20）y，

当1≤t≤24时，W=（-2t+120）（t+30-20）=- （t-10）2+1250

当t=10时，W最大=1250；

当25≤t≤48时，W=（-2t+120）（- t+48-20）=t2-116t+3360

当t=25时，W最大=1085，

∵1250＞1085，

∴在第10天的销售利润最大，最大利润为1250元.

[思考] （3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象.现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围.

解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元，

由题意得m=（-2t+120）（t+30-20-n）=-t2+（10+2n）t+1200-120n

∵前24天，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，

∴2n+10≥24，∴n ≥ 7，

又∵n<9，

∴n的取值范围为7 ≤n<9.

【课堂小结】

【课堂训练】

1.小红的爸爸是个服装店老板，将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售（200－x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ A  ）

A.150元        B.160元      C.170元     D.180元

2.   某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为25元.

3.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为  y=2000-5(x-100).每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为       w=[2000-5(x-100)](x-80).(以上关系式只列式不化简）.

【布置作业】

【教学反思】

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.