2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）入学数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）入学数学试卷，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）入学数学试卷
一、填空题（共18题，每小题3分，共54分．请将答案直接填在答题卡的相应位置）
1．（3分）一组数据如下：7，10，9，6，11，9，8，4，则这组数据的中位数为 　 　．
2．（3分）计算：　 　．
3．（3分）化简：　 　．
4．（3分）计算：　 　．
5．（3分）已知a+b＝4，ab＝2，则a2+b2＝　 　．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝∠C，BP＝CE，BD＝CP，则∠DPE＝　 　．

7．（3分）已知x2﹣3x+1＝0，求的值 　 　．
8．（3分）如图，边长为20的正方形ABCD中，以BC为直径画一个半圆，直线DE与半圆相切，交AB于E点，则DE＝　 　．

9．（3分）不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集是全体实数，则实数a的取值范围是 　 　．
10．（3分）若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是　 　．
11．（3分）如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是 　 　．

12．（3分）如图，P已知的半径是1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 　 　．

13．（3分）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝　 　．

14．（3分）因式分解：6x3﹣11x2+x+4＝　 　．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③9a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有 　 　个．

16．（3分）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1时的最大值为3，那么m的值是 　 　．
17．（3分）如图，在菱形ABCD中，边AB＝5，E，F分别在BC和AD上，若DF＝1，BE＝3，且此时BF＝DE，则BF的长为 　 　．

18．（3分）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，则的值为 　 　．
二、解答题（共5小题，请将答案及必要的解题过程直接写在答题卡的相应位置）
19．（6分）随着选修课的全面开展，我校决定围绕在“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：

（1）求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整；
（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人都最喜欢演讲活动，其中，只有1人是女同学，现从中任选2人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率．

20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG•BA＝48，FG，DF＝2BF，求AH的值．

22．（10分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB＝OC，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A'，若，求点Q的坐标和此时△QAA'的面积．

23．（12分）在矩形ABCD中，BD为矩形ABCD的对角线，∠CBD＝60°，BD＝12．
（1）如图①，将△BCD绕点B逆时针旋转120°得到△BC0D0，其中，点C、D的对应点分别是点C0、D0，延长D0C0交AB于点E．求BE的长；
（2）如图②，将（1）中的△BC0D0以每秒1个单位长度的速度沿射线BC向右平行移动，得到△B1C1D1，其中，点B、C0、D0的对应点分别是点B1、C1、D1，当点C1移动到边CD上时停止移动．设移动的时间为t秒，△B1C1D1与矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图③，在△B1C1D1移动过程中，直线D1C1与线段AB交于点N，直线B1C1与线段BD交于点M．是否存在某一时刻t，使△MNC为等腰三角形，若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共18题，每小题3分，共54分．请将答案直接填在答题卡的相应位置）
1．（3分）一组数据如下：7，10，9，6，11，9，8，4，则这组数据的中位数为 　8.5　．
【分析】把这组数据从小到大排列，再求它们的中位数．
【解答】解：该组数据从小到大排列为：4，6，7，8，9，9，10，11；
所以这组数据的中位数为（8+9）＝8.5．
故答案为：8.5．
【点评】本题考查了求一组数据的中位数应用问题，是基础题．
2．（3分）计算：　　．
【分析】根据特殊角的三角函数值，指数幂、根式的性质，运算即可．
【解答】解：原式＝|2|22．
故答案为：．
【点评】本题考查指数幂、根式与三角函数的混合运算，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（3分）化简：　3　．
【分析】根据平方差公式，对分式进行通分，化简求解即可．
【解答】解：原式
3．
故答案为：3．
【点评】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的通分，平方差公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（3分）计算：　1　．
【分析】利用平方差公式，将每个分式的分母有理化，再相消，即可得解．
【解答】解：原式
＝（1）+（）+…+（）
＝﹣1．
故答案为：1．
【点评】本题考查根式的运算，理解分母有理化是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（3分）已知a+b＝4，ab＝2，则a2+b2＝　12　．
【分析】利用完全平方和公式，即可得解．
【解答】解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查指数幂的运算，熟练掌握完全平方和公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝∠C，BP＝CE，BD＝CP，则∠DPE＝　70°　．

【分析】根据已知条件求得△BDP≌△EPC，再把所求角转化即可得到结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∵BP＝CE，BD＝CP，
∴△BDP≌△EPC，
∴∠BDP＝∠EPC，
∵∠BDP+∠BPD＝180°﹣70°＝110°，
∴∠DPE＝180°﹣∠DPB﹣∠EPC＝180°﹣（∠BDP+∠BPD）＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题主要考查解三角形，考查三角形全等等知识，属于基础题．
7．（3分）已知x2﹣3x+1＝0，求的值 　21　．
【分析】利用立方和公式化简可得，原式＝（）3﹣3•3，再代入已知条件，运算即可．
【解答】解：由x2﹣3x+1＝0，知x2+1＝3x，
所以3（x）+3
＝（）3﹣3•3
＝（）3﹣3•3
＝27﹣9+3＝21．
故答案为：21．
【点评】本题考查指数幂的运算，熟练掌握立方和公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
8．（3分）如图，边长为20的正方形ABCD中，以BC为直径画一个半圆，直线DE与半圆相切，交AB于E点，则DE＝　25　．

【分析】取BC中点O，则O为半圆的圆心，连接OD，OE，OF，根据直线与圆相切，有OF⊥DE，OE、OD分别平分∠BOF，∠COF，得到△DOE为直角三角形，再利用射影定理求解．
【解答】解：如图所示：
取BC中点O，则O为半圆的圆心，连接OD，OE，OF，则OF⊥DE，，OE、OD分别平分∠BOF、∠COF，则△DOE为直角三角形，
∵△EFO∽△OFD，∴OF2＝DF•EF＝AB•BE
∴，
又DE＝BE+DC
则DE＝25．
故答案为：25．

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系和射影定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题．
9．（3分）不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集是全体实数，则实数a的取值范围是 　　．
【分析】若不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集是全体实数，我们分a2﹣1＝0，和a2﹣1≠0两种情况进行讨论，分别求出满足条件的a后，综合讨论结果即可得到答案．
【解答】解：当a2﹣1＝0时，a＝±1，
若a＝1，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0可化为﹣1＜0恒成立，满足条件；
若a＝﹣1，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0可化为2x﹣1＜0不恒成立，不满足条件；
当a2﹣1≠0时，若不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集是全体实数，
则
解得
综上可得，实数a的取值范围是
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是类一元二次不等式恒成立问题，不等式ax2+bx+c＜0恒成立包括两种情况，一是，一是
10．（3分）若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是　（3，4]　．
【分析】根据一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个正根可得m＞0且Δ＝16﹣4m≥0，再根据三角形三边关系确定m的范围．
【解答】解：∵（x﹣2）•（x2﹣4x+m）＝0有三个根（允许相等），
∴设这三根为：x1＝2，x2，x3，不妨设x2≤x3，
即x2，x3为方程x2﹣4x+m＝0的两正根，
所以，m＞0且Δ＝16﹣4m≥0，解得0＜m≤4，
∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
∴两边之和：x2+x3＝4＝2x1，则x2≤2≤x3，
两边之差：|x2﹣x3|＜2，
即（x2+x3）2﹣4x2x3＜4，
所以，16﹣4m＜4，解得m＞3，
因此，3＜m≤4，
故实数m的取值范围是（3，4]．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的分布，以及三角形三边大小关系的确定，属于中档题．
11．（3分）如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是 　　．

【分析】利用等弦所对的弧相等，先把阴影部分变化成一个直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圆的半径，从而求阴影部分的面积．
【解答】解：连接O1O2，设圆O2的半径为x，如图所示，
∵，∴，解得x，
设⊙O1交BC于点D，⊙O2交BC于点E，
∴CE＝PE，BCAB，CD，
∴S阴影＝S△ADC﹣S△CEP
，
故答案为：．

【点评】本题的关键是理解经过一定的平移后，阴影部分的面积为直角梯形PEDA的面积，也用了割补法求面积，培养学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．
12．（3分）如图，P已知的半径是1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 　（1，﹣1）或（﹣1，1）或（3，1）　．

【分析】由题意可得圆心P的纵坐标为±1，代入抛物线方程，分别求出圆心的横坐标，则答案可求．
【解答】解：抛物线的顶点的纵坐标为﹣1．
圆P的半径为1，当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为±1，
而圆心P在抛物线上运动，
当P的纵坐标为﹣1时，圆心横坐标为1；
当P的纵坐标为1时，由，解得x＝﹣1或x＝3．
∴当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为（1，﹣1）或（﹣1，1）或（3，1）．
故答案为：（1，﹣1）或（﹣1，1）或（3，1）．
【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查运算求解能力，是基础题．
13．（3分）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝　　．

【分析】根据轴对称，可以求得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得S△PAB．
【解答】解：由，解得或，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），
∴|AB|3，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴交于点P，则此时△PAB的周长最小，
点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），
设直线A′B的方程为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线A′B的方程为yx，
当x＝0时，y，
即点P的坐标为（0，），
将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，∵地线y＝x+1与y轴的夹角为45°，
∴点P到直线AB的距离是（1）×sin45°，
∴S△PAB．
故答案为：．

【点评】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，轴结称，最短距离问题，考查数形结合思想的应用，属中档题．
14．（3分）因式分解：6x3﹣11x2+x+4＝　（x﹣1）（2x+1）（3x﹣4）　．
【分析】利用已知条件，提取公因式，转化求解即可．
【解答】解：6x3﹣11x2+x+4＝6x3﹣6x2﹣5x2+5x﹣4x+4＝（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4）＝（x﹣1）（2x+1）（3x﹣4）．
故答案为：（x﹣1）（2x+1）（3x﹣4）．
【点评】本题考查因式分解定理的应用，是基础题．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③9a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有 　4　个．

【分析】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得b＝4a、c＝﹣5a，进而判断②③；由a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，即可判断④；讨论ax2+bx+c＝±1，结合根与系数关系求四个根的和判断⑤．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，
∴abc＜0，①错误；
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴2，9a，
∴b＝4a，c＝﹣5a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，②正确；
9a﹣b+c＝9a﹣4a﹣5a＝0，③正确；
∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1.0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，④正确；
若方程|ax+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，
则2，可得x1+x2＝﹣4，
设方程ax2+bx+c＝﹣1的两根分别为x3，x4，则2，可得x3+x4＝﹣4，
所以这四个根的和为﹣8，⑤正确．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，是中档题．
16．（3分）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1时的最大值为3，那么m的值是 　m＝4或m＝﹣2　．
【分析】由已知，讨论对称轴与已知区间的关系，进而确定函数在区间[﹣2，1]上的单调性，可求．
【解答】解：因为二次函数的开口向下，对称轴x，
若1，即m≥2时，函数在[﹣2，1]上单调递增，当x＝1时，函数取得最大值m﹣1＝3，
所以m＝4，
若2，即m≤﹣4时，函数在[﹣2，1]上单调递减，当x＝﹣2时，函数取得最大值﹣2m﹣4＝3，
所以m（舍）；
若﹣21，即﹣4≤m≤2时，函数在[﹣2，1]上先增后减，当x时，函数取得最大值3，
所以m＝﹣2或m＝2（舍）．
综上，m＝4或m＝﹣2．
故答案为：m＝4或m＝﹣2．
【点评】本题主要考查了二次函数闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
17．（3分）如图，在菱形ABCD中，边AB＝5，E，F分别在BC和AD上，若DF＝1，BE＝3，且此时BF＝DE，则BF的长为 　　．

【分析】先由已知条件求得CE和AF的长，再在AF上截取AG＝CE＝2，然后判定△BAG≌△DCE（SAS），则可推得BG＝BF，由等腰三角形的“三线合一“性质可得FH、HG，从而由勾股定理可求得BH和BF．
【解答】解：∵在菱形ABCD中，边AB＝5，DF＝1，BE＝3，
∴CE＝2，AF＝4，
如图，在AF上截取AG＝CE＝2，过点B作BH⊥FG于点H，

则FG＝AF﹣AG＝2，
∵菱形ABCD中，∠A＝∠C，AB＝DC，
∴在△BAG和△DCE中，，
∴△BAG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，
∵BF＝DE，
∴BG＝BF，
过点B作BH⊥FG于点H，则FH＝HGFG＝1，
∴AH＝AG+GH＝2+1＝3，
∵AB＝5，
∴在Rt△ABH中，由勾股定理得：BH＝4，
∴在Rt△BHF中，由勾股定理得：BF．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键，属于中档题．
18．（3分）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，则的值为 　3　．
【分析】设三个方程的公共根为t，代入三个方程整理得到（a+b+c）（t2+t+1）＝0，进而得到a+b+c＝0，进而求解结论．
【解答】解：设三个方程的公共根为t，则at2+bt+c＝0，bt2+cxta＝0，ct2+at+b＝0，
三个方程相加整理可得：（a+b+c）t2+（a+b+c）t+（a+b+c）＝0，
即（a+b+c）（t2+t+1）＝0，
∵t2+t+1＝（t）20，
∴a+b+c＝0，
∴3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了方程的根，整体思想和转化思想的应用，属于基础题．
二、解答题（共5小题，请将答案及必要的解题过程直接写在答题卡的相应位置）
19．（6分）随着选修课的全面开展，我校决定围绕在“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：

（1）求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整；
（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人都最喜欢演讲活动，其中，只有1人是女同学，现从中任选2人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率．

【分析】（1）根据题干所给的数据直接计算并补充图形即可；
（2）利用茎叶图列出所有结果进行计算即可．
【解答】解：（1）调查总数为120÷30%＝400（人），
最喜欢书法活动的人数为400×20%＝80（人），
最喜欢英语活动的人数占总数的百分比100%＝15%，
最喜欢演讲活动的人数占总人数的百分比为100%＝25%，


（2）用分别用A1、A2；B1、B表示两个小组的4位同学，其中，用B表示女同学，
画树状图（或列表）如下：


共有12种情况，选出的2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的情况有2种，
所以选出的2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率为．

A1
A2
B1
B
A1

A1，A2
A1，B1
A1，B
A2
A2，A1

A2，B1
A2，B
B1
B1，A1
B1，A2

B1，B
B
B，A1
B，A2
B，B1

共有12种情况，选出的2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的情况有2种，
所以选出的2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率为．


【点评】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型概率的计算，是基础题．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
【分析】（1）利用判别式大于等于零得到关于m的不等式，求解不等式即可确定实数m的取值范围；
（2）由题意结合韦达定理得到关于m的方程，解方程即可求得实数m的值．
【解答】解：（1）由题意可得Δ＝36﹣4（4m+1）≥0，
解得m≤2，
即m的取值范围为（﹣∞，2]．
（2）∵x1，x2为该方程的两个实数根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，
∵（x1﹣x2）2＝16，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴36﹣4（4m+1）＝16，解得m＝1．
∵m≤2，
∴m＝1符合题意．
【点评】本题主要考查一元二次方程的根与判别式的关系，韦达定理及其应用等知识，属于基础题．
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG•BA＝48，FG，DF＝2BF，求AH的值．

【分析】（1）欲证明BE是⊙O的切线，只需证明∠EBD＝90°．
（2）由△ABC∽△CBG，得，根据条件即可求出BC，再由△BFC∽△BCD，得BC2＝BF•BD，根据条件即可求出BF，CF，CG，GB，再通过计算发现CG＝AG，进而可以证明CH＝CB，求出AC即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：连接CD，如图所示：
∵BD是直径，
∴∠BCD＝90°，即∠D+∠CBD＝90°，
∵∠D＝∠A，∠EBC＝∠A，
∴∠EBC+∠CBD＝90°，
∴BE⊥BD，
∴BE是⊙O的切线．
（2）∵CG∥EB，
∴∠EBC＝∠BCG，
∴∠BCG＝∠A，
∵∠ABC＝∠CBG，
∴△ABC∽△CBG，
∴，即BC2＝BG•BA，
又BG•BA＝48，
∴BC＝4，
∵CG∥EB，
∴CF⊥BD，
∴△BFC∽△BCD，
∴BC2＝BF•BD，
∵DF＝2BF，
∴BF＝4，
在Rt△BFC中，CF，
∴CG＝CF+FG＝5，
在Rt△BFG中，BG，
∵BG•BA＝48，
∴BA＝8，即AG＝5，
∴CG＝AG，
∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，
∴∠CHF＝∠CBF，
∴CH＝CB＝4，
∵△ABC∽△CBG，
∴，即，
∴AH＝AC﹣CH．

【点评】本题考查切线的判定、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是巧妙利用相似三角形的性质解决问题，属于难题．
22．（10分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB＝OC，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A'，若，求点Q的坐标和此时△QAA'的面积．

【分析】（1）由抛物线所过的点、对称轴得到与x轴的交点坐标，写出二次函数的两根式，结合C点坐标求出参数a，由此能求出此抛物线的解析式；
（2）作△ABC的外接圆E，利用对称性、圆周角相等确定要求的P点位置，结合已知条件能求出点P的坐标；
（3）由题设BD的解析式为y＝x﹣3，找到A关于∠AQB的平分线的对称点A′，使Q，B，A′在一条直线上，则QA﹣QB＝QA′﹣QB＝A′B，结合已知条件能求出Q点坐标，再由S△QAA'＝S△A'AB+S△QAB能求出△QAA'的面积．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+4a+c＝a（x﹣2）2+c，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵抛物线y＝ax2﹣4ax+4a+c与x轴交于A，B，且A为（1，0），
∴点B坐标为（3，0），OB＝3，得该抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵OB＝OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，
∴OC＝3，点C的坐标为（0，3），
将C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），解得a＝1，
∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．
（2）作△ABC的外接圆E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，
设圆E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点P1，
点P1关于x轴的对称点为P2，则P1，P2均为所求点，

圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线x＝2上，
∵∠AP1B，∠ACB都是弧AB所对的圆周角，
∴∠AP1B＝∠ACB，且射线FE上的其它点P都不满足∠APB＝∠ACB，
由（1）知∠OBC＝45°，AB＝2，GF＝2，
则圆心E也在BC边的垂直平分线即直线y＝x上，
∴E（2，2），由勾股定理得EA，
∴EP1＝EA，
∴P1（2，2），由对称性得P2（2，﹣2），
∴符合题意P的坐标分别为P1（2，2），P2（2，2），
（3）∵点B，D的坐标分别为B（3，0），D（2，﹣1），
∴直线BD的解析式为y＝x﹣3，直线BD与x轴所夹的锐角为45°，
∵点A关于∠AQB的平分线的对称点为A′，

若AA′与∠AQB的平分线的交点为M，
则QA＝QA′，AM＝A′M，AA′⊥QM，Q，B，A′三点都在一条直线上，
∵QA﹣QB，
∴BA′＝QA′﹣QB＝QA﹣QB，
作A′N⊥x轴于点N，
∵点Q在线段BD上，Q，B，A′三眯在一条直线上，
∴A′N＝BA′•sin45°＝1，BN＝BA′•cos45°＝1，
∴点A′的坐标为A′（4，1），
∵点Q在线段BD上，∴设Q（x，x﹣3），其中2＜x＜3，
∵QA＝QA′，∴由两点间距离公式得：
（x﹣1）2+（x﹣3）2＝（x﹣4）2+（x﹣3﹣1）2，解得x，
经检验，x在2＜x＜3的范围内，则Q（），
此时，△QAA'的面积为：
S△QAA’＝S△A'AB+S△QAB．
【点评】本题考查二次函数的性质、抛物线的对称轴、勾股定理、两点间距离公式、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23．（12分）在矩形ABCD中，BD为矩形ABCD的对角线，∠CBD＝60°，BD＝12．
（1）如图①，将△BCD绕点B逆时针旋转120°得到△BC0D0，其中，点C、D的对应点分别是点C0、D0，延长D0C0交AB于点E．求BE的长；
（2）如图②，将（1）中的△BC0D0以每秒1个单位长度的速度沿射线BC向右平行移动，得到△B1C1D1，其中，点B、C0、D0的对应点分别是点B1、C1、D1，当点C1移动到边CD上时停止移动．设移动的时间为t秒，△B1C1D1与矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图③，在△B1C1D1移动过程中，直线D1C1与线段AB交于点N，直线B1C1与线段BD交于点M．是否存在某一时刻t，使△MNC为等腰三角形，若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据题意得△BCD≌△BC0D0，即可得出∠ED0B，D0B，在Rt△ED0B中，利用tan∠ED0B即可得出答案；
（2）分情况讨论，①当C0在矩形ABCB外时，即0≤t≤3，阴影部分时三角形，可利用相似三角形求出面积，②当C0在矩形ABCB内部时，阴影部分时四边形，3＜t≤6和6＜t≤9；
（3）根据已知用t表示相关线段，根据等腰列出一元二次方程，判断方程的根即可．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠ABC＝∠C＝90°，
∵∠CBD＝60°，∴∠D0BD＝120°，∴∠D0BD+∠CBD＝180°，
∴D0，B，C三点在一条直线上，∴∠ABD0＝90°，
根据旋转可得△BCD≌△BC0D0，∴∠D0BC0＝∠CBD＝60°，D0B＝BD＝12，
∴∠ED0B＝30°
在Rt△ED0B中，tan∠ED0B，解得BE＝4；
（2）①当C0在矩形ABCB外时，即当0≤t≤3时，，
②当C0在矩形ABCB内部时，当3＜t≤6时，，
当6＜t≤9时，；
（3）存在，理由如下：
在Rt△BCD中，CD＝BDsin∠CBD＝126，BC＝BDcos∠CBD＝126，
过点M作MF⊥BC于点F，如图所示，
∵△BMB1是等边三角形，∴BB1＝MB1＝BM＝t，
∴C1M＝|6﹣t|，D1B＝12﹣t，CF＝6，MF，
∴BN，D1N（12﹣t），C1N，
在Rt△MNC1中，MN2＝C1N2+C1M2＝||2+|6﹣t|2t2﹣20t+48，
在Rt△MCF中，MC2＝CF2+MF2＝（6）2+（）2＝t2﹣6t+36，
在Rt△NCB中，NC2＝CB2+BN2＝62+[]2t2﹣8t+84，
①当MN＝MC时，即t2﹣20t+48＝t2﹣6t+36，解得（舍去），；
②当CN＝MC时，即t2﹣8t+84＝t2﹣6t+36，解得（舍去），；
③当MN＝NC时，即t2﹣20t+48t2﹣8t+84，解得（舍去），．
综上所述，当t的值为或或时，△MNC为等腰三角形．

【点评】此题主要考查几何变换中的旋转，熟悉旋转的性质，矩形的性质，会用勾股定理解决问题，，会根据等腰三角形讨论点的存在性是解题的关键，属于压轴题．
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