四省名校2020届高三第三次大联考数学（文科）试题 Word版含解析

这是一份四省名校2020届高三第三次大联考数学（文科）试题 Word版含解析，共27页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答，选考题的作答， 函数的部分图象大致是等内容，欢迎下载使用。

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2020届四省名校高三第三次大联考
文数
本试卷共4页，23题（含选考题）.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、单稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则的真子集个数为（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】
先解得进而求解即可.
【详解】因为集合,
则的真子集个数为,
故选:B
【点睛】本题考查已知集合元素个数求真子集的个数,属于基础题.
2. 下列选项中，满足为实数的复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设,则,由为实数可得,则,进而结合选项得到结果即可.
【详解】设,
所以,
因为为实数,所以,所以,即,
结合选项可知C正确,
故选:C
【点睛】本题考查由复数的类型求参数,考查运算能力.
3. “今年我已经8个月没有戏拍了”迪丽热巴在8月的一档综艺节目上说，霍建华在家里开玩笑时说到“我失业很久了”；明道也在参加《演员请就位》时透露，已经大半年没有演过戏.为了了解演员的生存现状，什么样的演员才有戏演，有人搜集了内地、港澳台共计9481名演员的演艺生涯资料，在统计的所有演员资料后得到以下结论：①有的人在2019年没有在影剧里露过脸；②2019年备案的电视剧数量较2016年时下滑超过三分之一；③女演员面临的竞争更加激烈；④演员的艰难程度随着年龄的增加而降低.请问：以下判断正确的是（ ）
A. 调查采用了分层抽样 B. 调查采用了简单随机抽样
C. 调查采用了系统抽样 D. 非抽样案例
【答案】D
【解析】
【分析】
由调查对象是统计的演员的整体,未进行抽样调查,即可得到结果.
【详解】调查结果是对所有9481名演员的情况进行总结的,所以分析对象是全体,不是抽样,
故选:D
【点睛】本题考查对随机抽样的理解,属于基础题.
4. 1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若，，则的值约为（ ）
A. 1.322 B. 1.410
C. 1.507 D. 1.669
【答案】A
【解析】
【分析】
由可得,进而将条件代入求解即可.
【详解】,,
故选:A
【点睛】本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.
5. 已知数列的前项和满足，则的值为（ ）
A. 120 B. 119
C. 118 D. 117
【答案】B
【解析】
【分析】
当时,,检验,则,进而分别求得,即可求解.
【详解】当时,
,
当时,，不符合,
所以,
,,
,
故选:B
【点睛】本题考查由与的关系求通项公式,注意检验当时的情况.
6. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
先求导,再由,可得切线方程为,即,则可得到,即可求解.
【详解】,
,
曲线在点处的切线方程为,即,
,
,,
故选:C
【点睛】本题考查利用导数求在某点处的切线,考查由切线斜率求参数.
7. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）

A. B. 50 C. D. 51
【答案】B
【解析】
【分析】
分析可得程序框图实现的功能是,进而求解即可.
【详解】由题得,,
故选:B
【点睛】本题考查由程序框图求输出结果,考查分组求和法的应用.
8. 函数的部分图象大致是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性,单调性和特殊点的函数值估算或变化趋势，来进行排除或确认.
【详解】根函数是奇函数，排除D，
根据x取非常小的正实数时，排除B，
是满足的一个值，故排除C，
故选：A．
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数值的符号判定函数的图象，属基础题.
9. 已知函数的图像关于原点对称，对于任意的，，.若，则的最大值为（ ）
A. B. 9 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
由关于原点对称及可得是奇函数,且在上单调递增,则,即,再利用均值不等式求得最值即可.
【详解】由题意知是奇函数,且在上单调递增,
又,
,
,,
,即,当且仅当=3时取等号,
的最大值为,
故选:A
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用,考查利用均值不等式求最值.
10. 过双曲线的右焦点，作倾斜角为60°的直线，交双曲线的渐近线于点、，为坐标原点，则的面积为（ ）
A. B. 3 C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
设点在第一象限,点在第四象限,由渐近线方程可得,由倾斜角可得,则,利用三角函数可得和,进而求解.
【详解】不妨设点在第一象限,点在第四象限,
由题,渐近线方程为,则,
,
因为,所以,所以,
又,则,所以,所以,
从而的面积为,
故选:C
【点睛】本题考查双曲线中的三角形面积,考查双曲线中渐近线方程的应用.
11. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用导函数可判断在上单调递增,再根据为偶函数,且,进而得到结果.
【详解】因为,设，,
所以单调递增,当时,,
所以在上单调递增,
又,即偶函数,
且,
故,
故选:A
【点睛】考查由函数单调性比较函数值的大小,考查利用导函数判断函数的单调性,考查奇偶性的应用.
12. 函数和都是定义在上的单调减函数，且，若对于任意，存在，，使得成立，则称是在上的“被追逐函数”，若，下述四个结论中正确的是（ ）
①是在上的“被追逐函数”；
②若和函数关于轴对称，则是在上的“被追逐函数”；
③若是在上的“被追逐函数”，则；
④存在，使得是在上“被追逐函数”.
A. ①③④ B. ①②④ C. ②③ D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断与是否单调递减,并求得最小值,再根据若是在上的“被追逐函数”,,则可用表示,利用,代入判断其是否恒成立,即可判断是否满足“被追逐函数”,由此依次判断①②③④
【详解】对于①,和在上单调递减,且,
若是在上的“被追逐函数”,则对于任意,存在,,使得成立,
即,所以,
此时,即,构造函数,
则,则在上单调递减,又,则恒成立,
即,故对任意,存在,,使得成立,故①正确；
对于②,依题意,则和在上单调递减,且,
若是在上的“被追逐函数”,
则对于任意,存在,,使得成立, 即,
所以当时,不存在,,使得成立,故②错误；
对于③,若是在上的“被追逐函数”,此时必有,解得,
当时,和在上单调递减,
若是在上的“被追逐函数”,
则对于任意,存在,,使得成立,
即,所以,即,则,
构造函数,则,
则在上单调递减,又,则恒成立,即,
故对任意,存在,,使得成立,故③正确；
对于④,当时,,而当时,,
由的任意性,不存在,使得是在上的“被追逐函数”,故④错误,
故选:D
【点睛】本题考查利用导函数处理恒成立问题,考查运算能力.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本题共4小题.
13. 已知平面向量满足，向量与向量的夹角为135°，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由可得,进而代入求解即可.
【详解】,向量与向量的夹角为135°,,
,,
,
故答案为:
【点睛】本题考查向量的数量积的运算,考查运算能力.
14. 已知为递增等比数列的前项和，其中，，成等差数列，且，则______.
【答案】31
【解析】
【分析】
由等差中项可得,由等比中项可得,根据递增数列可得,即可求得公比,进而代入等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】,又,且递增等比数列,
解得或（舍去）,
设等比数列公比为,由,得,
,
故答案为:31
【点睛】本题考查等比数列的定义的应用,考查等差中项、等比中项的应用,考查等比数列的前项和公式的应用.
15. 已知，将的图象向右平移个单位得到的图象，且，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据图象变换原则可得,再根据可得是奇函数,则,进而求解.
【详解】由题,,
又因为,所以是奇函数,
所以,,即,,
所以当时,,满足题意,
故答案为:
【点睛】本题考查三角函数的图象变换,考查由三角函数的奇偶性求参数.
16. 已知直线：与轴交于点，为直线上异于点的动点，记点的横坐标为，若曲线：上存在点，使得，则的取值范围是______.（用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】
设,由可得,分别讨论在第一象限与在第二象限时的情况,当与椭圆相切时,取得最大值或最小值,进而求解.
【详解】由题,,, 设,则:,
当在第一象限时,则,当与椭圆相切时,取得最大值,
联立,则,
令,则,不符合题意,舍去；
当在第二象限时,则,当与椭圆相切时,取得最小值,
联立,则,
令,则,不符合题意，舍去，
综上,,
故答案为:

【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 今年，新型冠状病毒来势凶猛，老百姓一时间“谈毒色变”，近来，有关喝白酒可以预防病毒的说法一直在民间流传，更有人拿出“医”字的繁体字“醫”进行解读为：医治瘟疫要喝酒，为了调查喝白酒是否有助于预防病毒，我们调查了1000人的喝酒生活习惯与最终是否得病进行了统计，表格如下：
每周喝酒量（两）





人数
100
300
450
100



规定：①每周喝酒量达到4两的叫常喝酒人，反之叫不常喝酒人；
②每周喝酒量达到8两的叫有酒瘾的人.
（1）求值，从每周喝酒量达到6两的人中按照分层抽样选出6人，再从这6人中选出2人，求这2人中无有酒瘾的人的概率；
（2）请通过上述表格中的统计数据，填写完下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为是否得病与是否常喝酒有关？并对民间流传的说法做出你的判断.

常喝酒
不常喝酒
合计
得病



不得病

250
650
合计





参考公式：，其中

0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828



【答案】（1）50人，（2）见解析，在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能判断“是否得病与是否常喝酒”有关.
【解析】
【分析】
（1）由总人数减去各区间人数即可得到,则可知每周喝酒量达到6两的人中无酒瘾与有酒瘾的人数之比为,根据分层抽样可得所选的6人中无酒瘾有4人,有酒瘾有2人,
设无酒瘾的人为、、、,有酒瘾的人为、,列出所有情况,判断出符合条件的情况,即可求解；
（2）根据表格数据补充列联表,代入公式中,并与2.706比较即可判断.
【详解】解:（1）由题得,（人）,
由表格可知,在每周喝酒量达到6两的人中无酒瘾与有酒瘾的人数之比为,
则所选的6人中无酒瘾有4人,有酒瘾有2人,
设无酒瘾的人为、、、,有酒瘾的人为、,
设选出的2人无有酒瘾为事件,其概率为,
则从6人中选2人共有如下:,,,,
,,,,,,,
,,,,共15种情况,其中事件有6种情况,
所以.
（2）由表格可得常喝酒的有（人）,
则列联表如下:

常喝酒
不常喝酒
合计
得病
200
150
350
不得病
400
250
650
合计
600
400
1000

则,
则在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能判断“是否得病与是否常喝酒”有关.
可见,民间的说法没有太强的科学性,对于医字繁体字的解读也属于笑谈.
【点睛】本题考查分层抽样的应用,考查古典概型概率公式的应用,考查独立性检验处理实际问题.
18. 如图，在中，、、分别为的内角、、所对的边，外接圆的半径为2，.

（1）求；
（2）求周长的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化边为弦可得,化简可得,则,进而由正弦定理求解即可；
（2）由（1）,利用余弦定理可得,再利用均值不等式求得的最大值,即可求解.
【详解】解:（1）由正弦定理及,
得,
由,
得,
,
,,

,,
又外接圆的半径,
,

（2）由（1）,
,
由,
得,
,当且仅当时,等号成立,
又,
周长的最大值为.
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,考查求三角形的周长的最值,考查均值不等式的应用.
19. 已知在三棱锥中，平面，，，是棱的中点，.

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）由,,可得,再根据平面可得平面平面,则平面,可得,由等腰三角形的性质可得,进而得证；
（2）由（1）是三棱锥的高,利用勾股定理求得,进而求解.
【详解】解:（1）由,,可得,
平面,平面,
平面平面,
平面平面,
平面,
又平面,,
又,,
平面,
由平面,得,
又是等腰边上的中点,,
又,平面.
（2）由（1）可得,为直角三角形,是三棱锥的高,
在中,,,
,,
在中,,
,
在中,,
,
.
【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查求三棱锥的体积.
20. 已知函数.
（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围；
（2）若，且满足，问：函数在处的导数能否为0？若能，求出处的导数；若不能，请说明理由.
【答案】（1）（2）函数在处的导数不能为0,理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由解析式易知定义域为,则转化问题为在上恒成立,根据均值不等式可得,即可求解；
（2）假设,则有,由①②整理可得,即,设,,利用导函数判断的范围,即可判断假设是否成立.
【详解】解:（1）由题得,函数的定义域是,且在定义域内单调递增,
所以在上恒成立,
因为,当且仅当时等号成立,
所以,所以,
解得,
故的取值范围是.
（2）不能,理由如下:
假设,则由题得,
①②得,
即,
又因为,
所以,
所以,
所以,③
设,,
则③式变为,
设,
则,
所以函数在上单调递增,
即,
也就是,此式与③矛盾,
故函数在处的导数不能为0.
【点睛】本题考查已知函数单调性求参数范围问题,考查利用导函数处理双变量问题,考查转化思想与运算能力.
21. 已知直线与抛物线交于、两点，是坐标原点，.
（1）求线段中点的轨迹的方程；
（2）设直线与曲线交于、两点，，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）设,,由可解得,联立直线:与抛物线,根据韦达定理可得,则,进而可知直线恒过定点,设为,由,作差可得,将直线的斜率公式代入,即可求得点的轨迹方程,并检验时是否满足；
（2）分别联立直线与点的轨迹方程,直线与抛物线,利用两点间距离公式和弦长公式分别求得和,由可得范围,进而求得的范围,从而求解.
【详解】解:（1）设,,
,
,即,
,,
设直线:,代入,
得,则,
,解得,
:,
直线过定点,
设线段的中点坐标为,
由,作差可得,
,即,
当时,中点满足上述方程,
故轨迹的方程为.
（2）由（1）,由可得,解得或,
与曲线交于,两点,,
当时,；当时,,
设,,
,
由可得,则,
所以,,
则,
,
由交曲线于,两点,知,
,,
故所求的取值范围是.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查弦长公式的应用,考查求轨迹方程,考查运算能力.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，点的坐标为，求的值.
【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为.（2）
【解析】
【分析】
（1）对曲线利用转化极坐标方程,对直线消去参数即可转化为普通方程；
（2）由题列出直线的标准参数方程,代入曲线的直角坐标方程中,由,利用韦达定理求解即可.
【详解】解:（1）,即,
,即,
又（为参数）,所以,
曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程为.
（2）过点的直线的标准参数方程为（为参数）,
将直线的标准参数方程代入曲线的直角坐标方程得,
即,且,
设,两点对应的参数分别为,,
.
【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查参数方程与普通方程的转化,考查利用直线参数的几何意义求解弦的乘积.
23. 已知函数，记的最小值为.
（1）求的值；
（2）若、、，且，.求的最小值.
【答案】（1）1（2）.
【解析】
【分析】
（1）将写为分段函数的形式,进而根据函数的单调性求解；
（2）由（1）,利用柯西不等式可得,则,再由取等条件求解即可.
【详解】解:（1）,
时,单调递减；时,单调递减；时,单调递增；
.
（2）由（1）知,
又,
,
当且仅当,即时等号成立,
即的最小值为.
【点睛】本题考查分类讨论法求最值,考查柯西不等式的应用,考查运算能力.