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    21.2解一元二次方程-人教版九年级数学上册教学案(学生版+教师版)

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    初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学案设计

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    这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学案设计,文件包含九年级数学上册212解一元二次方程讲义学生版docx、九年级数学上册212解一元二次方程讲义教师版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共35页, 欢迎下载使用。


    21.2 解一元二次方程

    一、教学目标

    1掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法.

    2掌握配方法的概念,并能熟练运用配方法与公式法解一元二次方程

    3掌握一元二次方程根的判别式的有关概念,并能灵活地应用有关概念解决实际问题.

    4掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法

    二、教学重难点

    1教学重点:配方法、公式法;

    2教学难点:注意各种解法容易出错的地方,灵活选用适当的方法解答;

    知识点一:用直接开平方法解一元二次方程

    形如x2=pnx+m2=pp≥0的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.
    如果方程化成x2=p的形式,那么可得x=

    如果方程能化成nx+m2=pp≥0的形式,那么nx+m=

    注意:

    ①等左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.
    ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.
    ③方法是根据平方根的意义开平方.

    例题:一元二次方程(x+2017)2=1的解为(  )

    A.﹣2016,﹣2018 B.﹣2016 C.﹣2018 D.﹣2017

    变式1:方程4x2﹣1=0的根是(  )

    A.http://www.zxxk.com B.http://www.zxxk.com C.2 D.±2

    变式2:一元二次方程x2﹣a=0的一个根是2,则a的值是 4 

    知识点二:配方法解一元二次方程

    (1)将一元二次方程配成x+m2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
    (2)用配方法解一元二次方程的步骤:
    ①把原方程化为ax2+bx+c=0a≠0的形式;
    ②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;
    ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
    ④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
    ⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.

    例题:一元二次方程y2﹣y﹣http://www.zxxk.com=0配方后可化为(  )

    A.(y+http://www.zxxk.com2=1 B.(y﹣http://www.zxxk.com2=1 C.(y+http://www.zxxk.com2=http://www.zxxk.com D.(y﹣http://www.zxxk.com2=http://www.zxxk.com

    变式1:用配方法解方程x2http://www.zxxk.comx﹣1=0时,应将其变形为(  )

    A.(x﹣http://www.zxxk.com2=http://www.zxxk.com B.(x+http://www.zxxk.com2=http://www.zxxk.com C.(x﹣http://www.zxxk.com2=0 D.(x﹣http://www.zxxk.com2=http://www.zxxk.com

    变式2:把方程x2﹣3=2x用配方法化为(x+m)2=n的形式,则m=     ,n=     

    知识点三:用求根公式法一元二次方程

    1x=-b±b2-4ac2ab2-4ac≥0叫做一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的求根公式.
    (2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.
    (3)用公式法解一元二次方程的一般步骤为:
    ①把方程化成一般形式,进而确定abc的值(注意符号);
    ②求出b2-4ac的值(若b2-4ac0,方程无实数根);
    ③在b2-4ac≥0的前提下,把abc的值代入公式进行计算求出方程的根.
    注意:用公式法解一元二次方程的前提条件有两个:①a≠0②b2-4ac≥0

    例题:利用求根公式求5x2+http://www.zxxk.com=6x的根时,其中a=5,则b、c的值分别是(  )

    A.http://www.zxxk.com B.6,http://www.zxxk.com C.﹣6,http://www.zxxk.com D.﹣6,﹣http://www.zxxk.com

    变式1:一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间(  )

    A.4,3 B.3,2 C.2,1 D.1,0

    变式2:x2﹣2x﹣15=0.(公式法)

     

     

     

     

     

     

     

     

    知识点四:用因式分解法解一元二次方程

    (1)因式分解法解一元二次方程的意义
    因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.
    因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

    (2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
    ①移项,使方程的右边化为零;

    ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;

    ③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;

    ④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解.

    例题:关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为(  )

    A.x1=﹣1,x2=3 B.x1=1,x2=﹣3 C.x1=1,x2=3 D.x1=﹣1,x2=﹣3

    变式1:一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是(  )

    A.12 B.9 C.13 D.12或9

    变式2:三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解,则此三角形的周长是     

    知识点五:选择适当的方法解一元二次方程

    例题:解方程:2x﹣3=3xx﹣3

     

     

     

    变式1:解方程:3x2﹣2x﹣2=0

     

     

     

     

    变式2:解方程:x2﹣5x+3=0.

     

     

     

    知识点六:一元二次方程根的判别式

    利用一元二次方程根的判别式△=b2-4ac判断方程的根的情况.
    一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与△=b2-4ac有如下关系:
    ①当0时,方程有两个不相等的两个实数根;
    ②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;
    ③当0时,方程无实数根.
    上面的结论反过来也成立.

    例题:关于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+k=0的根的情况是(  )

    A.有两不相等实数根 B.有两相等实数根

    C.无实数根 D.不能确定

     

     

     

    变式1:若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根,则实数m的取值范围是(  )

    A.m≥1 B.m≤1 C.m>1 D.m<1 

    变式2:关于x的一元二次方程(m﹣5)x2+2x+2=0有实根,则m的最大整数解是    

    知识点七:一元二次方程根与系数关系

    1若二次项系数为1,常用以下关系:x1x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=-px1x2=q,反过来可得p=-x1+x2),q=x1x2前者是已知系数确定根的相关问题,后者是已知两根确定方程中未知系数.
    (2)若二次项系数不为1,则常用以下关系:x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0

    a≠0的两根时,          

    (2)常用根与系数的关系解决以下问题:
    ①不解方程,判两个数是不是一元二次程的两个根.

    ②已知方程及方程的一个根,求另一个根及未知数.

    ③不解方程求关于根的式子的值,如求,x12+x22等等.

    ④判断两根的符号.

    ⑤求作新方程.

    ⑥由给出的两根满足的条件,确定字母的取值.这类问题比较综合,解题时除了利用根与系数的关系,同时还要考虑a≠0△≥0这两个前提条件.

    例题:αβ是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根,则http://www.zxxk.com+http://www.zxxk.com的值是(  )

    A.http://www.zxxk.com B.﹣http://www.zxxk.com C.﹣http://www.zxxk.com D.http://www.zxxk.com

    变式1:若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1,则另一个解为(  )

    A.1 B.﹣3 C.3 D.4

    变式2:已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1,x2,且x1<x2,下列结论正确的是(  )

    A.x1+x2=1 B.x1•x2=﹣1 C.|x1|<|x2| D.x12+x1=http://www.zxxk.com

    拓展点一:用多种方法解一元二次方程

    例题:解方程:2x2﹣3x﹣1=0.

     

     

     

    变式1:解方程:x2﹣6x+5=0.

     

     

     

    变式2:解下列方程:

    (1)x2+10x+25=0

    (2)x2﹣x﹣1=0.

     

     

    拓展点二:配方法的应用

    1、用配方法解一元二次方程.
    配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=a±b2
    配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.
    2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值.
    关键是:二次三项式是完全平方式,则常数项是一次项系数一半的平方.
    3、配方法的综合应用.

    例题:一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了(x+m)2=n的形式,则m、n的值应为(  )

    A.m=﹣2,n=7 B.m=2.n=7 C.m=﹣2,n=1 D.m=2.n=﹣7 

    变式1:对于任意的实数x,代数式x2﹣5x+10的值是一个(  )

    A.正数 B.负数 C.非负数 D.不能确定 

    变式2:若代数式x2﹣6x+b可化为(x+a)2﹣5,则a+b的值为    

    拓展点三:一元二次方程根的判别式的应用

    例题:若关于x的一元二次方程x2﹣(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,求a的取值范围.

     

     

     

    变式1:关于x的方程(k﹣1)x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.

     

     

     

     

    变式2:已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根.

    (1)求m的取值范围.

    (2)当m为正整数时,求方程的根.

     

     

     

     

     

    拓展点四:根与系数关系的应用

    例题:已知:关于x的方程x2+kx﹣2=0

    (1)求证:方程有两个不相等的实数根;

    (2)若方程的一个根是﹣1,求另一个根及k值.

     

     

     

     

     

    变式1:关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣1=0的一个根为0,求出a的值和方程的另一个根.

    【分析】将x=0代入原方程可求出a值,设方程的另一根为x1,利用两根之和等于﹣http://www.zxxk.com即可求出x1的值,此题得解.

     

     

     

     

    变式2:已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1,x2

    (1)求k的取值范围;

    (2)若http://www.zxxk.com+http://www.zxxk.com=﹣1,求k的值.

     

     

     

     

     

    易错点一:形如ax2bxc=0的方程,若未指明a的取值范围,可能是一次方程,也可能是二次方程,需要分类讨论。

    例题1:已知方程:(m2﹣1)x2+(m+1)x+1=0,求:

    (1)当m为何值时原方程为一元二次方程.

    (2)当m为何值时原方程为一元一次方程.

     

     

     

    变式1:已知关于x的方程(m+2)x|m|+2x﹣1=0.

    (1)当m为何值时是一元一次方程.

    (2)当m为何值时是一元二次方程.

     

     

    变式2:当m是何值时,关于x的方程(m2+2)x2+(m﹣1)x﹣4=3x2

    (1)是一元二次方程;

    (2)是一元一次方程;

    (3)若x=﹣2是它的一个根,求m的值.

     

     

     

     

     

     

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