初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学案设计
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21.2 解一元二次方程
一、教学目标
(1)掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法.
(2)掌握配方法的概念,并能熟练运用配方法与公式法解一元二次方程
(3)掌握一元二次方程根的判别式的有关概念,并能灵活地应用有关概念解决实际问题.
(4)掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法
二、教学重难点
(1)教学重点:配方法、公式法;
(2)教学难点:注意各种解法容易出错的地方,灵活选用适当的方法解答;
知识点一:用直接开平方法解一元二次方程
形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.
如果方程化成x2=p的形式,那么可得x=
如果方程能化成(nx+m)2=p(p≥0)的形式,那么nx+m=
注意:
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.
③方法是根据平方根的意义开平方.
例题:一元二次方程(x+2017)2=1的解为( )
A.﹣2016,﹣2018 B.﹣2016 C.﹣2018 D.﹣2017
变式1:方程4x2﹣1=0的根是( )
A. B. C.2 D.±2
变式2:一元二次方程x2﹣a=0的一个根是2,则a的值是 4 .
知识点二:用配方法解一元二次方程
(1)将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)用配方法解一元二次方程的步骤:
①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;
②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.
例题:一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为( )
A.(y+)2=1 B.(y﹣)2=1 C.(y+)2= D.(y﹣)2=
变式1:用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时,应将其变形为( )
A.(x﹣)2= B.(x+)2= C.(x﹣)2=0 D.(x﹣)2=
变式2:把方程x2﹣3=2x用配方法化为(x+m)2=n的形式,则m= ,n= .
知识点三:用求根公式法解一元二次方程
(1)把x=-b±b2-4ac2a(b2-4ac≥0)叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.
(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤为:
①把方程化成一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号);
②求出b2-4ac的值(若b2-4ac<0,方程无实数根);
③在b2-4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.
注意:用公式法解一元二次方程的前提条件有两个:①a≠0;②b2-4ac≥0.
例题:利用求根公式求5x2+=6x的根时,其中a=5,则b、c的值分别是( )
A. B.6, C.﹣6, D.﹣6,﹣
变式1:一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间( )
A.4,3 B.3,2 C.2,1 D.1,0
变式2:x2﹣2x﹣15=0.(公式法)
知识点四:用因式分解法解一元二次方程
(1)因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.
因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
①移项,使方程的右边化为零;
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;
③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;
④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解.
例题:关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为( )
A.x1=﹣1,x2=3 B.x1=1,x2=﹣3 C.x1=1,x2=3 D.x1=﹣1,x2=﹣3
变式1:一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是( )
A.12 B.9 C.13 D.12或9
变式2:三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解,则此三角形的周长是 .
知识点五:选择适当的方法解一元二次方程
例题:解方程:2(x﹣3)=3x(x﹣3).
变式1:解方程:3x2﹣2x﹣2=0.
变式2:解方程:x2﹣5x+3=0.
知识点六:一元二次方程根的判别式
利用一元二次方程根的判别式(△=b2-4ac)判断方程的根的情况.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:
①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;
②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;
③当△<0时,方程无实数根.
上面的结论反过来也成立.
例题:关于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+k=0的根的情况是( )
A.有两不相等实数根 B.有两相等实数根
C.无实数根 D.不能确定
变式1:若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根,则实数m的取值范围是( )
A.m≥1 B.m≤1 C.m>1 D.m<1
变式2:关于x的一元二次方程(m﹣5)x2+2x+2=0有实根,则m的最大整数解是 .
知识点七:一元二次方程根与系数关系
(1)若二次项系数为1,常用以下关系:x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=-p,x1x2=q,反过来可得p=-(x1+x2),q=x1x2,前者是已知系数确定根的相关问题,后者是已知两根确定方程中未知系数.
(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系:x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的两根时,
(2)常用根与系数的关系解决以下问题:
①不解方程,判断两个数是不是一元二次方程的两个根.
②已知方程及方程的一个根,求另一个根及未知数.
③不解方程求关于根的式子的值,如求,x12+x22等等.
④判断两根的符号.
⑤求作新方程.
⑥由给出的两根满足的条件,确定字母的取值.这类问题比较综合,解题时除了利用根与系数的关系,同时还要考虑a≠0,△≥0这两个前提条件.
例题:若α,β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根,则+的值是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.
变式1:若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1,则另一个解为( )
A.1 B.﹣3 C.3 D.4
变式2:已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1,x2,且x1<x2,下列结论正确的是( )
A.x1+x2=1 B.x1•x2=﹣1 C.|x1|<|x2| D.x12+x1=
拓展点一:用多种方法解一元二次方程
例题:解方程:2x2﹣3x﹣1=0.
变式1:解方程:x2﹣6x+5=0.
变式2:解下列方程:
(1)x2+10x+25=0
(2)x2﹣x﹣1=0.
拓展点二:配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程.
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=(a±b)2
配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值.
关键是:二次三项式是完全平方式,则常数项是一次项系数一半的平方.
3、配方法的综合应用.
例题:一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了(x+m)2=n的形式,则m、n的值应为( )
A.m=﹣2,n=7 B.m=2.n=7 C.m=﹣2,n=1 D.m=2.n=﹣7
变式1:对于任意的实数x,代数式x2﹣5x+10的值是一个( )
A.正数 B.负数 C.非负数 D.不能确定
变式2:若代数式x2﹣6x+b可化为(x+a)2﹣5,则a+b的值为 .
拓展点三:一元二次方程根的判别式的应用
例题:若关于x的一元二次方程x2﹣(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,求a的取值范围.
变式1:关于x的方程(k﹣1)x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
变式2:已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)当m为正整数时,求方程的根.
拓展点四:根与系数关系的应用
例题:已知:关于x的方程x2+kx﹣2=0
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是﹣1,求另一个根及k值.
变式1:关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣1=0的一个根为0,求出a的值和方程的另一个根.
【分析】将x=0代入原方程可求出a值,设方程的另一根为x1,利用两根之和等于﹣即可求出x1的值,此题得解.
变式2:已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若+=﹣1,求k的值.
易错点一:形如ax2+bx+c=0的方程,若未指明a的取值范围,可能是一次方程,也可能是二次方程,需要分类讨论。
例题1:已知方程:(m2﹣1)x2+(m+1)x+1=0,求:
(1)当m为何值时原方程为一元二次方程.
(2)当m为何值时原方程为一元一次方程.
变式1:已知关于x的方程(m+2)x|m|+2x﹣1=0.
(1)当m为何值时是一元一次方程.
(2)当m为何值时是一元二次方程.
变式2:当m是何值时,关于x的方程(m2+2)x2+(m﹣1)x﹣4=3x2
(1)是一元二次方程;
(2)是一元一次方程;
(3)若x=﹣2是它的一个根,求m的值.
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