2024版新教材高考数学全程一轮总复习高考大题研究课七立体几何中的翻折探究及最值问题课件

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题型一　翻折问题例1 [2023·江西师大附中模拟]如图①，已知等边三角形ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且BM＝2MA，AN＝2NC.如图②，将△AMN沿MN折起到△A′MN的位置．(1)求证：平面A′BM⊥平面BCNM；(2)若二面角A′ - MN - C的大小为60°，求平面A′BM与平面A′CN所成锐二面角的余弦值．
题后师说翻折问题的两个解题策略
巩固训练1[2023·河北保定模拟]如图1，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AC＝2AB＝12，E，F都在AC上，且AE∶EF∶FC＝3∶4∶5，EB∥FG，将△AEB，△CFG分别沿EB，FG折起，使得点A，C在点P处重合，得到四棱锥P - EFGB，如图2.(1)证明：EF⊥PB；(2)若M为PB的中点，求钝二面角B - FM - E的余弦值．
题后师说利用空间向量巧解探究性问题的策略
解析：(1)证明：连接AB1与A1B交于点O，则O为AB1的中点，连接OM，因为点M为B1C1的中点，所以OM∥AC1，因为OM⊂平面A1BM，AC1⊄平面A1BM，所以AC1∥平面A1BM.
题后师说利用向量法求解与角、体积有关的最值问题时，往往将问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最大值或最小值的问题．根据具体情况，有函数法、不等式法、三角函数法等方法可供选择．
解析：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PD.因为PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，PD∩BD＝D，所以AC⊥平面PBD.因为AC⊂平面PAC.所以平面PAC⊥平面PBD.
真题展台1.[2021·全国甲卷]已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.(1)证明：BF⊥DE；(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？
2．[2020·新高考Ⅰ卷]如图，四棱锥P - ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
解析：(1)因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC.因此AD⊥平面PDC.因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.