2024版新教材高考数学全程一轮总复习高考大题研究课十一概率与统计的综合问题

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习高考大题研究课十一概率与统计的综合问题，共15页。

关键能力·题型突破
题型一 离散型随机变量的均值与方差
例 1[2023·安徽皖江名校联考]国庆节期间，某大型服装团购会举办了一次“你消费我促销”活动，顾客消费满300元(含300元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中的一种)．
方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球(其中红球1个，黑球4个)的抽奖盒中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元．
方案二：从装有10个形状，大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，不放回地摸出3个球，中奖规则为：若摸出2个红球，1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折；其余情况不打折．
(1)某顾客恰好消费300元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望；
(2)若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理？
题后师说
离散型随机变量的均值与方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列再代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应．
巩固训练1
[2023·河北邢台模拟]全民国防教育日是每年9月的第三个星期六，它是国家设定的对全民进行大规模国防教育的主题活动日．目的是弘扬爱国主义精神，普及国防教育，使全民增强国防观念，掌握必要的国防知识和军事技能，自觉履行国防义务，关心、支持、参与国防建设．为更好推动本次活动开展，某市组织了国防知识竞赛．比赛规则：每单位一名选手参加，比赛进行n轮(n∈N*)，每轮比赛选手从A组题或B组题中抽取一道回答．每选手必须先回答A组题，若答对则下一轮回答B组题，若答错回答A组题．答对A组一题得10分，否则得0分，答对B组一题得20分，否则得0分，n轮结束累加总分．已知某单位拟选派甲乙中一人参赛，且甲答对A组题概率为0.8，答对B组题概率为0.5，乙答对A组题概率为0.5，答对B组题概率为0.8，且每人答对每道题相互独立．问：
(1)若比赛仅进行两轮，则安排甲乙谁参赛更合适？
(2)若安排甲选手参赛，求第四轮甲恰好回答B组题的概率．
题型二 概率与统计图表的综合
例 2[2023·安徽马鞍山模拟]某厂生产A，B两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中(注：收益率＝)
(1)求a的值；
(2)将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体．
①从产品B中随机抽取3件，求其中一等品件数X的分布列及数学期望；
②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品A或产品B，试分析投资哪种产品收益更大．
题后师说
概率与统计图表的综合主要以频率分布直方图、扇形图、折线图为载体，考查样本的频率分布、样本特征数以及概率的计算，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．
巩固训练2
[2023·河北沧州模拟]2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；
(2)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
题型三 概率与回归模型的综合
例 3[2023·黑龙江哈尔滨模拟]2022年春节前，受疫情影响，各地鼓励市民接种第三针新冠疫苗．某市统计了该市4个地区的疫苗接种人数与第三针接种人数(单位：万)，得到如下表格：
(1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的经验回归方程＝x(若|r|≥0.75，则线性相关程度很高，可用直线拟合)．
(2)若A区市民甲、乙均在某日接种疫苗，根据以往经验，上午和下午接种疫苗分别需等待20分钟和30分钟，已知甲、乙在上午接种疫苗的概率分别为p、3p－2(题后师说
求解概率与回归模型的综合问题时，一要正确运用回归模型有关的公式和数据计算，二要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键．
巩固训练3
[2023·广东东莞模拟]《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件．文件指出，民族要复兴，乡村必振兴．为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：
(1)(ⅰ)根据以上数据，求y关于x的经验回归方程；
(ⅱ)若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润．
(2)为了解该产品的价格是否合理，在试销平台上购买了该产品的顾客中随机抽了400人，阅读“购买后的评价”得知：对价格满意的有300人，基本满意的有50人，不满意的有50人．为进一步了解顾客对该产品价格满意度形成的原因，在购买该产品的顾客中随机抽取4人进行电话回访，记抽取的4人中对价格满意的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望．(视频率为相应事件发生的概率)
题型四 概率与独立性检验的综合
例 4[2023·重庆八中模拟]2022年卡塔尔世界杯于11月20日开赛，某国家队为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：
(1)根据小概率值α＝0.025的独立性检验，能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联？
(2)根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中场、后卫三个位置，且出场率分别为：0.1，0.5，0.4；在甲出任前锋、中场、后卫的条件下，球队输球的概率依次为：0.2，0.2，0.7，则；
①当甲参加比赛时，求该球队某场比赛输球的概率；
②当甲参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担当中场的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？
附表及公式：
χ2＝
题后师说
求解概率与独立性检验的综合问题时，一要根据公式计算准确，二要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键．
巩固训练4
[2023·河北石家庄模拟]我国政府加大了对全民阅读的重视程度，推行全民阅读工作，全民阅读活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民素质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在寒假中对本校高三800名学生(其中男生480名)按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，了解他们每天的阅读情况．
(1)根据所给数据，完成2×2列联表；
(2)根据(1)中的列联表，判断能否有99.9%的把握认为该高中高三学生“每天阅读时间低于1 h”与“性别”有关？
(3)若从抽出的200名学生中按“每天阅读时间是否低于1 h”采用分层抽样抽取10名学生准备进行读写测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天阅读时间不低于1 h的人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d
题型五 概率与函数、不等式、数列的综合
例 5[2023·辽宁大连模拟]某网络科技公司在年终总结大会上，为增添喜悦、和谐的气氛，设计了闯关游戏这一环节，闯关游戏必须闯过若干关口才能成功．其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案：
方案一：答题3道，至少有两道答对；
方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对．
方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关．假设程序员甲和程序员乙答对这3道题中每一道题的概率都是p(p∈(0，1))，且这3道题是否答对相互之间没有影响．程序员甲选择了方案一，程序员乙选择了方案二．
(1)求甲和乙各自通过第一关的概率；
(2)设甲和乙中通过第一关的人数为ξ，是否存在唯一的p的值p0，使得E(ξ)＝1？并说明理由．
题后师说
在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字或有关概率．决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现．
巩固训练5
[2023·福建厦门模拟]某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)经计算第(1)问中样本标准差S的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(μ，σ2)(用样本平均数和标准差s分别作为μ、σ的近似值)，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程X∈[250，400]的概率；
(参考数据：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上(方格图上依次标有数字0、1、2、3、…、20)移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”(第19格)，则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”(第20格)，则没有任何优惠券．已知硬币出现正、反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格(从k到k＋1)；若掷出反面，遥控车向前移动两格(从k到k＋2)，直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束．设遥控车移到第n(1≤n≤19)格的概率为Pn，试证明{Pn－Pn－1}是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值(精确到0.1万元)．
1.[2022·新高考Ⅱ卷]在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率．
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)．
2．[2021·新高考Ⅱ卷]一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)．
(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1；
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．
高考大题研究课十一 概率与统计的综合问题
关键能力·题型突破
例1 解析：(1)设实付金额为X元，X可能的取值为0，100，200，300，
则 P(X＝0)＝＝，
P(X＝100)＝＝，
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
故X的分布列为
所以E(X)＝0×＋100×＋200×＋300×＝240(元)．
(2)若选择方案一，设摸到红球的个数为Y，实付金额为φ，则φ＝500－100Y，
由题意可得 Y～B(3，)，故E(Y)＝3×＝，
所以E(φ)＝E(500－100Y)＝500－100E(Y)＝500－60＝440(元)；
若选择方案二，设实付金额为η元，η可能的取值为0，250，375，500，
则P(η＝0)＝＝，
P(η＝250)＝＝，
P(η＝375)＝＝，
P(η＝500)＝1－＝，
故η的分布列为
所以E(η)＝0×＋250×＋375×＋500×≈466.67(元)．
因为E(φ)故从实付金额的期望值分析顾客选择方案一更合理．
巩固训练1 解析：(1)依题意，总分x的所有可能取值为0，10，30，
若甲参赛，记“甲在第i轮答题且答对”为事件Ai(i＝1，2)，
P(x＝0)＝P()＝0.2×0.2＝0.04，
P(x＝10)＝P(A2＋A1)＝0.2×0.8＋0.8×0.5＝0.56，
P(x＝30)＝P(A1A2)＝0.8×0.5＝0.4，
所以x的分布列为
∴E(x)＝0×0.04＋10×0.56＋30×0.4＝17.6，
同理可得，若乙参赛，记“乙在第i轮答题且答对”分别为事件Bi(i＝1，2)，
P(x＝0)＝P()＝0.5×0.5＝0.25，
P(x＝10)＝P(B2＋B1)＝0.5×0.5＋0.5×0.2＝0.35，
P(x＝30)＝P(B1B2)＝0.5×0.8＝0.4，
所以x的分布列为
E(x)＝0×0.25＋10×0.35＋30×0.4＝15.5，
∵17.6>15.5，
∴安排甲参赛得分期望高于乙参赛得分期望，安排甲参赛更合适．
(2)设“甲在第i轮回答B组题”的事件为Ai，i＝2，3，4.
则事件A4发生包括“甲在第三轮回答A组题且回答正确”和“甲在第三轮回答B组题且回答正确”．
∴P(A4)＝(1－P(A3))·0.8＋P(A3)×0.5＝0.8－0.3P(A3)，
同理：P(A3)＝0.8－0.3P(A2)，而P(A2)＝0.8，
∴P(A3)＝0.8－0.3×0.8＝0.56，
P(A4)＝0.8－0.3×0.56＝0.632，
∴甲参赛且第四轮正好回答B组题概率为0.632.
例2 解析：(1)由题可得(0.005＋0.010＋0.015＋0.040＋a)×10＝1，
解得a＝0.030.
(2)①由直方图知：产品B为一等品的概率是，二等品概率是，三等品概率是，
由题知随机抽取3件是一等品的件数X可能的取值是0，1，2，3，且X～B(3，)，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
则X的分布列为：
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
②由题可得，产品A为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
产品B为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
产品A的收益：E1＝p＋×4p2＋p2＝p2＋p，
产品B的收益：E2＝p＋×4p2＋p2＝p2＋p，
∴E2－E1＝p2－p＝p(5p－2)，
因为所以E2－E1<0，即E2故投资产品A的收益更大．
巩固训练2 解析：(1)记“从10所学校中随机选取3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人”为事件A，
参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校共4所，
随机选择3所学校共＝4，所以P(A)＝＝＝.
(2)X的所有可能取值为0，1，2，3，
参与“单板滑雪”人数在45人以上的学校共4所，
所以P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
所以X的分布列如下表：
所以E(X)＝＋2×＋3×＝.
(3)记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件B，
则P(B)＝＝，
由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布B(n，)，
由题意列式n≥5，得n≥，
因为n∈N*，所以n的最小值为20，
故至少要进行20轮测试．
例3 解析：(1)由题：＝＝9，＝＝4，
＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，＝62＋82＋102＋122＝344，＝74，
所以相关系数r＝＝≈0.99>0.75，
说明y与x之间的线性相关程度很高，所以可用线性回归模型拟合y与x之间的关系．
＝＝＝0.7，＝＝4－0.7×9＝－2.3，
故y关于x的经验回归方程为＝0.7x－2.3.
(2)设甲、乙两人排队总时间为X，则X的所有可能取值为40，50，60，
P(X＝40)＝p(3p－2)＝3p2－2p，
P(X＝50)＝(1－p)(3p－2)＋p(3－3p)＝－6p2＋8p－2，
P(X＝60)＝(1－p)(3－3p)＝3p2－6p＋3.
所以E(X)＝(3p2－2p)×40＋(－6p2＋8p－2)×50＋(3p2－6p＋3)×60＝－40p＋80，
由－40p＋80≤50，得p≥，
又故p的取值范围为[，1)．
巩固训练3 解析：(1)(ⅰ)＝＝8.5，
＝＝80，
∴＝＝＝＝－20.
∴＝＝80＋20×8.5＝250，
∴经验回归方程为y＝－20x＋250.
(ⅱ)设工厂获得的利润为L万元，
则L＝(x－7)(－20x＋250)＝－20(x－9.75)2＋151.25，
∴该产品的单价定为9.75元时，工厂获得利润最大，最大利润为151.25万元．
(2)由题设可知对价格满意的频率为，基本满意和不满意的频率为，
随机变量X～B(4，)，P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4)，
随机变量X的分布列如下表：
随机变量X的数学期望为E(X)＝4×＝3.
例4 解析：(1)依题意，b＝30，c＝30，e＝40，f＝40，n＝100，零假设为H0：球队胜利与甲球员参赛无关，
χ2＝＝6.25>5.024，
根据小概率值α＝0.025的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为该球队胜利与甲球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过0.025.
(2)①设A1表示“甲球员担当前锋”；A2表示“甲球员担当中场”；A3表示“甲球员担当后卫”；B表示“球队输掉某场比赛”，
有P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.4，
P(B|A1)＝P(B|A2)＝0.2，P(B|A3)＝0.7，
则P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)
＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.1×0.2＋0.5×0.2＋0.4×0.7＝0.4，
所以该球队某场比赛输球的概率是0.4.
②由①知，球队输的条件下，甲球员担当中场的概率P(A2|B)＝＝＝0.25.
③由①知，球队输的条件下，甲球员担当前锋的概率
P(A1|B)＝＝＝0.05，
球队输的条件下，甲球员担当后卫的概率
P(A3|B)＝＝＝0.7，
由②知，P(A1|B)∶P(A2|B)∶P(A3|B)＝0.05∶0.25∶0.7＝1∶5∶14，
所以，应该多让甲球员担任前锋，来扩大赢球场次．
巩固训练4 解析：(1)200名学生中，男生人数为200×＝120，女生人数为200－120＝80，补全列联表如下：
(2)根据列联表可得：χ2＝＝＝12.5>10.828，所以有99.9%的把握认为该高中高三学生“每天阅读时间低于1 h”与“性别”有关．
(3)200名学生中“每天阅读时间不低于1 h”的人数为120人，因此抽取10名学生“每天阅读时间不低于1 h”的人数为6人，而X的所有可能取值为0，1，2，3，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为：
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.8.
例5 解析：(1)设答对题目的个数为X，由题意，得X～B(3，p)．
甲通过第一关的概率为P1＝p3＝3p2－2p3；
乙通过第一关的概率为P2＝p2.
(2)ξ的可能取值为0，1，2，
则P(ξ＝0)＝(1－P1)(1－P2)，
P(ξ＝1)＝P1(1－P2)＋(1－P1)P2，
P(ξ＝2)＝P1P2，
所以E(ξ)＝0×(1－P1)(1－P2)＋1×[P1(1－P2)＋(1－P1)P2]＋2×P1P2＝P1＋P2＝3p2－2p3＋p2＝4p2－2p3.
设f(p)＝4p2－2p3－1(00，
从而当0所以存在唯一的p的值p0，使得f(p)＝0，即E(ξ)＝1.
巩固训练5 解析：(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：
＝205×0.01＋255×0.02＋305×0.45＋355×0.02＋405×0.05＝300；
(2)∵X～N(300，502)，
∴P(250≤X≤400)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)≈＝0.818 6.
(3)由题可知P0＝1，P1＝，
遥控车移到第n(2≤n≤19)格有两种可能：
①遥控车先到第n－2格，又掷出反面，其概率为Pn－2；
②遥控车先到第n－1格，又掷出正面，其概率为Pn－1，
∴Pn＝Pn－2＋Pn－1，
∴2≤n≤19时，Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)，又∵P1－P0＝－≠0，
∴当1≤n≤19时，数列{Pn－Pn－1}首项为－，公比为－的等比数列，
∴P1－P0＝－，P2－P1＝，P3－P2＝，…，Pn－Pn－1＝，
以上各式相加，得Pn－1＝＋＋…＋＝·[1－]，
∴1≤n≤19时，Pn＝，
∴到达“胜利大本营”的概率P19＝·，
∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为Y万元，则Y＝3或0，
∴Y的期望E(Y)＝3·P19＋0·(1－P19)＝3·(·)＝2－≈2.0，
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为2.0万元．
真题展台——知道高考考什么？
1．解析：(1)平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝(0.005＋0.03＋0.3＋0.595＋1.035＋1.1＋1.105＋0.45＋0.17)×10＝47.9(岁)．
(2)设A＝{一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)}，则P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.
(3)设B＝{任选一人年龄位于区间[40，50)}，C＝{任选一人患这种疾病}，
则由条件概率公式，得
P(C|B)＝＝
＝＝0.001 437 5≈0.001 4.
即此人患这种疾病的概率约为0.001 4.
2．解析：(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
(2)证明：设f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1－1)x＋p0，
因为p3＋p2＋p1＋p0＝1，故f(x)＝p3x3＋p2x2－(p2＋p0＋p3)x＋p0，
若E(X)≤1，则p1＋2p2＋3p3≤1，故p2＋2p3≤p0.
f′(x)＝3p3x2＋2p2x－(p2＋p0＋p3)，
因为f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0，f′(1)＝p2＋2p3－p0≤0，
故f′(x)有两个不同零点x1，x2，且x1<0<1≤x2，
且x∈(－∞，x1)时，f′(x)>0；x∈(x1，x2)时，f′(x)<0；
故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上为增函数，在(x1，x2)上为减函数，
若x2＝1，因为f(x)在(x2，＋∞)为增函数且f(1)＝0，
而当x∈(0，x2)时，因为f(x)在(x1，x2)上为减函数，故f(x)>f(x2)＝f(1)＝0，
故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，
若x2>1，因为f(1)＝0且在(0，x2)上为减函数，故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，
综上，若E(X)≤1，则p＝1.
若E(X)>1，则p1＋2p2＋3p3>1，故p2＋2p3>p0.
此时f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0，
f′(1)＝p2＋2p3－p0>0，
故f′(x)有两个不同零点x3，x4，且x3<0且x∈(－∞，x3)时，f′(x)>0；x∈(x3，x4)时，f′(x)<0；
故f(x)在(－∞，x3)，(x4，＋∞)上为增函数，在(x3，x4)上为减函数，
而f(1)＝0，故f(x4)<0，
又因为f(0)＝p0>0，故f(x)在(0，x4)存在一个零点p，且p<1.
所以p为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，此时p<1，
故当E(X)>1时，p<1.
(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
等级
一等品
二等品
三等品
指标值m
m≥140
120≤m<140
m<120
产品收益率
p
4p2
p2
A区
B区
C区
D区
疫苗接种人数x/万
6
8
10
12
第三针接种人数y/万
2
3
5
6
单价x(元/件)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(万件)
90
84
83
80
75
68
球队胜
球队负
总计
甲参加
30
b
60
甲未参加
c
10
f
总计
60
e
n
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
每天阅读时间低于1 h
每天阅读时间不低于1 h
总计
男生
60
女生
20
总计
200
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
X
0
100
200
300
P
η
0
250
375
500
P
x
0
10
30
P
0.04
0.56
0.4
x
0
10
30
P
0.25
0.35
0.4
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
4
P
每天阅读时间低于1 h
每天阅读时间不低于1 h
总计
男生
60
60
120
女生
20
60
80
总计
80
120
200
X
0
1
2
3
P