2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业六十七二项分布超几何分布与正态分布

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业六十七二项分布超几何分布与正态分布，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．[2023·安徽亳州一中期末]已知随机变量X服从二项分布X～B(4，eq \f(1,3))，P(X＝2)＝( )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(2,3)C．eq \f(8,9)D．eq \f(8,27)
2．摇奖器内有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金X(元)为这3个小球上所标数字之和，则获得12元奖金的概率是( )
A．eq \f(1,15)B．eq \f(7,15)C．eq \f(14,15)D．eq \f(8,15)
3．[2023·黑龙江肇东期末]一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从( )
A．二项分布，且E(X)＝8
B．两点分布，且E(X)＝12
C．超几何分布，且E(X)＝8
D．超几何分布，且E(X)＝12
4．[2023·河北邢台模拟]已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X≤6)＝0.7，那么P(－2≤X≤6)＝( )
A．0.2B．0.6C．0.4D．0.8
5．根据历史数据，某山区在某个季节中每天出现雾凇的概率均为p，且在该季节的连续4天中，都不出现雾凇的概率为eq \f(81,256).据此估计，该地在该季节接下来的连续三天中，恰有一天出现雾凇的概率为( )
A．eq \f(27,64)B．eq \f(9,64)C．eq \f(4,9)D．eq \f(2,9)
6．[2023·江西信丰模拟]随机变量Y～B(n，p)，且E(Y)＝3.6，D(Y)＝2.16，则此二项分布是( )
A．B(4，0.9) B．B(9，0.4)
C．B(18，0.2) D．B(36，0.1)
7．[2023·河北石家庄二中模拟]已知两个随机变量X，Y，其中X～B(5，eq \f(1,5))，Y～N(μ，σ2)(σ>0)，若E(X)＝E(Y)，且P(|Y|<1)＝0.3，则P(Y<－1)＝( )
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.1
8．[2023·广东佛山模拟]李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X～N(μ1，62)，Y～N(μ2，22).X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是( )
A．D(X)＝6
B．μ1>μ2
C．P(X≤38)D．P(X≤34)9．(能力题)[2023·山东济南历城二中模拟]从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A．2B．1C．3D．4
10.
(能力题)如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X表示小球落入格子的号码，则( )
A．P(X＝1)＝P(X＝6)＝eq \f(1,64)
B．E(X)＝eq \f(5,2)
C．D(X)＝eq \f(3,2)
D．D(X)＝eq \f(5,4)
二、多项选择题
11．若袋子中有2个白球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则( )
A．X～B(4，eq \f(3,5))
B．P(X＝3)＝eq \f(4,25)
C．X的期望E(X)＝eq \f(8,5)
D．X的方差D(X)＝eq \f(24,25)
12．(能力题)[2023·辽宁协作体期末]目前有望战胜新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接种预防．装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数(简称：膨胀系数).某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X1服从正态分布N(4.4，0.09)，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X2服从正态分布N(4.7，0.01)，则下列选项正确的是( )
附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.
A．甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在(4.1，4.7)的概率约为0.6827
B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中
C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃膨胀系数不能超过5.则乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大
D．乙生产线所产的硼硅玻璃膨胀系数小于4.5的概率与大于4.8的概率相等
三、填空题
13．[2023·山东日照模拟]一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球，现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若D(X)＝1，则E(X)＝________．
14．(能力题)[2023·山西怀仁模拟]对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N(0，eq \f(2,n))，为使误差εn在(－0.5，0.5)的概率不小于0.9545，至少要测量________次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)＝0.9545).
四、解答题
15．某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关，某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布及数学期望；
(2)他能过关的概率．
16．(能力题)[2023·安徽皖南八校联考]产品的质量是一个企业在市场中获得消费者信赖的重要因素，某企业对出厂的每批次产品都进行性能测试．某检验员在某批次的产品中抽取5个产品进行性能测试，现有甲、乙两种不同的测试方案，每个产品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为eq \f(1,2)，选择乙方案测试合格的概率为eq \f(3,4)，且每次测试的结果互不影响．
(1)若3个产品选择甲方案，2个产品选择乙方案．
(ⅰ)求5个产品全部测试合格的概率；
(ⅱ)求4个产品测试合格的概率．
(2)若测试合格的产品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的产品个数．
优生选做题
17．[2023·河北保定模拟]某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X(单位：g)服从正态分布N(65，4.84).
(1)当质检员随机抽检20袋该种零食时，测得1袋零食的质量为73g，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据．
(2)规定：这种零食的质量在62.8g～69.4g的为合格品．
①求这种零食的合格率；(结果精确到0.001)
②从该种零食中任意挑选n袋，合格品的袋数为Y，若Y的数学期望大于58，求n的最小值．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.9973.
课时作业（六十七） 二项分布、超几何分布与正态分布
1．解析：∵随机变量X服从二项分布X～B（4，eq \f(1,3)），
∴P（X＝2）＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)·（1－eq \f(1,3)）2＝eq \f(8,27).
故选D.
答案：D
2．解析：当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，X＝12，
故P（X＝12）＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(8)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(1,15).
故选A.
答案：A
3．解析：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布的定义得X服从超几何分布，所以E（X）＝eq \f(40×20,100)＝8.故选C.
答案：C
4．解析：因为随机变量X～N（2，σ2），P（X≤6）＝0.7，由正态分布的对称性可知，P（－2≤X≤6）＝1－2P（X≥6）＝1－2×0.3＝0.4.故选C.
答案：C
5．解析：由题意得，（1－p）4＝eq \f(81,256)，解得p＝eq \f(1,4)，故在该地该季节的连续三天中，恰有一天出现雾凇的概率为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(27,64).故选A.
答案：A
6．解析：∵随机变量Y～B（n，p），且E（Y）＝3.6，
D（Y）＝2.16，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(np＝3.6 ①，,np（1－p）＝2.16 ②，))
②除以①得1－p＝0.6，
即p＝0.4，代入①解得n＝9，
∴此二项分布是Y～B（9，0.4），故选B.
答案：B
7．解析：由题设E（X）＝E（Y）＝5×eq \f(1,5)＝1，即μ＝1，
又P（|Y|<1）＝P（－1故选A.
答案：A
8．解析：对于A中，随机变量X服从正态分布，且X～N（μ1，62），可得随机变量X的方差为σ2＝62，即D（X）＝36，所以A错误；对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图象，可得随机变量μ1＝30，μ2＝34，所以μ1<μ2，所以B错误；对于C中，根据正态分布密度曲线图象，可得X≤38时，随机变量X对应的曲线与x围成的面积小于Y≤38时随机变量Y对应的曲线与x围成的面积，所以P（X≤38）eq \f(1,2)，P（Y≤34）＝eq \f(1,2)，即P（X≤34）>P（Y≤34），所以D错误．故选C.
答案：C
9．解析：ξ的可能取值为0，1，2.
P（ξ＝0）＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(13)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(15)) )＝eq \f(22,35)，P（ξ＝1）＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(13)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(15)) )＝eq \f(12,35)，
P（ξ＝2）＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(13)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(15)) )＝eq \f(1,35).
∴ξ的分布列为：
于是E（ξ）＝0×eq \f(22,35)＋1×eq \f(12,35)＋2×eq \f(1,35)＝eq \f(2,5)，
故E（5ξ＋1）＝5E（ξ）＋1＝5×eq \f(2,5)＋1＝3.
故选C.
答案：C
10．解析：设A＝“向右下落”，则eq \(A,\s\up6(－))＝“向左下落”，且P（A）＝P（eq \(A,\s\up6(－))）＝eq \f(1,2)，
设Y＝X－1，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以Y～B（5，eq \f(1,2)），
于是P（Y＝k）＝P（X＝k＋1）＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) （eq \f(1,2)）k（1－eq \f(1,2)）5－k＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) （eq \f(1,2)）5（k＝0，1，2，3，4，5）.
所以P（X＝1）＝P（X＝6）＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) （eq \f(1,2)）5＝eq \f(1,32)，A错误；
P（X＝2）＝P（X＝5）＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) （eq \f(1,2)）5＝eq \f(5,32)，
P（X＝3）＝P（X＝4）＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) （eq \f(1,2)）5＝eq \f(5,16)，
所以E（X）＝（1＋6）×eq \f(1,32)＋（2＋5）×eq \f(5,32)＋（3＋4）×eq \f(5,16)＝eq \f(7,2)，B错误；
D（X）＝（1－eq \f(7,2)）2×eq \f(1,32)＋（2－eq \f(7,2)）2×eq \f(5,32)＋（3－eq \f(7,2)）2×eq \f(10,32)＋（4－eq \f(7,2)）2×eq \f(10,32)＋（5－eq \f(7,2)）2×eq \f(5,32)＋（6－eq \f(7,2)）2×eq \f(1,32)＝eq \f(5,4)，C错误，D正确．故选D.
答案：D
11．解析：由题意知从袋子中有放回地随机取球4次，每次取到白球的概率为eq \f(2,5)，
取到白球记1分，取到黑球的概率为eq \f(3,5)，取到黑球记0分，
则记4次取球的总分数为X，即为4次取球取到白球的个数，
则知X～B（4，eq \f(2,5)），A错误；
P（X＝3）＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(3)×eq \f(3,5)＝eq \f(96,625)，B错误；
X的期望E（X）＝4×eq \f(2,5)＝eq \f(8,5)，C正确；
X的方差D（X）＝4×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(24,25)，D正确．
故选CD.
答案：CD
12．解析：由甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X1服从正态分布N（4.4，0.09）知σ1＝0.3，μ1＝4.4，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X2服从正态分布N（4.7，0.01），σ2＝0.1，μ2＝4.7，
对于A选项，所以P（μ1－σ1≤X≤μ1＋σ1）≈0.6827，即甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在（4.1，4.7）的概率约为0.6827，故A选项正确；
对于B选项，由于σ1＝0.3>σ2＝0.1，故乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，故B选项错误；
对于C选项，对于甲生产线，P（X1≤5）＝P（X1≤μ1＋2σ1）＝eq \f(1,2)＋P（μ1P（X2≤5）＝P（X2≤μ2＋3σ2）＝eq \f(1,2)＋P（μ2对于D选项，P（X2≤4.5）＝P（X2≤μ2－2σ2），P（X2≥4.8）＝P（X2≥μ2＋σ2）＝P（X2≤μ2－σ2）>P（X2≤μ2－2σ2），故D选项错误．
故选AC.
答案：AC
13．解析：有放回的摸取4次，每次随机摸取一球是白球的概率相等，设为p，而摸取1次即为一次试验，只有两个不同结果，
因此，X～B（4，p），则D（X）＝4（1－p）p＝1，解得p＝eq \f(1,2)，
所以E（X）＝4p＝2.
答案：2
14．解析：根据正态曲线的对称性知：要使误差εn在（－0.5，0.5）的概率不小于0.9545，
则（μ－2σ，μ＋2σ）⊆（－0.5，0.5）且μ＝0，σ＝eq \r(\f(2,n))，
所以0.5≥2eq \r(\f(2,n))⇒n≥32.
答案：32
15．解析：（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为X，则X的所有可能取值为0，1，2，3
P（X＝0）＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(4,120)＝eq \f(1,30)，P（X＝1）＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(6×6,120)＝eq \f(3,10)，P（X＝2）＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(15×4,120)＝eq \f(1,2)，P（X＝3）＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(20,120)＝eq \f(1,6)，
X的分布列为
数学期望E（X）＝0×eq \f(1,30)＋1×eq \f(3,10)＋2×eq \f(1,2)＋3×eq \f(1,6)＝eq \f(9,5).
（2）他能过关的概率为P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(2,3).
16．解析：（1）（ⅰ）因为3个产品选择甲方案，2个产品选择乙方案，
所以5个产品全部测试合格的概率为P＝（eq \f(1,2)）3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,128).
（ⅱ）4个产品测试合格分两种情况，
第一种情况，3个产品甲方案测试合格和1个产品乙方案测试合格，
此时概率为P1＝（eq \f(1,2)）3×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×eq \f(3,4)×（1－eq \f(3,4)）＝eq \f(3,64)；
第二种情况，2个产品甲方案测试合格和2个产品乙方案测试合格，
此时概率为P2＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ×（eq \f(1,2)）2×（1－eq \f(1,2)）×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(27,128)；
所以4个产品测试合格的概率为P1＋P2＝eq \f(3,64)＋eq \f(27,128)＝eq \f(33,128).
（2）设选择甲方案测试的产品个数为n（n＝0，1，2，3，4，5），则选择乙方案测试的产品个数为5－n，并设通过甲方案测试合格的产品个数为X，通过乙方案测试合格的产品个数为Y，
当n＝0时，此时所有产品均选择方案乙测试，则Y～B（5，eq \f(3,4)），
所以E（X＋Y）＝E（Y）＝5×eq \f(3,4)＝eq \f(15,4)>3，符合题意；
当n＝5时，此时所有产品均选择方案甲测试，则X～B（5，eq \f(1,2)），
所以E（X＋Y）＝E（X）＝5×eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)<3，不符合题意；
当n＝1，2，3，4时，X～B（n，eq \f(1,2)），Y～B（5－n，eq \f(3,4)），
所以E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）＝eq \f(1,2)n＋eq \f(3（5－n）,4)＝eq \f(15－n,4)，
若使E（X＋Y）＝eq \f(15－n,4)≥3，解得n≤3，则n＝1，2，3，
综上，选择甲方案测试的产品个数为0，1，2，3时，测试合格的产品个数的期望不小于3.
17．解析：（1）因为X～N（65，4.84），所以μ＝65，σ＝2.2，
所以μ＋3σ＝71.6，73∈（μ＋3σ，＋∞），
所以P（X>71.6）＝eq \f(1－P（58.4≤X≤71.6）,2)＝eq \f(1－0.9973,2)＝0.00135.
因为0.00135远小于eq \f(1,20)，所以此事件应为小概率事件，
而质检员随机抽检20袋该种零食时，测得1袋零食的质量为73g，说明小概率事件确实发生了，因此他立即要求停止生产，检查设备的决定有道理．
（2）①因为μ＝65，σ＝2.2，所以μ－σ＝62.8，μ＋2σ＝69.4，
由题意可知当零食质量X满足μ－σ≤X≤μ＋2σ时为合格品，
所以这种零食的合格率为eq \f(0.6827＋0.9545,2)＝0.8186≈0.819.
②由题意可知Y～B（n，0.819），
则E（Y）＝0.819n>58，
则n>eq \f(58,0.819)≈70.82，故n的最小值为71；
[注]在第（2）问第②小问中，若写为Y～B（n，0.8186），则E（Y）＝0.8186n>58，
则n>eq \f(58,0.8186)≈70.85，故n的最小值为71.
ξ
0
1
2
P
eq \f(22,35)
eq \f(12,35)
eq \f(1,35)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,30)
eq \f(3,10)
eq \f(1,2)
eq \f(1,6)