2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业五十三双曲线及其性质
展开1.已知双曲线E:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,4)=1(a>0)的离心率为eq \r(3),则E的焦点坐标为( )
A.(±1,0) B.(±eq \r(2),0)
C.(±eq \r(5),0) D.(±eq \r(6),0)
2.[2023·河北衡水模拟]已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的焦距为2eq \r(5),且实轴长为2,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±eq \f(1,2)xB.y=±eq \r(5)x
C.y=±2xD.y=±eq \f(\r(5),2)x
3.[2023·辽宁沈阳模拟]关于双曲线C1:x2-y2=2与C2:y2-x2=2,下列说法中错误的是( )
A.它们的焦距相等B.它们的顶点相同
C.它们的离心率相等D.它们的渐近线相同
4.[2023·江西九江模拟]若双曲线C的一个焦点为(5,0),且与双曲线eq \f(y2,2)-eq \f(x2,8)=1的渐近线相同,则双曲线C的离心率为( )
A.eq \f(5,4)B.5
C.eq \f(\r(5),2)D.eq \r(5)
5.[2023·安徽安庆一中期末]已知双曲线eq \f(x2,2)-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,|PF1|+|PF2|=6eq \r(2),O为坐标原点,M是PF1中点,则|OM|=( )
A.eq \r(2)B.2eq \r(2)
C.3eq \r(2)D.4eq \r(2)
6.[2023·黑龙江佳木斯一中期末]设F1,F2是双曲线x2-eq \f(y2,24)=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于( )
A.4eq \r(2)B.8eq \r(3)
C.24D.48
7.已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)与椭圆E:eq \f(x2,9)+eq \f(y2,4)=1有相同的焦点,且一条渐近线方程为l:x-2y=0,则双曲线C的方程为( )
A.x2-eq \f(y2,4)=1B.eq \f(x2,4)-y2=1
C.-x2+eq \f(y2,4)=1D.-eq \f(x2,4)+y2=1
8.已知双曲线E:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)以正方形ABCD的两个顶点为焦点,且经过该正方形的另两个顶点,若正方形ABCD的边长为2,则E的实轴长为( )
A.2eq \r(2)-2B.2eq \r(2)+2
C.eq \r(2)-1D.eq \r(2)+1
9.(能力题)[2023·河南南阳模拟]已知双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2eq \r(3),0),过F和P(0,2b)两点的直线与双曲线的一条渐近线平行,则该双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,9)-eq \f(y2,3)=1B.eq \f(x2,3)-eq \f(y2,9)=1
C.eq \f(x2,8)-eq \f(y2,4)=1D.eq \f(x2,4)-eq \f(y2,8)=1
10.(能力题)[2023·安徽宣城模拟]已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上的一点,且△PF1F2的周长为4a+2eq \r(a2+b2),则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A.(1,2) B.(1,4)
C.(2,+∞) D.(4,+∞)
二、多项选择题
11.[2023·广东佛山模拟]已知曲线C的方程为eq \f(y2,m)-eq \f(x2,n)=1,下列说法正确的是( )
A.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则m>-n>0
B.曲线C可能是圆
C.若mn<0,则曲线C一定是双曲线
D.若C为双曲线,则渐近线方程为y=±eq \r(\f(m,n))x
12.(能力题)[2023·河北唐山模拟]已知F1,F2为双曲线C:eq \f(y2,3)-x2=1的两个焦点,P为双曲线C上任意一点,则( )
A.|PF1|-|PF2|=2eq \r(3)
B.双曲线C的渐近线方程为y=±eq \f(\r(3),3)x
C.双曲线C的离心率为eq \f(2\r(3),3)
D.|eq \(PF,\s\up6(→))1+eq \(PF,\s\up6(→))2|≥2eq \r(3)
三、填空题
13.[2023·广东广州模拟]写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程____________.
①中心在原点,焦点在y轴上 ②一条渐近线方程为y=2x ③焦距大于10
14.(能力题)[2023·山东郓城模拟]设F1,F2分别是双曲线C:x2-eq \f(y2,b)=1的左右焦点,过F2作x轴的垂线与C交于A,B两点,若△ABF1为正三角形,则C的离心率为________,△ABF1的面积为________.
四、解答题
15.[2023·河南南阳期末]已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0),第一象限内的点P在C上,双曲线的左、右焦点分别记为F1,F2,且|PF1|=2|PF2|,PF1·PF2=0,O为坐标原点.
(1)求双曲线C的离心率;
(2)(能力题)若△OF2P的面积为2,求点P的坐标.
优生选做题
16.[2023·河北邯郸期末](多选)已知双曲线C:eq \f(y2,9)-eq \f(x2,16)=1的上、下焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C的上支上,点Q(-5,0),则下列说法正确的有( )
A.双曲线C的离心率为eq \f(4,3)
B.|PF2|的最小值为8
C.△PQF2周长的最小值为6+10eq \r(2)
D.若△PF1F2内切圆的圆心为M,则M点的纵坐标为3
17.已知双曲线eq \f(x2,m)-eq \f(y2,5)=1(m>0)的一条渐近线方程为eq \r(5)x+2y=0,左焦点为F,点P在双曲线右支上运动,点Q在圆x2+(y-4)2=1上运动,则|PQ|+|PF|的最小值为______.
课时作业(五十三) 双曲线及其性质
1.解析:根据题意得,双曲线E:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,4)=1(a>0)是焦点在x轴的双曲线,
所以b2=4,c2=a2+b2=a2+4,所以e=eq \f(c,a)=eq \r(\f(c2,a2))=eq \r(\f(a2+4,a2))=eq \r(3),
解得a2=2,所以c2=6,所以焦点坐标为(±eq \r(6),0).
故选D.
答案:D
2.解析:由题意可知,2c=2eq \r(5),2a=2,所以c=eq \r(5),a=1,
所以b=eq \r(c2-a2)=2,则eq \f(b,a)=2,渐近线方程为y=±2x.
故选C.
答案:C
3.解析:由C1:x2-y2=2,可得C1:eq \f(x2,2)-eq \f(y2,2)=1,其焦距为2eq \r(2+2)=4,顶点坐标为(±eq \r(2),0),离心率为eq \r(\f(2+2,2))=eq \r(2),渐近线方程为y=±x;
由C2:y2-x2=2,可得C2:eq \f(y2,2)-eq \f(x2,2)=1,其焦距为2eq \r(2+2)=4,顶点坐标为(0,±eq \r(2)),离心率为eq \r(\f(2+2,2))=eq \r(2),渐近线方程为y=±x;
所以双曲线C1:x2-y2=2与C2:y2-x2=2的顶点坐标不同.
故选B.
答案:B
4.解析:依题意可知,双曲线eq \f(y2,2)-eq \f(x2,8)=1的渐近线方程为y=±eq \f(1,2)x,
即双曲线C的渐近线方程为y=±eq \f(1,2)x,即eq \f(b2,a2)=eq \f(1,4),a2=4b2,
由c2=a2+b2=25可知,b2=5,a2=20,
则e=eq \f(c,a)=eq \f(5,2\r(5))=eq \f(\r(5),2).
故选C.
答案:C
5.解析:在双曲线eq \f(x2,2)-y2=1中,a=eq \r(2),b=1,c=eq \r(3),
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2eq \r(2),又因为|PF1|+|PF2|=6eq \r(2),则|PF2|=2eq \r(2),
因为O、M分别为F1F2、PF1的中点,故|OM|=eq \f(1,2)|PF2|=eq \r(2).
故选A.
答案:A
6.解析:双曲线的实轴长为2,焦距为|F1F2|=10.根据题意和双曲线的定义知
2=|PF1|-|PF2|=eq \f(4,3)|PF2|-|PF2|=eq \f(1,3)|PF2|,
所以|PF2|=6,|PF1|=8,
所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2=eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|=eq \f(1,2)×6×8=24.
故选C.
答案:C
7.解析:∵双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1的一条渐近线方程为l:x-2y=0,
∴设双曲线C:eq \f(x2,4λ)-eq \f(y2,λ)=1.
∵双曲线C与椭圆E有相同的焦点,
∴4λ+λ=5,解得:λ=1,
∴双曲线C的方程为eq \f(x2,4)-y2=1.
故选B.
答案:B
8.解析:由图知,c=1,
易知D(1,2),代入双曲线方程得eq \f(1,a2)-eq \f(4,b2)=1,又a2+b2=1,
联立求解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2=3-2\r(2),b2=2\r(2)-2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2=2\r(2)+3,b2=-2\r(2)-2))(舍去)
所以a=eq \r(2)-1,
所以双曲线E的实轴长为2eq \r(2)-2.
故选A.
答案:A
9.解析:因为双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1,所以它的渐近线为y=±eq \f(b,a)x,
又因为F(2eq \r(3),0),Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,2b)),所以直线PF的斜率为kPF=eq \f(2b-0,0-2\r(3))=-eq \f(b,\r(3)),
因为直线PF与双曲线的一条渐近线平行,所以-eq \f(b,\r(3))=-eq \f(b,a),故a=eq \r(3),
又因为双曲线的右焦点为F(2eq \r(3),0),所以c=2eq \r(3),故b2=c2-a2=12-3=9,
所以该双曲线的方程为eq \f(x2,3)-eq \f(y2,9)=1.
故选B.
答案:B
10.解析:设双曲线C的焦距为2c,∴|F1F2|=2c,a2+b2=c2.
∵P是双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)右支上的一点,∴|PF1|-|PF2|=2a,
∵△PF1F2的周长为4a+2eq \r(a2+b2),∴|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4a+2eq \r(a2+b2),
∴|PF1|+|PF2|+2c=4a+2c,∴|PF1|+|PF2|=4a,∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|=4a)),∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|=3a,|PF2|=a)),
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|-|PF2|<|F1F2|,|F1F2|-|PF2|<|PF1|)),∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a-a<2c,2c-a<3a)),∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a
故选A.
答案:A
11.解析:因为曲线C的方程为eq \f(y2,m)-eq \f(x2,n)=1,
对于A:曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则eq \f(x2,-n)+eq \f(y2,m)=1,即-n>m>0,故A错误;
对于B:当m=-n>0时曲线C表示圆,故B正确;
对于C:若m=-n=1,满足mn<0,曲线C为x2+y2=1,表示圆,故C错误;
对于D:若eq \f(y2,m)-eq \f(x2,n)=1为双曲线,则mn>0,
当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m>0,n>0))时,eq \f(y2,m)-eq \f(x2,n)=1表示焦点在y轴上的双曲线,其渐近线方程为y=±eq \r(\f(m,n))x,
当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<0,n<0))时,eq \f(x2,-n)-eq \f(y2,-m)=1表示焦点在x轴上的双曲线,其渐近线方程为y=±eq \r(\f(m,n))x,故D正确.
故选BD.
答案:BD
12.解析:双曲线C:eq \f(y2,3)-x2=1焦点在y轴上,a=eq \r(3),b=1,c=eq \r(a2+b2)=2.
对于A选项,||PF1|-|PF2||=2a=2eq \r(3),而P点在哪支上并不确定,故A错误;
对于B选项,焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±eq \f(a,b)x=±eq \r(3)x,故B错误;
对于C选项,e=eq \f(c,a)=eq \f(2,\r(3))=eq \f(2\r(3),3),故C正确;
对于D选项,设P(x,y),则|PO|=eq \r(x2+y2)=eq \r(x2+(3x2+3))=eq \r(3+4x2)≥eq \r(3)(x=0时取等号)
因为O为F1F2的中点,所以|eq \(PF,\s\up6(→))1+eq \(PF,\s\up6(→))2|=|2eq \(PO,\s\up6(→))|=2|eq \(PO,\s\up6(→))|≥2eq \r(3),故D正确.
故选CD.
答案:CD
13.解析:由①中心在原点,焦点在y轴上知,可设双曲线方程为:eq \f(y2,a2)-eq \f(x2,b2)=1(a>0,b>0);
由②一条渐近线方程为y=2x知,eq \f(a,b)=2,即a=2b;
由③知,2c>10,即c>5,
则可取c=6(此处也可取大于5的其他数)
又∵a2+b2=c2,∴(2b)2+b2=36,∴b2=eq \f(36,5),
∴a2=4b2=eq \f(144,5),
则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为:eq \f(5y2,144)-eq \f(5x2,36)=1.
答案:eq \f(5y2,144)-eq \f(5x2,36)=1(答案不唯一,写出一个即可)
14.解析:∵△ABF1为正三角形,
设|AF2|=t,则|AF1|=2t,|F1F2|=eq \r(3)t,又双曲线C:x2-eq \f(y2,b)=1,
∴t=2,|F1F2|=2eq \r(3),离心率e=eq \f(|F1F2|,|AF1|-|AF2|)=eq \r(3),
∴b=3-1=2,
故△ABF1的面积为eq \f(\r(3),4)×42=4eq \r(3).
答案:eq \r(3) 4eq \r(3)
15.解析:(1)∵|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a,
∴|PF1|=4a,|PF2|=2a,
∵PF1⊥PF2,∴(2c)2=(4a)2+(2a)2,化为:c2=5a2,
∴e2=5,e=eq \r(5),即双曲线C的离心率为eq \r(5).
(2)由题意可得:S△PF1F2=eq \f(1,2)×2a×4a=2×2,S△OF2P=eq \f(1,2)c·|yP|=2,
又c2=5a2,解得a=1,c=eq \r(5),yP=eq \f(4\r(5),5),
所以b2=4,双曲线方程为x2-eq \f(y2,4)=1,
把yP=eq \f(4\r(5),5)代入双曲线方程,得:x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(P)) -eq \f(\f(16,5),4)=1,xP>0,解得xP=eq \f(3\r(5),5).
∴P(eq \f(3\r(5),5),eq \f(4\r(5),5)).
16.解析:对于A:e=eq \f(c,a)=eq \f(5,3),∴A错误;
对于B:|PF2|的最小值为a+c=8,B正确;
对于C:如图,
△PQF2的周长=|PQ|+|QF2|+|PF2|=|PQ|+|QF2|+2a+|PF1|=6+5eq \r(2)+|PQ|+|PF1|≥6+10eq \r(2)(当且仅当Q,P,F1三点共线时取等号),C正确;
对于D:如图,
设△PF1F2的内切圆分别与PF1,F1F2,PF2切于点A,B,D,则PA=PD,F1A=F1B,F2B=F2D,∴|PF2|-|PF1|=|F2D|-|F1A|=|F2B|-|F1B|=6.又|F2B|+|F1B|=10,∴|F2B|=8,∴B(0,3),∴M点的纵坐标为3,D正确.
故选BCD.
答案:BCD
17.解析:由双曲线eq \f(x2,m)-eq \f(y2,5)=1(m>0)的一条渐近线方程为eq \r(5)x+2y=0,
可得eq \f(\r(5m),m)=eq \f(\r(5),2),解得m=4.
所以eq \f(x2,4)-eq \f(y2,5)=1,双曲线的左焦点坐标为F(-3,0),右焦点坐标为F′(3,0),
由双曲线的定义,知|PF|-|PF′|=4,即|PF|=4+|PF′|,
由圆x2+(y-4)2=1可得圆心C(0,4),半径为r=1,
|PQ|+|PF|=4+|PF′|+|PQ|≥|QF′|+4,
问题转化为求点F′到圆x2+(y-4)2=1上的最小值,
即|QF′|min=|CF′|-1=eq \r((3-0)2+(0-4)2)-1=5-1=4,
所以(|PQ|+|PF|)min=4+4=8.
所以|PQ|+|PF|的最小值为8.
答案:8
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