2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业五十五抛物线及其性质

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业五十五抛物线及其性质，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．[2023·安徽马鞍山模拟]已知抛物线x2＝ay过点(eq \f(1,2)，－1)，则其准线方程为( )
A．x＝－eq \f(1,16)B．y＝－eq \f(1,16)
C．x＝eq \f(1,16)D．y＝eq \f(1,16)
2．[2023·河北邢台期末]已知M为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则p＝( )
A．3B．4
C．5D．6
3．[2023·黑龙江大庆模拟]已知抛物线y2＝2px上的点M(2，y0)到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是( )
A．y2＝2xB．y2＝4x
C．y2＝－2xD．y2＝－4x
4．[2023·山东师范大学附中模拟]已知O为坐标原点，抛物线x＝eq \f(1,4)y2的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|＝3，则M点到x轴的距离为( )
A．2B．eq \f(47,16)
C．2eq \r(3)D．2eq \r(2)
5．[2023·河南杞县期末]已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，点A为C上一点，点B的坐标为(6，0)，若|AF|＝|BF|，则△ABF的面积为( )
A．2B．4
C．8D．16
6．已知抛物线E：x2＝8y的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若|PF|＝10，则点Q的纵坐标为( )
A．7B．5
C．3D．1
7．[2023·福建龙岩模拟]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，A为C上的点，过A作l的垂线，垂足为B，若|BF|＝2eq \r(2)，则∠BAF＝( )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
8．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图1所示)，“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知|CD|＝30m，|AB|＝60m，点D到直线AB的距离为150m，则此抛物线顶端O到AB的距离为( )
A．180mB．200m
C．220mD．240m
9．(能力题)若抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线分别交双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的两条渐近线于点A、B，且△AOB的面积为eq \r(3)，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝2eq \r(3)yB．x2＝4eq \r(3)y
C．x2＝8eq \r(3)yD．x2＝12eq \r(3)y
10．(能力题)[2023·河南郑州模拟]已知F是抛物线y2＝4x的焦点，P是抛物线上的一个动点，A(3，1)，则△APF周长的最小值为( )
A．2＋2eq \r(5)B．4＋eq \r(5)
C．3＋eq \r(5)D．6＋eq \r(5)
二、多项选择题
11．以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8xB．y2＝－8x
C．x2＝8yD．x2＝－8y
12．(能力题)[2023·山东日照模拟]设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3，1)为定点，则下列结论正确的有( )
A．准线l的方程是y＝－2
B．以线段MF为直径的圆与y轴相切
C．|ME|＋|MF|的最小值为5
D．|ME|－|MF|的最大值为2
三、填空题
13．[2023·安徽六安模拟]抛物线y2＝2px(p>0)过圆x2＋y2－4x＋8y＋19＝0的圆心，A(3，m)为抛物线上一点，则A到抛物线焦点F的距离为________．
14．[2023·山东肥城模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，过点M作准线l的垂线，交l于点H，若|MH|＝2，∠HFM＝30°，则抛物线C的方程为________．
四、解答题
15．已知抛物线y2＝2px(p＞0)有一内接直角三角形．直角顶点是原点，一直角边的方程为y＝2x，斜边长为5eq \r(13)，求这个抛物线的方程．
优生选做题
16．F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，直线l与抛物线C相交于P，Q两点，满足∠PFQ＝eq \f(2π,3)，线段PQ的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则eq \f(|PQ|,d)的最小值为( )
A．3B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \r(3)D．eq \f(1,3)
17．已知点F是抛物线E：y2＝8x的焦点，A，B，C为E上三点，且eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝________．
课时作业（五十五） 抛物线及其性质
1．解析：抛物线x2＝ay过点（eq \f(1,2)，－1），则a＝－eq \f(1,4)，
所以x2＝－eq \f(1,4)y.
由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴负半轴，
准线方程为y＝eq \f(1,16).
故选D.
答案：D
2．解析：抛物线C：x2＝2py（p>0）的准线方程为y＝－eq \f(p,2)，因为点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，所以eq \f(p,2)＝2，所以p＝4.
故选B.
答案：B
3．解析：由题意知p>0，则准线为x＝－eq \f(p,2)，
点M（2，y0）到焦点的距离等于其到准线的距离，
即|－eq \f(p,2)－2|＝3，∴p＝2，则y2＝4x.
故选B.
答案：B
4．解析：由题意得y2＝4x，所以准线为x＝－1，
又因为|MF|＝3，设点M的坐标为（x0，y0），
则有|MF|＝x0＋1＝3，解得x0＝2.
将x0＝2代入解析式y2＝4x得y0＝±2eq \r(2)，
所以点M到x轴的距离为2eq \r(2).
故选D.
答案：D
5．解析：由题意得F（2，0），
则|AF|＝|BF|＝4，
即点A到准线x＝－2的距离为4，
所以点A的横坐标为2.
当x＝2时，y＝±4，
即|yA|＝4，
所以S△ABF＝eq \f(1,2)×（6－2）×4＝8.
故选C.
答案：C
6．解析：过点P，Q分别作准线的垂线，垂足分别为P1，Q1（如图），
设准线y＝－2与纵轴的交点为F1，
由梯形中位线定理易知|QQ1|＝eq \f(|PP1|＋4,2)＝eq \f(|PF|＋4,2)＝eq \f(10＋4,2)＝7，又准线方程为y＝－2，故点Q的纵坐标为5.
故选B.
答案：B
7．解析：如图，设l与x轴交于点M，则由抛物线可知|FM|＝2，又|BF|＝2eq \r(2)，故∠FBM＝45°，∠FBA＝45°，
又由抛物线定义|AB|＝|AF|，故∠BFA＝45°，则∠BAF＝90°．
故选D.
答案：D
8．解析：以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py（p>0），由题意设D（15，h），h<0，B（30，h－150），则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(152＝－2ph,302＝－2p（h－150）))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(h＝－50,p＝2.25))，所以此抛物线顶端O到AB的距离为50＋150＝200（m）.
故选B.
答案：B
9．解析：C的准线方程为y＝－eq \f(p,2)，双曲线的渐近线为y＝±eq \r(3)x，
则不妨设A（－eq \f(p,2\r(3))，－eq \f(p,2)），则B（eq \f(p,2\r(3))，－eq \f(p,2)），
由题可知∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，
∴|AB|＝eq \f(p,\r(3))，S△AOB＝eq \f(1,2)×eq \f(p,\r(3))×eq \f(p,2)＝eq \r(3)，得p＝2eq \r(3)，
∴C的方程为x2＝4eq \r(3)y.
故选B.
答案：B
10．解析：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线l的方程为x＝－1，过P做PQ⊥l，垂足为Q，
设△APF周长为c，
c＝|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋|PF|＋eq \r(（3－1）2＋12)＝|PA|＋|PF|＋eq \r(5)，由抛物线的定义可知：
|PF|＝|PQ|，因此c＝|PQ|＋|AP|＋eq \r(5)，当P，A，Q在同一条直线上时，c有最小值，即
PA⊥l时，cmin＝3－（－1）＋eq \r(5)＝4＋eq \r(5).
故选B.
答案：B
11．解析：设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py（p>0），
依题意得y＝eq \f(p,2)，代入x2＝2py或x2＝－2py得|x|＝p，
∴2|x|＝2p＝8，p＝4，
∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
故选CD.
答案：CD
12．解析：对于A：由抛物线C：y2＝8x，可得焦点坐标为（2，0），准线方程为x＝－2，故A错误；
对于B：设M（x0，y0），设MF的中点为D，
则|MF|＝x0＋eq \f(p,2)＝x0＋2，D坐标为（eq \f(x0＋2,2)，eq \f(y0,2)），
所以xD＝eq \f(x0＋2,2)＝eq \f(|MF|,2)，即点D到点M、F和y轴距离相等，
所以以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确；
对于C：过M作准线的垂线，垂足为N，由抛物线定义得|MF|＝|MN|，
所以|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MN|，
由图象可得，当E、M、N三点共线时，|ME|＋|MN|有最小值，即为|EN′|＝3＋2＝5，
所以|ME|＋|MF|的最小值为5，故C正确；
对于D：根据三角形中，两边之差小于第三边可得|ME|－|MF|<|EF|，
如图所示，当E、F、M共线时，|ME|－|MF|有最大值，且为|EF|＝eq \r(（3－2）2＋（1－0）2)＝eq \r(2)，
所以|ME|－|MF|的最大值为eq \r(2)，故D错误．
故选BC.
答案：BC
13．解析：圆x2＋y2－4x＋8y＋19＝0的圆心为（－eq \f(－4,2)，－eq \f(8,2)），即（2，－4），代入抛物线方程得（－4）2＝2p×2⇒p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2，则A（3，m）到抛物线焦点F的距离等于A到抛物线准线的距离，即距离为3＋2＝5.
答案：5
14．解析：因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以|MF|＝|MH|＝2，又∠HFM＝30°，
所以△MHF为顶角为120°的等腰三角形，
所以|HF|＝2eq \r(3)，
记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝60°，
所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF＝2eq \r(3)sin60°＝3，
所以该抛物线方程为y2＝6x.
答案：y2＝6x
15．解析：不妨设已知直角三角形为OAB，
直线OA的方程为y＝2x.
∵∠AOB＝90°，即OA⊥OB，
∴kOB＝－eq \f(1,kOA)＝－eq \f(1,2)，
直线OB的方程为y＝－eq \f(1,2)x，
联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x,y2＝2px))可得2x2－px＝0，
∴xA＝eq \f(1,2)p，yA＝p，
同理可得xB＝8p，yB＝－4p，
∵斜边|AB|＝5eq \r(13)，
由勾股定理可得，
|AB|2＝|OA|2＋|OB|2＝325，
∴325＝（eq \f(1,2)p）2＋p2＋64p2＋16p2，
∵p＞0，∴p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x.
16．解析：设|PF|＝m，|QF|＝n，
过点P，Q分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P′，Q′，如图所示：
则|PP′|＝m，|QQ′|＝n，
因为点A为线段PQ的中点，根据梯形中位线定理可得：
点A到抛物线C的准线的距离为d＝eq \f(|PP′|＋|QQ′|,2)＝eq \f(m＋n,2)，因为∠PFQ＝eq \f(2π,3)，所以在△PFQ中，
由余弦定理得|PQ|2＝m2＋n2－2mncseq \f(2π,3)＝m2＋n2＋mn，
所以eq \f(d2,|PQ|2)＝eq \f(（m＋n）2,4（m2＋n2＋mn）)＝eq \f(（m＋n）2,4[（m＋n）2－mn])＝eq \f(1,4[1－\f(mn,（m＋n）2)])，
又因为（m＋n）2≥4mn，所以eq \f(mn,（m＋n）2)≤eq \f(1,4)，当且仅当m＝n时等号成立，
所以eq \f(d2,|PQ|2)≤eq \f(1,4×（1－\f(1,4)）)＝eq \f(1,3)，故eq \f(d,|PQ|)≤eq \f(\r(3),3).所以eq \f(|PQ|,d)的最小值为eq \r(3).
故选C.
答案：C
17．解析：由题意知F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
∵eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0，F为△ABC的重心，
∴eq \f(x1＋x2＋x3,3)＝2，即x1＋x2＋x3＝6，
则|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋2＋x2＋2＋x3＋2＝6＋6＝12.
答案：12