山东省潍坊市五县市2021届高三10月联考数学

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山东省潍坊市五县市2021届高三阶段性监测
数学试题
2020．10

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知函数的定义域为集合M，集合N＝，则MN＝
A．[﹣1，3] B．[0，2] C．[0，1] D．[﹣1，4]
2．平流层是指地球表面以上10km到50km的区域，下述不等式中，x能表示平流层高度的是
A． B． C． D．
3．命题“x[2，)，x2≥4”的否定为
A．x[2，)，x2＜4 B．x(，2)，x2≥4
C．[2，)， D．[2，)，
4．某学校为了解学校教师组成的跑步社团每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间跑步社团的成员每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图：

根据折线图，下列结论正确的是
A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B．月跑步平均里程数逐月增加
C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月
D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
5．已知二次函数，且，是方程的两个根，则，，m，n的大小关系可能是
A．＜＜m＜n B．＜m＜＜n C．m＜n＜＜ D．m＜＜＜n
6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则该处的平地降雨量（盆中积水体积与盆口面积之比）为（台体体积公式：V台体＝，，分别为上、下底面面积，h为台体的高）
A．3 B．4 C． D．
7．已知符号函数，，若，则
A． B．
C． D．
8．若定义域为R的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是
A． B．
C． D．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．若集合M＝{﹣1，1，3，5}，集合N＝{﹣3，1，5}，则正确的是
A．xN，xM B．xN，xM
C．MN＝{1，5} D．MN＝{﹣3，﹣1，3}
10．下列不等式成立的是
A．若a＜b＜0，则a2＞b2 B．若ab＝4，则a＋b≥4
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，则
11．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是
A．MN∥平面A1BD
B．平面MNB截长方体所得截面的面积为
C．直线BN与B1M所成角为60°
D．三棱锥N—A1DM的体积为4
12．已知函数，，且，则关于x的方程实根个数的判断正确的是



A．当t＜﹣2时，方程没有相异实根
B．当＜t＜0或t＝﹣2时，方程有1个相异实根
C．当1＜t＜时，方程有2个相异实根
D．当﹣1＜t＜或0＜t≤1或t＝时，方程有4个相异实根
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．为了解某社区居民的2019年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万元）
6.2
7.5
8.0
t
9.8
根据上表可得回归直线方程，则t＝ ．
14．在的展开式中，的系数是 （用数字作答）．
15．若函数的导函数存在导数，记的导数为．如果对x(a，b)，都有，则有如下性质：
，其中n，，，…，(a，b)．
若，则＝ ；在锐角△ABC中，根据上述性质推断：sinA＋sinB＋sinC的最大值为 ．
16．已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以为球的半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有弧长的和为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知集合A＝， ．
（1）当m＝2时，求AB，(A)B；
（2）若AB＝A，求实数m的取值范围．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．
①函数的定义域为集合B；②不等式的解集为B．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）
已知定义域为R的函数满足，当x＞0时，．
（1）求函数的解析式；
（2）解关于x的不等式：．







19．（本小题满分12分）
某公园管理人员为提升服务效能，随机调查了近三个月（每个月按30天计）中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据如下表（单位：天）
锻炼人次
质量等级
[0，100]
(100，200]
(200，300]
1（优）
3
13
20
2（良）
4
10
12
3（轻度污染）
6
6
8
4（中度污染）
7
1
0
若某天的空气质量等级为1或2，则称为这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称为这天“空气质量差”．
（1）估计该公园一天的“空气质量好”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．

人次≤200
人次＞200
空气质量好


空气质量差


P()
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附：，










20．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA＝FC，AB＝2，且∠DAB＝∠DBF＝60°．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求二面角E—AF—B的余弦值．



21．（本小题满分12分）
2020年8月，体育总局和教育部联合提出了《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》．某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图（如右图所示），且规定计分规则如下表：
每分钟跳绳个数
[155，165)
[165，175)
[175，185)
[185，215]
得分
17
18
19
20
（1）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；
（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(，)，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差s2≈169（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该校初三年级学生经过训练，正式测试时跳绳个数都有明显进步．假设中考正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：
（i）预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）
（ii）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望．
附：若随机变量X服从正态分布N(，)，则P(﹣＜X＜＋)≈0.6826，P(﹣2＜X＜＋2)≈0.9544，P(﹣3＜X＜＋3)≈0.9974．

22．（本小题满分12分）
已知函数()，()，且函数的图像在点(1，)处的切线方程为．
（1）求实数k的值；
（2）当时，令函数，求的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设函数有两个极值点为，，其中＜，试比较与的大小．
































高三数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1-4 BDCD 5-8 DACB
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.BC 10.AD 11. ACD 12.AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 8.5 14. 10 15. (第一空2分，第二空3分) 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：选条件①：
（1）根据题意，当时，，，………1分
则， ………………3分
又或，则．……………5
（2）根据题意，若，且，分种情况讨论：………………6分
①当时，有，解可得； ………………7分
②当时，若有，则有，解得，……9分
综上可得，的取值范围是．………………10分
选条件②：
（1）根据题意，当时，，，……1分
………………3
又或，则. ………………5分
（2）根据题意，若，则，分种情况讨论： ………………6分
①当时，有，解可得； ………………7分
②当时，若有，则或，
解得， ………………9分
综上可得，的取值范围是． ………………10分



18.解：（1）由得函数为奇函数，………………1分
当时，，则，
， ………………3分
. ………………6分
（2）由（1）知当时，，为减函数， ……………7分
可将不等式转化为，…………9分
………………11分
所以不等式的解集为. ………………12分

19.解：（1）由数据得“空气质量好”的天数共为3+13+20+4+10+12=62，
……………4分
该公园一天的“空气质量好”的概率为 ……………5分
（2）根据所给数据，得到下面的列联表

人次≤200
人次>200
空气质量好
30
32
空气质量差
20
8
……………………………8分
……………………10分
由于故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与当天的空气质量有关。…………12分
20.解：（1）证明：设AC与BD相交于O点，连接FO，
因为四边形ABCD为菱形，
所以，为AC的中点，
因为，所以，………………2分
又，
所以平面，……………………3分
平面，所以.………………4分
（2）解：连接DF，因为四边形BDEF为菱形，且，
所以为等边三角形，O为BD中点，
所以，又，所以平面，………………6分
因为两两垂直，则以点O为坐标原点，OA，OB，OF所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
因为，，所以，，
，，
设平面AEF的法向量为，，
，则
，即，
取， ……………………8分
设平面AFB的法向量为，，则
，即，取，………………10分
所以，
由图形知，二面角为钝角，所以其余弦值为.……………………12分
21.解：（1）由频率分步直方图得，得分为17，18的人数分别为6人，12人，由题意知两人得分之和不大于35分:为两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分.
………………3分
（2）＝1600.06+1700.12+1800.34+1900.30+2000.1+2100.08＝185（个）5分
又≈169，＝13，所以正式测试时，μ＝195，＝13，∴μ﹣＝182．
（ⅰ）∴P（X＞182）＝1﹣＝0.8413，
∴0.84132000＝1682.6≈1683．（人） ………………7分
（ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，即ξ～B（3，0.5），
∴P（ξ＝0）＝，
P（ξ＝1）＝，
P（ξ＝2）＝，
P（ξ＝3）＝， ………………10分
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.125
0.375
0.375
0.125
E（ξ）＝1.5 ………………12分
22.(12分）解：（1）由题意知，，所以切点为，……1分
且的定义域为，所以，
则，所以，故。 …………3分
（2） 由（1）知，，所以
，
若时，，此时在内单调递减；…………5分
若时，令，得或，
当或，；
当时，。
所以当时，在和上单调递减；
在上单调递增。 …………7分
（3） 由（2）知，有两个极值点当且仅当，
由于的两个极值点满足方程，
所以，所以，因为，所以. …8分

令 …………10分
所以
因为时，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以. …………12分