2020届湖南师大附属五雅中学高三考前适应性测试数学（文）试卷

这是一份2020届湖南师大附属五雅中学高三考前适应性测试数学（文）试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020届湖南师大附属五雅中学高三考前适应性测试数学（文）试卷
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U＝Z，集合M＝{x|x2－x－2<0，x∈Z}，N＝{－1,0,1,2}，则()∩N＝(　　)
A．{－1,2} B．{－1,0} C．{0,1} D．{1,2}
2．若复数z＝2i＋，其中i是虚数单位，则复数z的模为(　　)
A． B． C． D．2
3．从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(2,1)共线的概率为(　　)
A. B. C. D.
4．若sin＝，则cos2α＝(　　)
A．－ B． C． D．－
5．设向量a→与b→的夹角为θ，且a→=(-2，1)，a→+2b→=(2，3)，则cosθ=（　　）
A．-35 B．35 C．55 D．-255
6．若lg2，lg（2x+1），lg（2x+5）成等差数列，则x的值等于（　　）
A．1 B．0或18 C．18 D．log23
7．f（x）是定义域为R的偶函数，对∀x∈R，都有f（x+4）＝f（﹣x），当0≤x≤2时，f(x)=2x-1，0≤x＜1，log2x+1，1≤x≤2，则f(-92)+f(21)=( )
A ．22 B. 2 C. 1 D.2
8、在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝2，则直线PB与平面PAC所成角为(　　)
A. B. C D. .
9．已知f (x)＝2sin(ω>0)满足f (x1)·f (x2)＝－4，且|x1－x2|的最小值为，则将f (x)的图象向右平移个单位长度后得到的函数g(x)的图象所对应的函数解析式为(　　)
A．g(x)＝2sin B．g(x)＝2sin
C．g(x)＝2sin4x D．g(x)＝2sin
10．已知定义域为R的奇函数y＝f (x)的导函数为y＝f ′(x)，当x>0时，xf ′(x)－f (x)<0，若a＝，b＝，c＝－，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．a 11．已知F为抛物线C：x2＝4y的焦点，直线y＝x＋1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB＝(　　)
A． B．2 C． D．
12．已知函数f(x)＝若f(x)－(m＋2)x≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[－2,1] C．[0,3] D．[3，＋∞)

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13—21题为必考题，每个试题考试必须作答，第22—23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分。把正确答案填在题中横线上。）
13．已知变量x，y满足则z＝log2(2x＋y)的最大值为________。

14．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，且圆E：(x－2)2＋y2＝1的圆心是双曲线C的右焦点。若圆E与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程是_ _____。
15．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥。已知半径为R的半球内有一个方锥，方锥的所有顶点都在半球所在球的球面上，方锥的底面与半球的底面重合，若方锥的体积为，则半球的表面积为 .
16、　如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝45°，∠ADB＝30°，BC＝1，DC＝2，cos∠BCD＝，则BD＝_______；△ABD的面积为_______。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）求证：AB⊥PE；
（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．


18、(本小题满分12分)
2019年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话。会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全，因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵。国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床试验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效。某生物制品研究所将某一型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到统计数据如下：

未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
40
p
x
注射疫苗
60
q
y
总计
100
100
200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为。
(1)求2×2列联表中p，q，x，y的值；
(2)能否有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？
(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率。
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d。
P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828


19、(本小题满分12分)
设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)。
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn。


20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，点P为椭圆C上的动点，若|PF|的最大值和最小值分别为2＋和2－。
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过原点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值。

21．(本小题满分12分)
设f(x)＝xex－ax2，g(x)＝lnx＋x－x2＋1－。
(1)求g(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)零点的个数；
(3)当a>0时，设h(x)＝f(x)－ag(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围。


请考生在（22、23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分。
22. [选修4—4：坐标系与参数方程](10分)
已知在极坐标系中点C的极坐标为.
(1)求出以点C为圆心，半径为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；
(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．
23、[选修4—5：不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|x－m|＋(m>1)。
(1)当m＝2时，求不等式f(x)>3的解集；
(2)证明：f(x)＋≥3。












数学（文科）答案
1． 【答案】A
解析：　因为集合M＝{x|－1 2．【答案】B
解析：　z＝2i＋＝2i＋＝2i＋1－i＝1＋i，所以|z|＝。故选B。
3．【答案】A
解析：由题意可知m＝(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12个，∵m＝(a，b)与向量n＝(2,1)共线，∴a－2b＝0，即a＝2b，有(2,1)，(4,2)，共2个，故所求概率为.
4．【答案】D
解析　sin＝－cosα＝⇒cosα＝－，则cos2α＝2cos2α－1＝－。故选D。
5．【答案】A
解析：∵向量a→与b→的夹角为θ，且a→=(-2，1)，a→+2b→=(2，3)，
∴b→=a→+2b→-a→2=（2，1），则cosθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=-4+15⋅5=﹣35， 故选：A．
6．【答案】D
解析：由lg2，lg（2x+1），lg（2x+5）成等差数列，
得2lg（2x+1）=lg2+lg（2x+5）， ∴lg（2x+1）2=lg2（2x+5），即（2x+1）2=2•2x+10，
整理得：（2x）2=9，即2x=3， ∴x=log23． 故选：D．
7．【答案】B
解析：根据题意，f（x）是定义域为R的偶函数，对∀x∈R，都有f（x+4）＝f（﹣x），
则有f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则有f（-92）＝f（92）＝f（4+12）＝f（12），f（21）＝f（1+4×5）＝f（1），
又由当0≤x≤2时，f(x)=2x-1，0≤x＜1log2x+1，1≤x≤2， 则f（12）=2-1，f（1）＝1，
则f(-92)+f(21)=f（12）+f（1）＝（2-1）+1=2； 故答案为：2．
8、【答案】C
解析　连接BD交AC于点O，因为PA⊥平面ABCD，又因为BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA，又因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，因此BD⊥平面PAC，故BO⊥平面PAC；连接OP，则∠BPO即是直线PB与平面PAC所成的角。又因PA＝AB＝2，所以由勾股定理知，PB＝2，BO＝，所以在Rt△POB中，sin∠BPO＝＝，所以∠BPO＝。故选C。

9．【答案】C
解析　由f (x1)·f (x2)＝－4可知，f (x1)，f (x2)分别为函数f (x)的最大值与最小值(或最小值与最大值)，再由条件可知函数f (x)的半个最小正周期为，所以＝2×，解得ω＝4，所以f (x)＝2sin。将f (x)的图象向右平移个单位长度后，得g(x)＝2sin＝2sin4x。故选C。

10．【答案】D
解析　由题意，构造函数g(x)＝，当x>0时，g′(x)＝<0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减。因为函数f (x)为奇函数，所以函数g(x)是偶函数，所以c＝＝g(－3)＝g(3)，又a＝g(e)，b＝g(ln2)，且3>e>1>ln2>0，所以g(3) 11．【答案】A
解析　直线y＝x＋1经过焦点F(0,1)，代入抛物线C：x2＝4y中整理得x2－2x－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝－4，
S△OAB＝×|OF||x1－x2|＝×1×＝。故选A。

12．【答案】B
解析　因为f(0)＝0，故y＝f(x)的图象恒过原点，又f(x)的
图象如图所示，令g(x)＝x2＋3x，g′(x)＝2x＋3，g′(0)＝3，
故m＋2≤3即m≤1；又y＝ln(1－x)，x<0恒在y＝(m＋2)x上
方，故m＋2≥0。综上，－2≤m≤1。故选B。
13．【答案】2
解析　作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，令m＝2x＋y，由图象可知当直线y＝－2x＋m经过点A时，直线y＝－2x＋m的纵截距最大，此时m取得最大值，由解得
即A(1,2)，则m的最大值为m＝4，代入z＝log2(2x＋y)，得z的最大值为log24＝2。
14．【答案】 －y2＝1
解析　设双曲线的焦距为2c，圆心E(2,0)是双曲线的右焦点，则c＝2，且焦点在x轴上，渐近线bx±ay＝0与圆E相切，则＝＝1,2b＝c＝2，b＝1，则a2＝c2－b2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1。
15．【答案】12π
解析　由题意知，方锥底面正方形的边长为R，方锥的高为R，所以该方锥的体积V＝·(R)2·R＝，解得R＝2，所以该半球的表面积S＝·4πR2＋πR2＝12π。
16、【答案】 2 　－1
解析　在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝1＋4－2×1×2×＝4，则BD＝2。在△ABD中，∠BAD＝180°－30°－45°＝105°，
sin105°＝sin(45°＋60°)＝×＋×＝，
由正弦定理可得AD＝＝＝2(－1)，
则S△ABD＝·AD·BD·sin∠ADB＝×2(－1)×2×sin30°＝－1，
故BD＝2，△ABD的面积为－1。
17、
【解答】证明：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，
又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．
（2）连接PD，∵DE∥BC，又∠ABC=90°，∴DE⊥AB，
又PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB，
又PD∩DE=D，PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，
∴AB⊥平面PDE，又PE⊂平面PDE，
∴AB⊥PE．
（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD⊂平面PAB，
∴PD⊥平面ABC，
∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴PD=3，
∵E是AC的中点，
∴VP-BEC=12VP-ABC=12×13×12×2×3×3=32．
18、【解答】(1)由＝，得p＝60，所以q＝40，x＝100，y＝100。
(2)K2＝＝8<10.828，
所以没有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效。
(3)由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例3∶2抽取，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，分别用a，b，c表示，2只已注射疫苗，分别用D，E表示，从这5只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况有：(a，b，c)，(a，b，D)，(a，b，E)，(a，c，D)，(a，c，E)，(a，D，E)，(b，c，D)，(b，c，E)，(b，D，E)，(c，D，E)，共10种。
其中，至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有：(a，b，c)，(a，b，D)，(a，b，E)，(a，c，D)，(a，c，E)，(b，c，D)，(b，c，E)，共7种。
所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为。
19、【解答】 (1)因为an＋1＝，
所以－＝－＝－＝＝－。
又a1＝1，所以＝－1，所以数列是以－1为首项，－为公差的等差数列。
(2)由(1)知＝－1＋(n－1)＝－， 所以an＝2－＝，
所以bn＝＝＝＝1＋＝1＋，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝n＋＝n＋＝n＋，
所以数列{bn}的前n项和Tn＝n＋。
20．【解答】(1)由已知得解得
所以b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1。
(2)设l：y＝kx＋b(易知l存在斜率，且b≠0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)。
由条件知kOP·kOQ＝k2，即k2＝＝＝
＝k2＋。 所以＝0，所以x1＋x2＝－。　①
由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
因为Δ＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)>0， 所以4k2＋1－b2>0，
所以x1＋x2＝－，　② x1x2＝，
联立①②得：－＝－， 所以4k2＝1，即k2＝。
|PQ|＝ ＝×＝ ×＝， 点O到直线l的距离d＝＝。
所以S△OPQ＝|PQ|d＝××＝|b|＝＝，
因为4k2＝1且4k2＋1－b2>0，所以0 即直线l为y＝±x±1时，△OPQ面积的最大值为1。

21．【解答】 (1)g′(x)＝＋1－2x＝，且x>0。
当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减。
故g(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)。
(2)x＝0是f(x)的一个零点，当x≠0时，
由f(x)＝0，得a＝，令F(x)＝，F′(x)＝，
当x<0时，F(x)单调递减且F(x)<0。
当x>0时，F(x)>0，且当x∈(0,1)时，F(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，F(x)单调递增，故F(x)min＝F(1)＝e。
分析图象可得，当0≤a 当a＝e或a<0时，f(x)有2个零点；
当a>e时，f(x)有3个零点。
(3)h(x)＝f(x)－ag(x)＝xex－alnx－ax－a＋e，
h′(x)＝(x＋1)ex－＝(x＋1)，
因为a>0，设h′(x)＝0的根为x0，则有ex0＝，可得x0＝lna－lnx0，当x∈(0，x0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增。
所以h(x)min＝h(x0)＝x0ex0－alnx0－ax0－a＋e＝x0＋a(x0－lna)－ax0－a＋e＝e－alna≥0。
所以0 22、【解答】 (1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.

由余弦定理得，AC2＝OA2＋OC2－2OA·OCcos，
即4＋ρ2－4ρcos＝4. ∴圆C的极坐标方程ρ＝4cos.
(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点
P(1＋2cos α，＋2sin α)，又令M(x，y)，
∵Q(5，－)，M是线段PQ的中点． ∴M的参数方程为
即(α为参数)． ∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.
23、【解答】 (1)当m＝2时，f(x)＝|x－2|＋，
①当x≤－时，原不等式等价于(2－x)－>3，解得x<－，所以x<－；
②当－3，无解；
③当x≥2时，原不等式等价于(x－2)＋>3， 解得x>，所以x>。
综上，不等式f(x)>3的解集为x。
(2)证明：由题得f(x)＝|x－m|＋≥，
因为m>1，所以＝m＋， 所以f(x)≥m＋，当且仅当x∈时，等号成立。
所以f(x)＋≥m＋＋＝m＋＝(m－1)＋＋1，
因为m>1，所以m－1>0， 所以(m－1)＋＋1≥2 ＋1＝3，
所以f(x)＋≥3，当且仅当m＝2，且x∈时，等号成立。