中考数学专题06 一元一次方程（学案含解析）

这是一份中考数学专题06 一元一次方程（学案含解析），共28页。

中考数学一轮复习学案
06 一元一次方程

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
一元一次方程相关概念及解法
了解方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程．
考查方程的解、解方程、列方程等基础知识．
常以选择题、填空题的形式．
2
解一元一次方程
能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次方程解决实际问题，能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
以列方程解应用题的形式考查解方程的基本思想和列方程解应用题的能力．
常以选择、填空、解答题的形式命题．

思维导图



知识点1：方程的有关概念


知识点梳理


1．方程、方程的解、解方程：
（1）含有未知数的 等式 叫做方程．
（2）使方程左右两边的值相等的 未知数的值 ，叫做方程的解．
（3）求 方程解 的过程叫做解方程．
注意：方程的解与解方程不同．
2．一元一次方程：
在整式方程中，只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数是 1 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．
3. 一元一次方程的一般形式： ax+b=0(a，b为常数，且a≠0) .　
典型例题

【例1】（4分）（2021•重庆A卷15/26）若关于x的方程的解是x=2，则a的值为 ．
【考点】一元一次方程的解．
【分析】把x=2代入方程得出，再求出方程的解即可．
【解答】解：把x=2代入方程得：，
解得：a=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记方程的解的定义是解此题的关键，注意：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解．
【例2】（3分）（2019•呼和浩特14/25）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为　 　．
【考点】一元一次方程的定义；方程的解．
【解答】解：∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
∴2m﹣1＝1，即m＝1或m＝0，
方程为x﹣2＝0或﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或x＝﹣2，
故答案为：x＝2或x＝﹣2．
知识点2：一元一次方程的解法


知识点梳理


1. 等式的基本性质：
（1）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
如果a=b，那么a±c= b±c．
（2）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
如果a=b，那么ac= bc；如果a=b(c≠0)，那么．
（3）等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质：①对称性：等式的左、右两边交换位置，所得的结果仍是等式．如果a=b，那么b= a．②传递性：如果a=b，且b=c，那么a= c．等式的传递性，习惯上也称作是等量代换．
2．解一元一次方程的步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
典型例题

【例3】（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A．若，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若，则x＝－2
【考点】等式的性质
【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、若，则a＝b，故A符合题意；
B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、，则x＝－18，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
【例4】（2022•黔西南州）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3(x＋1)－1＝2(x－2)①
去括号，得3x＋3－1＝2x－2②
移项，得3x－2x＝－2－3＋1③
合并同类项，得x＝－4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【考点】解一元一次方程；等式的性质
【分析】对题目的解题过程逐步分析，即可找出出错的步骤．
【解答】解：方程两边同乘6应为：3(x＋1)－6＝2(x－2)，
∴出错的步骤为：①，
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次方程，解题关键在于能准确观察出出错的步骤．
【例5】（2022•百色）方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝－4 C．x＝7 D．x＝－7
【考点】解一元一次方程
【分析】方程移项合并，即可求出解．
【解答】解：移项得：3x－2x＝7，
合并同类项得：x＝7．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
知识点3：一元一次方程的实际应用


知识点梳理


1．列一元一次方程解应用题的一般步骤：
审题→找出 相等关系 →设未知数→列出一元一次方程→解一元一次方程→检验是否是方程的解及是否符合实际意义→写出答案．

2. 关键：寻找等量关系是关键，注意两点：（1）设适当的未知数；（2）题中各个量的单位．
典型例题

【例6】（2022•南充）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（ ）
A．4x＋2(94－x)＝35 B．4x＋2(35－x)＝94
C．2x＋4(94－x)＝35 D．2x＋4(35－x)＝94
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】由上有三十五头且鸡有x只，可得出兔有(35－x)只，利用足的数量＝2×鸡的只数＋4×兔的只数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵上有三十五头，且鸡有x只，
∴兔有(35－x)只．
依题意得：2x＋4(35－x)＝94．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【例7】（3分）（2021•陕西11/26）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 ．

【考点】一元一次方程的应用．
【分析】根据各行的三个数字之和相等，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意得：﹣1﹣6+1＝0+a﹣4，
解得：a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【例8】（2022•绥化）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 ．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】本题中的x与(2－x)不知那个大，因此需要分类讨论，从而列方程求解．
【解答】解：第一次操作后的两边长分别是x和(2－x)，第二次操作后的两边长分别是(2x－2)和(2－x)．
当2x－2＞2－x时，有2x－2＝2(2－x)，解得x＝1.5，
当2x－2＜2－x时，有2(2x－2)＝2－x，解得x＝1.2．
故答案为：1.2或者1.5．
【点评】主要考查了含有字母的代数式的比较，关键是第二次操作后的边长，不知哪个是长，哪个是宽，所以分两种情况，不要丢掉任何一种．
知识点4：常见的几种应用题类型


知识点梳理


1. 行程问题：
基本量间的关系：路程=速度×时间．
相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
追及问题：被追的路程=甲走的路程-乙走的路程（假设甲为快者）．
2. 工程问题：
基本量间的关系：工作效率=．
其他常用关系量：①甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率；②通常把工作总量看作“1”.
3. 销售问题：
商品利润=商品售价-商品进价．
利润率=×100%．
商品售价=标价×．
商品售价=商品进价×(1+利润率) ．
典型例题

【例9】（2022•营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．240x＋150x＝150×12 B．240x－150x＝240×12
C．240x＋150x＝240×12 D．240x－150x＝150×12
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】利用路程＝速度×时间，结合x天快马比慢马多走的路程为慢马12天走的路程，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：240x－150x＝150×12．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【例10】（8分）（2019·安徽省17/23）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．
【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，
由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，
解得x＝7，
所以乙工程队每天掘进5米，
（天）．
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量关系是解题关键．
【例11】（2022•牡丹江）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价为每件 元．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设该商品的标价为每件x元，根据八折出售可获利2元，可得出方程：80%x－10＝2，再解答即可．
【解答】解：设该商品的标价为每件x元，
由题意得：80%x－10＝2，
解得：x＝15．
答：该商品的标价为每件15元．
故答案为：15．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，关键是仔细审题，得出等量关系，列出方程，难度一般．
【例12】（8分）（2020•山西17/23）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．

【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设该电饭煲的进价为x元，则售价为80%×(1+50%)x元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，求解即可．
【解答】解：设该电饭煲的进价为x元，则标价为(1+50%)x元，售价为80%×(1+50%)x元，
根据题意，得80%×(1+50%)x-128=568，
解得x=580．
答：该电饭煲的进价为580元．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
【例13】（2022•镇江）某公司专业生产某种产品，6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单，要求本月底完成，7月1日按期交货．
日
一
二
三
四
五
六



1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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30


经盘点目前公司已有该产品库存2855件，补充原材料后，从本月7日开始生产剩余数量的该产品，已知该公司除周六、周日正常休息外，每天的生产量相同．但因受高温天气影响，从本月10日开始，每天的生产量比原来减少了25件，截止到17日生产结束，库存总量达3830件．如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品，能否按期完成订单？请说明理由．如果不能，请你给该公司生产部门提出一个合理的建议，以确保能按期交货．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设从本月10日开始每天的生产量为x件，由3(x＋25)＋6x＝3830－2855，得x＝100，因为900＋3830＝4730＜5000，所以不能按期完成订单；由(5000－3830)÷9＝130，可知为确保能按期交货，从20日开始每天的生产量至少达到130件．
【解答】解：设从本月10日开始每天的生产量为x件，
则3(x＋25)＋6x＝3830－2855，
解得x＝100，
如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品，截止月底生产的天数为9天，
这9天可生产900件，
∵900＋3830＝4730＜5000，
∴不能按期完成订单，
由(5000－3830)÷9＝130，
∴为确保能按期交货，从20日开始每天的生产量至少达到130件．
【点评】本题考查了一元一次方程在实际生产生活中的应用．理解题意找出题中的等量关系，列出方程是解题的关键．
巩固训练

1．（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流跟导体两端的电压、导体的电阻之间有以下关系：，去分母得，那么其变形的依据是　　
A．等式的性质1 B．等式的性质2
C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
2．（2022•海南）若代数式的值为6，则等于　　
A．5 B． C．7 D．
3．（2022•六盘水）我国“型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫马赫米秒），则“型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行分钟能打击到目标，可以得到方程　　
A． B．
C． D．
4．（2022•西宁）在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆处用一根细线悬挂，左端处挂一重物，右端处挂钩码，每个钩码质量是．若，，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为，根据题意列方程得　　

A． B． C． D．
5．（2022•随州）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马天可以追上慢马，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
6．（2022•苏州）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注步为长度单位）”设走路快的人要走步才能追上，根据题意可列出的方程是　　
A． B． C． D．
7．（2022•甘肃）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过天相遇，根据题意可列方程为　　
A． B． C． D．
8．（2022•十堰）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为　　
A． B．
C． D．
9．（2022•铜仁市）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为　　
A．14 B．15 C．16 D．17
10．（2022•岳阳）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为　　
A．25 B．75 C．81 D．90
11．（2022•河北）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是斤，则正确的是　　

A．依题意
B．依题意
C．该象的重量是5040斤
D．每块条形石的重量是260斤
12．（2022•威海）按照如图所示的程序计算，若输出的值是2，则输入的值是 　1　．

13．（2022•南通）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊价各是多少？若设人数为，则可列方程为 　　．
14．（2022•大连）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有人，根据题意，可列方程为 　　．
15．（2022•长春）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有间房，可求得的值为 　8　．
16．（2022•百色）小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间和路程数据如表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米到达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是 　212　千米．
（小时）
0.2
0.6
0.8
（千米）
20
60
80
17．（2022•河北）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．

（1）甲盒中都是黑子，共10个．乙盒中都是白子，共8个．嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则　4　；
（2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共个．嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 　　个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有个黑子，则的值为 　　．
18．（2022•乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形” 的周长为26，则正方形的边长为 　5　．

19．（2022•绍兴）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”其题意为：“良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是 　20　．
20．（2022•河池）为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元．
（1）桂花树和芒果树的单价各是多少元？
（2）若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵．设购买桂花树的棵数为，总费用为元，求关于的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？
21．（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．

22．（2022•永州）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道端以平均米秒的速度滑到端，用了24秒；第二次从滑雪道端以平均米秒的速度滑到端，用了20秒．
（1）求的值；
（2）设小勇从滑雪道端滑到端的平均速度为米秒，所用时间为秒，请用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）．
23．（2022•重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度．
24．（2022•南充）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润售价进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元件）

80
售价（元件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
巩固训练解析

1．（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流跟导体两端的电压、导体的电阻之间有以下关系：，去分母得，那么其变形的依据是　　
A．等式的性质1 B．等式的性质2
C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
【考点】等式的性质
【分析】根据等式的性质，对原式进行分析即可．
【解答】解：将等式，去分母得，实质上是在等式的两边同时乘，用到的是等式的基本性质2．
故选：．
【点评】本题主要考查了等式的性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
2．（2022•海南）若代数式的值为6，则等于　　
A．5 B． C．7 D．
【考点】代数式求值；解一元一次方程
【分析】根据题意可得，，解一元一次方程即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
，
解得：．
故选：．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法进行求解是解决本题的关键．
3．（2022•六盘水）我国“型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫马赫米秒），则“型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行分钟能打击到目标，可以得到方程　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】根据速度时间路程列方程，时间单位换算成分，路程单位换算成公里即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，掌握1公里千米米是解题的关键．
4．（2022•西宁）在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆处用一根细线悬挂，左端处挂一重物，右端处挂钩码，每个钩码质量是．若，，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为，根据题意列方程得　　

A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】利用重物的质量的长度个钩码的质量的长度，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2022•随州）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马天可以追上慢马，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】设快马天可以追上慢马，根据路程速度时间，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设快马天可以追上慢马，
依题意，得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2022•苏州）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注步为长度单位）”设走路快的人要走步才能追上，根据题意可列出的方程是　　
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】设走路快的人要走步才能追上，由走路快的人走步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设走路快的人要走步才能追上，则走路慢的人走，
依题意，得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2022•甘肃）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过天相遇，根据题意可列方程为　　
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】设总路程为1，野鸭每天飞，大雁每天飞，当相遇的时候，根据野鸭的路程大雁的路程总路程即可得出答案．
【解答】解：设经过天相遇，
根据题意得：，
，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程大雁的路程总路程列出方程是解题的关键．
8．（2022•十堰）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】根据共换了5斗酒，其中清酒斗，则可得到醑酒斗，再根据拿30斗谷子，共换了5斗酒，即可列出相应的方程．
【解答】解：设清酒斗，则醑酒斗，
由题意可得：，
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
9．（2022•铜仁市）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为　　
A．14 B．15 C．16 D．17
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设小红答对的个数为个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得（5分），每答错或不答一个扣（1分），列出方程求解即可．
【解答】解：设小红答对的个数为个，
由题意得，
解得，
故选：．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．
10．（2022•岳阳）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为　　
A．25 B．75 C．81 D．90
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设城中有户人家，利用鹿的数量城中人家户数城中人家户数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设城中有户人家，
依题意得：，
解得：，
城中有75户人家．
故选：．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
11．（2022•河北）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是斤，则正确的是　　

A．依题意
B．依题意
C．该象的重量是5040斤
D．每块条形石的重量是260斤
【考点】一元一次方程的应用
【分析】利用题意找出等量关系，将等量关系中的量用已知数和未知数的代数式替换即可得出结论．
【解答】解：由题意得出等量关系为：
20块等重的条形石的重量个搬运工的体重和块等重的条形石的重量个搬运工的体重，
已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是斤，
，
选项不正确，选项正确；
由题意：大象的体重为斤，
选项不正确；
由题意可知：一块条形石的重量个搬运工的体重，
每块条形石的重量是240斤，
选项不正确；
综上，正确的选项为：．
故选：．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，利用题意正确找出等量关系是解题的关键．
12．（2022•威海）按照如图所示的程序计算，若输出的值是2，则输入的值是 　1　．

【考点】解一元一次方程
【分析】不知的正负，因此需要分类讨论，分别求解．
【解答】解：当时，，
解并检验得．
当时，，
解得，
，舍去．
所以．
故答案为：．
【点评】本题中的字母表示的数没有明确告知正负数时，需要分类讨论，再代入解方程，注意：解必须在条件下才成立．
13．（2022•南通）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊价各是多少？若设人数为，则可列方程为 　　．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】根据购买羊的总钱数不变得出方程即可．
【解答】解：若设人数为，则可列方程为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14．（2022•大连）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有人，根据题意，可列方程为 　　．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】先根据每人出90钱，恰好合适，用表示出猪价，再根据“每人出100钱，则会多出100钱”，即可得出关于的一元一次方程，即可得出结论．
【解答】解：每人出90钱，恰好合适，
猪价为钱，
根据题意，可列方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
15．（2022•长春）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有间房，可求得的值为 　8　．
【考点】数学常识；一元一次方程的应用
【分析】由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程求得．
【解答】解：依题意得：
，
解得：，
故答案为：8．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．
16．（2022•百色）小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间和路程数据如表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米到达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是 　212　千米．
（小时）
0.2
0.6
0.8
（千米）
20
60
80
【考点】一元一次方程的应用
【分析】可设小韦家到纪念馆的路程是千米，根据高速路行驶速度不变的等量关系列出方程计算即可求解．
【解答】解：设小韦家到纪念馆的路程是千米，依题意有：
，
解得．
故小韦家到纪念馆的路程是212千米．
故答案为：212．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
17．（2022•河北）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．

（1）甲盒中都是黑子，共10个．乙盒中都是白子，共8个．嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则　4　；
（2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共个．嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 　　个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有个黑子，则的值为 　　．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】（1）根据嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，列出方程计算即可求解；
（2）根据题意可得乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多的个数，根据题意可以求出，进一步求出的值．
【解答】解：（1）依题意有：，
解得．
故答案为：4；
（2）依题意有：个，
，
．
故答案为：，1．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
18．（2022•乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形” 的周长为26，则正方形的边长为 　5　．

【考点】一元一次方程的应用
【分析】设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，利用矩形的周长计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值，再将其代入中即可求出结论．
【解答】解：设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
依题意得：，
解得：，
，
即正方形的边长为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
19．（2022•绍兴）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”其题意为：“良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是 　20　．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设良马天追上劣马，根据良马追上劣马所走路程相同可得：，即可解得良马20天追上劣马．
【解答】解：设良马天追上劣马，
根据题意得：，
解得，
答：良马20天追上劣马；
故答案为：20．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
20．（2022•河池）为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元．
（1）桂花树和芒果树的单价各是多少元？
（2）若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵．设购买桂花树的棵数为，总费用为元，求关于的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？
【考点】一元一次方程的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设桂花树的单价是元，可得：，解得桂花树的单价是90元，芒果树的单价是50元；
（2）根据题意得，由一次函数性质得购买桂花树35棵，购买芒果树25棵时，费用最低，最低费用为4400元．
【解答】解：（1）设桂花树的单价是元，则芒果树的单价是元，
根据题意得：，
解得，
，
答：桂花树的单价是90元，芒果树的单价是50元；
（2）根据题意得：，
关于的函数关系式为，
，
随的增大而增大，
桂花树不少于35棵，
，
时，取最小值，最小值为（元，
此时（棵，
答：关于的函数关系式为，购买桂花树35棵，购买芒果树25棵时，费用最低，最低费用为4400元．
【点评】本题考查一元一次方程及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
21．（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．

【考点】一元一次方程的应用
【分析】设高铁的平均速度为，由运行里程缩短了40千米得：，可解得高铁的平均速度为．
【解答】解：设高铁的平均速度为，则普通列车的平均速度为，
由题意得：，
解得：，
答：高铁的平均速度为．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
22．（2022•永州）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道端以平均米秒的速度滑到端，用了24秒；第二次从滑雪道端以平均米秒的速度滑到端，用了20秒．
（1）求的值；
（2）设小勇从滑雪道端滑到端的平均速度为米秒，所用时间为秒，请用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）．
【考点】一元一次方程的应用；列代数式
【分析】（1）根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）求出从滑雪道端滑到端的路程，即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
答：的值为3；
（2）从滑雪道端滑到端的路程为：（米，
小勇从滑雪道端滑到端的平均速度为米秒，所用时间为秒，
．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
23．（2022•重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度．
【考点】一元一次方程的应用；分式方程的应用
【分析】（1）设乙骑行的速度为千米时，则甲骑行的速度为千米时，利用路程速度时间，结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出乙骑行的速度，再将其代入中即可求出甲骑行的速度；
（2）设乙骑行的速度为千米时，则甲骑行的速度为千米时，利用时间路程速度，结合乙比甲多用20分钟，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出乙骑行的速度，再将其代入中即可求出甲骑行的速度．
【解答】解：（1）设乙骑行的速度为千米时，则甲骑行的速度为千米时，
依题意得：，
解得：，
．
答：甲骑行的速度为24千米时．
（2）设乙骑行的速度为千米时，则甲骑行的速度为千米时，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲骑行的速度为18千米时．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
24．（2022•南充）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润售价进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元件）

80
售价（元件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；一次函数的应用
【分析】（1）利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
（2）设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）设每件真丝围巾降价元，利用总利润每件的销售利润销售数量，结合要保证销售利润不低于原来最大利润的，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意得：，
解得：．
答：的值为260．
（2）设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，
依题意得：，
解得：．
设两种商品全部售出后获得的总利润为元，则
．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
（3）设每件真丝围巾降价元，
依题意得：，
解得：．
答：每件真丝围巾最多降价8元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式