中考数学专题07 二元一次方程组（学案含解析）

这是一份中考数学专题07 二元一次方程组（学案含解析），共40页。

中考数学一轮复习学案
07 二元一次方程组

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
二元一次方程组
了解二元一次方程组的概念，会解简单的二元一次方程组．
一般以选择题、填空题的方式考查方程组的解、解方程组、列方程组等基础知识．
2
二元一次方程组的应用
①能够根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；
②能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
以解答题的形式考查二元一次方程组的解法，常以不同的实际背景来考查二元一次方程组的实际应用．

思维导图





知识点1：二元一次方程（组）的有关概念


知识点梳理

1．二元一次方程：
含有 2 个未知数（元），并且未知项的次数都是 1 的整式方程，叫做二元一次方程．二元一次方程的一般形式： ax+by+c=0(a，b，c为常数，且a≠0，b≠0) ．
必须满足以下三个条件：（1）等号两边的式子都是整式；（2）有且只有两个未知数；（3）含有未知数的项的次数都是1．
2．二元一次方程组：
由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为，其解一般写成的形式．
3．二元一次方程的解：
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 无数 个解．
4．二元一次方程组的解：
使二元一次方程组两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解，常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程．只有当这对数值同时满足所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；如果这对数值不满足其中的某个方程，那么它就不是此方程组的解．
典型例题

【例1】下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】对照二元一次方程及二元一次方程组的定义，逐项判断即可．
【答案】D．

【例2】（2022•雅安）已知是方程ax＋by＝3的解，则代数式2a＋4b－5的值为 ．
【考点】二元一次方程的解；代数式求值
【分析】把x与y的值代入方程计算得到a＋2b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：把代入ax＋by＝3得：a＋2b＝3，
则原式＝2(a＋2b)－5
＝2×3－5
＝6－5
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，以及代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【例3】按如图的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是（　　）
A．x=5，y=﹣2 B．x=3，y=﹣3
C．x=﹣4，y=2 D．x=﹣3，y=﹣9
【考点】代数式求值；二元一次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】根据运算程序列出方程，再根据二元一次方程的解的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：由题意得，2x﹣y=3，
A、x=5时，y=7，故A选项错误；
B、x=3时，y=3，故B选项错误；
C、x=﹣4时，y=﹣11，故C选项错误；
D、x=﹣3时，y=﹣9，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了代数式求值，主要利用了二元一次方程的解，理解运算程序列出方程是解题的关键．
知识点2：二元一次方程组的解法


知识点梳理

1．解二元一次方程组的方法：
思想：二元一次方程组 一元一次 方程．消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 代入 消元法和 加减 消元法两种．
2．代入法：适用于有一个方程中某个未知数的系数为1或-1的情况．
代入消元法的一般步骤：①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．
②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程．
③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．
④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
3．加减法：在方程两边同乘以一个数,将两个方程中同一个未知数的系数变为相同的数（或互为相反数），再将方程两边分别相减（或相加）．
加减消元法的一般步骤：①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数．
②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．
③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值．
④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
典型例题

【例4】（2022•株洲）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（ ）
A．x＋2x－1＝7 B．x＋2x－2＝7 C．x＋x－1＝7 D．x＋2x＋2＝7
【考点】解二元一次方程组
【分析】将①式代入②式，得x＋2(x－1)＝7，去括号即可．
【解答】解：，将①式代入②式，
得x＋2(x－1)＝7，
∴x＋2x－2＝7，
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组是解题关键．
【例5】（2022•潍坊）方程组，的解为 ．
【考点】解二元一次方程组
【分析】由第一个方程得4x＋6y＝26，由第二个方程得9x－6y＝0，两个方程相加消去y，解出x，再进一步解出y即可．
【解答】解：，
由①×2得4x＋6y＝26③，
由②×3得9x－6y＝0④，
由③＋④得13x＝26，
解得x＝2，
将x＝2代入②得3×2－2y＝0，
解得y＝3，
所以原方程组的解为．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法．
【例6】（2022•随州）已知二元一次方程组，则x－y的值为 ．
【考点】解二元一次方程组
【分析】将第一个方程化为x＝4－2y，并代入第二个方程中，可得2(4－2y)＋y＝5，解得y＝1，将y＝1代入第一个方程中，可得x＝2，即可求解．
【解答】解：解法一：由x＋2y＝4可得：
x＝4－2y，
代入第二个方程中，可得：
2(4－2y)＋y＝5，
解得：y＝1，
将y＝1代入第一个方程中，可得
x＋2×1＝4，
解得：x＝2，
∴x－y＝2－1＝1，
故答案为：1；
解法二：∵，
由②－①可得：
x－y＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法与代入消元法．
【例7】（2022•淄博）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组
【分析】利用加减消元法或代入消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：整理方程组得，
①×2－②得－7y＝－7，
y＝1，
把y＝1代入①得x－2＝3，
解得x＝5，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，做题关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．
【例8】（2022•荆州）已知方程组的解满足2kx－3y＜5，求k的取值范围．
【考点】解二元一次方程组；解一元一次不等式
【分析】用加减消元法求出方程组的解，代入2kx－3y＜5即可得到k的取值范围．
【解答】解：①＋②得：2x＝4，
∴x＝2，
①－②得：2y＝2，
∴y＝1，
代入2kx－3y＜5得：4k－3＜5，
∴k＜2．
答：k的取值范围为：k＜2．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元是解题的关键．
知识点3：二元一次方程组的实际应用

知识点梳理


1．列二元一次方程组解应用题：
审题→找出 相等关系 →列出二元一次方程组→解二元一次方程组→写出答案．
2．列二元一次方程组解应用题的具体步骤：
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系；
②找：找出应用题中的相等关系；
③设：设未知数（一般求什么，就设什么）；
④列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组；
⑤解：解所列的方程组，求出未知数的值；
⑥验：检验所得未知数的值是否是方程的解及是否符合实际意义；
⑦答：写出答案（包括单位名称）．
典型例题

【例9】（2022•舟山）上学期某班的学生都是双人桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学期该班有男生x人，女生y人，根据题意可得方程组为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，可以得到，根据本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，可得x＋4＝y，从而可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
【例10】（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12
【考点】数学常识；二元一次方程组的应用
【分析】由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
∴最左下角的数为：6＋20－22＝4，
∴最中间的数为：x＋6－4＝x＋2，或x＋6＋20－22－y＝x－y＋4，
最右下角的数为：6＋20－(x＋2)＝24－x，或x＋6－y＝x－y＋6，
∴，
解得：，
∴x＋y＝12．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【例11】（2022•湖北）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】根据题意列二元一次方程组，再求有关代数式的值．
【解答】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，
根据题意得：，
得：4x＋3y＝23.5；
故答案为：23.5．
【点评】本题考查得是二元一次方程的应用，审题、列方程是解决本题的关键．
【例12】（2022•大连）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，由总价＝单价×数量，结合“购买1个冰墩墩和2个雪容融毛绒玩具需400元；购买3个冰墩墩和4个雪容融毛绒玩具需1000元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解二元一次方程组即可得出结果．
【解答】解：设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【例13】（2022•赤峰）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．
（1）请问A、B两种苗木各多少株？
（2）如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用
【分析】（1）设A种苗木有x株，B种苗木有y株，根据“A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株”列二元一次方程组，求解即可；
（2）设安排m人种植A种苗木，根据“确保同时完成任务”列分式方程，求解即可．
【解答】解：（1）设A种苗木有x株，B种苗木有y株，
根据题意，得，
解得，
答：A种苗木有2400株，B种苗木有3600株；
（2）设安排m人种植A种苗木，
根据题意，得，
解得m＝100，
经检验，m＝100是原方程的根，且符合题意，
350－m＝350－100＝250（人），
答：应安排100人种植A种苗木，250人种植B种苗木，才能确保同时完成任务．
【点评】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
【例14】（2022•岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．
（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．由题意：若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳(46－a)根，由题意：总费用不超过1780元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．
根据题意得：，
解得：，
答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元．
（2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳(46－a)根，
由题意得：30(46－a)＋50a≤1780，
解得：a≤20，
答：至多可以购买B种跳绳20根．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
巩固训练

1．（2022•日照）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
2．（2022•通辽）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
3．（2022•深圳）张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为根，下等草一捆为根，则下列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
4．（2022•辽宁）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长尺，木长尺，所列方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
5．（2022•毕节市）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为　　
A． B．
C． D．
6．（2022•湘潭）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
7．（2022•宿迁）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，房客人，则列出关于、的二元一次方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
8．（2022•眉山）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为　　
A． B．
C． D．
9．（2022•嘉兴）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了场，平了场，根据题意可列方程组为　　
A． B．
C． D．
10．（2022•扬州）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组后，我们可以非常顺捷地解决这个问题．如果设鸡有只，兔有只，那么可列方程组为　　
A． B．
C． D．
11．（2022•宁波）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为　　
A． B．
C． D．
12．（2022•达州）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两 ‘两’为我国古代货币单位）：马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为　　
A． B．
C． D．
13．（2022•成都）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为　　
A． B．
C． D．
14．（2022•盘锦）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是　　

A． B．
C． D．
15．（2022•宜昌）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为　　
A．30 B．26 C．24 D．22
16．（2022•沈阳）二元一次方程组的解是 ．
17．（2022•无锡）二元一次方程组的解为 ．
18．（2022•安顺）若，，则的值为 ．
19．（2022•宁夏）《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱．问：人数、物价各多少？设有人，物价为钱，则可列方程组为 ．
20．（2022•吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为 ．
21．（2022•枣庄）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程七中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 两．
22．（2022•重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 ．
23．（2022•柳州）解方程组：．
24．（2022•呼和浩特）计算求解
（1）计算；
（2）解方程组：．
25．（2022•桂林）解二元一次方程组：．
26．（2022•山西）（1）计算：；
（2）解方程组：．
27．（2022•台州）解方程组：．
28．（2022•徐州）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
（1）设兽有个，鸟有只，可列方程组为 　　；
（2）求兽、鸟各有多少．
29．（2022•海南）我省某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，推销有机黑胡椒和有机白胡椒．已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元，购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元，求每千克有机黑胡椒和每千克有机白胡椒的售价．
30．（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买、两种跳绳．已知购进10根种跳绳和5根种跳绳共需175元；购进15根种跳绳和10根种跳绳共需300元．
（1）求购进一根种跳绳和一根种跳绳各需多少元？
（2）设购买种跳绳根，若班级计划购买、两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
31．（2022•福建）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？
（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
32．（2022•雅安）某商场购进，两种商品，已知购进3件商品和5件商品费用相同，购进3件商品和1件商品总费用为360元．
（1）求，两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进，两种商品共80件，其中商品件．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，求销售完，两种商品后获得总利润（元与（件的函数关系式．
33．（2022•广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
34．（2022•广元）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
35．（2022•娄底）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为．
（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
36．（2022•泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了种茶30盒，种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了，该店又购进了种茶20盒，种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的、两种茶每盒的价格．
37．（2022•连云港）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
38．（2022•安徽）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了，出口额增加了．
注：进出口总额进口额出口额．
（1）设2020年进口额为亿元，出口额为亿元，请用含，的代数式填表：
年份
进口额亿元
出口额亿元
进出口总额亿元
2020


520
2021


　　
（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？
巩固训练解析

1．（2022•日照）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】设木头长为尺，绳子长为尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设木头长为尺，绳子长为尺，
由题意可得．
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
2．（2022•通辽）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2022•深圳）张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为根，下等草一捆为根，则下列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】设上等草一捆为根，下等草一捆为根，利用已知“他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数”分别得出等量关系求出答案．
【解答】解：设上等草一捆为根，下等草一捆为根，
根据题意可列方程组为：．
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
4．（2022•辽宁）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长尺，木长尺，所列方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
；
将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
．
所列方程组为．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（2022•毕节市）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】利用总价单价数量，结合“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：马四匹、牛六头，共价四十八两，
；
马三匹、牛五头，共价三十八两，
．
可列方程组为．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（2022•湘潭）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据“组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，且桌子腿数与凳子腿数的和为40条”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：组委会为每个比赛场地准备了桌子和凳子共12个，
；
又桌子腿数与凳子腿数的和为40条，且每张桌子有4条腿，每条凳子有3条腿，
．
列出的方程组为．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（2022•宿迁）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，房客人，则列出关于、的二元一次方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
【考点】有理数的除法；由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】设该店有客房间，房客人；根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
【解答】解：设该店有客房间，房客人；
根据题意得：，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意得出方程组是解决问题的关键．
8．（2022•眉山）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识
【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：头牛，2只羊共19两银子，
；
头牛，3只羊共12两银子，
．
可列方程组为．
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（2022•嘉兴）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了场，平了场，根据题意可列方程组为　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】由题意：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．列出二元一次方程组即可．
【解答】解：根据题意得：，
即，
故选：．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（2022•扬州）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组后，我们可以非常顺捷地解决这个问题．如果设鸡有只，兔有只，那么可列方程组为　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】关系式为：鸡的只数兔的只数；鸡的只数兔的只数，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设鸡有只，兔有只，可列方程组为：
．
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到鸡和兔的总只数及鸡和兔的脚的总只数的等量关系．
11．（2022•宁波）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据原来的米向桶中加的谷子，原来的米桶中的谷子舂成米即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到等量关系：原来的米向桶中加的谷子，原来的米桶中的谷子舂成米是解题的关键．
12．（2022•达州）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两 ‘两’为我国古代货币单位）：马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
【解答】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：．
故选：．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
13．（2022•成都）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】利用总价单价数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：共买了一千个苦果和甜果，
；
共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
．
可列方程组为．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14．（2022•盘锦）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是　　

A． B．
C． D．
【考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】设人数为人，物价为钱，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设人数为人，物价为钱，
依题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．（2022•宜昌）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为　　
A．30 B．26 C．24 D．22
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设1艘大船可载人，1艘小船可载人，依题意：1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．列出二元一次方程组，求出的值即可．
【解答】解：设1艘大船可载人，1艘小船可载人，
依题意得：，
①②得：，
，
即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26，
故选：．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16．（2022•沈阳）二元一次方程组的解是 　　．
【考点】解二元一次方程组
【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：，
将②代入①，得，
解得，
将代入②，得，
方程组的解为，
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
17．（2022•无锡）二元一次方程组的解为 　　．
【考点】解二元一次方程组
【分析】根据代入消元法求解即可得出答案．
【解答】解：，
由②得：③，
将③代入①得：，
解得：，
将代入③得：，
原方程组的解为．
故答案为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，将二元方程转化为一元方程是解题的关键．
18．（2022•安顺）若，，则的值为　5　．
【考点】整式的加减；解二元一次方程组
【分析】直接利用已知解方程组进而得出答案．
【解答】解：方法一、，，
则，
代入，
解得：，
则，
故．
方法二、，，
，
，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．
19．（2022•宁夏）《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱．问：人数、物价各多少？设有人，物价为钱，则可列方程组为 　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据“每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：每人出八钱，余三钱，
；
每人出七钱，差四钱，
．
可列方程组为．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．（2022•吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为 　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据题意列出二元一次方程组即可．
【解答】解：设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛，
由题意得：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，找等量关系是列方程组的关键和难点．
21．（2022•枣庄）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程七中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 　　两．
【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用
【分析】设每头牛两，每只羊两，根据5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，列二元一次方程组，两方程相加可得，进一步求解即可．
【解答】解：设每头牛两，每只羊两，
根据题意，可得，
，
，
头牛和1只羊共值金两，
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立二元一次方程组是解题的关键．
22．（2022•重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 　　．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】分别设出甲乙丙三山的香樟数量、红枫数量及总量，根据甲乙两山红枫数量关系，得出甲乙丙三山香樟和红枫的数量（只含一个字母），进而根据“所花费用和预算费用相等”列出等式，从而求得香樟和红枫的单价之间关系，进一步求得结果．
【解答】解：根据题意，如表格所设：

香樟数量
红枫数量
总量
甲



乙



丙



甲、乙两山需红枫数量之比为，
，
，
故数量可如下表：

香樟数量
红枫数量
总量
甲



乙



丙



所以香樟的总量是，红枫的总量是，
设香樟的预算单价为，红枫的预算单价为，
由题意得，
，
，
，
设，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理．
23．（2022•柳州）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组
【分析】先消元，再求解．
【解答】解：①②得：，
，
将代入②得：，
．
原方程组的解为：．
【点评】本题考查解二元一次方程组，正确消元是求解本题的关键．
24．（2022•呼和浩特）计算求解
（1）计算；
（2）解方程组：．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值
【分析】（1）原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）原式

；
（2）方程组整理得，
②①得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．（2022•桂林）解二元一次方程组：．
【考点】解二元一次方程组
【分析】利用加减消元法可解答．
【解答】解：①②得：，
，
把代入①得：，
，
原方程组的解为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
26．（2022•山西）（1）计算：；
（2）解方程组：．
【考点】绝对值；有理数的乘方；实数的运算；负整数指数幂；解二元一次方程组
【分析】（1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，有理数的加法，绝对值计算即可；
（2）根据加减消元法求解即可．
【解答】解：（1）原式

；
（2）①②得：，
，
将代入②得：，
，
原方程组的解为．
【点评】本题考查了实数的运算，有理数的乘方，负整数指数幂，绝对值，解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，将二元方程转化为一元方程是解题的关键．
27．（2022•台州）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组
【分析】通过加减消元法消去求出的值，代入第一个方程求出的值即可得出答案．
【解答】解：，
②①得：，
把代入①得：，
原方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
28．（2022•徐州）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
（1）设兽有个，鸟有只，可列方程组为 　　；
（2）求兽、鸟各有多少．
【考点】二元一次方程组的应用；数学常识
【分析】（1）根据“兽与鸟共有76个头与46只脚”，即可得出关于，的二元一次方程组；
（2）解方程组，即可得出结论．
【解答】解：（1）兽与鸟共有76个头，
；
兽与鸟共有46只脚，
．
可列方程组为．
故答案为：．
（2）原方程组可化简为，
由②可得③，
将③代入①得，
解得，
．
答：兽有8只，鸟有7只．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
29．（2022•海南）我省某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，推销有机黑胡椒和有机白胡椒．已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元，购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元，求每千克有机黑胡椒和每千克有机白胡椒的售价．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设每千克有机黑胡椒的售价为元，每千克有机白胡椒的售价为元，根据“每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元，购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设每千克有机黑胡椒的售价为元，每千克有机白胡椒的售价为元，
依题意得：，
解得：．
答：每千克有机黑胡椒的售价为50元，每千克有机白胡椒的售价为60元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
30．（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买、两种跳绳．已知购进10根种跳绳和5根种跳绳共需175元；购进15根种跳绳和10根种跳绳共需300元．
（1）求购进一根种跳绳和一根种跳绳各需多少元？
（2）设购买种跳绳根，若班级计划购买、两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设购进一根种跳绳需元，购进一根种跳绳需元，根据“购进10根种跳绳和5根种跳绳共需175元：购进15根种跳绳和10根种跳绳共需300元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买种跳绳根，则购买种跳绳根，利用总价单价数量，结合总价不少于548元且不多于560元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各购买方案；
（3）设购买跳绳所需总费用为元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购进一根种跳绳需元，购进一根种跳绳需元，
依题意得：，
解得：．
答：购进一根种跳绳需10元，购进一根种跳绳需15元．
（2）该班级计划购买、两种跳绳共45根，且购买种跳绳根，
购买种跳绳根．
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以取23，24，25，
共有3种购买方案，
方案1：购买23根种跳绳，22根种跳绳；
方案2：购买24根种跳绳，21根种跳绳；
方案3：购买25根种跳绳，20根种跳绳．
（3）设购买跳绳所需总费用为元，则．
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值．
答：在（2）的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是550元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
31．（2022•福建）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？
（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设购买绿萝盆，吊兰盆，利用总价单价数量，结合购进两种绿植46盆共花费390元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买绿萝盆，则购买吊兰盆，根据购进绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设购买两种绿植的总费用为元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购买绿萝盆，吊兰盆，
依题意得：，
解得：．
，，
符合题意．
答：购买绿萝38盆，吊兰8盆．
（2）设购买绿萝盆，则购买吊兰盆，
依题意得：，
解得：．
设购买两种绿植的总费用为元，则，
，
随的增大而增大，
又，且为整数，
当时，取得最小值，最小值．
答：购买两种绿植总费用的最小值为369元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
32．（2022•雅安）某商场购进，两种商品，已知购进3件商品和5件商品费用相同，购进3件商品和1件商品总费用为360元．
（1）求，两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进，两种商品共80件，其中商品件．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，求销售完，两种商品后获得总利润（元与（件的函数关系式．
【考点】二元一次方程组的应用；函数关系式
【分析】（1）根据题意列方程组，并求解．
（2）根据（1）的结论，列函数关系式
【解答】解：（1）商品每件的进价为元，商品每件的进价为元，
根据题意得：．
解得：；
答：商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元．
（2）商品件，商品件，

．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，及列函数表达式，因此审题列方程组是解题的关键．
33．（2022•广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设有人，该书单价元，根据“如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设学生有人，该书单价元，
根据题意得：，
解得：．
答：学生有7人，该书单价53元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
34．（2022•广元）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用；二次函数的应用
【分析】（1）设科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元，根据“购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设科技类图书的购买数量为本，购买这两种图书的总金额为元，则文学类图书的购买数量为本，分，及三种情况考虑，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征（或二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征），可求出的取值范围，取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
（2）设科技类图书的购买数量为本，购买这两种图书的总金额为元，则文学类图书的购买数量为本．
①当时，，
，
随的增大而增大，
；
②当时，，
，
当时，随的增大而减小，
；
③当时，，
，
随的增大而增大，
．
综上，当时，的最小值为2700．
答：社区至少要准备2700元购书款．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）分，及三种情况，找出关于的函数关系式．
35．（2022•娄底）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为．
（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用
【分析】（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，由题意：一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由（1）的结果列式计算即可．
【解答】解：（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，
由题意得：，
解得：，
答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为；
（2），
答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
36．（2022•泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了种茶30盒，种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了，该店又购进了种茶20盒，种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的、两种茶每盒的价格．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设第一次购进种茶的价格为元盒，种茶的价格为元盒，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设第一次购进种茶的价格为元盒，种茶的价格为元盒，
依题意得：，
解得：．
答：第一次购进种茶的价格为100元盒，种茶的价格为150元盒．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
37．（2022•连云港）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
【考点】数学常识；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用
【分析】设有个人，物品的价格为钱，由题意：每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设有个人，物品的价格为钱，
由题意得：，
解得：，
答：有7个人，物品的价格为53钱．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
38．（2022•安徽）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了，出口额增加了．
注：进出口总额进口额出口额．
（1）设2020年进口额为亿元，出口额为亿元，请用含，的代数式填表：
年份
进口额亿元
出口额亿元
进出口总额亿元
2020


520
2021


　　
（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？
【考点】列代数式；二元一次方程组的应用
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以用含、的代数式表示出2021年进出口总额；
（2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可．
【解答】解：（1）由表格可得，
2021年进出口总额为：，
故答案为：；
（2）由题意可得，
，
解得，
，，
答：2021年进口额是400亿元，出口额是260亿元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组