中考数学专题13 一次函数的图象及其性质（学案含解析）

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中考数学一轮复习学案
13 一次函数的图象及其性质

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
一次函数的意义和函数表达式
理解正比例函数、一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数表达式.
常以选择题、填空题的形式考查一次函数的意义和函数解析式的求法，部分地市以解答题的形式考查.
2
一次函数的图象和性质
①会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象和解析表达式y＝kx＋b（k≠0）探索并理解其性质（k>0或k<0时， 图象的变化情况）；
②能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.
一次函数的图象和性质是中考的重点内容，常以选择题、填空题和解答题的形式命题，部分地市以探究性问题的形式考查.

思维导图




知识点1： 一次函数的概念

知识点梳理

1. 一次函数的概念：
一般地，如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数．
结构特征：①k≠0；②x的次数是1；③常数项b可以是任意实数．
2. 正比例函数的概念：
特别地，当一次函数y=kx+b中的b为0时，y=kx（k为常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．
结构特征：①k≠0；②x的次数是1；③常数项为0．
3. 一次函数与正比例函数的联系：正比例函数是一次函数的特殊形式．
典型例题

【例1】（3分）（2019•梧州4/26）下列函数中，正比例函数是（　　）
A．y＝﹣8x B． C．y＝8x2 D．y＝8x﹣4
【分析】A、y＝﹣8x，是正比例函数，符合题意；B、，是反比例函数，不合题意；C、y＝8x2，是二次函数，不合题意；D、y＝8x﹣4，是一次函数，不合题意．故选A．
【答案】A．
知识点2： 一次函数的图象及其性质


知识点梳理

1. 正比例函数的图象：
正比例函数y=kx（常数k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）与点（1，k）的直线．
2. 正比例函数的性质：
一般地，正比例函数y=kx（k≠0）有下列性质：
（1）当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大．
（2）当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．
3. 一次函数的图象：
所有一次函数的图象都是一条直线；一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条与y轴交于点（0，b），与x轴交于点（，0）的直线．
【注意】（1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取（0，b），（，0）两点．（2）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例．
4. 一次函数的性质：
一般地，一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）有下列性质：
（1）k>0，b>0时，图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大．
（2）k>0，b<0时，图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大．
（3）k<0，b>0时，图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小．
（4）k<0，b<0时，图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小．
5. 一次函数图象的平移：
直线y=kx+b（k≠0，b≠0）可由直线y=kx（k≠0）向上或向下平移得到．
当b＞0时，将直线y=kx向上平移b个单位长度，得到直线y=kx+b；
当b＜0时，将直线y=kx向上平移|b|个单位长度，得到直线y=kx+b．
典型例题

【例2】（2022•沈阳）在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象
【分析】依据一次函数y＝－x＋1的图象经过点（0，1）和（1，0），即可得到一次函数y＝－x＋1的图象经过一、二、四象限．
【解答】解：一次函数y＝－x＋1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝1，
∴一次函数y＝－x＋1的图象经过点（0，1）和（1，0），
∴一次函数y＝－x＋1的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
【例3】（2022•六盘水）如图是一次函数y＝kx＋b的图象，下列说法正确的是（ ）

A．y随x增大而增大 B．图象经过第三象限
C．当x≥0时，y≤b D．当x＜0时，y＜0
【考点】一次函数的图象；一次函数的性质
【分析】根据一次函数的图象和性质进行判断即可．
【解答】解：由图象得：图象过一、二、四象限，则k＜0，b＞0，
当k＜0时，y随x的增大而减小，故A、B错误，
由图象得：与y轴的交点为（0，b），所以当x≥0时，从图象看，y≤b，故C正确，符合题意；
当x＜0时，y＞b＞0，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象的性质，关键是灵活运用一次函数图象的性质．
【例4】（2022•凉山州）一次函数y＝3x＋b（b≥0）的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数的性质
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵函数y＝3x＋b（b≥0）中，k＝3＞0，b≥0，
∴当b＝0时，此函数的图象经过一、三象限，不经过第四象限；
当b＞0时，此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．
则一定不经过第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，函数的图象所在的象限是解答此题的关键．
【例5】（2022•兰州）若一次函数y＝2x＋1的图象经过点（－3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
【考点】一次函数的性质
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据－3＜4即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝2x＋1中，k＝2＞0，
∴y随着x的增大而增大．
∵点（－3，y1）和（4，y2）是一次函数y＝2x＋1图象上的两个点，－3＜4，
∴y1＜y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．
【例6】（2022•遵义）若一次函数y＝(k＋3)x－1的函数值y随x的增大而减小，则k值可能是（ ）
A．2 B． C． D．－4
【考点】一次函数图象与系数的关系
【分析】根据一次项系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小列出不等式求解即可．
【解答】解：∵一次函数y＝(k＋3)x－1的函数值y随着x的增大而减小，
∴k＋3＜0，
解得k＜－3．
所以k的值可以是－4，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，在一次函数y＝kx＋b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
【例7】（2022•眉山）一次函数y＝(2m－1)x＋2的值随x的增大而增大，则点P（－m，m）所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数图象与系数的关系
【分析】根据一次函数的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处的象限即可．
【解答】解：∵一次函数y＝(2m－1)x＋2的值随x的增大而增大，
∴2m－1＞0，
解得：，
∴P（－m，m）在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
【例8】（2022•株洲）在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x＋1的图象与y轴的交点的坐标为（ ）
A．（0，－1） B．（，0） C．（，0） D．（0，1）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】一次函数的图象与y轴的交点的横坐标是0，当x＝0时，y＝1，从而得出答案．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝1，
∴一次函数y＝5x＋1的图象与y轴的交点的坐标为（0，1），
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的图象与y轴的交点的横坐标是0是解题的关键．
【例9】（2022•永州）已知一次函数y＝x＋1的图象经过点（m，2），则m＝ ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】由一次函数y＝x＋1的图象经过点（m，2），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出2＝m＋1，解之即可求出m的值．
【解答】解：∵一次函数y＝x＋1的图象经过点（m，2），
∴2＝m＋1，
∴m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx＋b是解题的关键．
【例10】（2022•无锡）请写出一个函数的表达式，使其图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交： ．
【考点】一次函数的性质
【分析】设函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0），再根据一次函数的图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交可知k＞0，b＞0，写出符合此条件的函数解析式即可．
【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
∵一次函数的图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交，
∴k＞0，b＞0，
∴符合条件的函数解析式可以为：y＝x＋1（答案不唯一）．
故答案为：y＝x＋1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
【例11】（2022•广安）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x＋2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（ ）
A．y＝3x＋5 B．y＝3x－5 C．y＝3x＋1 D．y＝3x－1
【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可．
【解答】解：将函数y＝3x＋2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数关系式为y＝3x＋2－3＝3x－1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．
【例12】（2022•娄底）将直线y＝2x＋1向上平移2个单位，相当于（ ）
A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位
C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位
【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】根据直线y＝kx＋b平移k值不变，只有b发生改变解答即可．
【解答】解：将直线y＝2x＋1向上平移2个单位后得到新直线解析式为：y＝2x＋1＋2，即y＝2x＋3．
由于y＝2x＋3＝2(x＋1)＋1，
所以将直线y＝2x＋1向左平移1个单位即可得到直线y＝2x＋3．
所以将直线y＝2x＋1向上平移2个单位，相当于将直线y＝2x＋1向左平移1个单位．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．
【例13】（3分）（2020•陕西7/25）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】一次函数的性质；两条直线相交或平行问题．
【分析】根据方程或方程组得到A（-3，0），B（-1，2），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在y=x+3中，令y=0，得x=-3，
解得：，
∴A（-3，0），B（-1，2），
∴△AOB的面积．
故选：B．
【点评】本题考查了直线围成图形面积问题，其中涉及了一次函数的性质，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
【例14】（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟17/26）如图，点B1在直线l：上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；…；按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为 ．

【考点】规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】由题意分别求出A2（，0），B2（，），A3（，0），B3（，），A4（，0），B4（，），……，An（，0），Bn（，），即可求解．
【解答】解：∵点B1在直线l：上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，
∴A1（1，0），B1（1，），
∵四边形A1B1C1A2是正方形，
∴A2（，0），B2（，），
A3（，0），B3（，），
A4（，0），B4（，），
……
An（，0），Bn（，），
∴点B2021的坐标为（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，点的坐标规律；理解题意，结合一次函数的图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解题的关键．
知识点3： 一次函数与方程（组）、一元一次不等式


知识点梳理

1. 一次函数与一元一次方程：
关于x的一元一次方程kx+b=0（k≠0）的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标．
2. 一次函数与二元一次方程组：
关于x，y的二元一次方程组的解是直线y=k1x+b1和y=k2x+b2的交点坐标．
3. 一次函数与一元一次不等式：
关于x的一元一次不等式kx+b＞0（＜0）的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上（下）方的图象所对应的x的取值范围．
典型例题

【例15】（2022•陕西）在同一平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与y＝2x＋m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【考点】二元一次方程组的解；一次函数图象上点的坐标特征
【分析】先将点P（3，n）代入y＝－x＋4，求出n，即可确定方程组的解．
【解答】解：将点P（3，n）代入y＝－x＋4，
得n＝－3＋4＝1，
∴P（3，1），
∴原方程组的解为，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
【例16】（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋b与直线y＝－3x＋6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）

A． B． C． D．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）
【分析】由图象交点坐标可得方程组的解．
【解答】解：由图象可得直线的交点坐标是（1，3），
∴方程组的解为．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y的值为方程组的解．
【例17】（2022•扬州）如图，函数y＝kx＋b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx＋b＞3的解集为 ．

【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】根据函数图象中的数据和一次函数的性质，可以写出等式kx＋b＞3的解集．
【解答】解：由图象可得，
当x＝－1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，
∴不等式kx＋b＞3的解集为x＜－1，
故答案为：x＜－1．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想解答．
【例18】（2022•西宁）如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x＋b交于点A（1，2）．当y1＜y2时，x的取值范围是 ．

【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】根据两函数的交点坐标和函数的图象得出x的范围即可．
【解答】解：∵直线y1＝k1x与直线y2＝k2x＋b交于点A（1，2），
∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜1，
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能正确根据函数图象得出不等式的解集是解此题的关键．
【例19】（5分）（2021•北京23/28）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象与几何变换．
【分析】（1）根据平移的规律即可求得．
（2）根据点（﹣2，﹣2）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）函数的图象向下平移1个单位长度得到，
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到，
∴这个一次函数的表达式为．
（2）把x＝﹣2代入，求得y＝﹣2，
∴函数y＝mx（m≠0）与一次函数的交点为（﹣2，﹣2），
把点（﹣2，﹣2）代入y＝mx，求得m＝1，
∵当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数的值，
∴≤m≤1．

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
巩固训练

1．（2022•柳州）如图，直线分别与轴、轴交于点和点，直线分别与轴、轴交于点和点，点是内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为　　

A．1 B．2 C．4 D．6
2．（2022•辽宁）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是　　

A． B． C． D．
3．（2022•安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是　　
A． B．
C． D．
4．（2022•包头）在一次函数中，的值随值的增大而增大，且，则点在　　
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
5．（2022•阜新）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第100个等腰直角三角形的面积是　　

A． B． C． D．
6．（2022•巴中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将绕点逆时针旋转到如图△的位置，的对应点恰好落在直线上，连接，则的长度为　　

A． B． C．2 D．
7．（2022•聊城）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为　　

A．，， B．，
C．，， D．，
8．（2022•邵阳）在直角坐标系中，已知点，，点，是直线上的两点，则，的大小关系是　　
A． B． C． D．
9．（2022•陕西）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为　　
A． B． C． D．
10．（2022•绍兴）已知，，，，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（2022•南通）根据图象，可得关于的不等式的解集是　　

A． B． C． D．
12．（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数、为常数，且的图象与直线都经过点，当时，根据图象可知，的取值范围是　　

A． B． C． D．
13．（2022•贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为；
③方程的解为；
④当时，．
其中结论正确的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2022•济宁）已知直线与相交于点．请写出一个值 　0（答案不唯一）　（写出一个即可），使时，．
15．（2022•上海）已知直线过第一象限且函数值随着的增大而减小，请列举出来这样的一条直线： ．
16．（2022•湘潭）请写出一个随增大而增大的一次函数表达式 ．
17．（2022•宿迁）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值随自变量增大而减小”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是 ．
18．（2022•甘肃）若一次函数的函数值随着自变量值的增大而增大，则　2（答案不唯一）　（写出一个满足条件的值）．
19．（2022•河南）请写出一个随的增大而增大的一次函数的表达式： ．
20．（2022•天津）若一次函数是常数）的图象经过第一、二、三象限，则的值可以是 （写出一个即可）．
21．（2022•德阳）如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是 ．

22．（2022•东营）如图，△，△，△，是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，，点，，，在轴上，则点的横坐标是 ．

23．（2022•宁夏）如图，点的坐标是，将沿轴向右平移至，点的对应点恰好落在直线上，则点移动的距离是 ．

24．（2022•菏泽）如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边△，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边△，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边△，交轴于点；，依次类推，则点的横坐标为 ．

25．（2022•盐城）《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为 ．

26．（2022•盘锦）点，，，在一次函数的图像上，当时，，则的取值范围是 ．
27．（2022•辽宁）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为的中点，的顶点在轴上，顶点在直线上，则的面积为 ．

28．（2022•大庆）写出一个过点且随增大而减小的一次函数关系式 ．
29．（2022•梧州）在平面直角坐标系中，请写出直线上的一个点的坐标 ．
30．（2022•徐州）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．

31．（2022•杭州）已知一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，则方程组的解是 ．
32．（2022•阜新）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．
（1）如图1，将一次函数的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了 　1　个单位长度；
（2）将一次函数的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向 　　（填“左”或“右” 平移了 　　个单位长度；
（3）综上，对于一次函数的图象而言，将它向下平移个单位长度，相当于将它向 　　（填“左”或“右” 时）或将它向 　　（填“左”或“右” 时）平移了个单位长度，且，，满足等式　　．

33．（2022•襄阳）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是与的几组对应值，其中 ．







1
2
3
4
5






1
5
5





②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；

（2）探究函数性质
请写出函数的一条性质：　　；
（3）运用函数图象及性质
①写出方程的解 　　；
②写出不等式的解集 　　．
巩固训练解析

1．（2022•柳州）如图，直线分别与轴、轴交于点和点，直线分别与轴、轴交于点和点，点是内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为　　

A．1 B．2 C．4 D．6
【考点】坐标与图形性质；一次函数的图象
【分析】由于的纵坐标为2，故点在直线上，要求符合题意的值，则点为直线与题目中两直线的交点，此时存在最大值与最小值，故可求得．
【解答】解：点是内部（包括边上）的一点，
点在直线上，如图所示，

当为直线与直线的交点时，取最大值，
当为直线与直线的交点时，取最小值，
中令，则，
中令，则，
的最大值为1，的最小值为．
则的最大值与最小值之差为：．
故选：．
【点评】本题考查一次函数的性质，要求符合题意的值，关键要理解当在何处时存在最大值与最小值，由于的纵坐标为2，故作出直线有助于判断的位置．
2．（2022•辽宁）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是　　

A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象
【分析】根据一次函数与的图象位置，可得，，，，然后逐一判断即可解答．
【解答】解：一次函数的图象过一、二、三象限，
，，
一次函数的图象过一、三、四象限，
，，
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的位置与系数的关系是解题的关键．
3．（2022•安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：与，
时，两函数的值都是，
两直线的交点的横坐标为1，
若，则一次函数与都是增函数，且都交轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限；
若，则一次函数经过第一、二、四象限，经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1；
故选：．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：
①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；
②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
4．（2022•包头）在一次函数中，的值随值的增大而增大，且，则点在　　
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【考点】一次函数图象与系数的关系
【分析】根据一次函数的增减性，确定自变量的系数的符号，再根据，确定的符号，从而确定点所在的象限．
【解答】解：在一次函数中，随的增大而增大，
，
．
，
，同号，
．
点在第三象限．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
5．（2022•阜新）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第100个等腰直角三角形的面积是　　

A． B． C． D．
【考点】规律型：点的坐标；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第1个等腰直角三角形的直角边长，求出第1个等腰直角三角形的面积，用同样的方法求出第2个等腰直角三角形的面积，第3个等腰直角三角形的面积，找出其中的规律即可求出第100个等腰直角三角形的面积．
【解答】解：当时，，
根据题意，第1个等腰直角三角形的直角边长为1，
第1个等腰直角三角形的面积为，
当时，，
第2个等腰直角三角形的直角边长为2，
第2个等腰直角三角形的面积为，
当时，，
第3个等腰直角三角形的直角边长为4，
第3个等腰直角三角形的面积为，
依此规律，第100个等腰直角三角形的面积为，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与规律的综合，涉及等腰直角三角形的性质，找出规律是解题的关键．
6．（2022•巴中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将绕点逆时针旋转到如图△的位置，的对应点恰好落在直线上，连接，则的长度为　　

A． B． C．2 D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；坐标与图形变化旋转
【分析】先求出点、的坐标，可求得、，进而可求得，利用旋转的性质和等边三角形的判定与性质证明△和△为等边三角形得到即可求解．
【解答】解：在中，
当时，，
当时，得，
解得，
，，
，，
，
，
由旋转性质得：，，，
△是等边三角形，
，
又，
△是等边三角形，
，
故选：．
【点评】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、旋转性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用，证得△是等边三角形是解题的关键．
7．（2022•聊城）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为　　

A．，， B．，
C．，， D．，
【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；轴对称最短路线问题
【分析】作关于轴的对称点，作关于直线的对称点，连接，连接交于，交轴于，此时周长最小，由得，，，根据、关于对称，可得，直线解析式为，即可得，由得，．
【解答】解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点，连接，连接交于，交轴于，如图：

，，
，此时周长最小，
由得，，
，是等腰直角三角形，
，
、关于对称，
，
，
，
，
，
由，可得直线解析式为，
在中，令得，
，
由得，
，，
的坐标为，，的坐标为，
故选：．
【点评】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定周长最小时，、的位置．
8．（2022•邵阳）在直角坐标系中，已知点，，点，是直线上的两点，则，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据可知函数随着增大而减小，再根即可比较和的大小．
【解答】解：点，，点，是直线上的两点，且，
一次函数随着增大而减小，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
9．（2022•陕西）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为　　
A． B． C． D．
【考点】二元一次方程组的解；一次函数图象上点的坐标特征
【分析】先将点代入，求出，即可确定方程组的解．
【解答】解：将点代入，
得，
，
关于，的方程组的解为，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
10．（2022•绍兴）已知，，，，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：直线，
随的增大而减小，当时，，
，，，，，为直线上的三个点，且，
若，则，同号，但不能确定的正负，故选项不符合题意；
若，则，异号，但不能确定的正负，故选项不符合题意；
若，则，同号，但不能确定的正负，故选项不符合题意；
若，则，异号，则，同时为负，故，同时为正，故，故选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
11．（2022•南通）根据图象，可得关于的不等式的解集是　　

A． B． C． D．
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可．
【解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为，
所以关于的一元一次不等式的解集为，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图象得出正确信息是解此题的关键．
12．（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数、为常数，且的图象与直线都经过点，当时，根据图象可知，的取值范围是　　

A． B． C． D．
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】根据题意和函数图象，可以写出当时，的取值范围．
【解答】解：由图象可得，
当时，直线在一次函数的上方，
当时，的取值范围是，
故选：．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．（2022•贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为；
③方程的解为；
④当时，．
其中结论正确的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】一次函数的性质；一次函数与二元一次方程（组
【分析】①根据一次函数的函数的增减进行判断便可；
②根据一次函数与二元一次方程组的关系判断便可；
③根据一次函数图象与的交点坐标进行判断便可；
④根据一次函数图象与轴交点坐标进行判断便可．
【解答】解：①由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以的值随着值的增大而减小，故①错误；
②由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组的解为，故②正确；
③由函数图象可知，直线与轴的交点坐标为，所以方程的解为，故③正确；
④由函数图象可知，直线过点，所以当时，，故④错误；
故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与二元一次方程的关系，关键是综合应用一次函数的图象与性质解题．
14．（2022•济宁）已知直线与相交于点．请写出一个值 　0（答案不唯一）　（写出一个即可），使时，．
【考点】一次函数的性质
【分析】由题意可知，当时满足题意，故可以取0．
【解答】解：直线与相交于点．
时，．
，
故可以取0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写的值必须满足．
15．（2022•上海）已知直线过第一象限且函数值随着的增大而减小，请列举出来这样的一条直线： ．
【考点】一次函数的性质
【分析】根据一次函数的性质，写出符合条件的函数关系式即可．
【解答】解：直线过第一象限且函数值随着的增大而减小，
，，
符合条件的函数关系式可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数的图象过第一、二、四象限，随自变量的值增大而减小是解答此题的关键．
16．（2022•湘潭）请写出一个随增大而增大的一次函数表达式 ．
【考点】一次函数的性质
【分析】根据随着的增大而增大时，比例系数即可确定一次函数的表达式．
【解答】解：在中，若，则随增大而增大，
只需写出一个的一次函数表达式即可，比如：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握中，若，则随增大而增大．
17．（2022•宿迁）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值随自变量增大而减小”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是 ．
【考点】一次函数的性质
【分析】根据甲、乙两位同学给出的函数特征可判断出该函数为一次函数，再利用一次函数的性质，可得出，，取即可得出结论．
【解答】解：函数值随自变量增大而减小，且该函数图象经过点，
该函数为一次函数．
设一次函数的表达式为，则，．
取，此时一次函数的表达式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
18．（2022•甘肃）若一次函数的函数值随着自变量值的增大而增大，则　2（答案不唯一）　（写出一个满足条件的值）．
【考点】一次函数的性质
【分析】根据函数值随着自变量值的增大而增大得到，写出一个正数即可．
【解答】解：函数值随着自变量值的增大而增大，
，
（答案不唯一）．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质：，随的增大而增大；，随的增大而减小是解题的关键．
19．（2022•河南）请写出一个随的增大而增大的一次函数的表达式： ．
【考点】一次函数的性质
【分析】根据一次函数的性质只要使一次项系数大于0即可．
【解答】解：例如：，或等，答案不唯一．
【点评】此题比较简单，考查的是一次函数的性质：
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小．
20．（2022•天津）若一次函数是常数）的图象经过第一、二、三象限，则的值可以是 （写出一个即可）．
【考点】一次函数图象与系数的关系
【分析】根据一次函数的图象可知即可．
【解答】解：一次函数是常数）的图象经过第一、二、三象限，
，
可取，
故答案为：1．（答案不唯一，满足即可）
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
21．（2022•德阳）如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是 ．

【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【分析】利用临界法求得直线和的解析式即可得出结论．
【解答】解：当时，
直线经过点，，
，
；
；
当时，
直线经过点，，
，
．
；
综上，直线与线段有交点时，猜想的取值范围是：或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法求出临界值是解题的关键．
22．（2022•东营）如图，△，△，△，是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，，点，，，在轴上，则点的横坐标是 ．

【考点】规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征
【分析】求出直线与轴、轴的交点坐标，由题意可得，，则△、△、是含角的直角三角形，可得出，，，可得，，，，由此得出规律，即可求解．
【解答】解：如图：

直线，令，则，
令，则，
解得，
，，，
，，
，
△，△，△，是等边三角形，
、，，

△、△、是含角的直角三角形，
，，，
，，
，，，，

，，
点的横坐标是，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，归纳出的坐标规律是解题的关键．
23．（2022•宁夏）如图，点的坐标是，将沿轴向右平移至，点的对应点恰好落在直线上，则点移动的距离是 ．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化平移
【分析】将代入一次函数解析式求出值，由此即可得出点的坐标为，进而可得出沿轴向右平移3个单位得到△，根据平移的性质即可得出点与其对应点间的距离．
【解答】解：当时，，
点的坐标为，
沿轴向右平移3个单位得到，
点与其对应点间的距离为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将代入一次函数解析式中求出点的坐标是解题的关键．
24．（2022•菏泽）如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边△，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边△，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边△，交轴于点；，依次类推，则点的横坐标为 ．

【考点】规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据一次函数图象上的坐标特征及等边三角形的性质，找出规律性即可求解．
【解答】解：，△是等边三角形，
，
的横坐标为，
，
的横坐标为1，
过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边△，交轴于点，过点作轴的垂线交直线于点，
，
的横坐标为2，
依此类推：的坐标为：，，
的横坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及正比例函数的性质，解题关键找出规律性即可得出答案．
25．（2022•盐城）《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为 ．

【考点】规律型：图形的变化类；一次函数图象上点的坐标特征
【分析】由直线的解析式求得，即可求得，把的坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，把的纵坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，，得到规律，即可求得，根据对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为2．
【解答】解：把代入得，，
，
，
把代入得，，
，
把代入得，，
，
，
把代入得，，
，，
把代入得，，
，，
，
，
，
对任意大于1的整数恒成立，
的最小，
，
的最小值为2，
故答案为：2．
方法二：
设直线与直线的交点为，
联立，解得，
，
由图可知，
对任意大于1的整数恒成立，
的最小值为2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合函数的解析式是解题的关键．
26．（2022•盘锦）点，，，在一次函数的图像上，当时，，则的取值范围是 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据一次函数的性质，建立不等式计算即可．
【解答】解：当时，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
27．（2022•辽宁）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为的中点，的顶点在轴上，顶点在直线上，则的面积为 ．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，结合点为的中点可得出的长，由四边形为平行四边形，可得出轴，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，进而可得出的长，结合平行四边形的对边相等可得出的长，再利用平行四边形的面积计算公式，即可求出的面积．
【解答】解：当时，，
点的坐标为，．
点为的中点，
．
四边形为平行四边形，点在轴上，
轴．
当时，，
解得：，
点的坐标为，
，
，
的面积．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及平行四边形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出点，的坐标是解题的关键．
28．（2022•大庆）写出一个过点且随增大而减小的一次函数关系式 ．
【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【分析】先设一次函数关系式为：，根据增减性可知，然后再把代入关系式进行计算即可解答．
【解答】解：设一次函数关系式为：，
随增大而减小，
，
取，
一次函数过点，
把代入中可得：
，
一次函数关系式为：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
29．（2022•梧州）在平面直角坐标系中，请写出直线上的一个点的坐标 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】令，计算出对应的值即可得出结论．
【解答】解：令，则，
直线经过点，
直线上的一个点的坐标为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，由解析式中的的值求得对应的值是解答此类问题的方法．
30．（2022•徐州）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．

【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象
【分析】利用待定系数法求得，再利用一元一次不等式解法得出答案．
【解答】解：一次函数的图象过点，
，
，
关于
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，利用待定系数法求得是解题的关键．
31．（2022•杭州）已知一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，则方程组的解是 ．
【考点】一次函数与二元一次方程（组
【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【解答】解：一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，
联立与的方程组的解为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．
32．（2022•阜新）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．
（1）如图1，将一次函数的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了 　1　个单位长度；
（2）将一次函数的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向 　　（填“左”或“右” 平移了 　　个单位长度；
（3）综上，对于一次函数的图象而言，将它向下平移个单位长度，相当于将它向 　　（填“左”或“右” 时）或将它向 　　（填“左”或“右” 时）平移了个单位长度，且，，满足等式　　．

【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象与几何变换
【分析】（1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论；
（2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论；
（3）根据（1）（2）题得出结论即可．
【解答】解：（1）将一次函数的图象向下平移1个单位长度得到，
相当于将它向右平移了1个单位长度，
故答案为：1；
（2）将一次函数的图象向下平移1个单位长度得到，
相当于将它向左平移了个单位长度；
故答案为：左；；
（3）综上，对于一次函数的图象而言，将它向下平移个单位长度，相当于将它向右（填“左”或“右” 时）或将它向左（填“左”或“右” 时）平移了个单位长度，且，，满足等式．
故答案为：右；左；（或：当时，，当时，．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
33．（2022•襄阳）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是与的几组对应值，其中 ．







1
2
3
4
5






1
5
5





②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；

（2）探究函数性质
请写出函数的一条性质：　　；
（3）运用函数图象及性质
①写出方程的解 　　；
②写出不等式的解集 　　．
【考点】解分式方程；一次函数与一元一次不等式
【分析】（1）①把代入解析式即可得的值；
②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．
【解答】解：（1）①列表：当时，，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：

（2）观察函数图象可得：的图象关于轴对称，
故答案为：的图象关于轴对称（答案不唯一）；
（3）①观察函数图象可得：当时，或，
的解是或，
故答案为：或；
②观察函数图象可得，当或时，，
的解集是或，
故答案为：或．
【点评】本题考查一次函数图象及性质，解题的关键是画出函数图象