中考数学专题15 二次函数的图象及其性质（学案含解析）

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中考数学一轮复习学案
15 二次函数的图象及其性质




考点
课标要求
考查角度
1
二次函数的意义和函数表达式
通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义．
常以选择题、填空题的形式考查二次函数的意义和函数解析式的求法，部分地市以解答题的形式考查．
2
二次函数的图象和性质
①会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
②会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴．
常以选择题、填空题的形式考查二次函数图象的顶点、对称轴、最值、抛物线的平移等基础知识，以解答题、探究题的形式考查二次函数综合能力．

知识点1： 二次函数的有关概念


知识点梳理

1. 二次函数的概念：
一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数．
y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式．
2. 二次函数的解析式：
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k是常数，a≠0）
（3）两根式（交点式）：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)．如果没有交点，则不能这样表示．
3. 用待定系数法求二次函数的解析式：
（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c．
（2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中对称轴为x＝h，顶点坐标为(h，k)．
（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式（交点式）：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)．
典型例题
中考命题说明

【例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. y=3x-1 B. y=ax2+bx+c
C. s=2t2-2t+1 D.
【考点】二次函数的定义.
【解析】解：根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0)判定即可．
A. y=3x-1是一次函数；B. y=ax2+bx+c不一定是几次函数；
C. s=2t2-2t+1符合二次函数定义；D. 不符合二次函数定义．
故答案为：C．
【例2】（4分）（2019•甘肃庆阳）将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为________．
【答案】 y＝(x－2)2＋1．
【分析】将二次函数y＝x2－4x＋5按照配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式即可．
【解答】y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1．
知识点2： 二次函数的图象和性质



知识点梳理


1. 二次函数的图象：
二次函数的图象是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线．
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，抛物线的对称轴是直线，顶点是（，）．当a>0时，抛物线的开口向上，函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值．
（2）抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．
2. 二次函数图象的画法：
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；
（2）求抛物线y=ax2+bx+c 与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称D.将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．
3. 二次函数的性质：
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）中，a、b、c的含义：
a表示开口方向：a＞0时，抛物线开口向上， a＜0时，抛物线开口向下；
b与对称轴有关：对称轴为；
c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）．
典型例题


【例3】（2022•阜新）下列关于二次函数y＝3(x＋1)(2－x)的图象和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点
【考点】正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】A、把x＝0代入y＝3(x＋1)(2－x)，求函数值再与点的纵坐标进行比较；
B、化简二次函数：y＝－3x2＋3x＋6，根据a的取值判断开口方向；
C、根据对称轴公式计算；
D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【解答】解：A、把x＝0代入y＝3(x＋1)(2－x)，
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝－3x2＋3x＋6，
∵a＝－3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线，
∴C错误；
D、∵3(x＋1)(2－x)＝3x，
∴－3x2＋3x＋6＝3x，
∴－3x2＋6＝0，
∵b2－4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3(x＋1)(2－x)的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
【例4】（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2＋bx－c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象
【分析】根据c＞0，可知－c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．
【解答】解：∵c＞0，
∴－c＜0，
故A，D选项不符合题意；
当a＞0时，
∵b＞0，
∴对称轴，
故B选项不符合题意；
当a＜0时，b＞0，
∴对称轴，
故C选项符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
【例5】（2022•朝阳）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a为常数，且a≠0）的图象过点（－1，0），对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）

A．abc＞0
B．3a＋c＞0
C．a2m2＋abm≤a2＋ab（m为任意实数）
D．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：A、抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B、函数的对称轴为直线，则b＝－2a，
∵从图象看，当x＝－1时，y＝a－b＋c＝3a＋c＝0，
故不正确，不符合题意；
C、∵当x＝1时，函数有最大值为y＝a＋b＋c，
∴am2＋bm≤a＋b＋c（m为任意实数），
∴am2＋bm≤a＋b，
∵a＜0，
∴a2m2＋abm≤a2＋ab（m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
D、∵，故b＝－2a，
∵x＝－1，y＝0，故a－b＋c＝0，
∴c＝－3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜－3a＜3，
∴，故正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
【例6】（2022•荆门）抛物线y＝x2＋3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（ ）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
【考点】二次函数的性质
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：抛物线y＝x2＋3开口向上，对称轴为y轴，
∵抛物线y＝x2＋3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，
∴|x1|＜|x2|，
∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜－x1＜x2或0＜x1＜－x2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
【例7】（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
【考点】二次函数的性质
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．
【解答】解：∵y＝2x2－4x＋5＝2(x－1)2＋3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
【例8】（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x－1)2＋1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝(x－2)2－1 B．y＝(x－2)2＋3 C．y＝x2＋1 D．y＝x2－1
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将二次函数y＝(x－1)2＋1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝(x－1＋1)2＋1－2，即y＝x2－1．
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
【例9】（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2＋2x＋2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 ．
【考点】二次函数的性质
【分析】由题意可知－2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围．
【解答】解：∵y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1，
∴二次函数y＝x2＋2x＋2的图象开口向上，顶点为（－1，1），对称轴是直线x＝－1，
∵P（m，n）到y轴的距离小于2，
∴－2＜m＜2，
而－1－(－2)＜2－(－1)，
当m＝2，n＝(2＋1)2＋1＝10，
当m＝－1时，n＝1，
∴n的取值范围是1≤n＜10，
故答案为：1≤n＜10．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．
【例10】（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（－1，－1）和（4，－1），抛物线y＝mx2－2mx＋2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m 的取值范围是 ．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据抛物线求出对称轴x＝1，y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2－m），直线CD的表达式y＝－1，分两种情况讨论：m＞0时或m＜0时，利用抛物线的性质分析求解．
【解答】解：抛物线的对称轴为：，
当x＝0时，y＝2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2－m），直线CD的表达式y＝－1，
当m＞0时，且抛物线过点D（4，－1）时，
16m－8m＋2＝－1，
解得：（不符合题意，舍去），
当抛物线经过点（－1，－1）时，
m＋2m＋2＝－1，
解得：m＝－1（不符合题意，舍去），
当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，
2－m＝－1，
解得：m＝3，
当m＜0时，且抛物线过点D（4，－1）时，
16m－8m＋2＝－1，
解得：，
当抛物线经过点（－1，－1）时，
m＋2m＋2＝－1，
解得：m＝－1，
综上，m的取值范围为m＝3或，
故答案为：m＝3或．
【点评】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【例11】（3分）（2021•包头10/26）已知二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b），则一次函数y=bx-ac的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；二次函数的性质
【分析】根据二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b），可以判断b＜0和ac异号．再根据一次函数的性质即可求解．
【解答】解：∵点（1，-b）在第一象限．
∴-b＞0．
∴b＜0．
∵二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b）．
∴-b =a-b+c．
∴a+c=0．
∵a≠0．
∴ac＜0．
∴一次函数y=bx-ac的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识．关键在于判断b、-ac的正负性．
【例12】（4分）（2021•福建10/25）二次函数y=ax2-2ax+c (a＞0)的图象过A（-3，y1），B（-1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1 y2＞0，则y3 y4＞0 B．若y1 y4＞0，则y2 y3＞0
C．若y2 y4＜0，则y1 y3＜0 D．若y3 y4＜0，则y1 y2＜0
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】观察图像可知，y1＞y4＞y2＞y3，再结合题目一一判断即可．
【解答】解：如图，由题意对称轴x=1，

观察图像可知，，y1＞y4＞y2＞y3，
若y1 y2＞0，则y3 y4＞0或y3 y4＜0，选项A不符合题意，
若y1 y4＞0，则y2 y3＞0或y2 y3＜0，选项B不符合题意，
若y2 y4＜0，则y1 y3＜0，选项C符合题意，
若y3 y4＜0，则y1 y2＜0或y1 y2＞0，选项D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
知识点3：二次函数的最值



知识点梳理


二次函数的最值：
（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，．
（2）如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，y最大=ax22+bx2+c，当x=x1时，y最小=ax12+bx1+c ；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，y最大= ax12+bx1+c ，当x=x2时，y最小= ax22+bx2+c ．
典型例题


【例13】（2022•衢州）已知二次函数y＝a(x－1)2－a（a≠0），当－1≤x≤4时，y的最小值为－4，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值
【分析】分两种情况讨论：当a＞0时，－a＝－4，解得a＝4；当a＜0时，在－1≤x≤4，9a－a＝－4，解得．
【解答】解：y＝a(x－1)2－a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，－a），
当a＞0时，在－1≤x≤4，函数有最小值－a，
∵y的最小值为－4，
∴－a＝－4，
∴a＝4；
当a＜0时，在－1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a－a＝－4，
解得；
综上所述：a的值为4或，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
【例14】（2022•六盘水）如图是二次函数y＝x2＋bx＋c的图象，该函数的最小值是 ．

【考点】二次函数的图象；二次函数的最值
【分析】根据二次函数图象得出其对称轴和与x轴交点，进而得出二次函数解析式，即可求出最小值．
【解答】解：由函数图象可得：，
解得：b＝2，
∵图象经过（－3，0）点，
∴0＝(－3)2－3×2＋c，
解得：c＝－3，
故二次函数解析式为：y＝x2＋2x－3，
则二次函数的最小值为：．
故答案为：－4．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值以及二次函数的图象，正确求出二次函数解析式是解题关键．
【例15】（2022•凉山州）已知实数a、b 满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ．
【考点】二次函数的最值
【分析】根据a－b2＝4得出b2＝a－4，代入代数式a2－3b2＋a－14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．
【解答】解：∵a－b2＝4，
∴b2＝a－4，
∴原式＝a2－3(a－4)＋a－14
＝a2－3a＋12＋a－14
＝a2－2a－2
＝a2－2a＋1－1－2
＝(a－1)2－3，
∵1＞0，
又∵b2＝a－4≥0，
∴a≥4，
∵1＞0，
∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，
∴当a＝4时，原式取最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．
【例16】（2022•嘉兴）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值
【分析】由点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3上，可得，即得，根据ab的最大值为9，得，即可求出c＝2．
【解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3上，
∴，
由①可得：，
∵ab的最大值为9，
∴k＜0，，
解得，
把代入②得：，
∴c＝2，
故选：C ．
【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征及二次函数的最值，解题的关键是掌握配方法求函数的最值．
【例17】（10分）（2021•重庆B卷25/26）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4 (a≠0)与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．
（3）在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx-4 (a≠0)沿射线AD平移个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

【考点】二次函数综合题
【分析】（1）直接代入点A，B坐标即可；
（2）作PE∥y轴交直线AD于E，通过铅垂高表示出△APD的面积即可求出最大面积；
（3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，从而平行四边形中，已知线段DE，分DE为边还是对角线，通过点的平移得出G的横坐标即可．
【解答】解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得
，
∴，
∴y=x2-3x-4．
（2）当x=0时，y=-4，
∴点C（0，-4），
∵点D与点C关于直线l对称，
∴D（3，-4），
∵A（-1，0），
∴直线AD的函数关系式为：y=-x-1，
设P(m，m2-3m-4)，
作PE∥y轴交直线AD于E，
∴E(m，-m-1)，
∴PE=-m-1-( m2-3m-4)=-m2+2m+3，
∴，
当时，S△APD最大为=8．

（3）∴直线AD与x轴正方向夹角为45°，
∴沿AD方向平移，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，
∵P（1，-6），
∴E（5，-10），
抛物线y=x2-3x-4平移后y1=x2-11x+20，
∴抛物线y1的对称轴为：直线，
当DE为平行四边形的边时：
若D平移到对称轴上F点，则G的横坐标为，
代入y1=x2-11x+20得，
∴，
若E平移到对称轴上F点，则G的横坐标为，
代入y1=x2-11x+20得，
∴，
若DE为平行四边形的对角线时，
若E平移到对称轴上F点，则G平移到D点，
∴G的横坐标为，
代入y1=x2-11x+20得，
∴．

∴或或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，铅垂高求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质和判定，解决问题的关键是沿AD平移转化为右平移4个单位，再向下平移4个单位，属于中考压轴题．
巩固训练

1．（2022•济南）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为．如图所示，设矩形一边长为，另一边长为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是　　

A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
2．（2022•杭州）已知二次函数，为常数）．命题①：该函数的图象经过点；命题②：该函数的图象经过点；命题③：该函数的图象与轴的交点位于轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是　　
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
3．（2022•广州）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是　　

A．
B．
C．当时，随的增大而减小
D．当时，随的增大而减小
4．（2022•郴州）关于二次函数，下列说法正确的是　　
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当时，随的增大而增大
5．（2022•哈尔滨）抛物线的顶点坐标是　　
A． B． C． D．
6．（2022•岳阳）已知二次函数为常数，，点，是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是　　
A．或 B． C．或 D．
7．（2022•陕西）已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是　　
A． B． C． D．
8．（2022•新疆）已知抛物线，下列结论错误的是　　
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
9．（2022•绍兴）已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根是　　
A．0，4 B．1，5 C．1， D．，5
10．（2022•辽宁）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与，是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是　　

A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2022•齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与轴的交点在与之间，对称轴为，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①；②；③；④若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则；⑤当时，随的增大而减小．其中正确的结论有　　

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．（2022•广元）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点，、点，在该函数图象上，则；（5）为常数）．其中正确的结论有　　

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
13．（2022•天津）已知抛物线，，是常数，经过点，有下列结论：
①；
②当时，随的增大而增大；
③关于的方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
14．（2022•淄博）若二次函数的图象经过，两点，则代数式的最小值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2022•泰州）已知点、、在下列某一函数图像上，且，那么这个函数是　　
A． B． C． D．
16．（2022•鄂州）如图，已知二次函数、、为常数，且的图象顶点为，经过点．有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有　　

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
17．（2022•宁波）点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
18．（2022•温州）已知点，，都在抛物线上，点在点左侧，下列选项正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
19．（2022•达州）二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，都有成立；④若，，，在该函数图象上，则；⑤方程，为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有　　个．

A．2 B．3 C．4 D．5
20．（2022•黑龙江）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点　　
A． B． C． D．
21．（2022•玉林）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．（2022•泸州）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是　　
A． B．
C． D．
23．（2022•湖州）将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是　　
A． B． C． D．
24．（2022•内蒙古）如图，抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③当时，的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有其中结论正确的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．（2022•潍坊）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为　　
A． B． C． D．4
26．（2022•雅安）抛物线的函数表达式为，则下列结论中，正确的序号为（ ）
①当时，取得最小值；②若点，在其图象上，则；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为；④函数图象与轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
27．（2022•宜宾）已知抛物线的图象与轴交于点、，若以为直径的圆与在轴下方的抛物线有交点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
28．（2022•泰安）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：



0
1

0
4
6
6
下列结论不正确的是　　
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与轴的一个交点坐标为
D．函数的最大值为
29．（2022•成都）如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是　　

A．
B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为
D．
30．（2022•包头）已知实数，满足，则代数式的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
31．（2022•贺州）已知二次函数在时，取得的最大值为15，则的值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
32．（2022•荆门）如图，函数的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线为常数）相交于三个不同的点，，，，，．设，则的取值范围是 ．

33．（2022•长春）已知二次函数，当时，函数值的最小值为1，则的值为 ．
34．（2022•武汉）已知抛物线，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，，，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 （填写序号）．
35．（2022•徐州）若二次函数的图象上有且只有三个点到轴的距离等于，则的值为 ．
36．（2022•贵港）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中；⑤若，和，均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有 个．

37．（2022•湘西州）已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是 ．

38．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
39．（2022•赤峰）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为 ．

40．（2022•福建）已知抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，其中．若，则的值为 ．
41．（2022•无锡）把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件： ．
42．（2022•遂宁）抛物线，，为常数）的部分图象如图所示，设，则的取值范围是 ．

43．（2022•牡丹江）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接，，，为的中点，连接，则线段的长是 ．
注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，．

44．（2022•黑龙江）如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，抛物线的顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

45．（2022•武汉）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．
小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：、运动距离（单位：随运动时间（单位：变化的数据，整理得下表．
运动时间
0
1
2
3
4
运动速度
10
9.5
9
8.5
8
运动距离
0
9.75
19
27.75
36
小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
（1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．

46．（2022•北京）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．
（1）当，时，求抛物线与轴交点的坐标及的值；
（2）点，在抛物线上．若，求的取值范围及的取值范围．
47．（2022•青岛）已知二次函数为常数，的图象经过点．
（1）求的值；
（2）判断二次函数的图象与轴交点的个数，并说明理由．
48．（2022•绍兴）已知函数，为常数）的图象经过点，．
（1）求，的值．
（2）当时，求的最大值．
（3）当时，若的最大值与最小值之和为2，求的值．
巩固训练解析

1．（2022•济南）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为．如图所示，设矩形一边长为，另一边长为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是　　

A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【考点】一次函数的定义；正比例函数的定义；反比例函数的定义；二次函数的定义
【分析】根据题意列出与的关系式可得答案．
【解答】解：由题意得，，
所以与是一次函数关系，
故选：．
【点评】此题考查了一次函数的应用等知识，理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数的解析式形式是解题的关键．
2．（2022•杭州）已知二次函数，为常数）．命题①：该函数的图象经过点；命题②：该函数的图象经过点；命题③：该函数的图象与轴的交点位于轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是　　
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
【考点】二次函数的图象；抛物线与轴的交点；命题与定理
【分析】命题④②③可以同时成立，由此即可判断．
【解答】解：假设抛物线的对称轴为直线，
则，
解得，
函数的图象经过点，
，
解得，
故抛物线的解析式为，
当时，得，
解得或，
故抛物线与轴的交点为和，
函数的图象与轴的交点位于轴的两侧；
故命题②③④都是正确，①错误，
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及对称轴公式的求法．
3．（2022•广州）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是　　

A．
B．
C．当时，随的增大而减小
D．当时，随的增大而减小
【考点】二次函数的性质
【分析】根据图象得出，的符号即可判断、，利用二次函数的性质即可判断、．
【解答】解：图象开口向上，
，故不正确；
图象与轴交于负半轴，
，故不正确；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，
故正确，不正确；
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
4．（2022•郴州）关于二次函数，下列说法正确的是　　
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当时，随的增大而增大
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值
【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．
【解答】解：中，
的系数为1，，函数图象开口向上，错误；
函数图象的顶点坐标是，错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，错误；
函数图象的对称轴为，时随的增大而减小；时，随的增大而增大，正确．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．
5．（2022•哈尔滨）抛物线的顶点坐标是　　
A． B． C． D．
【考点】二次函数的性质
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
【解答】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
6．（2022•岳阳）已知二次函数为常数，，点，是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是　　
A．或 B． C．或 D．
【考点】二次函数的性质
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
【解答】解：二次函数，
对称轴为，抛物线与轴的交点为，
点，是该函数图象上一点，当时，，
①当时，对称轴，
此时，当时，，即，
解得；
②当时，对称轴，
当时，随增大而减小，
则当时，恒成立；
综上，的取值范围是：或．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
7．（2022•陕西）已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是　　
A． B． C． D．
【考点】二次函数的性质
【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
【解答】解：抛物线，
对称轴，顶点坐标为，
当时，，
解得或，
抛物线与轴的两个交点坐标为：，，
当，，时，，
故选：．
【点评】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
8．（2022•新疆）已知抛物线，下列结论错误的是　　
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
【考点】二次函数的性质
【分析】根据抛物线时，开口向上，时，开口向下判断选项；根据抛物线的对称轴为判断选项；根据抛物线的顶点坐标为判断选项；根据抛物线，时，随的增大而减小判断选项．
【解答】解：选项，，
抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
选项，抛物线的对称轴为直线，故该选项不符合题意；
选项，抛物线的顶点坐标为，故该选项不符合题意；
选项，当时，随的增大而减小，故该选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大；时，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小是解题的关键．
9．（2022•绍兴）已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根是　　
A．0，4 B．1，5 C．1， D．，5
【考点】根的判别式；二次函数的性质
【分析】根据抛物线的对称轴为直线，可以得到的值，然后解方程即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
方程可以写成，
，
，
解得，，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出的值．
10．（2022•辽宁）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与，是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是　　

A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】根与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点；一次函数的性质；二次函数的最值
【分析】利用图象的信息与已知条件求得，的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：抛物线的开口方向向下，
．
抛物线的对称轴为直线，
，
，．
，，
，
①的结论正确；
抛物线经过点，
，
，
．
，
②的结论不正确；
抛物线的对称轴为直线，
点关于直线对称的对称点为，
，
当时，随的增大而减小．
，
．
③的结论不正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，
抛物线一定经过点，
抛物线与轴的交点的横坐标为，1，
方程的两根为，，
④的结论正确；
直线经过点，
，
．
，
，
，
．
函数


，
，
当时，函数有最大值，
⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①④，
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与已知条件求得，的关系式是解题的关键．
11．（2022•齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与轴的交点在与之间，对称轴为，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①；②；③；④若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则；⑤当时，随的增大而减小．其中正确的结论有　　

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】根的判别式；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与轴的交点
【分析】由抛物线对称轴为直线可判断①，由抛物线顶点坐标可得与的关系，由抛物线与轴交点位置可判断的取值范围，从而判断②，由抛物线与轴交点个数可判断③，由抛物线与直线交点个数判断④，由图象可得时，随增大而增大，从而判断⑤．
【解答】解：抛物线对称轴为直线，
，①正确．
抛物线经过，
，
，
抛物线与轴交点在与之间，
，
，②正确．
抛物线与轴有2个交点，
，即，③正确．
，
可整理为，
抛物线开口向下，顶点坐标为，
时，抛物线与直线有两个不同交点，④错误．
由图象可得时随增大而增大，
⑤错误．
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
12．（2022•广元）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点，、点，在该函数图象上，则；（5）为常数）．其中正确的结论有　　

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与轴的交点，可得，，，由对称轴为直线，可得，当时，函数有最大值；由经过点，可得，；再由，可知图象上的点离对称轴越近对应的函数值越大；再结合所给选项进行判断即可．
【解答】解：抛物线的开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线交轴的正半轴，
，
，所以（1）正确；
对称轴为直线，
，
，
，
，
经过点，
，
，
，
，
，
，故（2）不正确；
，故（3）正确；
，，，
，故（4）错误；
当时，函数有最大值，
，
为常数），故（5）正确；
综上所述：正确的结论有（1）（3）（5），共3个，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
13．（2022•天津）已知抛物线，，是常数，经过点，有下列结论：
①；
②当时，随的增大而增大；
③关于的方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】根的判别式；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【分析】根据抛物线经过点、结合题意判断①；根据抛物线的对称性判断②；根据一元二次方程根的判别式判断③．
【解答】解：①抛物线经过点，
，
，
，即，本小题结论正确；
②，，
，
对称轴，
当时，随的增大而减小，本小题结论错误；
③，
，
对于方程，△，
方程有两个不相等的实数根，本小题结论正确；
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
14．（2022•淄博）若二次函数的图象经过，两点，则代数式的最小值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】因式分解运用公式法；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】利用非负数的性质，利用配方法解决问题即可．
【解答】解：二次函数的图象经过，
，
，
，
在上，
，
，
，
的最小值为1．
故选：．
【点评】本题考查二次函数图像上的点的坐标特征，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用配方法解决问题．
15．（2022•泰州）已知点、、在下列某一函数图像上，且，那么这个函数是　　
A． B． C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断，，之间的关系，再判断即可．
【解答】解：．，因为，所以随的增大而增大，所以，不符合题意；
．，当和时，相等，即，故不符合题意；
．，当时，随的增大而减小，时，随的增大而减小，所以，不符合题意；
．，当时，随的增大而增大，时，随的增大而增大，所以，符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解题关键，也可直接代入各个选项中的函数解析中，再判断的大小．
16．（2022•鄂州）如图，已知二次函数、、为常数，且的图象顶点为，经过点．有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有　　

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定、、的正负即可解答；③将点的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【解答】解：①由抛物线的开口方向向下，
则，故①正确；
②抛物线的顶点为，
，，
，
，
抛物线与轴的交点在正半轴，
，
，故②错误；
③抛物线经过点，
，即，故③正确；
④抛物线的顶点为，且开口方向向下，
时，随的增大而减小，即④正确；
⑤，




，
，则⑤正确
综上，正确的共有4个．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，灵活运用二次函数图象的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
17．（2022•宁波）点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据列出关于的不等式即可解得答案．
【解答】解：点，都在二次函数的图象上，
，
，
，
，
，
即，
，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于的不等式．本题属于基础题，难度不大．
18．（2022•温州）已知点，，都在抛物线上，点在点左侧，下列选项正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断当时，、、的大小关系或当时，、、的大小关系．
【解答】解：抛物线，
该抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
点，，都在抛物线上，点在点左侧，
若，则，故选项、均不符合题意；
若，则，故选项不符合题意，选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
19．（2022•达州）二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，都有成立；④若，，，在该函数图象上，则；⑤方程，为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有　　个．

A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系；根的判别式
【分析】①正确，判断出，，的正负，可得结论；
②正确．利用对称轴公式可得，，当时，，解不等式可得结论；
③错误．当时，；
④错误．应该是，；
⑤错误．当有四个交点或3个时，方程，为常数）的所有根的和为4，当有两个交点时，方程，为常数）的所有根的和为2．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线与轴交于点，
，
，
，
，故①正确，
，
当时，，
，
，故②正确，
当时，，故③错误，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，
点，到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
，
，故④错误，
方程，为常数）的解，是抛物线与直线的交点，
当有3个交点时，方程，为常数）的所有根的和为3，
当有4个交点时，方程，为常数）的所有根的和为4，
当有2个交点时，方程，为常数）的所有根的和为2，故⑤错误，
故选：．

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2022•黑龙江）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点　　
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性解答．
【解答】解：二次函数的对称轴为轴，
若图象经过点，
则该图象必经过点．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键．
21．（2022•玉林）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换
【分析】分别求出平移或翻折后的解析式，将点代入可求解．
【解答】解：①向右平移2个单位长度，则平移后的解析式为，当时，，所以平移后的抛物线过点，故①符合题意；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的解析式为，当时，，所以平移后的抛物线过点，故②符合题意；
③向下平移4个单位长度，则平移后的解析式为，当时，，所以平移后的抛物线过点，故③符合题意；
④沿轴翻折，再向上平移4个单位长度，则平移后的解析式为，当时，，所以平移后的抛物线过点，故④符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求出平移或翻折后的解析式是解题的关键．
22．（2022•泸州）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是　　
A． B．
C． D．
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】根据抛物线的平移规律，可得答案．
【解答】解：将抛物线经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，
抛物线经过平移后不可能得到的抛物线是．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，由平移规律得出不变是解题的关键．
23．（2022•湖州）将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是　　
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
【解答】解：抛物线向上平移3个单位，
平移后的解析式为：．
故选：．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．
24．（2022•内蒙古）如图，抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③当时，的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有其中结论正确的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：根据函数的对称性，抛物线与轴的另外一个交点的坐标为；
①函数对称轴在轴右侧，则，而，故，
故①正确，符合题意；
②，即，
而时，，即，
，
．
②正确，符合题意；
③由图象知，当时，的取值范围是，
③错误，不符合题意；

④从图象看，当时，，
当时，，
有，
故④正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
25．（2022•潍坊）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为　　
A． B． C． D．4
【考点】根的判别式；抛物线与轴的交点
【分析】抛物线与轴有一个交点，的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于0．
【解答】解：抛物线与轴只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根，
△，
．
故选：．
【点评】本题考查方程与二次函数的关系，数形结合思想是解这类题的关键．
26．（2022•雅安）抛物线的函数表达式为，则下列结论中，正确的序号为　　
①当时，取得最小值；②若点，在其图象上，则；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为；④函数图象与轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可判断①②，由二次函数图象平移的规律可判断③，令可得抛物线与轴交点横坐标，从而判断④．
【解答】解：，
抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，
时，取最小值，①正确．
时，随增大而增大，
，②正确．
将函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为，③错误．
令，
解得，，
，④正确．
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27．（2022•宜宾）已知抛物线的图象与轴交于点、，若以为直径的圆与在轴下方的抛物线有交点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【考点】抛物线与轴的交点；点与圆的位置关系
【分析】把、两点坐标代入二次函数解析式，用表示、，进而把抛物线的解析式用表示，设抛物线的顶点为点，的中点为点，求得抛物线的对称轴与顶点坐标，根据抛物线与以为直径的圆在轴下方的抛物线有交点得，且求得的取值范围便可．
【解答】解：把、代入得，
，
解得，
抛物线的解析式为：，
设抛物线的顶点为点，
抛物线的顶点，对称轴为，
设为的中点，则，

以为直径的圆与在轴下方的抛物线有交点，
，即，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，点与圆的位置关系的应用，关键是根据点与圆的位置关系列出不等式．
28．（2022•泰安）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：



0
1

0
4
6
6
下列结论不正确的是　　
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与轴的一个交点坐标为
D．函数的最大值为
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与轴的交点
【分析】根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即可判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：由表格可得，
，
解得，
，
该抛物线的开口向下，故选项正确，不符合题意；
该抛物线的对称轴是直线，故选项正确，不符合题意，
当时，，
当时，，故选项错误，符合题意；
函数的最大值为，故选项正确，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式．
29．（2022•成都）如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是　　

A．
B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为
D．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与轴的交点
【分析】由抛物线开口方向可判断，根据抛物线对称轴可判断，由抛物线的轴对称性可得点的坐标，从而判断，由所在象限可判断．
【解答】解：、由图可知：抛物线开口向下，，故选项错误，不符合题意；
、抛物线对称轴是直线，开口向下，
当时随的增大而减小，时随的增大而增大，故选项错误，不符合题意；
、由，抛物线对称轴是直线可知，坐标为，故选项错误，不符合题意；
、抛物线过点，由可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限，
，故选项正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，数形结合解决问题．
30．（2022•包头）已知实数，满足，则代数式的最小值等于　　
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】二次函数的最值；代数式求值
【分析】由题意得，代入代数式可得，故此题的最小值是5．
【解答】解：，
，




，
代数式的最小值等于5，
故选：．
【点评】此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算．
31．（2022•贺州）已知二次函数在时，取得的最大值为15，则的值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数的最值
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出时，的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【解答】解：二次函数，
抛物线的对称轴为，顶点，
当时，，
当时，，
解得或，
当时，的最大值为15，
，
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．
32．（2022•荆门）如图，函数的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线为常数）相交于三个不同的点，，，，，．设，则的取值范围是 ．

【考点】二次函数的性质
【分析】根据、关于对称轴对称，可知，由直线为常数）相交于三个不同的点，可以求出的取值范围，进而求出的范围．
【解答】解：由二次函数可知：图象开口向上，对称轴为，
当时函数有最小值为2，，
由一次函数可知当时有最大值3，当时，
直线为常数）相交于三个不同的点，，，，，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，函数的取值范围，数形结合的数学思想，关键是利用图象的特点表示出各个变量的取值范围．
33．（2022•长春）已知二次函数，当时，函数值的最小值为1，则的值为 ．
【考点】二次函数的最值；二次函数的性质
【分析】函数配方后得，当时，，可得，因为，所以时，函数值的最小值为1，进而可以解决问题．
【解答】解：，
图象开口向下，顶点坐标为，
根据题意，当时，函数值的最小值为1，
当时，，
，
，
时，函数值的最小值为1，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．
34．（2022•武汉）已知抛物线，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，，，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 （填写序号）．
【考点】根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【分析】①正确．根据对称轴在轴的右侧，可得结论；
②错误．；
③正确．由题意，抛物线的对称轴直线，，由点，，，在抛物线上，，且，推出点到对称轴的距离点到对称轴的距离，推出；
④正确，证明判别式即可．
【解答】解：对称轴，
对称轴在轴右侧，
，
，
，
故①正确；
当时，对称轴，
，
当时，，
，
，故②错误；
由题意，抛物线的对称轴直线，，
点，，，在抛物线上，，且，
点到对称轴的距离点到对称轴的距离，
，故③正确；
设抛物线的解析式为，
方程，
整理得，，
△
，
，，
△，
关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
35．（2022•徐州）若二次函数的图象上有且只有三个点到轴的距离等于，则的值为 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，顶点为，由图象上恰好只有三个点到轴的距离为可得．
【解答】解：，
抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，顶点为，
顶点到轴的距离为4，
函数图象有三个点到轴的距离为，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
36．（2022•贵港）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中；⑤若，和，均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有 个．

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
把，，代入，可得：
，
解得，
，故③正确；
抛物线开口方向向下，
，
，，
，故①错误；
抛物线与轴两个交点，
当时，方程有两个不相等的实数根，
，故②正确；
，
，
，
又，，
，
即（其中，故④正确；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，
可知二次函数，在时，随的增大而减小，
，
，故⑤错误，
正确的有②③④，共3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
37．（2022•湘西州）已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是 ．

【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，的取值范围．
【解答】解：如图，当时，，解得，，则，，
将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为，
即，
当直线经过点时，，解得；
当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得，
所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为．
故答案为：．

【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
38．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】先求出绕原点旋转的抛物线解析式，再求出向下平移5个单位长度的解析式，配成顶点式即可得答案．
【解答】解：将抛物线绕原点旋转后所得抛物线为：，即，
再将抛物线向下平移5个单位得
，
所得到的抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．
39．（2022•赤峰）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为 ．

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点；坐标与图形变化对称
【分析】由抛物线解析式可得，，三点的坐标，则，将点的坐标代入抛物线的解析式可得的值，确定的坐标，根据计算的的坐标分情况画图可得结论．
【解答】解：把点代入抛物线中得：
，
解得：，，
或，
当时，，
或，
，，
当时，，
，
是等腰直角三角形，
，
①如图1，，此时点与重合，连接，

点与关于直线对称，
是的垂直平分线，
，且，
，
；
②如图2，，

点，
点在直线上，此时直线过点，
，即在直线上，
，，
则直线的解析式为：，
，
，
，
点与关于直线对称，
是的中点，
，
综上，点关于直线的对称点的坐标为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解决问题的关键．
40．（2022•福建）已知抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，其中．若，则的值为 ．
【考点】抛物线与轴的交点
【分析】方法1、先判断出了抛物线与轴的两交点坐标，进而求出，，进而建立方程，求解即可求出答案．
方法2、先判断出抛物线的图象可由的图象向右平移两个单位得到，进而画出图象，再借助，求出点的坐标，即可求出答案．
【解答】方法1、解：针对于抛物线，
令，则，
，
针对于抛物线，
令，则，
，
抛物线，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线与抛物线的开口大小一样，与轴相交于同一点，顶点到轴的距离相等，
，
，
抛物线与轴的交点在左侧，在右侧，抛物线与轴的交点在左侧，在右侧，
，，，，，，，，
，，
，
，
故答案为：8．
方法2、，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线的图象可由的图象向右平移两个单位得到，
，
，
两函数的图象如图所示：

由平移得，，
，，
，
，
点，关于直线对称，
，
点在抛物线上，
，
，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与轴交点的求法，表示出点，，，的坐标是解本题的关键．
41．（2022•无锡）把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件： ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；抛物线与轴的交点
【分析】先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，可得△，即可求解．
【解答】解：把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，
平移后的解析式为：，
平移后的解析式为：，
对称轴为直线，
平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
△，
，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的几何变换．
42．（2022•遂宁）抛物线，，为常数）的部分图象如图所示，设，则的取值范围是 ．

【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置及抛物线经过可得，，的等量关系，然后将代入解析式求解．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
，
抛物线经过，
，
抛物线经过，
，
，，
，
，
当时，，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
43．（2022•牡丹江）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接，，，为的中点，连接，则线段的长是 ．
注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，．

【考点】两点间的距离公式；待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）利用待定系数法即可得出；
（2）把二次函数的解析式化成顶点式，即可求得的坐标，进一步求得点的坐标，令即可求得的坐标，利用勾股定理即可求得的长．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2），
，
把代入，得，
，
为的中点，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
44．（2022•黑龙江）如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，抛物线的顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）设抛物线上的点坐标为，结合方程思想和三角形面积公式列方程求解．
【解答】解：（1）抛物线经过点，点，
，
解得，，
抛物线的解析式：；
（2）存在，理由如下：
，
点坐标为，
令，则，
点坐标为，
又点坐标为，
轴，
，
设抛物线上的点坐标为，
，
当时，
解得，
当时，，
当时，，
综上，点坐标为，或，．
【点评】本题考查二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图象上点的坐标特征，利用方程思想解题是关键．
45．（2022•武汉）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．
小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：、运动距离（单位：随运动时间（单位：变化的数据，整理得下表．
运动时间
0
1
2
3
4
运动速度
10
9.5
9
8.5
8
运动距离
0
9.75
19
27.75
36
小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
（1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．

【考点】一次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）设，代入，，利用待定系数法可求出和；设，代入，，，利用待定系数法求解即可；
（2）令，代入（1）中关系式，可先求出，再求出的值即可；
（3）设黑白两球的距离为，根据题意可知，化简，再利用二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）设，将，代入，得，
解得，，
；
设，将，，代入，得，
解得，
．
（2）令，即，
解得或，
当时，；
当时，（舍；
（3）设黑白两球的距离为，
根据题意可知，

，
，
当时，的最小值为6，
黑白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球．
另解1：当时，，判定方程无解．
另解2：当黑球的速度减小到时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为时，其运动时间为，再判断黑白两球的运动距离之差小于70 ．
【点评】本题属于函数综合应用，主要考查待定系数法求函数解析式，函数上的坐标特点等知识，（3）关键是弄明白如何判断黑白两球是否碰到．
46．（2022•北京）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．
（1）当，时，求抛物线与轴交点的坐标及的值；
（2）点，在抛物线上．若，求的取值范围及的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）将点，代入抛物线解析式，再根据得出，再求对称轴即可；
（2）再根据，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定的取值范围．
【解答】解：（1）法一、将点，代入抛物线解析式，
，
，
，整理得，，
抛物线的对称轴为直线；
，
，
抛物线与轴交点的坐标为．
法二、当时，点，的纵坐标相等，
由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为，
，
，
抛物线与轴交点的坐标为．
（2），
，
解得，
，
，即．
当时，；
当时，．
的取值范围．
综上，的取值范围为：；的取值范围．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．
47．（2022•青岛）已知二次函数为常数，的图象经过点．
（1）求的值；
（2）判断二次函数的图象与轴交点的个数，并说明理由．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点
【分析】（1）将代入解析式求解．
（2）由判别式△的符号可判断抛物线与轴交点个数．
【解答】解：（1）将代入得，
解得，，
又，
．
（2），
，
△，
二次函数图象与轴有2个交点．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
48．（2022•绍兴）已知函数，为常数）的图象经过点，．
（1）求，的值．
（2）当时，求的最大值．
（3）当时，若的最大值与最小值之和为2，求的值．
【考点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；
（2）根据的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定的最大值即可；
（3）根据对称轴为，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出的取值范围即可．
【解答】解：（1）把，代入，
得，．
（2），
又，
当时，有最大值为6．
（3）①当时，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
，
或（舍去）．
②当时，
当时有最大值为6，
的最大值与最小值之和为2，
最小值为，
，
或（舍去）．
综上所述，或．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出的取值范围是解题关键