中考数学专题19 三角形（学案含解析）

这是一份中考数学专题19 三角形（学案含解析），共100页。学案主要包含了温馨提示，阅读材料，解决问题，情境再现，迁移应用，拓展延伸等内容，欢迎下载使用。

中考数学一轮复习学案
19 三角形

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
三角形的有关概念
①了解三角形的有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），理解三角形形成的条件，会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性；②掌握三角形的内角和定理及推论；③了解三角形重心的概念．
常以选择题、填空题的形式考查三角形的三边关系、三角形的内角和定理、外角与内角的关系以及三角形的中位线等知识．
2
全等三角形
了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件和性质．
常以选择题、填空题、证明题的形式考查三角形全等的判定和性质，近年来全等类开放性、探索性试题是中考命题的热点．
3
等腰三角形
了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理．探索并掌握等腰三角形的判定定理．探索等边三角形的性质定理及判定定理．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查．
4
直角三角形
了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查．

知识点1：三角形的有关概念


知识点梳理

1. 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次相接 所组成的图形，叫做三角形．
2. 三角形中的主要线段：
（1）三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边 中点 所得到的线段，叫做三角形这边上的中线．
（2）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，连接这个顶点和 垂足 的线段，叫做三角形这边上的高线（简称三角形的高）．
（3）三角形的角平分线：连接三角形的一个顶点和这个 角的平分线 与对边交点的线段，叫做三角形的角平分线．
（4）三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
3. 三角形的边之间关系：
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．
推论：三角形的两边之差小于第三边．
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形．
②当已知两边时，可确定第三边的范围．
③证明线段不等关系．
【温馨提示】三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．
4. 三角形的角之间关系：
（1）三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：
①直角三角形的两个锐角互余．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和．
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
（2）三角形的外角和等于 360° ；
5. 三角形的边与角之间的关系：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．
6. 三角形的分类：
按边分：

按角分：

典型例题

【例1】（2022•广东）下列图形中有稳定性的是（ ）
A．三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形
【考点】三角形的稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
【例2】（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（ ）

A．0.5 cm B．0.7 cm C．1.5 cm D．2 cm
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
用刻度尺测量AD的长度，更接近2 cm，
故选：D．

【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
【例3】（2022•福建）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为 ．

【考点】三角形中位线定理
【分析】直接利用三角形中位线定理求解．
【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【例4】（2022•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵3＋3＝6，
∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3＋5＜10，
∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵4＋6＞9，
∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
D、∵4＋5＝9，
∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
【例5】（2022•衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边直接列式计算即可．
【解答】解：∵线段a＝1，b＝3，
∴3－1＜c＜3＋1，即2＜c＜4．
观察选项，只有选项A符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系定理，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
【例6】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 度．
【考点】三角形内角和定理
【分析】分两种情况：△ABC为锐角三角形或钝角三角形，然后利用三角形内角和定理即可作答．
【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图，

∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－30°－90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝60°＋20°＝80°；
当△ABC为钝角三角形时，如图，

∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－30°－90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°－20°＝40°．
综上所述，∠BAC＝80°或40°．
故答案为：80或40．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，注意到分类讨论是解题关键．
【例7】（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ．

【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形的性质；等腰直角三角形
【分析】根据等边三角形的判定定理填空即可．
【解答】解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，
故答案为：∠B＝60°．（答案不唯一）
【点评】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的定义及等边三角形与等腰三角形的关系．
知识点2： 全等三角形


知识点梳理

1. 全等三角形：能够完全 重合 的两个三角形叫全等三角形．
2. 三角形全等的判定：
三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）．
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）．
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．
直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） ．
3. 全等三角形的性质：全等三角形的 对应边 相等， 对应角 相等．
典型例题

【例8】（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（ ）

A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE
【考点】全等三角形的判定
【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OF，可知∠ODE＝∠OFE，即可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．
【解答】解：∵OB平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠FOE，
又OE＝OE，
若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，
而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，
增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，
增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应用．
【例9】（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF ．求证：∠B＝∠E．

【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】利用全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】证明：∵AD＝CF，
∴AD＋CD＝CF＋CD ，
∴AC＝DF ．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS） ，
∴∠B＝∠E．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的判定定理进行解答是解题的关键．
【例10】（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ）

A．24 B．22 C．20 D．18
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB＋AC＋GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．
【解答】解：∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AC＝8，AB＝6，
∴四边形ACGH的周长＝AC＋CG＋AH＋GH＝AB＋AC＋GH＝14＋GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14＋8＝22，
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键．
【例11】（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）

A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC
【考点】全等三角形的应用
【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】解：A、利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B、利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C、AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D、根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；
故选：C ．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
知识点3： 等腰三角形


知识点梳理

1. 等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则．
④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．
2. 等腰三角形的判定：
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
3. 等边三角形：
（1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
（3）判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
典型例题

【例12】（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8 cm B．13 cm C．8 cm或13 cm D．11 cm或13 cm
【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3 cm和5 cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当3 cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，
当5 cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．
则三角形的周长为11 cm或13 cm．
故选：D ．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【例13】（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】等腰三角形的性质
【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为(2x＋20)°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为(2x＋20)°，
根据题意得：x＋x＋2x＋20＝180，
解得：x＝40，
故选：B ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，考查了方程思想，掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．
【例14】（2022•鞍山）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC 到点D，使CD＝AC ，连接AD，则∠D的度数为（ ）

A．39° B．40° C．49° D．51°
【考点】等腰三角形的性质
【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，
∴∠B＝∠ACB＝78°．
∵CD＝AC ，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D＋∠CAD ，
∴．
故选：A ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大．
【例15】（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF ，则∠E的度数为（ ）

A．23° B．25° C．27° D．30°
【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E 的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠BAE＝50°，
∵CF＝EF，
∴∠C＝∠E，
∵∠DFE＝∠C＋∠E，
∴，
故选：B ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记等腰三角形的性质、平行线的性质是解题的关键．
【例16】（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（ ）
A．是轴对称图形
B．对称轴的交点是其重心
C．是中心对称图形
D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合
【考点】等边三角形的性质；轴对称图形；中心对称图形
【分析】根据等边三角形的性质，轴对称图形的定义，中心对称图形的定义进行判断即可．
【解答】解：等边三角形是轴对称图形，每条边的高线所在的直线是其对称轴，
故A 选项不符合题意；
三条高线的交点为等边三角形的重心，
∴对称轴的交点是其重心，
故B 选项不符合题意；
等边三角形不是中心对称图形，
故C 选项符合题意；
等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，
故D 选项不符合题意，
故选：C ．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，轴对称图形，中心对称图形等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
【例17】（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）

A．80° B．70° C．60° D．50°
【考点】平行线的性质；等边三角形的性质
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，
∴∠3＝180°－40°－60°＝80°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A ．

【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60° ．也考查了平行线的性质．
【例18】（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．

【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB ，可知BE＝DE ，等量代换即可．
【解答】（1）证明：∵BD是△ABC 的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD ，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB ，
∴∠EBD＝∠EDB ．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC ，
∵DE∥BC ，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED ．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
知识点4：直角三角形


知识点梳理

1. 直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形．
2. 直角三角形的性质：
（1）直角三角形两锐角互余．
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
3. 直角三角形的判定：
（1）两个内角互余的三角形是直角三角形．
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
4. 勾股定理及逆定理：
（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
典型例题

【例19】（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（ ）

A．34° B．44° C．124° D．134°
【考点】直角三角形的性质
【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则∠B＋∠A＝90°，
∵∠B＝56°，
∴∠A＝90°－56°＝34°，
故选：A ．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
【例20】（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（ ）

A． B． C．2 D．4
【考点】含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，
∴AC=2BD=4，
∵∠C＝60°，
∴∠A＝30°，
∴，
故选：C ．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
【例21】（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝ ．

【考点】解一元二次方程—因式分解法；勾股定理的证明
【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，结合图形得出AE＝x－1，利用勾股定理列方程求解．
【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，
根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，
则AE＝x－1，
在Rt△AED中，AE2＋ED2＝AD2，
∴(x－1)2＋x2＝52，
解得：x1＝4，x2＝－3（舍去），
∴x－1＝3，
故答案为：3．
【点评】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，利用方程思想解题是关键．
【例22】（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（ ）

A．5 B．4 C．6 D．8
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；三角形中位线定理
【分析】利用勾股定理求得AB＝20；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴．
∵CD为中线，
∴．
∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
则．
故选：A ．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．
【例23】（2022•镇江）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（ ）

A．2 B． C． D．
【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【分析】连接AE，根据题意可得：AE∥BC，AD＝DE＝5，然后利用等腰三角形的性质可得∠DAE＝∠DEA，再利用平行线的性质可得∠DAE＝∠DOC，∠DEA＝∠DCO，从而可得∠DOC＝∠DCO，进而可得DO＝DC＝3，最后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：连接AE，

由题意得：
AE∥BC，，DE＝5，
∴AD＝DE＝5，
∴∠DAE＝∠DEA ，
∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠DOC，∠DEA＝∠DCO，
∴∠DOC＝∠DCO，
∴DO＝DC＝3，
∴AO＝AD－DO＝5－3＝2，
故选：A ．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【例24】（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m，（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
【考点】列代数式；规律型：数字的变化类；勾股数
【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a＋2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：∵m为正整数，
∴2m 为偶数，设其股是a，则弦为a＋2，
根据勾股定理得，(2m)2＋a2＝(a＋2)2，
解得a＝m2－1，
∴弦是a＋2＝m2－1＋2＝m2＋1，
故答案为：m2＋1．
【点评】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【例25】（2022•荆门）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为（ ）

A． B．60 C． D．30
【考点】勾股定理；等腰直角三角形
【分析】根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，
∴∠B＝∠A＝45°，
∴BC＝AC＝30，
∵，
故选：C ．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长是解题的关键．
【例26】（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC “剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【考点】平面展开—最短路径问题
【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B 是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论．
【解答】解：将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，
∵圆柱的底面直径为AB，
∴点B 是展开图的一边的中点，
∵蚂蚁爬行的最近路线为线段，
∴C选项符合题意，
故选：C ．
【点评】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，最短路径问题，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
巩固训练

1．（2022•大庆）下列说法不正确的是　　
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形
B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形
D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
2．（2022•杭州）如图，于点，已知是钝角，则　　

A．线段是的边上的高线
B．线段是的边上的高线
C．线段是的边上的高线
D．线段是的边上的高线
3．（2022•永州）下列多边形具有稳定性的是　　
A． B．
C． D．
4．（2022•南通）用一根小木棒与两根长分别为，的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为　　
A． B． C． D．
5．（2022•益阳）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中的值可以是　　

A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022•西藏）如图，数轴上，两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是　　


A． B．4 C．7 D．8
7．（2022•十堰）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是　　

A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
8．（2022•毕节市）如果一个三角形的两边长分别为3，7，则第三边的长可以是　　
A．3 B．4 C．7 D．10
9．（2022•金华）如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是　　

A． B． C． D．
10．（2022•成都）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是　　

A． B． C． D．
11．（2022•梧州）如图，在中，，是的角平分线，过点分别作，，垂足分别是点，，则下列结论错误的是　　

A． B． C． D．
12．（2022•淮安）如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是　　

A．8 B．6 C．5 D．4
13．（2022•荆州）如图，直线，，，则的度数是　　

A． B． C． D．
14．（2022•宜宾）如图，在中，，是上的点，交于点，交于点，那么四边形的周长是　　

A．5 B．10 C．15 D．20
15．（2022•天津）如图，的顶点，顶点，分别在第一、四象限，且轴，若，，则点的坐标是　　

A． B． C． D．
16．（2022•宁波）如图，在中，为斜边的中点，为上一点，为中点．若，，则的长为　　

A． B．3 C． D．4
17．（2022•张家界）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为　　

A． B． C． D．
18．（2022•海南）如图，直线，是等边三角形，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
19．（2022•安顺）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为　　

A． B． C． D．
20．（2022•沈阳）如图，在中，，点、分别是直角边、的中点，连接，则的度数是　　

A． B． C． D．
21．（2022•岳阳）如图，已知，于点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
22．（2022•绍兴）如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上，，，则　　

A． B． C． D．
23．（2022•大连）如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线．直线与相交于点，连接，若，则的长是　　

A．6 B．3 C．1.5 D．1
24．（2022•遵义）如图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为　　

A． B． C．1 D．2
25．（2022•舟山）如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为　　

A． B． C．4 D．
26．（2022•安徽）已知点是边长为6的等边的中心，点在外，，，，的面积分别记为，，，．若，则线段长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
27．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则　　

A．2 B． C． D．
28．（2022•安顺）如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是　　

A． B． C． D．
29．（2022•荆门）如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，具有性质：．已知的面积为3，则的面积为 ．

30．（2022•东营）如图，在中，弦半径，，则的度数为 ．

31．（2022•宁夏）如图，，相交于点，，要使，添加一个条件是
（只写一个）

32．（2022•南通）如图，点，，，在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是 ．

33．（2022•南充）如图，正方形边长为1，点在边上（不与，重合），将沿直线折叠，点落在点处，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，．给出下列四个结论：①；②；③点是直线上动点，则的最小值为；④当时，△的面积为．其中正确的结论是 ．（填写序号）

34．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一动点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是 ．

35．（2022•深圳）已知是直角三角形，，，，，连接，以为底作直角三角形，且．是边上的一点，连接和，且，则长为 ．

36．（2022•大庆）如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍．连接，分别与对角线交于点，，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则．其中正确结论的序号为 ．

37．（2022•包头）如图，在中，，，为边上一点，且，连接，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点（异于点，连接，则的长为 ．

38．（2022•株洲）如图所示，点在一块直角三角板上（其中，于点，于点，若，则 度．

39．（2022•广安）若，则以、为边长的等腰三角形的周长为 ．
40．（2022•岳阳）如图，在中，，于点，若，则 ．

41．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边的长为3，则腰的长为 ．
42．（2022•云南）已知是等腰三角形．若，则的顶角度数是 ．
43．（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为 ．

44．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则的周长为 ．

45．（2022•西藏）如图，如果要测量池塘两端，的距离，可以在池塘外取一点，连接，，点，分别是，的中点，测得的长为25米，则的长为 米．

46．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则．
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少
（结果取整数，参考数据：．

47．（2022•荆州）如图，在中，，通过尺规作图得到的直线分别交，于，，连接．若，则 ．

48．（2022•鄂尔多斯）如图，于点，于点，点是中点，若，，，则的长是 ．

49．（2022•通辽）在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ．
50．（2022•山西）如图，在正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为 ．

51．（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 ．
52．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若正方形的边长为4，则 ．

53．（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 ．

54．（2022•河南）如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，．当时，的长为 ．

55．（2022•成都）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为 ．

56．（2022•常州）如图，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂．若，则橡皮筋
断裂（填“会”或“不会”，参考数据：．

57．（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．
已知：如图，，求证：．
方法一
证明：如图，过点作．
方法二
证明：如图，过点作．



58．（2022•益阳）如图，在中，，，于点，且．求证：．

59．（2022•广州）如图，点，在的边上，，，求证：．

60．（2022•铜仁市）如图，点在上，，，，．求证：．

61．（2022•淄博）如图，是等腰三角形，点，分别在腰，上，且，连接，．求证：．

62．（2022•衢州）已知：如图，，．求证：．

63．（2022•荆门）如图，已知矩形中，，，将沿对折到的位置，和交于点．
（1）求证：；
（2）求的值（用含的式子表示）．

64．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的大小．

65．（2022•柳州）如图，点，，，在同一条直线上，，．有下列三个条件：①，②，③．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得．
你选取的条件为（填写序号） （只需选一个条件，多选不得分），你判定的依据是 　　（填“”或“”或“”或“” ；
（2）利用（1）的结论．求证：．

66．（2022•潍坊）【情境再现】
甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足处．将甲绕点顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件按图②作出示意图，并连接，，如图③所示，交于，交于，通过证明，可得．
请你证明：．
【迁移应用】
延长分别交，所在直线于点，，如图④，猜想并证明与的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系．

67．（2022•北京）在中，，为内一点，连接，，延长到点，使得．
（1）如图1，延长到点，使得，连接，．若，求证：；
（2）连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2．若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

68．（2022•百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形，其中米，米，．
（1）求证：；
（2）求草坪造型的面积．

巩固训练解析

1．（2022•大庆）下列说法不正确的是　　
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形
B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形
D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
【考点】三角形；等边三角形的判定；直角三角形的性质；等腰三角形的判定
【分析】根据直角三角形概念可判断，，由等腰三角形，等边三角形定义可判断，．
【解答】解：有两个角是锐角的三角形，第三个角可能是锐角，直角或钝角，
有两个角是锐角的三角形可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形；故不正确，符合题意；
有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形，故正确，不符合题意；
有两个角互余的三角形是直角三角形，故正确，不符合题意；
底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故正确，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查三角形及分类，掌握直角三角形，等腰三角形，等边三角形等概念是解题的关键．
2．（2022•杭州）如图，于点，已知是钝角，则　　

A．线段是的边上的高线
B．线段是的边上的高线
C．线段是的边上的高线
D．线段是的边上的高线
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：、线段是的边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；
、线段是的边上的高线，本选项说法正确，符合题意；
、线段不是的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
、线段不是的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3．（2022•永州）下列多边形具有稳定性的是　　
A． B．
C． D．
【考点】三角形的稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
4．（2022•南通）用一根小木棒与两根长分别为，的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为　　
A． B． C． D．
【考点】三角形三边关系
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求第三根木条的取值范围．
【解答】解：设第三根木棒长为，由三角形三边关系定理得，所以的取值范围是，观察选项，只有选项符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可，难度适中．
5．（2022•益阳）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中的值可以是　　

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】三角形三边关系
【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形．求腰长的取值范围．
【解答】解：长为6的线段围成等腰三角形的腰长为．则底边长为．
由题意得，．
解得．
所给选项中分别为：1，2，3，4．
只有2符合上面不等式组的解集．
只能取2．
故选：．
【点评】本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是把三棱柱的底面问题转化为三角形三边之间的关系问题．
6．（2022•西藏）如图，数轴上，两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是　　


A． B．4 C．7 D．8
【考点】绝对值；实数与数轴；三角形三边关系
【分析】由实数与数轴与绝对值知识可知该三角形的两边长分别为3、4．然后由三角形三边关系解答．
【解答】解：由题意知，该三角形的两边长分别为3、4．
不妨设第三边长为，则，即．
观察选项，只有选项符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系，绝对值，实数与数轴，要注意三角形形成的条件：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边，
7．（2022•十堰）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是　　

A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
【考点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；三角形三边关系
【分析】根据两点确定一条直线判断即可．
【解答】解：这样做应用的数学知识是两点确定一条直线，
故选：．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系、两点之间，线段最短、两点确定一条直线、垂线段最短，正确理解它们在实际生活中的应用是解题的关键．
8．（2022•毕节市）如果一个三角形的两边长分别为3，7，则第三边的长可以是　　
A．3 B．4 C．7 D．10
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【解答】解：设第三边为，则，
所以符合条件的整数为7，
故选：．
【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
9．（2022•金华）如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是　　

A． B． C． D．
【考点】全等三角形的判定
【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以得到判定的依据．
【解答】解：在和中，
，
，
故选：．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，写出和全等的证明过程．
10．（2022•成都）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是　　

A． B． C． D．
【考点】平行线的性质；全等三角形的判定
【分析】先根据平行线的性质得到，加上，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：，
，
，
当添加时，可根据“”判定；
当添加时，可根据“”判定；
当添加时，即，可根据“”判定．
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的根据，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
11．（2022•梧州）如图，在中，，是的角平分线，过点分别作，，垂足分别是点，，则下列结论错误的是　　

A． B． C． D．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【分析】由等腰三角形的性质可得，，，由“”可证，可得．
【解答】解：，是的角平分线，
，，，
，
在和中，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
12．（2022•淮安）如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是　　

A．8 B．6 C．5 D．4
【考点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【分析】利用等腰三角形的性质得出，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【解答】解：，平分，
，
，
为的中点，
，
故选：．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
13．（2022•荆州）如图，直线，，，则的度数是　　

A． B． C． D．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【分析】过点作，利用平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而可求解．
【解答】解：过点作，如图，

，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，解答的关键是由平行线的性质得．
14．（2022•宜宾）如图，在中，，是上的点，交于点，交于点，那么四边形的周长是　　

A．5 B．10 C．15 D．20
【考点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【分析】由于，，则可以推出四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明的周长等于．
【解答】解：，，
四边形是平行四边形，，
，
，
，，
，，
的周长．
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的性质，找出对应相等的边，利用等腰三角形的性质把四边形周长转化为已知的长度去解题．
15．（2022•天津）如图，的顶点，顶点，分别在第一、四象限，且轴，若，，则点的坐标是　　

A． B． C． D．
【考点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据坐标与图形性质写出点的坐标．
【解答】解：设与轴交于点，
，，，
，
由勾股定理得：，
点的坐标为，
故选：．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
16．（2022•宁波）如图，在中，为斜边的中点，为上一点，为中点．若，，则的长为　　

A． B．3 C． D．4
【考点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【分析】根据三角形中位线可以求得的长，再根据，可以得到的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得的长．
【解答】解：为斜边的中点，为中点，，
，
，
，
在中，为斜边的中点，
，
故选：．
【点评】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出的长．
17．（2022•张家界）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为　　

A． B． C． D．
【考点】三角形的面积；等边三角形的性质
【分析】将绕点顺时针旋转得，连接，可得是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，从而解决问题．
【解答】解：将绕点顺时针旋转得，连接，

，，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
与的面积之和为，
故选：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键．
18．（2022•海南）如图，直线，是等边三角形，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【考点】平行线的性质；等边三角形的性质
【分析】先根据等边三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．
【解答】解：是等边三角形，
．
对于，，

，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．
19．（2022•安顺）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为　　

A． B． C． D．
【考点】等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理
【分析】延长至，使，连接，根据等边三角形的性质求出，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：延长至，使，连接，
，
，
为等边三角形，
，
平分的周长，
，
，
，
，
故选：．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
20．（2022•沈阳）如图，在中，，点、分别是直角边、的中点，连接，则的度数是　　

A． B． C． D．
【考点】三角形中位线定理
【分析】根据直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：在中，，
则，
、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
，
故选：．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形中位线平行于第三边是解题的关键．
21．（2022•岳阳）如图，已知，于点，若，则的度数是　　


A． B． C． D．
【考点】平行线的性质；直角三角形的性质
【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：在中，，，
则，
，
，
故选：．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
22．（2022•绍兴）如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上，，，则　　

A． B． C． D．
【考点】平行线的性质；直角三角形的性质
【分析】根据平行线的性质，可以得到的度数，再根据，可以得到的度数．
【解答】解：，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
23．（2022•大连）如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线．直线与相交于点，连接，若，则的长是　　

A．6 B．3 C．1.5 D．1
【考点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线
【分析】根据题意可知：是线段的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点为的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到的长．
【解答】解：由已知可得，
是线段的垂直平分线，
设与的交点为，
，垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，，
，
故选：．

【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（2022•遵义）如图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为　　

A． B． C．1 D．2
【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理
【分析】作于，利用含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，再根据，得，代入计算可得答案．
【解答】解：作于，

，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的三角函数值相等是解题的关键．
25．（2022•舟山）如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为　　

A． B． C．4 D．
【考点】勾股定理；等腰直角三角形
【分析】方法一：根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到和的长，根据等面积法可以求得的长，再根据勾股定理求得的长，最后计算出的长即可．
方法二：
【解答】解：方法一：作交的延长线于点，作交的延长线于点，
，，点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
解得，
，，，
四边形是矩形，
，
，，
，，
，
，
故选：．
方法二：延长到，使得，连接，，如图所示，
，，
，，
，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
点为的中点，
，
，
，
故选：．


【点评】本题考查勾股定理、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出和的长．
26．（2022•安徽）已知点是边长为6的等边的中心，点在外，，，，的面积分别记为，，，．若，则线段长的最小值是　　
A． B． C． D．
【考点】等边三角形的性质；勾股定理
【分析】如图，不妨假设点在的左侧，证明的面积是定值，过点作的平行线，连接并延长交于点，交于点．因为的面积是定值，推出点的运动轨迹是直线，求出的值，可得结论．
【解答】解：如图，不妨假设点在的左侧，
，
，
，
，
，
是等边三角形，边长为6，
，
，
过点作的平行线，连接延长交于点，交于点．
的面积是定值，
点的运动轨迹是直线，
是的中心，
，，
，，，
，
，
，
的最小值为，
当点在②区域时，同法可得的最小值为，
如图，当点在①③⑤区域时，的最小值为，当点在②④⑥区域时，最小值为，
，

故选：．

【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明的面积是定值．
27．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则　　

A．2 B． C． D．
【考点】数学常识；勾股定理的证明；解直角三角形
【分析】根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得的值．
【解答】解：由已知可得，
大正方形的面积为，
设直角三角形的长直角边为，短直角边为，
则，，
解得，或，（不合题意，舍去），
，
故选：．
【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长．
28．（2022•安顺）如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是　　

A． B． C． D．
【考点】平行线的性质；等腰直角三角形
【分析】过点作，利用平行线的性质可得，再利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，然后再利用平行线的性质即可解答．
【解答】解：如图：过点作，

，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．
29．（2022•荆门）如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，具有性质：．已知的面积为3，则的面积为 ．

【考点】三角形的重心；三角形的面积
【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．
【解答】解：，的面积为3，
的面积为6，
的面积为，
点为的中点，
的面积的面积，
的面积为，
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键．
30．（2022•东营）如图，在中，弦半径，，则的度数为 ．

【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数．
【解答】解：半径，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形内角和：三角形内角和是．也考查了等腰三角形的性质和圆的认识．
31．（2022•宁夏）如图，，相交于点，，要使，添加一个条件是
（只写一个）

【考点】全等三角形的判定
【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答．
【解答】解：，，，
，
要使，添加一个条件是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
32．（2022•南通）如图，点，，，在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是 ．

【考点】全等三角形的判定
【分析】根据平行线的性质可得，，然后再利用全等三角形的判定方法即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
33．（2022•南充）如图，正方形边长为1，点在边上（不与，重合），将沿直线折叠，点落在点处，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，．给出下列四个结论：①；②；③点是直线上动点，则的最小值为；④当时，△的面积为．其中正确的结论是 ．（填写序号）

【考点】三角形的面积；全等三角形的判定；正方形的性质；轴对称最短路线问题；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
【分析】①正确．根据证明三角形全等即可；
②正确．过点作于点，证明，即可；
③正确．连接，．因为，关于对称，推出，推出，可得结论；
④错误．过点作于点，求出，，可得结论．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，故①正确，
过点作于点，
，
，
，，
，
，，
，
，故②正确．
连接，．
，关于对称，
，
，
的最小值为，故③正确，
过点作于点，
，
，
，
，
，
，故④错误．
故答案为：①②③．

【点评】本题考查正方形的性质，解直角三角形，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
34．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一动点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是 ．

【考点】垂线段最短；全等三角形的判定与性质；坐标与图形变化旋转
【分析】方法一：点运动所形成的图象是一条直线，当时，垂线段最短，当点在轴上时，由勾股定理得：，进而得，求得点的坐标为，，当点在轴上时，求得点的坐标为，最后根据待定系数法，求得直线的解析式为，再由线段中垂线性质得出，在△中，设点到的距离为，则根据面积法得，即，解得，根据垂线段最短，即可得到线段的最小值为2．
方法二：如图，在第二象限作等边三角形，连接、，过点作轴于点，可证得，得出，当轴时，最小值为2，故的最小值为2．
【解答】解：方法一：将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，
如图，当点在轴上时，△为等边三角形，
则，，
，
，，
，且，
由勾股定理得：，
，
点的坐标为，，
如图，当点在轴上时，
△为等边三角形，，
，
点的坐标为，
，
，
点运动所形成的图象是一条直线，
当时，线段最短，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
，，
，
在△中，
设点到的距离为，则
，
，
解得，
即线段的最小值为2；
方法二：如图，在第二象限作等边三角形，连接、，
过点作轴于点，

将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
是轴上一动点，
当轴时，最小，即点与点重合时最小，
，，
，
的最小值为2，
故答案为2．

【点评】本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．
35．（2022•深圳）已知是直角三角形，，，，，连接，以为底作直角三角形，且．是边上的一点，连接和，且，则长为 ．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【分析】将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，利用证明，得，，从而得出，则，即可解决问题．
【解答】解：将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，延长交于，

是等腰直角三角形，
，
，
点、、共线，
又是等腰直角三角形，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
36．（2022•大庆）如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍．连接，分别与对角线交于点，，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则．其中正确结论的序号为 ．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【分析】根据已知条件可得，即可判断①，进而推出，判断②正确，作于点，连接，，证明是直角三角形，结合勾股定理验证③，证明，即可判断④．
【解答】解：正方形的周长是周长的2倍，
，
，
若，，则，故①错误；
如图，在的延长线上取点，使得，

在正方形中，，，
在和中，
，
，
，，，
又，
，
在和中，
，
，
，，，

，
，，
，
则，故②正确；
如图，作于点，连接，，

在和中，
，
，
同理，，
，，，
点，关于对称轴，，关于对称，
，，，，
，即是直角三角形，
若，，
，，
在中，，故③错误；
，且，，
在中，，
，
，，
且，
，
，
即，
，
，
，
，故④错误，
综上，正确结论的序号为②，
故答案为：②．
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，题目有一定综合性，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
37．（2022•包头）如图，在中，，，为边上一点，且，连接，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点（异于点，连接，则的长为 ．

【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形
【分析】利用等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：，，
，，
，，
，．
，
．
，
，
，
，，
．
．
，
．
在和中，
，
．
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质，准确找出图中的全等三角形是解题的关键．
38．（2022•株洲）如图所示，点在一块直角三角板上（其中，于点，于点，若，则 度．

【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】方法一：根据，，可知，从而可证，根据全等三角形的性质可得，即可求出的度数．
方法二：根据角平分线的判定定理求解即可．
【解答】解：方法一：，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
方法二：，，
又，
平分，
，
，
．
故答案为：15．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法是解题的关键．
39．（2022•广安）若，则以、为边长的等腰三角形的周长为 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【分析】先求，．再求第三边即可．
【解答】解：，，，
，，
，，
设三角形的第三边为，
当时，三角形的周长，
当时，三角形的周长，
故答案为：11或13．
【点评】本题考查等腰三角形周长计算，求出，后确定腰和底是求解本题的关键．
40．（2022•岳阳）如图，在中，，于点，若，则 ．

【考点】等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质可知是的中点，即可求出的长．
【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
41．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边的长为3，则腰的长为 ．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】由等腰是“倍长三角形”，可知或，若，可得的长为6；若，因，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．
【解答】解：等腰是“倍长三角形”，
或，
若，则三边分别是6，6，3，符合题意，
腰的长为6；
若，则，三边分别是1.5，1.5，3，
，
此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，腰的长是6，
故答案为：6．
【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边．
42．（2022•云南）已知是等腰三角形．若，则的顶角度数是 ．
【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【分析】分是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．
【解答】解：当是顶角时，的顶角度数是；
当是底角时，则的顶角度数为；
综上，的顶角度数是或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．
43．（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为 ．

【考点】等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到．
【解答】解：且，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解题的关键．
44．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则的周长为 ．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【分析】根据证，得出，在上取一点使，则，证，根据比例关系设，则，作延长线于，利用勾股定理列方程求解即可得出和的长．
【解答】解：是等边三角形，
，，
在和中，

，
，
，
，
在上取一点使，则，
，
是等边三角形，
，
即，
，
，
设，则，
作延长线于，

，
，
，，
，
在中，，
即，
解得或（舍去），
，，
的周长为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．
45．（2022•西藏）如图，如果要测量池塘两端，的距离，可以在池塘外取一点，连接，，点，分别是，的中点，测得的长为25米，则的长为 米．

【考点】三角形中位线定理
【分析】应用三角形的中位线定理，计算得结论．
【解答】解：，分别是，的中点，
是的中位线．
（米．
故答案为：50．
【点评】本题考查了三角形的中位线，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”是解决本题的关键．
46．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则．
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少
（结果取整数，参考数据：．

【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理
【分析】解法一：如图，作辅助线，构建直角三角形，先根据四边形的内角和定理证明，分别计算，，，的长，由线段的和与差可得和的长，最后由勾股定理可得的长，计算可得答案．
解法二：构建【阅读材料】的图形，根据结论可得的长，从而得结论．
【解答】解：解法一：如图，延长，交于点，过点作于，

，，，
，
，
，
中，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
中，，
，，
由勾股定理得：，
．
答：路线的长比路线的长少．
解法二：如图，延长，交于点，连接，，则，

，，
是等边三角形，
，
由解法一可知：，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由【阅读材料】的结论得：，
．
答：路线的长比路线的长少．
故答案为：370．
【点评】此题重点考查了含的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识与方法，解题的关键是作出所需要的辅助线，构造含的直角三角形，再利用线段的和与差进行计算即可．
47．（2022•荆州）如图，在中，，通过尺规作图得到的直线分别交，于，，连接．若，则 ．

【考点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线
【分析】如图，连接，根据作图可知为的垂直平分线，从而得到，然后利用勾股定理求出，，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．
【解答】解：如图，连接，
，
，，
而根据作图可知为的垂直平分线，
，
在中，，
，
为直角三角形斜边上的中线，
．
故答案为：．

【点评】本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，同时也利用勾股定理进行计算．
48．（2022•鄂尔多斯）如图，于点，于点，点是中点，若，，，则的长是 ．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理
【分析】延长交于点，由“”可证，可得，，由勾股定理可求的长．
【解答】解：如图，延长交于点，

点是的中点，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理可得．
故答案为：12．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
49．（2022•通辽）在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ．
【考点】含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理
【分析】题中的锐角，可能是也可能是；可以分为点在在线段上和在线段的延长线上两种情况；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得的长度．
【解答】解：当时，

，，
，，
由勾股定理得，，
①点在线段上，
，
，
，
在中，，
．
在中，由勾股定理得．
②点在线段的延长线上，
，
，
，
．
，
，
，
．
当时，

，，
，，
由勾股定理得，，
①点在线段上，
，
，
是等边三角形
．
②点在线段的延长线上，
，，

这与与交于点矛盾，舍去．
综上所得，的长为，9或3．
故答案为：，9或3．
【点评】本题的考点是直角三角形，本题中涉及到勾股定理、含角的直角三角形的三边关系、等边三角形的判定，用分类讨论思想考虑所有可能的情况．
50．（2022•山西）如图，在正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为 ．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【分析】连接，，，由正方形的性质可得，，，可证得，可得，，从而可得，根据等腰三角形三线合一可得点为中点，由可证得，，可得，设，则，，由勾股定理解得，可得，，由勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，连接，，，

四边形为正方形，
，，，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，，
，
设，
，，
，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
解得：，
，，
，
解法二：可以用相似去做，与相似，设正方形边长为，
，即，
．
在中，利用勾股定理可求得．
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．
51．（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 ．
【考点】根与系数的关系；勾股定理
【分析】设直角三角形两条直角边分别为、，斜边为，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再由勾股定理即可求出斜边长．
【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为、，斜边为，
直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
，，
斜边，
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及勾股定理、完全平方公式的应用，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，得到，．
52．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若正方形的边长为4，则 ．

【考点】数学常识；勾股定理的证明
【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．
【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边是，则：
，，，
且：，


．
故答案为：48．
【点评】本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理和乘法公式表示三个正方形的面积是求解本题的关键．
53．（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 ．

【考点】勾股定理的应用
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，
故走两步后的落点与出发点间的最短距离为，

故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
54．（2022•河南）如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，．当时，的长为 ．

【考点】勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质
【分析】分两种情况：当点在上，当点在的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
【解答】解：如图：

，，
，
点为的中点，
，，
，
点、、在同一条直线上，
由旋转得：
，
分两种情况：
当点在上，
在中，，
，
当点在的延长线上，
在中，，
，
综上所述：当时，的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
55．（2022•成都）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为 ．

【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；作图—基本作图
【分析】设交于，连接，由作图可知：是线段的垂直平分线，即得，有，从而，由勾股定理得，故．
【解答】解：设交于，连接，如图：

由作图可知：是线段的垂直平分线，
，
，
，
在中，
，
，
故答案为：7．
【点评】本题考查尺规作图中的计算问题，解题的关键是掌握用尺规作线段垂直平分线的方法，得到是线段的垂直平分线．
56．（2022•常州）如图，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂．若，则橡皮筋
断裂（填“会”或“不会”，参考数据：．

【考点】勾股定理的应用；菱形的性质
【分析】设与相交于点，根据菱形的性质可得，，，，从而可得是等边三角形，进而可得，然后再在中，利用勾股定理求出，从而求出的长，即可解答．
【解答】解：设与相交于点，

四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
，
，
橡皮筋不会断裂，
故答案为：不会．

【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
57．（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．
已知：如图，，求证：．
方法一
证明：如图，过点作．
方法二
证明：如图，过点作．



【考点】平行线的判定；三角形内角和定理
【分析】方法一：由平行线的性质得：，，再由平角的定义可得，从而可求解；
方法二：由平行线的性质得：，，从而可求解．
【解答】证明：方法一：，
，，
，
；
方法二：，
，，
．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
58．（2022•益阳）如图，在中，，，于点，且．求证：．

【考点】全等三角形的判定
【分析】由垂直的定义可知，，由平行线的性质可得，，进而由可得结论．
【解答】证明：，，
，
，
，
在和中，
，
．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础．
59．（2022•广州）如图，点，在的边上，，，求证：．

【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的判定与性质
【分析】根据等角对等边可得，然后利用证明，即可解答．
【解答】证明：，
，
在和中，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
60．（2022•铜仁市）如图，点在上，，，，．求证：．

【考点】全等三角形的判定
【分析】根据一线三垂直模型利用证明即可．
【解答】证明：，，，
，
，，
，
在和中，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．
61．（2022•淄博）如图，是等腰三角形，点，分别在腰，上，且，连接，．求证：．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质得出，进而利用证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：是等腰三角形，
，
在与中，
，
，
．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答．
62．（2022•衢州）已知：如图，，．求证：．

【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】根据邻补角的定义得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：，
，
在和中，
，
，
．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键．
63．（2022•荆门）如图，已知矩形中，，，将沿对折到的位置，和交于点．
（1）求证：；
（2）求的值（用含的式子表示）．

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【分析】（1）根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，等量代换得到，，根据证明三角形全等即可；
（2）设，则，根据矩形的性质和折叠的性质证明，在中，根据勾股定理表示出的长，根据正切的定义即可得出答案．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，
根据折叠的性质得：，，
，，
在与中，
，
；
（2）解：设，则，
四边形是矩形，
，，
，
根据折叠的性质得：，
，
，
在中，
，
，
，
．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），根据矩形的性质和折叠的性质证出是解题的关键．
64．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的大小．

【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】由可得，根据可证，再根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】解：，
，即，
在与中，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
65．（2022•柳州）如图，点，，，在同一条直线上，，．有下列三个条件：①，②，③．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得．
你选取的条件为（填写序号） 　①　（只需选一个条件，多选不得分），你判定的依据是 　　（填“”或“”或“”或“” ；
（2）利用（1）的结论．求证：．

【考点】平行线的判定；全等三角形的判定与性质
【分析】（1）根据即可证明，即可解决问题；
（2）根据全等三角形的性质可得，再根据平行线的判定即可解决问题．
【解答】（1）解：在和中，
，
，
在上述三个条件中选取一个条件，使得，
选取的条件为①，判定的依据是．
故答案为：①，；（答案不唯一）．
（2）证明：．
，
．
【点评】本题考查了平行线的判定和全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
66．（2022•潍坊）【情境再现】
甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足处．将甲绕点顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件按图②作出示意图，并连接，，如图③所示，交于，交于，通过证明，可得．
请你证明：．
【迁移应用】
延长分别交，所在直线于点，，如图④，猜想并证明与的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系．

【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】【情境再现】由，得，，，可证明，得；
【迁移应用】由，得，可得，从而，，故；
【拓展延伸】设交于，交于，根据，是含角的直角三角形，，可得，，，即得，有，，又，可得，故，即得，．
【解答】【情境再现】
证明：由阅读材料知，
，，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
；
【迁移应用】
解：猜想：；证明如下：
由【情境再现】知：，
，
，
，
，
，
，
，
；
【拓展延伸】
解：猜想：，证明如下：
设交于，交于，如图：

由已知得：，是含角的直角三角形，，
，
，，，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查三角形综合应用，解题的关键是掌握全等三角形判定与性质定理，相似三角形判定与性质定理的应用．
67．（2022•北京）在中，，为内一点，连接，，延长到点，使得．
（1）如图1，延长到点，使得，连接，．若，求证：；
（2）连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2．若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
（2）由题意画出图形，延长到，使，连接，，由（1）可知，，证出，得出，由直角三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由题意补全图形如下：

．
证明：延长到，使，连接，，
，，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，
又，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，证明是解题的关键．
68．（2022•百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形，其中米，米，．
（1）求证：；
（2）求草坪造型的面积．

【考点】全等三角形的应用
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，结合三边关系得出答案；
（2）直接利用全等三角形的性质以及直角三角形中30度所对边与斜边的关系的得出对应边长，进而得出答案．
【解答】（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：过点作于点，
米，，
米，
（平方米），
则（平方米），
草坪造型的面积为：（平方米）．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．