中考数学专题26 概率（学案含解析）

这是一份中考数学专题26 概率（学案含解析），共43页。

中考数学一轮复习学案
26 概率

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
确定事件与随机事件
了解确定事件和随机事件的概念．
常以选择题、填空题的形式考查确定事件（必然事件、不可能事件）和随机事件的概念．
2
概率
①在具体情境中了解概率的意义，会运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率；②通过试验，获得事件发生的频率；知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值；③能用概率知识解决一些实际问题．
常以选择题、填空题的形式考查运用列举法（包括列表、画树状图）求简单随机事件发生的概率，以解答题的形式考查概率的求法和运用概率知识解决一些实际问题．

知识点1：确定事件与随机事件


知识点梳理

1. 确定事件：确定事件是一定会发生或一定不会发生的事件，包括：
（1）必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件．
（2）不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件．
2. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
3. 随机事件发生的可能性：一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．
对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小．要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样．所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题．
典型例题

【例1】（2022•宁夏）下列事件为确定事件的有（ ）
（1）打开电视正在播动画片
（2）长、宽为m，n的矩形面积是mn
（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
（4）π是无理数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】无理数；随机事件
【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案．
【解答】解：（1）打开电视正在播动画片，是随机事件，不合题意；
（2）长、宽为m，n的矩形面积是mn，是确定事件，符合题意；
（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；
（4）π是无理数，是确定事件，符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了随机事件以及确定事件，正确掌握相关定义是解题关键．
【例2】（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟6/26）下列说法正确的是（ ）
A．在小明、小红、小月三人中抽2人参加比赛，小刚被抽中是随机事件
B．要了解学校2000名学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100名学生
C．预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包
D．了解某班学生的身高情况适宜抽样调查
【考点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；随机事件
【分析】根据随机事件、不可能事件的概念、样本容量的概念、全面调查和抽样调查判断即可．
【解答】解：A、在小明、小红、小月三人中抽2人参加比赛，小刚被抽中是不可能事件，本选项说法错误，不符合题意；
B、要了解学校2000名学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100，本选项说法错误，不符合题意；
C、预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包，本选项说法正确，符合题意；
D、了解某班学生的身高情况适宜清明调查，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是随机事件、全面调查和抽样调查、样本容量的概念，掌握相关的概念是解题的关键．
【例3】（3分）（2021•赤峰4/26）下列说法正确的是（ ）
A．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．为了了解一批灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行
C．一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5
D．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么乙组队员的身高比较整齐
【考点】全面调查与抽样调查；中位数；众数；方差；随机事件
【分析】根据事件发生的可能性大小，全面调查和抽样调查，众数，中位数，平均数的概念，方差的性质判断即可．
【解答】解：A、“清明时节雨纷纷”是随机事件，本选项说法错误，不符合题意；
B、为了了解一批灯管的使用寿命，应采用抽样调查的方式进行，本选项说法错误，不符合题意；
C、一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数都是5，平均数，本选项说法错误，不符合题意；
D、甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，
∵，
∴乙组队员的身高比较整齐，本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，全面调查和抽样调查，众数和中位数，平均数以及方差的性质，掌握相关的概念和性质是解题的关键．
知识点2： 概率


知识点梳理

1. 概率的概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A) ．
2. 频率与概率的关系：当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值．
3. 确定事件和随机事件的概率之间的关系：
（1）确定事件概率：
①当A是必然发生的事件时，P(A)=1
②当A是不可能发生的事件时，P(A)=0
（2）确定事件和随机事件的概率之间的关系：

4. 古典概型的定义：某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等．我们把具有这两个特点的试验称为古典概型．
5. 概率的计算：
（1）公式法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)＝．
（2）列表法：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
（3）画树状图：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图．
（4）几何概型：一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝，解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算．
（5）利用频率估计随机事件发生的概率：
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般根据在同样条件下，大量重复试验时，用一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数来估计这个事件发生的概率．
在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验．
在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作．把这些随机产生的数据称为随机数．
6. 游戏的公平性：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平．
典型例题

【例4】（2022•东营）如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是（ ）

A． B． C． D．
【考点】轴对称图形；概率公式
【分析】根据轴对称图形的概念、概率公式计算即可．
【解答】解：如图，当涂黑1或2或3或4区域时，所有黑色方块构成的图形是轴对称图形，
则P（是轴对称图形），
故选：A．

【点评】本题考查的是概率的计算、轴对称图形的概念，正确理解轴对称图形的概念、掌握概率公式是解题的关键．
【例5】（3分）（2021•海南6/22）在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵不透明袋子中装有5个球，其中有2个红球、3个白球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是，
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A），难度适中．
【例6】（4分）（2021•安徽9/23）如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以图成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率是（　　）

A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】将从左到右的三条竖线分别记作a、b、c，将从上到下的三条横线分别记作m、n、l，利用表格列出任选两条横线和两条竖线所围成的矩形的所有等可能情况，再从中找到所选矩形含点A的的情况，继而利用概率公式可得答案．
【解答】解：将从左到右的三条竖线分别记作a、b、c，将从上到下的三条横线分别记作m、n、l，列表如下，

ab
bc
ac
mn
ab、mn
bc、mn
ac、mn
nl
ab、nl
bc、nl
ac、nl
ml
ab、ml
bc、ml
ac、ml
由表可知共有9种等可能结果，其中所选矩形含点A的有bc、mn；bc、ml；ac、mn；ac、ml这4种结果，
∴所选矩形含点A的概率．
故选：D．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法，解题的关键是利用表格列出任选两条横线和两条竖线所围成的矩形的所有等可能情况，并从所有结果中找到符合条件的结果数．
【例7】（2022•钢城区）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为，
故选：C．
【点评】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【例8】（3分）（2021•呼和浩特14/24）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有 只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 　　．
【考点】利用频率估计概率
【分析】用概率乘以动物的总只数即可得出20年后存活的数量；先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有0.8a只，
设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到25岁的只数为0.5x，
故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为，
故答案为：0.8a，．
【点评】此题主要考查了概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【例9】（12分）（2020•赤峰21/26）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．
（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为 ；
（2）丫丫和甲甲一起玩跳图游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．

【考点】概率公式；列表法与树状图法；游戏公平性．有
【答案】（1）；
（2）不公平．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数，则可计算出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率，然后通过比较她们回到圈A的概率的大小可判断游戏是否公平．
【解答】解：（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率＝；
（2）这个游戏规则不公平．
理由如下：
画树状图为：

共有16种等可能的结果，其中甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数为5，
所以甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率＝，
因为＜，
所以这个游戏规则不公平．
【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．
【例10】（7分）（2021•云南19/23）为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”．该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记为x1、x2，1名男生，记为y1；在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为x3，2名男生，分别记为y2、y3．现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数；
（2）求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P．
【考点】列表法与树状图法
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以画出相应的树状图，并写出一共有多少种可能性；
（2）根据（1）中的结果和树状图，可以得到选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P．
【解答】解：（1）树状图如下图所示：

由上可得，出现的代表队一共有9种可能性；
（2）由（1）可知，一共9种可能性，其中一男一女出现有5种，
故选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是画出相应的树状图，求出相应的概率．
【例11】（12分）（2021•青海25/25）为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
月平均用水量（吨）
3
4
5
6
7
频数（户数）
4
a
9
10
7
频率
0.08
0.40
b
c
0.14
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ．
（3）根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？
（4）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率，并列出所有等可能的结果．
【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数；中位数；众数；列表法与树状图法．
【分析】（1）求出抽查的户数，即可解决问题；
（2）由平均数、众数、中位数的定义求解即可；
（3）由总户数乘以月平均用水量不超过5吨的户数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，列举出来，恰好选到甲、丙两户的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽查的户数为：4÷0.08＝50（户），
∴a＝50×0.40＝20，b＝9÷50＝0.18，c＝10÷50＝0.20，
故答案为：20，0.18，0.20；
（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数（吨），
众数是4吨，中位数为（吨），
故答案为：4.92，4，5；
（3）∵4+20+9＝33（户），
∴估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有：200132（户）；
（4）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好选到甲、丙两户的结果有2种，
∴恰好选到甲、丙两户的概率为，所有等可能的结果分别为（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丁，甲）、（丁，乙）、（丁，丙）、（甲，丙）．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、平均数、众数、中位数以及频数分布表等知识点，能正确画出树状图是解此题的关键．
巩固训练

1.（3分）（2020•兴安盟•呼伦贝尔5/26）下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意一个五边形的外角和为540°
B．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
C．13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的
D．太阳从西方升起
2.（5分）（2021•新疆3/23）不透明的袋子中有3个白球和2个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3.（3分）（2021•天津15/25）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 　　．
4.（4分）（2021•上海13/25）已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为 　　．
5.（3分）（2021•包头4/26）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（ ）
A． B． C． D．
6.（3分）（2021•通辽12/26）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 　　．

7.（6分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟21/26）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，0.3，，0．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出的小球上的数字是分数的概率（直接写出结果）；
（2）从口袋中一次随机摸出两个小球，摸出的小球上的数字分别记作、，请用列表法（或树状图）求点在第四象限的概率．
8.（6分）（2021•通辽20/26）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为，．请用树状图或列表法求点落在平面直角坐标系第一象限内的概率．

9.（12分）（2021•赤峰21/26）某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，准备从12个班里抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为（单位，小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按、、分为三类进行分析．
（1）下列抽取方法具有代表性的是 　　．
．随机抽取一个班的学生
．从12个班中，随机抽取50名学生
．随机抽取50名男生
．随机抽取50名女生
（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表：
睡眠时间（小时）
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
人数（人
1
1
2
10
15
9
10
2
①这组数据的众数和中位数分别是 　　，　　；
②估计九年级学生平均每天睡眼时间的人数大约为多少；
（3）从样本中学生平均每天眠时间的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表，求抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率．
10.（10分）（2021•呼和浩特19/24）某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动．现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
大学一年级20名学生的测试成绩为：
39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．
大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：

年级
平均数
众数
中位数
优秀率
大一


43

大二
39.5
44


请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
（1）上表中　41.1　，　　，　　，　　，　　；
根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；
（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；
（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．
11.（9分）（2021•鄂尔多斯18/24）某中学对九年级学生开展了“我最喜欢的鄂尔多斯景区”的抽样调查（每人只能选一项）：动物园；七星湖；鄂尔多斯大草原；康镇；蒙古源流，根据收集的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，其中对应的圆心角为，请根据图中信息解答下列问题．

（1）求抽取的九年级学生共有多少人？并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中　10　，表示的扇形的圆心角是 　　度；
（3）九年级准备在最喜欢景区的5名学生中随机选择2名进行实地考察，这5名学生中有2名男生和3名女生，请用树状图或列表法求选出的2名学生都是女生的概率．
12.（2分）（2021•北京6/28）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（　　）
A． B． C． D．
13.（3分）（2021•河南8/23）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ）

A． B． C． D．
14.（3分）（2021•广东3/25）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ）
A． B． C． D．
15.（4分）（2021•重庆B卷14/26）不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是　　．
16.（6分）（2021•江西15/23）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是 　随机　事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．
17.（10分）（2021•福建23/25）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，，，田忌也有上、中、下三匹马，，，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注表示马与马比赛，马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵，，获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
18.（9分）（2021•河北22/26）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；
（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．

19.（5分）（2021•陕西20/26）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 　　；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
20.（10分）（2021•山西19/23）近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为，，，．为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图和统计表（均不完整）．
“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷
请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后“［ ］”内打“”，非常感谢您的合作．
．“诵读中国”经典诵读［ ］
．“诗教中国”诗词讲解［ ］
．“笔墨中国”汉字书写［ ］
．“印记中国”印章篆刻［ ］

请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的总人数为 　120　人，统计表中的百分比为 　　；
（2）请补全统计图；
（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由．
（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依次记为，，，，由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解，请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率．
21.（5分）（2021•吉林16/26）第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．
22.（8分）（2021•西藏23/27）为铸牢中华民族共同体意识，不断巩固民族大团结，红星中学即将举办庆祝建党100周年“中华民族一家亲，同心共筑中国梦”主题活动．学校拟定了演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动方案，为了解学生对活动方案的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．

（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为 　40人　，在扇形统计图中，的值为 　　．
（2）根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？
（3）现从喜爱“知识竞赛”的四名同学、、、中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出同学参加的概率．
23.（4分）（2020•上海11/25）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ．
24.（3分）（2020•新疆兵团7/23）四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
25.（8分）（2020•安徽21/23）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为 ，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为　　°；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
26.（3分）（2020•新疆兵团12/23）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
移植的棵数
200
500
800
2000
12000
成活的棵数
187
446
730
1790
10836
成活的频率
0.935
0.892
0.913
0.895
0.903
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 ．（精确到0.1）
27.（4分）（2020•重庆B卷15/26）盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是　　．
28.（4分）（2020•重庆A卷15/26）现有四张正面分别标有数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为，．则点在第二象限的概率为　　．
29.（3分）（2020•河南13/23）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是　　．

30.（3分）（2020•呼和浩特14/24）公司以3元的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为　0.9　（精确到；从而可大约每千克柑橘的实际售价为　　元时（精确到，可获得12000元利润．
柑橘总质量
损坏柑橘质量
柑橘损坏的频率（精确到



250
24.75
0.099
300
30.93
0.103
350
35.12
0.100
450
44.54
0.099
500
50.62
0.101
巩固训练解析

1.（3分）（2020•兴安盟•呼伦贝尔5/26）下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意一个五边形的外角和为540°
B．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
C．13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的
D．太阳从西方升起
【考点】随机事件
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件．
【解答】解：A．任意一个五边形的外角和等于540°，属于不可能事件，不合题意；
B．投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次是随机事件，不合题意；
C．13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的，属于必然事件，符合题意；
D．太阳从西方升起，属于不可能事件，不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
2.（5分）（2021•新疆3/23）不透明的袋子中有3个白球和2个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【解答】解：从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率为．
故选：C．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
3.（3分）（2021•天津15/25）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 　　．
【考点】概率公式
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：袋子中共有7个球，其中红球有3个，
从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）．
4.（4分）（2021•上海13/25）已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为 　　．
【考点】概率公式
【分析】用偶数的个数除以数的总数即可求得答案．
【解答】解：共有9个数据，其中偶数有3个，
从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
5.（3分）（2021•包头4/26）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法
【分析】两双不同的鞋用、、、表示，其中、表示同一双鞋，、表示同一双鞋，画树状图展示所有12种等可能的结果，找出取出的鞋是同一双的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：两双不同的鞋用、、、表示，其中、表示同一双鞋，、表示同一双鞋，
画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果数为4，
所以取出的鞋是同一双的概率．
故选：A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
6.（3分）（2021•通辽12/26）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 　　．

【考点】列表法与树状图法
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把开关，，分别记为、、，
画树状图如图：

共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
能让两个小灯泡同时发光的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
7.（6分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟21/26）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，0.3，，0．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出的小球上的数字是分数的概率（直接写出结果）；
（2）从口袋中一次随机摸出两个小球，摸出的小球上的数字分别记作、，请用列表法（或树状图）求点在第四象限的概率．
【考点】点的坐标；概率公式；列表法与树状图法
【分析】（1）用分数的个数除以数字的总个数即可得出答案；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到点在第四象限的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）；
（2）列表得；


0.3

0



，

0.3


，






0


，

共出现12种等可能结果，其中点在第四象限的有2种、，
．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
8.（6分）（2021•通辽20/26）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为，．请用树状图或列表法求点落在平面直角坐标系第一象限内的概率．

【考点】列表法与树状图法
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，点落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有9种等可能的结果，点落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，
点落在平面直角坐标系第一象限内的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
9.（12分）（2021•赤峰21/26）某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，准备从12个班里抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为（单位，小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按、、分为三类进行分析．
（1）下列抽取方法具有代表性的是 　　．
．随机抽取一个班的学生
．从12个班中，随机抽取50名学生
．随机抽取50名男生
．随机抽取50名女生
（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表：
睡眠时间（小时）
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
人数（人
1
1
2
10
15
9
10
2
①这组数据的众数和中位数分别是 　　，　　；
②估计九年级学生平均每天睡眼时间的人数大约为多少；
（3）从样本中学生平均每天眠时间的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表，求抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率．
【考点】抽样调查的可靠性；用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数；列表法与树状图法
【分析】（1）根据抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况进行分析；
（2）①由众数和中位数的定义求解即可；
②由九年级人数乘以平均每天睡眼时间的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）、、不具有全面性，
故答案为：；
（2）①这组数据的众数为7小时，中位数为（小时），
故答案为：7，7；
②估计九年级学生平均每天睡眼时间的人数大约为：（人；
（3）把样本中学生平均每天眠时间为5小时、5.5小时、6小时的4个学生分别记为、、、，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的结果有2种，
抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率为．
【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率以及抽样调查、众数和中位数等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
10.（10分）（2021•呼和浩特19/24）某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动．现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
大学一年级20名学生的测试成绩为：
39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．
大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：

年级
平均数
众数
中位数
优秀率
大一


43

大二
39.5
44


请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
（1）上表中　41.1　，　　，　　，　　，　　；
根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；
（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；
（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．
【考点】抽样调查的可靠性；用样本估计总体；条形统计图；加权平均数；中位数；众数；列表法与树状图法
【分析】（1）由平均数、众数、中位数的定义求解即可，再由两个年级的优秀率进行说明即可；
（2）先求出样本合格率，再由参加此次测试活动的总人数乘以合格率即可；
（3）画树状图，共有20种等可能的结果，两人在同一年级的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将一年级20名同学成绩整理如下表：
成绩
25
30
37
39
43
49
50
人数
1
2
4
2
5
4
2
，，
，，，
故答案为：41.1，43，42.5，，；
从表中优秀率看，二年级样本优秀率达到高于一年级的，因此估计二年级学生的优秀率高，
所以用优秀率评价，估计二年级学生掌握党史知识较好．
（2）样本合格率为：，
估计总体的合格率大约为，
估计参加测试的两个年级合格学生约为：（人，
估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能超过1000人；
（3）一年级满分有2人，记为，，二年级满分有3人，记为，，，
画树状图如图：

共有20种等可能的结果，两人在同一年级的结果有8种，
两人在同一年级的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了统计图和统计表．
11.（9分）（2021•鄂尔多斯18/24）某中学对九年级学生开展了“我最喜欢的鄂尔多斯景区”的抽样调查（每人只能选一项）：动物园；七星湖；鄂尔多斯大草原；康镇；蒙古源流，根据收集的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，其中对应的圆心角为，请根据图中信息解答下列问题．

（1）求抽取的九年级学生共有多少人？并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中　10　，表示的扇形的圆心角是 　　度；
（3）九年级准备在最喜欢景区的5名学生中随机选择2名进行实地考察，这5名学生中有2名男生和3名女生，请用树状图或列表法求选出的2名学生都是女生的概率．
【考点】条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法
【分析】（1）用项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用总人数分别减去其它项目的人数得到项目的人数，即可补全条形图；
（2）用项目人数除以总人数得到项目的百分比的值，用乘以项目人数所占比例可得其圆心角度数；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出2名学生都是女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）对应的圆心角为，的人数是50，
此次抽取的九年级学生共（人，
对应的人数是：，
补全条形统计图如图1所示：
（2）所占的百分比为，
，
表示的扇形的圆心角是；
故答案为：10，；
（3）画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中选出的2名学生都是女生的结果数为6，
选出的2名学生都是女生的概率为．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了统计图．
12.（2分）（2021•北京6/28）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树形图得：

由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，
∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为，
故选：C．
【点评】本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
13.（3分）（2021•河南8/23）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ）

A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把4张卡片分别记为：、、、，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，
两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率为，
故选：A．
【点评】此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
14.（3分）（2021•广东3/25）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法
【分析】画树状图，共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：

共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，
两枚骰子向上的点数之和为7的概率为，
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15.（4分）（2021•重庆B卷14/26）不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是　　．
【考点】列表法与树状图法
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下

黑
白
白
黑
（黑，黑）
（白，黑）
（白，黑）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）
由表可知，共有9种等可能结果，其中前后两次摸出的球都是白球的有4种结果，
所以前后两次摸出的球都是白球的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
16.（6分）（2021•江西15/23）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是 　随机　事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．
【考点】随机事件；列表法与树状图法．
【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）“A志愿者被选中”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）列表如下：

A
B
C
D
A
﹣﹣﹣
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
﹣﹣﹣
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
﹣﹣﹣
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
﹣﹣﹣
由表可知，共有12种等可能结果，其中A，B两名志愿者被选中的有2种结果，
所以A，B两名志愿者被选中的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17.（10分）（2021•福建23/25）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，，，田忌也有上、中、下三匹马，，，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注表示马与马比赛，马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵，，获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
【考点】列表法与树状图法
【分析】（1）根据题意首局齐王出“上马”，只需将三局的图表列出，即可得出答案．
（2）根据题（1）的一种情况，推断出共有18种对阵情况，只要对，对，对的情况田忌获得胜利，即可得出答案．
【解答】解：（1）田忌首局应出“下马”才可能获胜，
此时，比赛所有可能的对阵为：，，，，，，，，，，，，共四种，其中获胜的有两场，
故此田忌获胜的概率为．
（2）不是．
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
综上所述，田忌获胜的对阵有6种，不论齐王的出马顺序如何，也都有相应的6种可能对阵，所以田忌获胜的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法求概率．列表法适合两步完成的事件；解题时要注意此题赛马分三局考虑．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18.（9分）（2021•河北22/26）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；
（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．

【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）补全树状图，共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）嘉淇走到十字道口A向北走的概率为；
（2）补全树状图如下：

共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，
∴向西参观的概率为，向南参观的概率＝向北参观的概率＝向东参观的概率，
∴向西参观的概率大．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
19.（5分）（2021•陕西20/26）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 　　；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，
∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20.（10分）（2021•山西19/23）近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为，，，．为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图和统计表（均不完整）．
“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷
请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后“［ ］”内打“”，非常感谢您的合作．
．“诵读中国”经典诵读［ ］
．“诗教中国”诗词讲解［ ］
．“笔墨中国”汉字书写［ ］
．“印记中国”印章篆刻［ ］

请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的总人数为 　120　人，统计表中的百分比为 　　；
（2）请补全统计图；
（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出表示类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由．
（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依次记为，，，，由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解，请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率．
【考点】统计表；列表法与树状图法；调查收集数据的过程与方法；扇形统计图；条形统计图
【分析】（1）由类的人数除以所占百分比得出参与本次问卷调查的总人数，即可解决问题；
（2）求出类的人数，补全统计图即可；
（3）由表中数据即可得出结论；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）参与本次问卷调查的总人数为：（人，
则，
故答案为：120，；
（2）类的人数为：（人，
补全统计图如下：

（3）不可行，理由如下：
由统计表可知，，
即有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比之和大于1，
所以不可行；
（4）画树状图如图：

共有16种等可能的结果，甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的结果有4种，
甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和统计表．
21.（5分）（2021•吉林16/26）第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．
【考点】列表法与树状图法
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两次都是白球的概率即可．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，
所以取出的2个球都是白球的概率为．
答：取出的2个球都是白球的概率为．
【点评】本题考查列表法求简单的等可能事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
22.（8分）（2021•西藏23/27）为铸牢中华民族共同体意识，不断巩固民族大团结，红星中学即将举办庆祝建党100周年“中华民族一家亲，同心共筑中国梦”主题活动．学校拟定了演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动方案，为了解学生对活动方案的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．

（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为 　40人　，在扇形统计图中，的值为 　　．
（2）根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？
（3）现从喜爱“知识竞赛”的四名同学、、、中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出同学参加的概率．
【考点】条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体；列表法与树状图法
【分析】（1）总人数乘以对应的百分比即可求出其人数，再根据四种方案的人数之和等于总人数求出方案人数，再用方案人数除以总人数即可得出的值；
（2）总人数乘以样本中方案人数所占比例；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为（人），
则选择“书画展览”的人数为（人，
在扇形统计图中，，即，
故答案为：40人，30；
（2）估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有（人）；
（3）列表如下：

























由表可知，共有12种等可能结果，其中同学参加的有6种结果，
所以同学参加的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
23.（4分）（2020•上海11/25）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ．
【考点】概率公式
【分析】根据从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，得出是5的倍数的数据，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，
∴取到的数恰好是5的倍数的概率是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式，概率所求情况数与总情况数之比求出是解决问题的关键．
24.（3分）（2020•新疆兵团7/23）四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式；列表法与树状图法
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：分别用A、B、C、D表示正方形、正五边形、正六边形和圆，
画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有6种情况，
∴抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为：．
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成的事件，树状图法适用两步或两步以上完成的事件．注意：概率所求情况数与总情况数之比．
25.（8分）（2020•安徽21/23）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为 ，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为　　°；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
【考点】扇形统计图；列表法与树状图法；条形统计图；用样本估计总体
【分析】（1）用被调查的职工人数乘以最喜欢A套餐人数所占百分比即可得其人数；再由四种套餐人数之和等于被调查的人数求出C对应人数，继而用360°乘以最喜欢C套餐人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以样本中最喜欢B套餐的人数所占比例即可得；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解可得答案．
【解答】解：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%=60（人），
则最喜欢C套餐的人数为240-(60+84+24)=72（人），
∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为，
故答案为：60、108；
（2）估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为（人）；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6，
∴甲被选到的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
26.（3分）（2020•新疆兵团12/23）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
移植的棵数
200
500
800
2000
12000
成活的棵数
187
446
730
1790
10836
成活的频率
0.935
0.892
0.913
0.895
0.903
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 ．（精确到0.1）
【考点】利用频率估计概率
【分析】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：根据表格数据可知：
苹果树苗移植成活的频率近似值为0.9，
所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为0.9．
故答案为：0.9．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
27.（4分）（2020•重庆B卷15/26）盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是　　．
【考点】列表法与树状图法
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：列表如下

1
2
3
1

3
4
2
3

5
3
4
5

由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的有4种结果，
所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数，再找出其中某一事件所出现的可能数，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率．
28.（4分）（2020•重庆A卷15/26）现有四张正面分别标有数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为，．则点在第二象限的概率为　　．
【考点】点的坐标；列表法与树状图法
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中点在第二象限的结果数为3，
所以点在第二象限的概率．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了点的坐标．
29.（3分）（2020•河南13/23）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是　　．

【考点】列表法与树状图法
【分析】用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
【解答】解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：

共有16种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种，
（两次颜色相同），
故答案为：．
【点评】考查树状图或列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．
30.（3分）（2020•呼和浩特14/24）公司以3元的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为　0.9　（精确到；从而可大约每千克柑橘的实际售价为　　元时（精确到，可获得12000元利润．
柑橘总质量
损坏柑橘质量
柑橘损坏的频率（精确到



250
24.75
0.099
300
30.93
0.103
350
35.12
0.100
450
44.54
0.099
500
50.62
0.101
【考点】频数（率分布表；利用频率估计概率
【分析】利用频率估计概率得到随试验次数的增多，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘完好率大约是0.9；设每千克柑橘的销售价为元，然后根据“售价进价利润”列方程解答．
【解答】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是；
设每千克柑橘的销售价为元，则应有，
解得，
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得12000元利润，完好柑橘每千克的售价应为4.7元，
故答案为：0.9，4.7．
【点评】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．得到售价与利润的等量关系是解决问题的关键