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2022-2023学年江苏省徐州市睢宁县常青藤教育八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省徐州市睢宁县常青藤教育八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省徐州市睢宁县常青藤教育八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共32分）
1. 4的平方根是( )
A. 2 B. ± 2 C. 2 D. ±2
2. 下列四个图案中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，点P(−2,−3)所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知正比例函数y=kx的图象经过点(−2,1)，则k的值为( )
A. −2 B. −12 C. 2 D. 12
5. 下列二次根式中属于最简二次根式的是( )
A. 32 B. 4x2y C. xy D. 4x2+1
6. 如图，若BD为等边△ABC的一条中线，延长BC至点E，使CE=CD=1，连接DE，则DE的长为( )
A. 32
B. 3
C. 52
D. 5
7. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是( )
A. AE+AF=AC B. ∠BEO+∠OFC=180°
C. OE+OF= 22BC D. S四边形AEOF=12S△ABC
8. 如图所示，四边形OABC是正方形，边长为4，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点P在OA上，且P点的坐标为(3,0)，Q是OB上一动点，则PQ+AQ的最小值为( )
A. 5 B. 10 C. 4 D. 6
二、非选择题（68分）
9. 如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=3BE=6，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为______．
10. 已知实数a、b满足 a−3+|6−b|=0，则b a的值为______．
11. 化简4aa2−4−aa−2的结果是______ ．
12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于点E，EC=2，则△ACE的面积为______ ．
13. 如图，直线y1=−x+a与y2=bx−4相交于点P，已知点P的坐标为(1,−3)，则关于x的不等式−x+a
14. 若关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．
15. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2,4)和(3,0)，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，点C的纵坐标为______ ．
16. 已知a2+b2=3ab(a>b>0)，则a+ba−b的值是______ ．
17. (1)4 6÷ 3− 12× 6+ 12；
(2)先化简再求值：(a2−4a2−4a+4−1a−2)÷a+1a+2，其中a=3．
18. 如图，已知过点B(1,0)的直线l1与直线l2：y=2x+4相交于点P(−1,a)．
(1)求直线l1的解析式；
(2)求四边形PAOC的面积．
19. 如图，已知∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)若∠1=44°，求∠BDE的度数．
20. 为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元．
(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
21. 将边长为2的正方形OABC如图放置，O为原点．若∠α=15°，则点B的坐标为______．
22. 已知正比例函数y1=k1x(k1≠0)与反比例函数y2=k2x(k2≠0)的图象有一个交点的坐标为(3,−1)，则关于x的不等式k1x−k2x>0的解集为______ ．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点A的坐标为(8,0)，AB//OC，直线y=−13x+6经过点B、C．
(1)点C的坐标为(______ ，______ )，点B的坐标为(______ ，______ )；
(2)设点P是x轴上的一个动点，若以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标．
(3)如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点O关于直线l的对称点O′，连接并延长CO′，交直线AB于第一象限的点D.当CD=10时，求直线l的解析式．
24. 如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y=2x的图象上，反比例函数y=kx(x>0,k>0)的图象经过点A，且与边CD相交于点E．
(1)若BC=4，求点E的坐标；
(2)连接AE，OE．
①若△AOE的面积为24，求k的值；
②是否存在某一位置使得AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：22=2，(−2)2=4，
∴4的平方根为：±2，
故选：D．
4的平方根是两个，正负2．
本题考查的是平方根，解题的关键是4的平方根有两个，不要漏解．
2.【答案】B
【解析】解：由题意知，ACD选项中的图形都是轴对称图形，B选项中的图形不是轴对称图形，
故选：B．
根据轴对称的概念得出结论即可．
本题主要考查轴对称的知识，熟练掌握轴对称的概念是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：点P(−2,−3)所在的象限是第三象限．
故选：C．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
4.【答案】B
【解析】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点(−2,1)，
∴1=−2k，
解得，k=−12，
故选：B．
根据正比例函数y=kx的图象经过点(−2,1)，可以求得k的值，本题得以解决．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征．
5.【答案】D
【解析】解：A、 32=4 2，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 4x2y=2x y，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 xy= xy|y|，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 4x2+1是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可得．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∵BD为中线，
∴∠DBC=12∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠E+∠CDE=∠ACB，
∴∠E=30°=∠DBC，
∴BD=DE，
∵BD是AC中线，CD=1，
∴AD=DC=1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD= 22−12= 3，
即DE=BD= 3，
故选：B．
根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出BC，在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD即可．
本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE=BD和求出BD的长．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形以及三角形内角和定理，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
连接AO，易证△EOA≌△FOC(ASA)，利用全等三角形的性质可得出EA=FC，进而可得出AE+AF=AC，选项A正确；由三角形内角和定理结合∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=90°可得出∠BEO+∠OFC=180°，选项B正确；由△EOA≌△FOC可得出S△EOA=S△FOC，结合图形可得出S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC=12S△ABC，选项D正确．综上，此题得解．
【解答】
解：连接AO，如图所示，
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，
∴OA=OC，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°．
∵∠EOA+∠AOF=∠EOF=90°，∠AOF+∠FOC=∠AOC=90°，
∴∠EOA=∠FOC．
在△EOA和△FOC中，∠EOA=∠FOCOA=OC∠EAO=∠FCO，
∴△EOA≌△FOC(ASA)，
∴EA=FC，
∴AE+AF=AF+FC=AC，选项A正确；
∵∠B+∠BEO+∠EOB=∠FOC+∠C+∠OFC=180°，∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=180°−∠EOF=90°，
∴∠BEO+∠OFC=180°，选项B正确；
∵△EOA≌△FOC，
∴S△EOA=S△FOC，
∴S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC=12S△ABC，选项D正确．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】解：作出P关于OB的对称点D，则D的坐标是(0,3)，则PQ+QA的最小值就是AD的长，
则OD=3，
因而AD= OD2+OA2=5，
则PD+PA和的最小值是5，
故选A．
作出P关于OB的对称点D，则D的坐标是(0,3)，则PQ+QA的最小值就是AD的长，利用勾股定理即可求解．
题考查了正方形的性质，以及最短路线问题，正确作出Q的位置是关键．
9.【答案】4 5
【解析】解：如图，过点D作DH//MN，交AB于H，过点E作EG//MN，过点M作MG//NE，两直线交于点G，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，∠B=∠BAD=90°，
∵AB=3BE=6，
∴BE=2，
∴AE= AB2+BE2= 4+36=2 10，
∵DH//MN，AB//CD，
∴四边形DHNM是平行四边形，
∴DH=MN，
∵MN⊥AE，DH//MN，EG//MN，
∴DH⊥AE，AE⊥EG，
∴∠BAE+∠AHD=90°=∠AHD+∠ADH，∠AEG=90°，
∴∠BAE=∠ADH，
在△ABE和△DAH中，
∠BAE=∠ADHAB=AD∠B=∠BAD，
∴△ABE≌△DAH(ASA)，
∴DH=AE=2 10，
∴MN=DH=AE=2 10，
∵EG//MN，MG//NE，
∴四边形NEGM是平行四边形，
∴NE=MG，MN=EG=AE=2 10，
∴AM+NE=AM+MG，
则当点A，点M，点G三点共线时，AM+NE的最小值为AG，
∴AG= EG2+AE2= 40+40=4 5，
故答案为4 5．
由勾股定理可求AE的长，由“ASA”可证△ABE≌△DAH，可得DH=AE=2 10，通过证明四边形NEGM是平行四边形，可得NE=MG，MN=EG=AE=2 10，由AM+NE=AM+MG，则当点A，点M，点G三点共线时，即AM+NE的最小值为AG，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
10.【答案】2 3
【解析】解：∵ a−3+|6−b|=0，
又∵ a−3≥0，|6−b|≥0，
∴a−3=0，6−b=0．
∴a=3，b=6．
∴b a=6 3=2 3．
故答案为：2 3
先根据非负数的和为0求出a、b的值，再代入化简．
本题考查了二次根式的化简求值，掌握非负数的和为0时，各个非负数都等于0是解决本题的关键．
11.【答案】−aa+2
【解析】解：4aa2−4−aa−2
=4a(a+2)(a−2)−a(a+2)(a+2)(a−2)
=−a2+2a(a+2)(a−2)
=−a(a−2)(a+2)(a−2)
=−aa+2，
故答案为：−aa+2．
先通分，再根据同分母分式减法法则计算即可．
本题考查了分式的化简，分式的化简关键在于通过通分、合并同类项、因式分解、约分转化为最简分式或整式．
12.【答案】2
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B=22.5°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=45°，
∴AC=EC=2，
∴△ACE的面积=12×AC×EC=12×2×2=2，
故答案为：2．
根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的外角性质求出∠AEC，根据等腰直角三角形的性质求出AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13.【答案】x>1
【解析】解：当x>1时，函数y1=−x+a的图象都在y2=bx−4的图象下方，所以不等式−x+a1．
故答案为x>1．
观察函数图象得到当x>1时，函数y1=−x+a的图象都在y2=bx−4的图象下方，所以不等式−x+a1；
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14.【答案】k≤1且k≠0
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有实数根，
∴△=b2−4ac≥0，
即：4−4k≥0，
解得：k≤1，
∵关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0中k≠0，
故答案为：k≤1且k≠0．
根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
15.【答案】118
【解析】解：∵点A，B的坐标分别为(2,4)和(3,0)，
∴设C(0,m)，则AC2=(2−0)2+(4−m)2=m2−8m+20，BC2=(3−0)2+(0−m)2=m2+9，
∵△ABC是以AB为底的等腰三角形，
∴AC=BC，即AC2=BC2，
∴m2−8m+20=m2+9，解得m=118，
∴C(0,118)，
故答案为：118．
设C(0,m)，用含m的代数式表示AC2和BC2，根据△ABC是以AB为底的等腰三角形，列方程解得m的值即是答案．
本题考查等腰三角形判定及直角坐标系中两点的距离，解题的关键是用含m的代数式表达AC2和BC2．
16.【答案】 5
【解析】解：∵a>b>0，a2+b2=3ab，
∴(a−b)2=ab，(a+b)2=5ab，
∴a−b>0，a+b>0，
∴a+ba−b的值为： 5ab ab= 5，
故答案为： 5．
首先配方进而得出a+b以及a−b的值，进而求出答案．
此题主要考查了配方法的应用，正确配方得出是解题关键．
17.【答案】解：(1)4 6÷ 3− 12× 6+ 12
=4 6÷3− 12×6+2 3
=4 2− 3+2 3
=4 2+ 3；
(2)(a2−4a2−4a+4−1a−2)÷a+1a+2
=(a2−4a2−4a+4−a−2a2−4a+4)÷a+1a+2
=a2−a−2a2−4a+4÷a+1a+2
=(a−2)(a+1)(a−2)2÷a+1a+2
=a+1a−2⋅a+2a+1
=a+2a−2，
当a=3时，原式=3+23−2=5．
【解析】(1)先根据二次根式的乘除法计算，再合并同类二次根式即可；
(2)根据分式的运算法则进行化简，再代入a的值即可求解．
此题主要考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是熟知分式、二次根式的运算法则．
18.【答案】解：(1)∵点P(−1,a)在直线l2：y=2x+4上，
∴2×(−1)+4=a，即a=2，
则P的坐标为(−1,2)，
设直线l1的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
那么k+b=0−k+b=2，
解得：k=−1b=1．
∴l1的解析式为：y=−x+1．
(2)∵直线l1与y轴相交于点C，
∴C的坐标为(0,1)，
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴A点的坐标为(−2,0)，则AB=3，
而S四边形PAOC=S△PAB−S△BOC，
∴S四边形PAOC=12×3×2−12×1×1=52．
【解析】(1)由点P(−1,a)在直线l2上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式；
(2)根据面积差可得结论．
本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．并利用数形结合的思想解决问题．
19.【答案】(1)证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
∠A=∠BAE=BE∠AEC=∠BED，
∴△AEC≌△BED(ASA)；
(2)解：∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE．
在△EDC中，
∵EC=ED，∠1=44°，
∴∠C=∠EDC=68°，
∴∠BDE=∠C=68°．
【解析】(1)根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；
(2)由(1)可知：EC=ED，∠C=∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
20.【答案】解：(1)设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，
根据题意得：4x+5y=552x+y=17，
解得x=5y=7，
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；
(2)设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯(300−a)只，费用为w元，
w=5a+7(300−a)=−2a+2100，
∵a≤2(300−a)，
∴a≤200，
∴当a=200时，w取得最小值，此时w=1700，300−a=100，
答：当购买A型号节能灯200只，B型号节能灯100只时最省钱．
【解析】(1)设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
(2)根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
21.【答案】(− 2, 6)
【解析】解：连接OB，过B作BE⊥x轴于E，则∠BEO=90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴AB=OA=2，∠A=90°，∠BOA=45°，
由勾股定理得：OB= 22+22=2 2，
∵∠α=15°，∠BOA=45°，
∴∠BOE=45°+15°=60°，
在Rt△BOE中，BE=OB×sin60°=2 2× 32= 6，OE=OB×cos60°= 2，
∴B的坐标为(− 2, 6).
故答案为：(− 2, 6)
连接OB，过B作BE⊥x轴于E，则∠BEO=90°，根据正方形性质得出AB=OA=2，∠A=90°，∠BOA=45°，根据勾股定理求出OB，解直角三角形求出OE、BE，即可得出答案．
本题考查了勾股定理，解直角三角形，坐标与图形性质，正方形性质的应用，能构造直角三角形是解此题的关键．
22.【答案】x<−3或0
∴正比例函数y1=k1x(k1≠0)与反比例函数y2=k2x(k2≠0)的图象的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标为(3,−1)，
∴另一个交点的坐标是(−3,1)，如图，
则关于x的不等式k1x−k2x>0的解集为x<−3或0
本题主要考查了比例函数与一次函数的交点问题，注意反比例函数图象和正比例函数具有中心对称性，即关于原点对称，数形结合思想的应用是解题的关键．
23.【答案】解：(1)0，6；8，103；
(2)AC= 62+82=10，
①若AP=AC，则点P的坐标为(−2,0)或(18,0)；
②若CA=CP，则点P的坐标为(−8,0)；
③若PA=PC，设点P的坐标为(m,0)，则m2+62=(8−m)2，
解得m=74，故点P的坐标为(74,0)；
综上，点P的坐标为(−2,0)或(18,0)或(−8,0)或(74,0)；
(3)如图2，过C点作CN⊥AB于N，
∵AB//OC，
∴∠OCM=∠DMC，
由题意∠DCM=∠OCM，
∴∠DCM=∠DMC，
∴CD=MD=10，
∵OC=6，
∵CN=OA=8，
∴DN= 102−82=6，
∴NM=10−6=4，
∴AM=2，
∴M(8,2)，
设l解析式y=kx+b，则b=68k+b=2，解得k=−12b=6．
∴直线l的解析式为：y=−12x+6；
【解析】解：(1)对于y=−13x+6，令x=0，则y=6，当x=8时，则y=−13x+6=103，
故点C、B的坐标分别为(0,6)、(8,103)，
故答案为：0，6；8，103；
(2)(3)见答案．
(1)对于y=−13x+6，令x=0，则y=6，当x=8时，则y=−13x+6=103，即可求解；
(2)分AP=AC、CA=CP、PA=PC三种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可；
(3)证明∠DCM=∠DMC，则CD=MD=10，求出DN= 102−82=6，进而求解．
本题一次函数综合题，本题关键是利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值，从而求得其解析式．同时注意分类思想的运用．
24.【答案】解：(1)在正方形ABCD中，AB=BC=4，顶点A在正比例函数y=2x的图象上，
∴A(2,4)，
∴OB=2，
∵A(2,4)在y=kx的图象上，
∴k=2×4=8，
∵OC=OB+BC=6，
∴xE=6，
将xE=6代入y=8x中，得：yE=43，
∴点E的坐标为(6,43)；
(2)①设A(a,2a)(a>0)，则AB=BC=2a，OB=a，
∴OC=3a，
∴xE=3a，
∵A、B两点都在反比例函数y=kx(x>0,k>0)的图象上，
∴3a·yE=a·2a，
∴·yE=23a，
∴点E(3a,2a3)，
∵S梯形ABCE=S四边形AOCE−S△AOB，S△AOE=S四边形AOCE−S△EOC，S△AOB=S△EOC，
∴S梯形ABCE=S△AOE=24，
∴12×(2a+2a3)×2a=24，解得a2=9，
∴k=a·2a=2a2=18；
②答：不存在，
理由：假设存在AE⊥OA，
则∠OAE=90°
∴∠OAB+∠BAE=90°，
∵∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°，
∴∠OAB=∠DAE，
又∵∠ABO=∠D=90°，AB=AD，
∴△OAB≌△EAD(ASA)，
∴OB=DE，
由①可知，A(a,2a)(a>0)，E(3a,2a3)，
∴OB=a，DE=2a−2a3=4a3，
∴a=4a3，
∴a=0，
∴k=0，
∵k>0，
∴不符合题意，不存在．
【解析】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的系数k的几何意义，三角形面积，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)根据正方形的性质得到AB=BC=4，求得A(2,4)，得到k=2×4=8，于是求得点E的坐标；
(2)①设A(a,2a)(a>0)，则点E(3a,2a3)，根据梯形的面积公式即可得到答案；
②假设存在，根据余角的性质得到∠OAB=∠DAE，根据全等三角形的性质得到OB=DE，由①可知，A(a,2a)(a>0)，则点E(3a,2a3)，求得OB=a，DE=2a−2a3=4a3，推出k=0，即可判断假设错误，所以不存在．
2022-2023学年江苏省徐州市睢宁县常青藤教育八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共32分）
1. 4的平方根是( )
A. 2 B. ± 2 C. 2 D. ±2
2. 下列四个图案中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，点P(−2,−3)所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知正比例函数y=kx的图象经过点(−2,1)，则k的值为( )
A. −2 B. −12 C. 2 D. 12
5. 下列二次根式中属于最简二次根式的是( )
A. 32 B. 4x2y C. xy D. 4x2+1
6. 如图，若BD为等边△ABC的一条中线，延长BC至点E，使CE=CD=1，连接DE，则DE的长为( )
A. 32
B. 3
C. 52
D. 5
7. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是( )
A. AE+AF=AC B. ∠BEO+∠OFC=180°
C. OE+OF= 22BC D. S四边形AEOF=12S△ABC
8. 如图所示，四边形OABC是正方形，边长为4，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点P在OA上，且P点的坐标为(3,0)，Q是OB上一动点，则PQ+AQ的最小值为( )
A. 5 B. 10 C. 4 D. 6
二、非选择题（68分）
9. 如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=3BE=6，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为______．
10. 已知实数a、b满足 a−3+|6−b|=0，则b a的值为______．
11. 化简4aa2−4−aa−2的结果是______ ．
12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于点E，EC=2，则△ACE的面积为______ ．
13. 如图，直线y1=−x+a与y2=bx−4相交于点P，已知点P的坐标为(1,−3)，则关于x的不等式−x+a
14. 若关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．
15. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2,4)和(3,0)，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，点C的纵坐标为______ ．
16. 已知a2+b2=3ab(a>b>0)，则a+ba−b的值是______ ．
17. (1)4 6÷ 3− 12× 6+ 12；
(2)先化简再求值：(a2−4a2−4a+4−1a−2)÷a+1a+2，其中a=3．
18. 如图，已知过点B(1,0)的直线l1与直线l2：y=2x+4相交于点P(−1,a)．
(1)求直线l1的解析式；
(2)求四边形PAOC的面积．
19. 如图，已知∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)若∠1=44°，求∠BDE的度数．
20. 为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元．
(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
21. 将边长为2的正方形OABC如图放置，O为原点．若∠α=15°，则点B的坐标为______．
22. 已知正比例函数y1=k1x(k1≠0)与反比例函数y2=k2x(k2≠0)的图象有一个交点的坐标为(3,−1)，则关于x的不等式k1x−k2x>0的解集为______ ．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点A的坐标为(8,0)，AB//OC，直线y=−13x+6经过点B、C．
(1)点C的坐标为(______ ，______ )，点B的坐标为(______ ，______ )；
(2)设点P是x轴上的一个动点，若以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标．
(3)如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点O关于直线l的对称点O′，连接并延长CO′，交直线AB于第一象限的点D.当CD=10时，求直线l的解析式．
24. 如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y=2x的图象上，反比例函数y=kx(x>0,k>0)的图象经过点A，且与边CD相交于点E．
(1)若BC=4，求点E的坐标；
(2)连接AE，OE．
①若△AOE的面积为24，求k的值；
②是否存在某一位置使得AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：22=2，(−2)2=4，
∴4的平方根为：±2，
故选：D．
4的平方根是两个，正负2．
本题考查的是平方根，解题的关键是4的平方根有两个，不要漏解．
2.【答案】B
【解析】解：由题意知，ACD选项中的图形都是轴对称图形，B选项中的图形不是轴对称图形，
故选：B．
根据轴对称的概念得出结论即可．
本题主要考查轴对称的知识，熟练掌握轴对称的概念是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：点P(−2,−3)所在的象限是第三象限．
故选：C．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
4.【答案】B
【解析】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点(−2,1)，
∴1=−2k，
解得，k=−12，
故选：B．
根据正比例函数y=kx的图象经过点(−2,1)，可以求得k的值，本题得以解决．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征．
5.【答案】D
【解析】解：A、 32=4 2，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 4x2y=2x y，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 xy= xy|y|，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 4x2+1是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可得．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∵BD为中线，
∴∠DBC=12∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠E+∠CDE=∠ACB，
∴∠E=30°=∠DBC，
∴BD=DE，
∵BD是AC中线，CD=1，
∴AD=DC=1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD= 22−12= 3，
即DE=BD= 3，
故选：B．
根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出BC，在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD即可．
本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE=BD和求出BD的长．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形以及三角形内角和定理，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
连接AO，易证△EOA≌△FOC(ASA)，利用全等三角形的性质可得出EA=FC，进而可得出AE+AF=AC，选项A正确；由三角形内角和定理结合∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=90°可得出∠BEO+∠OFC=180°，选项B正确；由△EOA≌△FOC可得出S△EOA=S△FOC，结合图形可得出S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC=12S△ABC，选项D正确．综上，此题得解．
【解答】
解：连接AO，如图所示，
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，
∴OA=OC，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°．
∵∠EOA+∠AOF=∠EOF=90°，∠AOF+∠FOC=∠AOC=90°，
∴∠EOA=∠FOC．
在△EOA和△FOC中，∠EOA=∠FOCOA=OC∠EAO=∠FCO，
∴△EOA≌△FOC(ASA)，
∴EA=FC，
∴AE+AF=AF+FC=AC，选项A正确；
∵∠B+∠BEO+∠EOB=∠FOC+∠C+∠OFC=180°，∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=180°−∠EOF=90°，
∴∠BEO+∠OFC=180°，选项B正确；
∵△EOA≌△FOC，
∴S△EOA=S△FOC，
∴S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC=12S△ABC，选项D正确．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】解：作出P关于OB的对称点D，则D的坐标是(0,3)，则PQ+QA的最小值就是AD的长，
则OD=3，
因而AD= OD2+OA2=5，
则PD+PA和的最小值是5，
故选A．
作出P关于OB的对称点D，则D的坐标是(0,3)，则PQ+QA的最小值就是AD的长，利用勾股定理即可求解．
题考查了正方形的性质，以及最短路线问题，正确作出Q的位置是关键．
9.【答案】4 5
【解析】解：如图，过点D作DH//MN，交AB于H，过点E作EG//MN，过点M作MG//NE，两直线交于点G，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，∠B=∠BAD=90°，
∵AB=3BE=6，
∴BE=2，
∴AE= AB2+BE2= 4+36=2 10，
∵DH//MN，AB//CD，
∴四边形DHNM是平行四边形，
∴DH=MN，
∵MN⊥AE，DH//MN，EG//MN，
∴DH⊥AE，AE⊥EG，
∴∠BAE+∠AHD=90°=∠AHD+∠ADH，∠AEG=90°，
∴∠BAE=∠ADH，
在△ABE和△DAH中，
∠BAE=∠ADHAB=AD∠B=∠BAD，
∴△ABE≌△DAH(ASA)，
∴DH=AE=2 10，
∴MN=DH=AE=2 10，
∵EG//MN，MG//NE，
∴四边形NEGM是平行四边形，
∴NE=MG，MN=EG=AE=2 10，
∴AM+NE=AM+MG，
则当点A，点M，点G三点共线时，AM+NE的最小值为AG，
∴AG= EG2+AE2= 40+40=4 5，
故答案为4 5．
由勾股定理可求AE的长，由“ASA”可证△ABE≌△DAH，可得DH=AE=2 10，通过证明四边形NEGM是平行四边形，可得NE=MG，MN=EG=AE=2 10，由AM+NE=AM+MG，则当点A，点M，点G三点共线时，即AM+NE的最小值为AG，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
10.【答案】2 3
【解析】解：∵ a−3+|6−b|=0，
又∵ a−3≥0，|6−b|≥0，
∴a−3=0，6−b=0．
∴a=3，b=6．
∴b a=6 3=2 3．
故答案为：2 3
先根据非负数的和为0求出a、b的值，再代入化简．
本题考查了二次根式的化简求值，掌握非负数的和为0时，各个非负数都等于0是解决本题的关键．
11.【答案】−aa+2
【解析】解：4aa2−4−aa−2
=4a(a+2)(a−2)−a(a+2)(a+2)(a−2)
=−a2+2a(a+2)(a−2)
=−a(a−2)(a+2)(a−2)
=−aa+2，
故答案为：−aa+2．
先通分，再根据同分母分式减法法则计算即可．
本题考查了分式的化简，分式的化简关键在于通过通分、合并同类项、因式分解、约分转化为最简分式或整式．
12.【答案】2
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B=22.5°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=45°，
∴AC=EC=2，
∴△ACE的面积=12×AC×EC=12×2×2=2，
故答案为：2．
根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的外角性质求出∠AEC，根据等腰直角三角形的性质求出AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13.【答案】x>1
【解析】解：当x>1时，函数y1=−x+a的图象都在y2=bx−4的图象下方，所以不等式−x+a
故答案为x>1．
观察函数图象得到当x>1时，函数y1=−x+a的图象都在y2=bx−4的图象下方，所以不等式−x+a
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14.【答案】k≤1且k≠0
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有实数根，
∴△=b2−4ac≥0，
即：4−4k≥0，
解得：k≤1，
∵关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0中k≠0，
故答案为：k≤1且k≠0．
根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
15.【答案】118
【解析】解：∵点A，B的坐标分别为(2,4)和(3,0)，
∴设C(0,m)，则AC2=(2−0)2+(4−m)2=m2−8m+20，BC2=(3−0)2+(0−m)2=m2+9，
∵△ABC是以AB为底的等腰三角形，
∴AC=BC，即AC2=BC2，
∴m2−8m+20=m2+9，解得m=118，
∴C(0,118)，
故答案为：118．
设C(0,m)，用含m的代数式表示AC2和BC2，根据△ABC是以AB为底的等腰三角形，列方程解得m的值即是答案．
本题考查等腰三角形判定及直角坐标系中两点的距离，解题的关键是用含m的代数式表达AC2和BC2．
16.【答案】 5
【解析】解：∵a>b>0，a2+b2=3ab，
∴(a−b)2=ab，(a+b)2=5ab，
∴a−b>0，a+b>0，
∴a+ba−b的值为： 5ab ab= 5，
故答案为： 5．
首先配方进而得出a+b以及a−b的值，进而求出答案．
此题主要考查了配方法的应用，正确配方得出是解题关键．
17.【答案】解：(1)4 6÷ 3− 12× 6+ 12
=4 6÷3− 12×6+2 3
=4 2− 3+2 3
=4 2+ 3；
(2)(a2−4a2−4a+4−1a−2)÷a+1a+2
=(a2−4a2−4a+4−a−2a2−4a+4)÷a+1a+2
=a2−a−2a2−4a+4÷a+1a+2
=(a−2)(a+1)(a−2)2÷a+1a+2
=a+1a−2⋅a+2a+1
=a+2a−2，
当a=3时，原式=3+23−2=5．
【解析】(1)先根据二次根式的乘除法计算，再合并同类二次根式即可；
(2)根据分式的运算法则进行化简，再代入a的值即可求解．
此题主要考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是熟知分式、二次根式的运算法则．
18.【答案】解：(1)∵点P(−1,a)在直线l2：y=2x+4上，
∴2×(−1)+4=a，即a=2，
则P的坐标为(−1,2)，
设直线l1的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
那么k+b=0−k+b=2，
解得：k=−1b=1．
∴l1的解析式为：y=−x+1．
(2)∵直线l1与y轴相交于点C，
∴C的坐标为(0,1)，
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴A点的坐标为(−2,0)，则AB=3，
而S四边形PAOC=S△PAB−S△BOC，
∴S四边形PAOC=12×3×2−12×1×1=52．
【解析】(1)由点P(−1,a)在直线l2上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式；
(2)根据面积差可得结论．
本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．并利用数形结合的思想解决问题．
19.【答案】(1)证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
∠A=∠BAE=BE∠AEC=∠BED，
∴△AEC≌△BED(ASA)；
(2)解：∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE．
在△EDC中，
∵EC=ED，∠1=44°，
∴∠C=∠EDC=68°，
∴∠BDE=∠C=68°．
【解析】(1)根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；
(2)由(1)可知：EC=ED，∠C=∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
20.【答案】解：(1)设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，
根据题意得：4x+5y=552x+y=17，
解得x=5y=7，
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；
(2)设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯(300−a)只，费用为w元，
w=5a+7(300−a)=−2a+2100，
∵a≤2(300−a)，
∴a≤200，
∴当a=200时，w取得最小值，此时w=1700，300−a=100，
答：当购买A型号节能灯200只，B型号节能灯100只时最省钱．
【解析】(1)设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
(2)根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
21.【答案】(− 2, 6)
【解析】解：连接OB，过B作BE⊥x轴于E，则∠BEO=90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴AB=OA=2，∠A=90°，∠BOA=45°，
由勾股定理得：OB= 22+22=2 2，
∵∠α=15°，∠BOA=45°，
∴∠BOE=45°+15°=60°，
在Rt△BOE中，BE=OB×sin60°=2 2× 32= 6，OE=OB×cos60°= 2，
∴B的坐标为(− 2, 6).
故答案为：(− 2, 6)
连接OB，过B作BE⊥x轴于E，则∠BEO=90°，根据正方形性质得出AB=OA=2，∠A=90°，∠BOA=45°，根据勾股定理求出OB，解直角三角形求出OE、BE，即可得出答案．
本题考查了勾股定理，解直角三角形，坐标与图形性质，正方形性质的应用，能构造直角三角形是解此题的关键．
22.【答案】x<−3或0
∴正比例函数y1=k1x(k1≠0)与反比例函数y2=k2x(k2≠0)的图象的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标为(3,−1)，
∴另一个交点的坐标是(−3,1)，如图，
则关于x的不等式k1x−k2x>0的解集为x<−3或0
本题主要考查了比例函数与一次函数的交点问题，注意反比例函数图象和正比例函数具有中心对称性，即关于原点对称，数形结合思想的应用是解题的关键．
23.【答案】解：(1)0，6；8，103；
(2)AC= 62+82=10，
①若AP=AC，则点P的坐标为(−2,0)或(18,0)；
②若CA=CP，则点P的坐标为(−8,0)；
③若PA=PC，设点P的坐标为(m,0)，则m2+62=(8−m)2，
解得m=74，故点P的坐标为(74,0)；
综上，点P的坐标为(−2,0)或(18,0)或(−8,0)或(74,0)；
(3)如图2，过C点作CN⊥AB于N，
∵AB//OC，
∴∠OCM=∠DMC，
由题意∠DCM=∠OCM，
∴∠DCM=∠DMC，
∴CD=MD=10，
∵OC=6，
∵CN=OA=8，
∴DN= 102−82=6，
∴NM=10−6=4，
∴AM=2，
∴M(8,2)，
设l解析式y=kx+b，则b=68k+b=2，解得k=−12b=6．
∴直线l的解析式为：y=−12x+6；
【解析】解：(1)对于y=−13x+6，令x=0，则y=6，当x=8时，则y=−13x+6=103，
故点C、B的坐标分别为(0,6)、(8,103)，
故答案为：0，6；8，103；
(2)(3)见答案．
(1)对于y=−13x+6，令x=0，则y=6，当x=8时，则y=−13x+6=103，即可求解；
(2)分AP=AC、CA=CP、PA=PC三种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可；
(3)证明∠DCM=∠DMC，则CD=MD=10，求出DN= 102−82=6，进而求解．
本题一次函数综合题，本题关键是利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值，从而求得其解析式．同时注意分类思想的运用．
24.【答案】解：(1)在正方形ABCD中，AB=BC=4，顶点A在正比例函数y=2x的图象上，
∴A(2,4)，
∴OB=2，
∵A(2,4)在y=kx的图象上，
∴k=2×4=8，
∵OC=OB+BC=6，
∴xE=6，
将xE=6代入y=8x中，得：yE=43，
∴点E的坐标为(6,43)；
(2)①设A(a,2a)(a>0)，则AB=BC=2a，OB=a，
∴OC=3a，
∴xE=3a，
∵A、B两点都在反比例函数y=kx(x>0,k>0)的图象上，
∴3a·yE=a·2a，
∴·yE=23a，
∴点E(3a,2a3)，
∵S梯形ABCE=S四边形AOCE−S△AOB，S△AOE=S四边形AOCE−S△EOC，S△AOB=S△EOC，
∴S梯形ABCE=S△AOE=24，
∴12×(2a+2a3)×2a=24，解得a2=9，
∴k=a·2a=2a2=18；
②答：不存在，
理由：假设存在AE⊥OA，
则∠OAE=90°
∴∠OAB+∠BAE=90°，
∵∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°，
∴∠OAB=∠DAE，
又∵∠ABO=∠D=90°，AB=AD，
∴△OAB≌△EAD(ASA)，
∴OB=DE，
由①可知，A(a,2a)(a>0)，E(3a,2a3)，
∴OB=a，DE=2a−2a3=4a3，
∴a=4a3，
∴a=0，
∴k=0，
∵k>0，
∴不符合题意，不存在．
【解析】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的系数k的几何意义，三角形面积，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)根据正方形的性质得到AB=BC=4，求得A(2,4)，得到k=2×4=8，于是求得点E的坐标；
(2)①设A(a,2a)(a>0)，则点E(3a,2a3)，根据梯形的面积公式即可得到答案；
②假设存在，根据余角的性质得到∠OAB=∠DAE，根据全等三角形的性质得到OB=DE，由①可知，A(a,2a)(a>0)，则点E(3a,2a3)，求得OB=a，DE=2a−2a3=4a3，推出k=0，即可判断假设错误，所以不存在．
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