专题01 三角形经典压轴大题专训-2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

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专题01三角形经典压轴大题专训
【三角形40道经典压轴大题专训】
1．（2023春·河北邯郸·七年级校联考阶段练习）题目：“如图，在中，，将沿折叠得到，若与的边平行，求．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（　　）
  
A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】与的边平行，画图有两种情况，和，
当时，，
当时，，结果有两个答案．
【详解】解：①如图，与的边平行
  
沿折叠得到，

又





②如图，与的边平行，
  
沿折叠得到，




故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的折叠与平行的结合，几何图形折叠后对应角相等和两直线平行同位角内错角相等是解题的关键．
2．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考阶段练习）如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）
  
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先设的面积为，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为，解得的面积．
【详解】解：如图，连接、，设的面积为，
  
，
的面积为，的面积为，

的面积为，
,
的面积为，的面积为，的面积为，
，
，即的面积为2
故选：B
【点睛】本题考查了三角形的面积问题，等高且共底的三角形面积比是底边的比这个性质是解题的关键．
3．（2023·河北张家口·统考三模）如图，甲、乙两位同学用个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正边形，关于的值，甲的结果是，乙的结果是或4，则（    ）
  
A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【答案】D
【分析】正六边形的一个内角为，根据外角的定义有，，得，再讨论即可得的值．
【详解】解：∵正六边形的一个内角为，
∴，
∵为正边形的一个内角为度数，
∴，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
则的值为3或4或5或6．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和．解题的关键是根据周角的定义推得．
4．（2022春·湖北武汉·七年级武汉一初慧泉中学校联考阶段练习）如图，已知直线被直线AC所截，，E是平面内一点，设，．下列说法：①当点E在之间且在的右侧时，；②当点E在的下方且在的右侧时，；③当点E在的上方且在的右侧时，，④当点E在之间且在的左侧时，，其中说法正确的是（    ）
  
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据题意，补全图形，根据平行线的性质逐一进行判断，即可得出结论．
【详解】解：①如图：
  
过点作，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②如图：
  
∵，
∴，
∴，故②正确；
③如图：
  
∵，
∴，
∴，故③错误；
④如图：
  
过点作，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上：正确的是①②④；
故选B．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角．解题的关键是正确的画出图形，通过拐点构造平行线．
5．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，在中，平分，于点D，的角平分线所在直线与射线相交于点G，若，且，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意推出，设，设，用含x和y的代数式表示和即可解决．
【详解】解：如图：

∵平分，平分，
∴，
设，
由外角的性质得：，，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
6．（2023春·江苏南京·七年级统考期中）如图，已知直线，被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线，，上），设，，下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质进行计算求解即可．
【详解】解：如图1，过作，则由，可得

∴，，
∴．
如图2，同理可得．故①有可能，

如图3，同理可得．故②有可能，

其中：当时，，故③有可能，
如图4，同理可得．故④有可能，

如图5，同理可得．

如图6，同理可得．

综上所述，①②③④均有可能．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的运用，解题时需注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
7．（2023春·江苏无锡·七年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论：
①；
②；
③，
④；
其中正确的有（   ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①根据，，由直角三角形锐角互余可证明；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③根据三角形的内角和和角平分线的定义，进行等量代换，即可证明结论正确；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
【详解】解：有题意可知
，


①正确；
是角平分线，




②正确；






③正确；
，




④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
8．（2023春·七年级课时练习）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：；；；；．其中正确的结论有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得出，，，，根据三角形的内角和定理得出，，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】解：平分，
，
，，
，
，
，故正确；
，
，
平分，，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
平分，
，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，故正确；
由得，，
，
，
，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定难度．
9．（2023春·江苏·七年级期中）如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可．
【详解】解：①设点A、B在直线上，
∵、分别平分的内角，外角，

∴平分的外角，
∴，
∵，且，
∴，
∴，故①正确．
②∵、分别平分的内角、外角，
∴，
∴，故②正确．
③∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确．
④∵
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定等，熟悉各个概念的内容是解题的关键．
10．（2023春·江苏·七年级期中）△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解．
【详解】∵平分∠ABC，平分∠ACD，
∴＝∠ABC，＝∠ACD，
∴＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A，
同理可得＝＝∠A，
∴＝∠A，
∵，
∴＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图，然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．
11．（2023春·浙江·七年级期末）如图，已知直线，直线分别交直线，于点，，平分交于点．是射线上一动点（不与点，重合）．平分交于点，设，．现有下列四个式子：①，②，③，④，在这四个式子中，正确的是(   )

A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】分两种情况讨论：当点G在F的右侧时，根据两直线平行同旁内角互补得到，结合角平分线性质解得；或当点G在F的左侧时，两直线平行内错角相等得到，结合三角形外角性质得到，解得．
【详解】解：当点G在F的右侧时，


平分

平分

设，



，
当点G在F的左侧时，


平分

平分

设，





综上所述，或
故①④正确, ②③错误
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
12．（2023春·江苏·七年级期末）如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（    ）

A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°
【答案】D
【分析】由平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，只要证明得，即可求出答案．
【详解】解：如图，线段AM与AN相交于点E，

∵，
∴，
∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，
∴，，，，
∴，
∴；①
在△ACM中，有
，
∴②，
由①②，得，
∴，即；
∵，
又，
∴，
∴，
即，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确地利用所学知识进行角度之间的转化．
13．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，若的面积是12，则的面积是________．
  
【答案】
【分析】连接，．由题意中的线段的比和，可推出，，从而可求出，．结合中点的性质即得出，从而可求出，进而得出，最后即得出，最后即可求出．
【详解】解：如图，连接，．
  
∵，，
∴，．
又∵，
∴，．
∵点是线段的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即,
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查线段的中点的性质，线段的n等分点的性质，与三角形的高有关的计算问题．正确的连接辅助线是解题关键．
14．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考阶段练习）在中，，点D是下方一点，连接，，过点D作，连接，分别过点B、D作直线、，使得，平分，平分，则______．

【答案】
【分析】过点作，根据角平分线的定义，设，则，，再根据平行线的性质及三角形的内角和定理，即可得出结果．
【详解】解：过点作，
  
平分，平分，
设，则，，
，
，，，，
，，
在中，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质及三角形的内角和定理，作出正确的辅助线是本题的关键．
15．（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市第二十一中学校考期中）如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角（）为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成，由光的反射定律可知，，与的垂线所形成的夹角始终相等，即．

（1）的度数为______；
（2）如图2，点B固定不动，调节支架平面镜，调节角为．
①若，则的度数为______；
②若反射光线恰好与平行，则的度数为______．
【答案】/30度/90度/75度
【分析】（1）根据，，得出，根据，得出，求出，根据，得出即可；
（2）①过点G作，根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据三角形内角和定理求出；
②根据平行线的性质得出，根据反射的性质得出，根据，求出，根据平行线的性质得出．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）①过点G作，如图所示：

则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
②如图，若反射光线恰好与平行，

则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，反射的性质，垂直定义的理解，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，作出辅助线，画出相应的图形，数形结合．
16．（2023春·江苏无锡·七年级无锡市侨谊实验中学校考期中）如图，，、的平分线交于点G，则图中、、之间的数量关系是 ____________．

【答案】
【分析】先作辅助线，然后根据平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，即可得到、、之间的数量关系．
【详解】解：过点C作，则，

∴，，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，通过作辅助线进行解答．
17．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，长方形纸片，点，分别在，边上，将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，然后再次折叠纸片使点与点重合，点落在点，折痕为，若，则__________度．

【答案】
【分析】根据将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，得出，，可得，根据四边形为长方形，得出，可得，可求，根据为对称轴，可得，可得，根据，列方程，解方程即可．
【详解】解：∵纸片沿折叠，使点落在边上的点处，
，，
，
∵四边形为长方形，
，
，
，
∵再次折叠纸片使点与点重合，点落在点，折痕为，
四边形与四边形关于对称，
，
∵，
，
∵，
，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质，三角形的内角和定理及其推论，恰当应用折叠的性质是解题的关键．
18．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，在中，已知为的中线，过点A作分别交、于点F、E，连接，若，，，则________．

【答案】84
【分析】根据为的中线，可得，，通过题中条件可求得，根据，可得，，设，则，，故，根据，列方程，即可解答．
【详解】解：为的中线，
，，
，
，
，
，，
设，则，
，
，
根据，列方程，
解得，
．
故答案为：84．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，根据题中的边长之比得出对应的三角形的面积之比是解题的关键．
19．（2023春·江苏·七年级期末）如果三角形中任意两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，平分交于点D．在线段上取一点F，当是“准直角三角形”时，则______°．

【答案】或
【分析】由三角形内角和可得，进而可得，，，再根据定义进行分类讨论即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，

又∵平分交于点D．
∴，则，
∴，
①当时，是“准直角三角形”，
即：，；
②当时，是“准直角三角形”，
即：，，不符合题意；
③当时，是“准直角三角形”，
即：，；
④当时，是“准直角三角形”，
即：，，不符合题意；
⑤当时，是“准直角三角形”，
即：，，不符合题意；
④当时，是“准直角三角形”，
即：，，不符合题意；
综上，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查学生对于新定义题型的理解能力，三角形的内角和定理，根据”准直角三角形“的定义去解题是本题的关键．
20．（2023春·山西太原·七年级山西实验中学校考期中）当光线经过镜面反射时，反射光线与镜面所夹的角等于入射光线与镜面所夹的角，你可用这一结论解答下列问题．如图，若镜子与镜子的夹角，镜子与镜子的夹角，入射光线与镜面的夹角．已知入射光线从镜面开始反射，经过（为正整数，且）次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，则的度数为________．

【答案】或
【分析】分两种情况画图讨论：当时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得；当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符合，则只能在边反射后与平行，根据三角形外角定义，可得，由，可求出的度数．
【详解】解：当时，如图所示，
，
，
，
，，
由，
过点作，如图所示，
，
，
，
，
，
则，
，
；
当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符合，则只能在边反射后与平行，如图所示，
，
则，
，
由得，，
，，，
，
，
，
，
，
综上所述：的度数为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，反射的性质，三角形的内角和为，熟练掌握平行线的性质，反射的性质，三角形的内角和为，注意分类讨论的思想，是解题的关键．
21．（2023春·七年级单元测试）如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，若，，则的度数为___________．

【答案】
【分析】由题可设，，根据平角的定义用含的代数式表示和,再由外角定理用含的代数式表示和，再由题干中已知的两个等式列方程组求解，即可求解．
【详解】解：由题意射线，分别是的外角，的角平分线，
，,
设，，
由平角的定义得：，，



是的一个外角，
，



同理是的一个外角，
，



，，
，
整理得：，



故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键．
22．（2023春·浙江·七年级期末）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则______，_________．

【答案】
【分析】由折叠可知：，，，由三角形的内角和定理结合平行线的性质可求解的度数，过点作，则，结合平行线的性质，易求的度数，即可得的度数，由直角三角形的性质可求解的度数，即可求得的度数．
【详解】解：由折叠可知：，，，
∵，，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
过点作，如图，

∴，
∵，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识的综合运用，作适当的辅助线是解题的关键．
23．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 _____．（填写所有正确结论的序号）
①；②；③；④．

【答案】①②④
【分析】由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④．
【详解】解：，的平分线交于点，
，，
，
，
，
，
，故①正确，
平分，
，
，，
，故②正确；
，，，
，
平分，平分，

，，
，
，
，故③错误；
，
，
，
．故④正确，
综上正确的有：①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
24．（2023春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）如图，点在线段上，且，点在上，若，，，则的度数为________．

【答案】
【分析】根据题意，设，则，在中，，证，由，得，从而有，解得，最后由，求得的值．
【详解】解：∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵在中，
，
又∵，，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，，
又∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，与相交线相关的角度计算，综合运用题设条件是解题的关键．
25．（湖北省武汉市东西湖区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图1，直线与相交于，钝角，．
  
(1)求证：
(2)若为直线（不与点重合）上一点，与的角平分线所在直线交于点．
①如图2，若，点在点右边，求的度数．
②直接写出的度数___________（结果用含的式子表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②或

【分析】（1）根据平行线的判定即可证明；
（2）①根据角平分线的性质，，设，则，根据平行线的性质可得，推得，，根据三角形的外角性质可得，即可求得；
②当点在点右侧时，由①可得；
当点在点左侧时，根据角平分线的性质，，根据平行线的性质可得，设，则，，根据三角形内角和可得．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，
即，
∴．
（2）①∵的平分线与的平分线所在的直线交于点，
∴，．
设，则，
由（1）知，，
∴，
∴，
故，
在中，，
故，
∵，，
∴
②当点在点右侧时，由①可得；
当点在点左侧时，如图：
  
∵的平分线与的平分线所在的直线交于点，
∴，．
由（1）知，，
∴，
设，则，
，
∴，
在中，，
∴，
综上，的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．
26．（2023春·四川德阳·七年级统考期末）如图①，点N在的延长线上，过点B作．
  
(1)求证：；
(2)由（1）易知，．如图②，过点C作，交的延长线于点D，作交于点E，的平分线与的平分线相交于点F，且，求的度数．
(3)如图③，G为的延长线上一点，H为上一点，平分，平分，，试猜想与的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)的度数为；
(3).

【分析】（1）由平行线的性质即可证明；
（2）由平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，，再由求解即可；
（3）先求得，再求得，据此即可求解.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的平分线与的平分线相交于点F，
∴，，
∴
；
（3）解：.理由见解析.
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
，
∵，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
27．（2023春·重庆江津·七年级统考期末）如图1，直线，点M、N分别在上，点P为平行线内部一点，连接．
  
(1)若，求的度数；
(2)如图2，平分，平分，与相交于点Q，求证：；
(3)如图3，作平分，平分，反向延长交于点F，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）如图1，过作，则，，，由，可得，然后计算求解即可；
（2）如图2，延长交于，延长交于，由，可知，，由题意知，，，，则，进而可得；
（3）如图3，过作，过作，则，，，，，，由题意知，，，，，由，可得．
【详解】（1）解：如图1，过作，则，
  
∴，，
∵，
∴，解得，
∴的值为；
（2）证明：如图2，延长交于，延长交于，
  
∵，
∴，，
由题意知，，，，
∴


，
∴；
（3）解：；
如图3，过作，过作，
  
∴，，
∴，，，，
由题意知，，，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
28．（2023春·浙江·七年级统考期末）如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
  
(1)如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线（与光线平行，且，则_______°，______°；
(2)如图3，有三块平面镜，，，入射光线与镜面的夹角，镜面，的夹角，当光线经过平面镜，，的三次反射后，入射光线与反射光线平行时，请求出的度数；
(3)如图4，在（2）的条件下，在，之间再照射一条光线，经过平面镜，两次反射后反射光线与交于点，请探究与的数量关系．
【答案】(1)，
(2)
(3)

【分析】（1）根据题中平面镜反射角度之间的关系，结合的性质及三角形内角和定理即可得到答案；
（2）过作，如图所示，根据题中平面镜反射角度之间的关系，结合的性质及三角形内角和定理即可得到答案；
（3）根据题中平面镜反射角度之间的关系，在（2）的基础上，得出相关角度，再结合四边形内角和、四边形内角和，列方程组求解即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
  
根据题意，，，
，
，
，
，
，
在中，由三角形内角和定理可得，
故答案为：，；
（2）解：过作，如图所示：
  
，
，
，，
，
，
，则，
在中，，，则由三角形内角和定理可得，
，则，
；
（3）解：如图所示：
  
由（2）知，，，，
由于一个四边形可以分成两个三角形，由三角形内角和定理可知，在四边形中，，
，，
，则，
，
由于一个四边形可以分成两个三角形，由三角形内角和定理可知，在四边形中，，
，
由与，代入已知角度有与，可得，
，解得．
【点睛】本题考查利用数学知识探寻平面镜反射中角度关系，涉及平行线的性质、平面镜反射角度关系、三角形内角和定理、四边形内角和为及恒等变形等知识，读懂题意，理解平面镜反射角度之间的关系，数形结合，准确表示各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．
29．（2023春·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考期末）【问题背景】
中，是角平分线，点E是边上的一动点．
【初步探索】
如图1，当点E与点A重合时，的平分线交于点O．
（1）若，，则 ____________；
（2）若，则___________；（用含m的代数式表示）
  
【变式拓展】
当点E与点A不重合时，连接，设，．
（1）如图2，的平分线交于点O．
①当，时，____________；
②用、的代数式表示____________．
（2）如图3，的平分线与相交于点O，与的平分线所在的直线相交于点F（点F与点E不重合），直接写出点F在不同位置时与之间的数量关系．（用含、的代数式表示）
【答案】初步探索（1）55；（2）；变式拓展（1）①75；②；（2）或
【分析】初步探索（1）根据角平分线的定义，得到、，再根据三角形外角的性质，即可求出的度数；
（2）根据三角形内角和定理，得到，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可求出的度数；
变式拓展（1）①延长、交于点G，根据三角形内角和定理，得到，，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可求出的度数；
②同①理，即可表示出；
（2）分两种情况讨论：点F在内部和点F在外部，利用角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】初步探索
解：（1）中，是角平分线，点E是边上的一动点．
，平分，
，
，平分，
，
，
故答案为：55；
（2），
，
平分，平分，
，，
，
故答案为：；
变式拓展
解：（1）①如图，延长、交于点G，
，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，
，
故答案为：75；
  
②，，
，，
，
，
平分，平分，
，
，
故答案为：；
（2）如图，当点F在内部时，令于的交点为H，
  
，平分，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
平分，平分
，，
，
，
；
如图，当点F在外部时，令于的交点为K，
  
，平分，
，
，
，
，平分，
，
，
，
，
，
，
综上可知，与之间的数量关系或．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，理解题意，找出角度之间的数量关系是解题关键．
30．（2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）已知：如图1，是三角形内一点，连接，．
  
求证：．
证明：如图，延长，交于点．
  
是的一个外角（外角的定义），
（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）．
是的一个外角（外角的定义），
（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）．
．
【知识迁移】
如图，求证：（）；（）．
  
【拓展延伸】
如图，、、分别是中边、、上的点，则的度数是　　．
  
【答案】知识迁移：（1）证明见解析；（2）证明见解析；拓展延伸：
【分析】知识迁移：（1）如图，延长交于，证明，，从而可得结论；
（2）证明，，从而可得结论；
拓展延伸：利用三角形的外角性质将转化为，再利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：知识迁移：（1）如图，延长交于，
  
是的一个外角，
．
是的一个外角（外角的定义），
．
，即．．
（2）是的一个外角，
．
是的一个外角，
．
，即．．
拓展延伸：是的一个外角，是的一个外角，是的一个外角，
，．
∴



∵，
∴，
故答案为
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，作出恰当的辅助线，构建需要的三角形是解本题的关键．
31．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考阶段练习）在中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边于点D．

(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点F．
①试说明；
②若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值．
【答案】(1)；
(2)①见解析；②所有符合条件的旋转角度的值为或．

【分析】（1）根据三个内角的平分线交于点O，可得，再求得，然后根据三角形外角的性质，即可求解；
（2）①根据平分，可得，再由，即可求证；
②先求得，可得，从而得到，再证，可得，从而得到，，然后分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵三个内角的平分线交于点O，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①证明：∵平分，
∴，
∵三个内角的平分线交于点O，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵将绕点O顺时针旋转一定角度后得，
∴，
如图，

∵，
∴，
∴，
即此时旋转角度；
如图，
  
∵，
∴，
∴；
综上所述，所有符合条件的旋转角度的值为或．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，旋转变换等知识，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
32．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图1，已知，D是线段延长线上一点，过A作．
  
(1)求证：；
(2)如图2，过C作交于H，作平分，平分交于点F，若，求的度数；
  
(3)如图3，，P为线段上一点，G为射线上一动点，过P、Q作射线分别交于Q、M，满足，，过P作，则与的数量关系是
（用含n的式子表示）
  
【答案】(1)见解析
(2)
(3)

【分析】（1）根据平行线的性质进行证明即可；
（2）根据平行线的性质，结合已知条件得出，，求出，根据平分，平分，，求出，代入即可求出结果；
（3）根据已知条件得出，，根据，得出，根据平行线的性质得出，求出，即，
根据，得出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴．
（2）解：∵的内角和为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，数形结合．
33．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）（1）如图，把沿折叠，使点落在点处，试探究、与的关系；
（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；
（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程．

【答案】（1）    （2）    （3），证明见解析
【分析】（1）由折叠的性质可知，，再根据平角的定义得到，，根据三角形外角的性质可得，即可得出结论；
（2）根据（1）的结论求出，再由角平分线的定义和三角形外角的性质推出即可；
（3）先推出，，再由三角形外角的性质推出，利用角平分线的定义和三角形内角和定理推出，即可得到结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
由折叠的性质可知，，
，，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
的平分线，与的外角平分线交于点，
，，
，
，
又，
，
；
（3）解：，理由如下；
由折叠的性质可知，，
，，
，
，
，
，的平分线交于点，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键．
34．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）综合与探究：
  
(1)如图1，，分别是的两个内角，的平分线，说明的理由．
【深入探究】
(2)①如图2，，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是　　；
②如图3，，分别是的一个内角和一个外角的平分线，，交于点，探究与之间的等量关系，并说明理由．
【拓展应用】
(3)请用以上结论解决下列问题：如图4，在中，，分别平分，，，，分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，．若，则的度数是　　．
【答案】(1)见解析
(2)①；②，理由见解析
(3)．

【分析】（1）利用角平分线的定义得出，再利用三角形内角和定理即可求解；
（2）①利用三角形内角和定理可得，，利用角平分线的定义可得，，从而得到，化简即可求解；
②利用三角形的外角性质可得，，从而得到，化简即可求解；
（3）由（1）知：，即可求出，利用三角形内角和定理可得，再利用角平分线的性质可得，利用三角形内角和定理可得，再由（2）②可知，求解即可．
【详解】（1）解：、分别是、的平分线，
，，
，
，，
，
；
（2）解：①与之间的等量关系是：，理由如下：
、分别是的两个外角、的平分线，
，，
，，，，
，，
，
，
，
；
②与之间的等量关系是：，理由如下：
、分别是的一个内角和一个外角的平分线，
，，
，
，
．
（3）解：由（1）知：，
，
，
，
，
、分别平分、，
，
．
由（2）②知：，
，
【点睛】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟记三角形外角性质，内角和定理，角平分线的定义．
35．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）中，点在边延长线上，的延长线与的角平分线相交于点．
  
(1)如图1，求证：，
(2)如图2，的角平分线交于，则与之间的数量关系为______，
(3)在（2）的条件下如图3，过点作于，，若，求的度数．
【答案】(1)见解析；

(2)；

(3)．


【分析】（1）利用三角形的内角平分线和外角性质求解即可；
（2）利用三角形的内角平分线和外角定理求解即可；
（3）利用所求角度关系式，假设参数建立方程即可求解．
【详解】（1）如图1，
  
∵平分；
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）如图2，
  
由（1）得：，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即有，
∴，
故填：．
（3）如图3，
  
由，设，，
由，，，

设，
则有，，
设
∵，
∴，
∵，即，解得：，
∴，，，
在，，∴，即，
∴，
∵，
∴
联立，解得：，
∴．
【点睛】本题考查三角形的角平分线，外角定理，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线，外角性质的应用，利用参数解方程也是解题的技巧．
36．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）我们定义：
【概念理解】
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为、、的三角形是“完美三角形”．
【简单应用】
如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O、B重合）．
  
(1)______°，＝______°，______（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
(2)若，试说明：是“完美三角形”；
【应用拓展】
(3)如图2，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，若是“完美三角形”，求∠B的度数．
【答案】(1)，，是
(2)见详解；
(3)或

【分析】（1）根据即可得到，结合即可得到与，即可得到答案；
（2）根据，，即可得到即可得到答案；
（3）根据，，得到，得到，根据角平分线的定义得到，结合得到，从而得到，即可得到，即可得到，结合“完美三角形”列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴是完美三角形，
故答案为：，，是；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是“完美三角形”；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是“完美三角形”，
①当时，根据三角形内角和定理可得，
，
解得：，
②当时，根据三角形内角和定理可得，
，
解得：，
综上所述：或；
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线有关计算，平行线判定与性质，解题的关键是理解题目中的新定义，注意分类讨论．
37．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知线段AB与CD相交于点O，连接AD，BC．
  
(1)如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C；
(2)请利用（1）的结论探索下列问题：
①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小；
②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP∠BAD，∠BCP∠BCD，试探索α，β，γ之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)①；②4γ＝3α+β．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（3）根据已知条件得到各角的数量关系，然后列方程即可得到结论．
【详解】（1）∵，，，
∴；
（2）①如图2，
  
∵平分，平分，
∴
由（1）得：，
，

两式相加得：，

即：，
∴，
②如图3，
  
设，，
∵，
∴，，
由（1）得：，，
即，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，对顶角相等的性质，解此题的关键是用整体思想求角度计算．
38．（2023·浙江·校联考三模）在中，平分交于点D，点E是射线上的动点（不与点D重合），过点E作交直线于点F，的角平分线所在的直线与射线交于点G．
  
(1)如图1，点E在线段上运动．
①若，，则__________°；
②若，求的度数；
(2)若点E在射线上运动时，探究与之间的数量关系．
【答案】(1)①；②
(2)若点在射线上运动时，与之间的数量关系为：或

【分析】（1）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，得出，代入进行计算即可；
②由①的方法得出，进而满出，代入计算即可；
（2）分类讨论进行解答，画出相应位置的图形，根据（1）中的结论和平角的定义，可得当点E在线段AD上时，有成立；当点E在线段DB上或DB的延长线上时，有或成立．
【详解】（1）如图1，
  
①，
，，
是的平分线，是的平分线，
，，
又，


，
故答案为：；
②由①得，





；
（2）当点在线段上时，如图（2），
  
，
，，
平分，
，





；
当点在射线上时，如图（3）由（1）得，，
  


；
综上所述，与之间的数量关系为：或．
答：若点在射线上运动时，与之间的数量关系为：或．
【点睛】本题考查角平分线，平行线以及三角形内角和定理，理解角平分线的定义、平行线的性质以及三角形内角和定理是解题关键．
39．（2023春·福建泉州·七年级石狮市第一中学校考期中）如图1至图2，在中，，点在边所在直线上，作垂直于直线，垂足为点；为的角平分线，的平分线交直线于点．
  
(1)如图1，延长交于点，若，．
①________；
②求证：；
(2)如图2，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示；
(3)当点在直线上移动时，若射线与射线相交，设交点为，直接写出与的关系式．
【答案】(1)①；②见解析
(2)
(3)＝或

【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案；
②根据平行线的性质得＝＝，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论；
（2）由八字模型可得，和中，，再利用四边形内角和整理可得答案；
（3）分情况讨论，分别画出对应图形，再根据四边形内角和及三角形内角和定理整理即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
故答案为：；
②证明：由①得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由八字模型可得，和中，
，



．
故答案为：．
（3）解：①如图，当点在延长线上时，
  
由八字模型可得，和中，



，
；
②如图，当点在线段上时，
  
由四边形的内角和得，



；
③如图，当点在延长线上时，
  
由八字模型可得，，
∴



；
综上分析可知，＝或．
【点睛】本题主要考查四边形内角和及三角形的内角和定理和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键．
40．（2023春·福建泉州·七年级泉州五中校考期中）如图，四边形中，，平分，、交于点．
  
(1)如图1，若，
①求证：；  
②作平分，如图2，求证：．
(2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于N，若的大小为，试说明：平分
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析

【分析】（1）①根据四边形内角和得出，根据邻补角得出，根据补角的性质即可得出结论；
②根据角平分线的定义结合，得出，根据，得出，根据平行线的判定得出；
（2）延长、交于点M，求出，，证明，即可证明平分．
【详解】（1）证明：①∵，，
∴，
∵，
∴；
②∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：延长、交于点M，如图所示：
  
∵，
∴，
∴

，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴

，
∴，
∴平分．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定，补角和余角的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合．