初中数学12.1 全等三角形精品同步测试题

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专题04全等三角形判定与性质重难点题型专训
【题型目录】
题型一用“SSS”证明三角形全等问题
题型二全等的性质与“SSS”综合问题
题型三用“SAS”证明三角形全等问题
题型四全等的性质与“SAS”综合问题
题型五用“ASA(AAS)”证明三角形全等问题
题型六全等的性质与“ASA(AAS)”综合问题
题型七用“HL”证明三角形全等问题
题型八全等的性质与“HL”综合问题
题型九灵活选用判定方法证全等
题型十结合尺规作图的全等问题
题型十一与角平分线相关的全等证明问题
题型十二全等三角形的综合问题

【知识梳理】
知识点、全等三角形的判定
一、全等三角形判定1——“边边边”
定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.


二、全等三角形判定2——“边角边”
定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

要点诠释：如图，如果AB ＝，∠A＝∠，AC ＝，则△ABC≌△.
注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.


三、全等三角形判定3——“角边角”
定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.


四、全等三角形判定4——“角角边”
定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.



知识点、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

3.三角形证全等思路


知识点、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”
定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【经典例题一用“SSS”证明三角形全等问题】
【例1】（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）画的平分线的方法步骤是：
①以O为圆心，适当长为半径作弧，交于M点，交于N点；
②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C；
③过点C作射线．射线就是的角平分线．
请你说明这样作角平分线的根据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明三角形全等，再利用全等的性质证明角相等．
【详解】解：如图，

从画法①可知，
从画法②可知，
又，由可以判断，
∴，
即射线就是的角平分线．
故选：A．
【点睛】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．
【变式训练】
1．（2022春·四川雅安·七年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的个数为(   )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由D为BC中点可得BD=CD，利用SSS即可证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质逐一判断即可.
【详解】∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
又∵AB=AC，AD为公共边
∴△ABD≌△ACD（SSS），故①正确，
∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，故②③④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④共4个，
故选D.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力．其中灵活运用所给的已知条件，从而对各个选项进行逐一验证进而确定答案是解题的关键.
2．（2022秋·八年级课时练习）如图，AB=AC，BE=CD，要使，依据SSS，则还需添加条件_______________．（填一个即可）

【答案】或（填其中任一个均可）
【分析】根据定理、线段的和差即可得．
【详解】由题意，有以下两种情况：
（1）当时，由定理可证得；
（2）当时，
，
，即，
则当时，也可利用定理证得；
故答案为：或（填其中任一个均可）．
【点睛】本题考查了定理，熟练掌握定理是解题关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）小明制作了一个平分角的仪器，如图所示，其中，．现要利用该仪器平分、可将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们落在的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明其道理．

【答案】见解析
【分析】先用证明，然后由全等的性质得到，即可得到结果．
【详解】解：在和中，
，
，
，
平分，
是的平分线．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知定理判定三角形全等．


【经典例题二全等的性质与“SSS”综合问题】
【例2】（2023·贵州黔东南·统考二模）如图，在中，，按如下步骤操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于D，E两点；②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点F；③以点F为圆心，长为半径作弧，交②中所画的弧于点G；④作射线，若，则为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，，首先根据直角三角形的性质，可求得，再根据作法可知：，，根据全等三角形的判定与性质，即可求解．
【详解】解：如图：连接，，
  
在中，，，
，
由作法可知：，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了基本作图，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握基本作图．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级期末）如图，在和中，，，，，，与相交于点P，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】易证，得到，进而得到，根据，，求出的度数，利用字型图，得到，进而求出即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设交于点，则：，

∵，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．解题的关键是证明三角形全等．
2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，已知，，，直线与，分别交于点，，且，，则的度数为___________．

【答案】
【分析】根据SSS得到，进而得到，，再结合对顶角相等，可得，最后再利用角的和差即可求解．
【详解】解：∵，，，
，
，，
与是对顶角，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，对顶角的性质、角的和差计算等内容，识别出与这一组对顶角，得到的度数是解题的关键．
3．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在中，点，点分别在边，边上，连接，．

(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接，利用定理证出，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先根据垂直的定义可得，再根据（1）的结论可得，然后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接，

在和中，，
，
．
（2）解：，
，
由（1）已证：，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、垂直的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．


【经典例题三用“SAS”证明三角形全等问题】
【例3】（2022秋·云南昭通·八年级统考期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法：
①；
②和面积相等；
③；
④；
⑤．
其中正确的有（    ）

A．1个 B．5个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，故④正确
∴，故①正确，
∵，
∴，故⑤正确，
∴，故③正确，
∵，点A到的距离相等，
∴和面积相等，故②正确，
综上所述，正确的有5个，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江杭州·校考模拟预测）如图，正五边形中，，则的度数是（    ）

A．50° B．54° C．60° D．72°
【答案】B
【分析】连接，，正五边形中，得到，，证得根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论．
【详解】解：连接，，

五边形是正五边形，
，，
在和中

，



．
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．（2022秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，在中，已知，，．若，则的度数为__________．

【答案】70°
【分析】（1）证△BED≌△CDF；
（2）利用AB=AC得到∠B与∠C
（3）利用整体法求得∠EDF
【详解】∵AB=AC，∴∠B=∠C
∵BD=CF，BE=CD
∴△BED≌△CDE，∴∠EDC=∠BED
∵∠A=40°
∴∠B=∠C=70°
∴在△BED中，∠BED+∠BDE=110°
∴∠EDB+∠FDC=110°
∴∠EDF=70°
【点睛】求角度，常见的方法有：
（1）方程思想；
（2）整体思想；
（3）转化思想
本题就是利用全等，结合整体思想求解的角度
3．（2023春·七年级课时练习）如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）由得到，证明即可；
（2）推导，即解题即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．

【经典例题四全等的性质与“SAS”综合问题】
【例4】（2023春·江苏苏州·七年级苏州市立达中学校校考期末）如图在，中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确的个数为（    ）
  
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】设交于点O，，可以判断①②，由，，可以判断③，过点C作，于点G，H，由，得，根据角平分线的性质可以判断④．
【详解】解：如图，设交于点O，
  
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，故③错误；
过点C作，于点G，H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴平分，故④正确，
综上所述：结论正确的为①②④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到．

【变式训练】
1．（2023春·江苏·七年级统考期末）如图，在五边形中，，，，，，则五边形的面积等于（    ）
  
A．16 B．20 C．24 D．26
【答案】B
【分析】延长至，使，连接，通过证明可得，，由可得，从而可证明，得到，最后由，进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，

则，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形，是解题的关键．
2．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，在四边形中，E是边的中点，平分且，若，，则．
  
【答案】6
【分析】方法一：在上截取，使得，证明，可得，，再证明，得，进而可求出的长；
方法二：延长、交于点G，证明得，，再证明得，进而可求出的长．
【详解】方法一：在上截取，使得
  
∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
又∵，
∴
∵E是边的中点，
∴
∵
∴
∴

∴
方法二：延长、交于点G
  
∵平分且
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
3．（2023春·上海浦东新·七年级校考阶段练习）把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角顶点叠合”．
  
(1)图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形（结论中不含未标识的字母），并说明理由；
(2)图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、C、D在同一条直线上，连接BD、连接EC并延长与BD交于点F．请找出线段BD和EC的位置关系，并说明理由；
(3)请你：
①画出一个符合放置规则且不同于图1和图2所放位置的几何图形；
②任意一个按照规则放置所抽象出的几何图形中，请直接写出线段BD和EC的位置和数量关系．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)

【分析】（1）由等腰三角形的性质易得，从而可证明；
（2）证明，则，再由对顶角相等、三角形内角和与等量代换即可得，从而得；
（3）①按照要求画出即可；
②根据①中所画的图形，即可写出．
【详解】（1）解：
理由如下：
∵都是等腰三角形，
∴，，
∴，
即，
∴；
（2）解：
理由如下：
∵都是等腰三角形，
∴，，
∴；
∴；
∵，，
∴，
∴，即；
（3）解：①所画的满足要求的图形如下：
  
②
证明如下：∵都是等腰三角形，
∴，，
∴，
即，
∴；
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，即．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，关键是全等三角形的判定与性质的应用．

【经典例题五用“ASA(AAS)”证明三角形全等问题】
【例5】（2022春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期末）小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法，如图，小明直立在河岸边的O处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的A处，然后转过身，保持和刷才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的B处（A，O，B三点在同一水平直线上），小明通过测量O，B之间的距离，即得到O，A之间的距离．小明这种方法的原理是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．



【变式训练】
1．（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点F，与延长线交于点E．则四边形的面积是（　　）  

A．4 B．6 C．10 D．16
【答案】D
【分析】由四边形为正方形可以得到，，又，而由此可以推出，，进一步得到，所以根据可以证明，所以，那么，据此求解即可．
【详解】解：四边形为正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
∴，
即：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正方形的面积等知识点，熟悉相关知识是解题的关键．
2．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，，，，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定与全等，则添加的条件可以是______（写出一个条件即可）．

【答案】或或
【分析】根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：，
，
即，
又∵，，
，
∴当时，在和中，
，
∴；
当时，在和中，
，
∴；
当时，在和中，
，
∴．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定．题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．
3．（2023·湖北黄石·黄石十四中校联考模拟预测）如图，，垂足分别为D，E．
  
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到，再根据，即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和全等的三个条件．

【经典例题六全等的性质与“ASA(AAS)”综合问题】
【例6】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在四边形中，，的平分线交于点E，，若，，则四边形的周长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长、相交于点F，根据得到，，再证明得到，从而推算出四边形的周长等于
【详解】如下图所示，延长、相交于点F，

的平分线交于点E，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形的周长为，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．

【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，，，于点D，于点E．若，，则的面积是（　　）

A．6 B．21 C．12 D．24
【答案】A
【分析】由“”可证，可得，，可求，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，，
∴，且，，
∴
∴，，
∴，
∴的面积，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键．
2．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为．
  
【答案】4
【分析】延长与的延长线相交于点，利用证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图，延长与的延长线相交于点，
  
，，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线，
．
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，理解题意、灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2023春·广东·七年级统考期末）在中，平分交于点D．
  
(1)如图1，，垂足分别为M，N．试说明：；
(2)如图2，点E是线段上一点，过点E作交于点F，与交于点H，平分交于点G；
①若，则；
②若，则；
③探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③

【分析】（1）只需要利用证明，即可证明；
（2）①由角平分线的定义得到，由三角形内角和定理得到，由平行线的性质和角平分线的定义可得，，则由三角形外角的性质可得，
②由三角形内角和定理得到，同（2）①表示出的度数即可得到答案；
③同（2）②求解即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴


；
③，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
又∵
∴



．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．



【经典例题七用“HL”证明三角形全等问题】
【例7】（2022春·七年级单元测试）下列说法中，不正确的个数有（   ）
①有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；④斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断，即可得出结论．
【详解】解：①有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形，根据即可得到两个直角三角形全等，故①正确；
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形，不能得到两个三角形全等，故②错误；
③有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形不一定相等，如：和，的边，高，但和不全等，故③错误；

④斜边和斜边上的中线对应相等，只要斜边相等，斜边上的中线必然相等，故一组斜边相等，一组直角相等，两个条件不能判定全等，故④错误；
综上：不正确的有3个；
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·辽宁葫芦岛·八年级校考期中）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过t秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．请问t有几种情况？（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】D
【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果．
【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6米，
∴BE＝6米，
∴AE＝12﹣6＝6米，
∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6米，
∴BE＝6米，
∴AE＝12+6＝18米，
∴点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
∵AB＝12米，
∴BE＝12米，
∴AE＝12+12＝24米，
∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒），
综上所述t的值为：0，3，9，12．共4中情况．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在找到所有符合题意的情况．
2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ______．

【答案】6或12/12或6
【分析】分情况讨论：①，此时，可据此求出P的位置；②，此时，点P与点C重合．
【详解】解：①当时，
∵，
在与中，

∴，
∴；
②当P运动到与C点重合时，，
在与中，

∴，
∴，
∴当点P与点C重合时，才能和全等，
综上所述，或12，
故答案为：6或12．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解题的关键，当题中没有明确全等三角形的对应边和对应角时，要分情况讨论，以免漏解．
3．（2023春·广东深圳·八年级统考阶段练习）如图，中，，，点为延长线上一点，点在上，且．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）直接依据直角三角形全等判定定理“斜边直角边”判定即可；
（2）关键第（1）问结论可知为等腰直角三角形，故可求即可．
【详解】（1）解：

在和中


（2），






【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定，及全等三角形的性质，关键是掌握全等判定的条件运用，灵活运用全等三角形的性质定理进行计算．


【经典例题八全等的性质与“HL”综合问题】
【例8】（2022秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，在中，，一条线段，P，Q两点分别在线段和的垂线上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则的值为(   )

A．6cm B．12cm
C．12cm或6cm D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】分两种情况：①当时，，②当P运动到与C点重合时，，，分别求解即可．
【详解】解：①当时，，
在与中，
，
∴，
即；
②当P运动到与C点重合时，，，
在与中，
，
∴，
即．
综上所述，或12cm．
故选：C
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握证明三角形全等，分类讨论思想方法是关键．
【变式训练】
1．（2022秋·江西上饶·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD，DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】先根据角平分线的性质得到ED＝EC，再证明Rt△BED≌Rt△BEC得到DE＝CE，接着利用三角形周长和等线段代换得到AD＋AC＋2BC＝12和AD＋AC＝6，所以6＋2BC＝12，从而得到BC的长．
【详解】解：连接BE，

∵DE⊥AB
∴∠BDE=90°，
在Rt△BED和Rt△BEC中，
，
∴Rt△BED≌Rt△BEC（HL），
∴DE＝CE，
∵△ABC的周长为12，
∴AB＋AC＋BC＝12，
即AD＋AC＋2BC＝12，
∵△ADE的周长为6，
∴AD＋DE＋AE＝6，
即AD＋EC＋AE＝6，
∴AD＋AC＝6，
∴6＋2BC＝12，
∴BC＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握HL证明全等是解答此题的关键．
2．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，．若，则的长为．
  
【答案】5
【分析】如图，过作的延长线于，证明，则，，证明，则，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作的延长线于，
  
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．
3．（2023·山西·山西实验中学校考模拟预测）阅读与思考
请你阅读小字的数学思考，并完成相应的任务．
我在学习完“探索三角形全等的条件”之后，知道“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等”．那在什么条件下，两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形就可以全等呢？我决定用所学知识研究一下这个问题．
我发现两边分别相等，其中一组等边的对角都是钝角且相等时，两个三角形全等．如图1所示，为钝角，用尺规作，在射线上作，以为圆心，的长为半径画弧，与交于点，连接，得到．

下面是证明的过程（部分）：
通过作图可知，，．
如图2，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则．

∵，，
且，
∴，（依据）
……
∴．
我和老师分享了我的研究成果，老师对我的数学思考给予了充分的肯定，我很开心，今后我还会多多思考，去发现更多数学的秘密．
任务：
(1)填空：上述证明中的“依据”是指________．
(2)补全证明：请你用初中所学的知识补充小宇证明中的不完整部分．
(3)结合小宇的数学思考，请你判断①两边分别相等，其中一组等边的对角都是锐角且相等时，两个三角形是否全等；②两边分别相等，其中一组等边的对角都是直角时，两个三角形是否全等．请直接写出结果，不必证明．
【答案】(1)等角的补角相等
(2)见解析
(3)①两边分别相等，其中一组等边的对角都是锐角且相等时，两个三角形不一定全等；②两边分别相等，其中一组等边的对角都是直角时，两个三角形全等．

【分析】（1）根据等角的补角相等，即可解答；
（2）根据等角的补角相等，证明，证明，推出，再证明，推出，根据即可证明结论；
（3）①通过作图即可判断；②根据即可判断两个三角形全等．
【详解】（1）解：证明中的“依据”是指等角的补角相等，
故答案为：等角的补角相等；
（2）证明：如图2，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则．

∵，，且，
∴，（等角的补角相等）
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴；
（3）解：①两边分别相等，其中一组等边的对角都是锐角且相等时，两个三角形不一定全等；
在和中，，
如图，通过作图，可知与不一定全等．
；
②两边分别相等，其中一组等边的对角都是直角时，两个三角形全等．
在和中，，如图，

．
【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的全等的判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．


【经典例题九灵活选用判定方法证全等】
【例9】（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）下列条件中，可以确定和全等的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】三条边分别对应相等的两个三角形全等；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．依据上述方法进行判断即可．
【详解】A.，，，不能判定和全等，故不符合题意；
B.，，，根据能判定全等，故符合题意；
C.，，，不能判定和全等，故不符合题意；
D.，，，不能判定和全等，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知，则图中全等的三角形有（    ）对．

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断．全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴由，可得；
由，可得；
∴，
由，可得；
由，可得；
由，可得；
由，可得；
∴有6对三角形全等，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，或者是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在和中，点B，E，C，F在同条一直线上，下列4个条件：
，请你从中选3个条件作为题设，余下的1个条件作为结论，写出一个真命题，则你选择作为题设的条件序号为：______，作为结论的条件序号为：______．

【答案】 ①②④（答案不唯一）； ③．
【分析】如果联合，利用易证，从而可得．
【详解】解：在和中，点B、E、C、F在同一条直线上，
如果．那么．
证明：∵，

即，
在和中，



故答案是：①②④（答案不唯一）；；③．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握判定两三角形全等的方法：，是直角三角形的还有HL．
3．（2022秋·山东威海·八年级统考期中）如图，．

(1)写出与全等的理由；
(2)判断线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析

【分析】（1）由得出，再根据判断与全等即可；
（2）由与全等得出判断与全等，最后利用全等三角形的性质可得．
【详解】（1）全等，理由如下：
∵，
∴，
在与中

∴
（2），理由如下：
在与中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，此题比较典型．


【经典例题十结合尺规作图的全等问题】
【例10】（2023春·全国·七年级专题练习）已知，按图示痕迹作，得到．则在作图时，这两个三角形满足的条件是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据所给条件直接判定即可.
【详解】解：由题可得：在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
故选：D
【点睛】此题考查三角形全等的判定-三边分别相等的三角形是全等三角形，掌握判定定理是解答此题的关键.
【变式训练】
1．（2022秋·八年级课时练习）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ）

A． B．
C．若，则 D．点在的平分线上
【答案】C
【分析】根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案．
【详解】解：由题意可知，
，
，
故选项A正确，不符合题意；
在和中，

，
，
在和中，
，
，
，
故选项B正确，不符合题意；
连接OP，

，
，
在和中，
，
，
，
点在的平分线上，
故选项D正确，不符合题意；
若，，
则，
而根据题意不能证明，
故不能证明，
故选项C错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键．
2．（2022春·广东揭阳·八年级校考阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是______；_______

【答案】SASHL
【分析】由图可知小刘同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为．
由图可知小赵同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为．
【详解】小刘同学画了后，再截取两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是定理；
小赵同学画了后，再截取BC,AC一直角边和一个斜边，所以确定的依据是HL定理．
故答案为：①SAS；②HL．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握每种证明方法，做出判断是解题的关键．
3．（2023春·七年级课时练习）如图，已知同一平面内四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题：

(1)画直线AB，射线BD，连接AC；
(2)在线段AC上求作点P，使得；（保留作图痕迹）
(3)过点P作直线l，使得；（保留作图痕迹）
(4)请在直线l上确定一点Q，使点Q到点C与点D的距离之和最短，并写出画图的依据．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
(4)见详解

【分析】（1）依据要求用直尺作图即可；
（2）以A为圆心、AB为半径画弧交AC于点P即可；
（3）以P为圆心、AP为半径画弧将AC于点E，再以E点为圆心、AB为半径画弧，两弧交于点F，连接PF，直线PF即为所求的直线l；
（4）连接CD交直线l于点Q，Q点即为所求．
【详解】（1）作图如下：

直线AB、射线BD、线段AC即为所求；
（2）作图如下：

点P即为所求；
（3）作图如下：

直线l即为所求；
证明：连接EF、PB，
由作图可知PE=AP，EF=PB，PF=PE，
根据（2）的作图可知AP=AB，
即有：AP=PE，AB=PF，EF=PB，
即有△PEF≌△APB，
∴∠EPF=∠PAB，
∴，
即直线l即为所求；
（4）作图如下：

直线l即为所求；
∵，
∴依据两点之间线段最短，有当且仅当C、Q、D三点共线时，有，
即作图依据为：两点之间线段最短．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义以及全等三角形在尺规作图中的应用等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型．


【经典例题十一与角平分线相关的全等证明问题】
【例11】（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，连结，则的面积是（）

A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质和已知条件证明即可得解；
【详解】如图，延长BD交AC于E，

∵平分，且，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
；
故选C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形全等的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．

【变式训练】
1．（2021秋·全国·八年级阶段练习）如图，D为BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①CDE≌BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠ABD＝∠BDE．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质和DE⊥AC，DF⊥AB，即可证明CDE≌BDF；再通过证明即可得到CE＝AB+AE；根据CDE≌BDF即可得到∠BDC＝∠BAC；
【详解】∵AD平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，故①正确；
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，故③正确；
通过已知条件得不出∠ABD＝∠BDE，故④错误；
故正确的是①②③；
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，准确分析证明是解题的关键．
2．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在中，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，过点作于点，则下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是______．

【答案】①②/②①
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和定理可求解与的关系即可判定①；在上取一点H，使，证得，得到，再证得得到，进而判定②正确；如图：连接,作于H，于M，根据角平分线的性质定理和三角形的面积可证得③错误．
【详解】解：解：∵和的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝，，
∴
＝
＝
＝
＝，故①正确；
∵，
∴，
∵和的平分线、相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，在上取一点H，使，

∵是的角平分线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
如图：连接，作于H，于M，

∵与的平分线相交于点O，
∴点O在的平分线上，
∴，
∵，
∴
∵，不一定等于b
∴不一定成立，故③错误．
故答案为：①②．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键．
3．（2023·安徽·校联考一模）如图，在正方形中，点、分别为边、上两点，．

(1)若是的角平分线，求证：是的角平分线；
(2)若，求证：．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解

【分析】（1）将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据正方形的性质和全等三角形的性质，证明，得出；
（2）由（1）可得，利用全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）如图：将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，

是由绕点顺时针旋转得到，
，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，  
，
，


，
又，
，
是的角平分线；
（2）由（1）可得，
，
，，

【点睛】解题的关键是熟练掌握旋转的性质、全等三角形的性质与判定和正方形的性质．


【经典例题十二全等三角形的综合问题】
【例12】（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和的面积相等；②；③；④．其中说法正确的有（    ）
  
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①和是等底同高的两个三角形，其面积相等；②注意区分中线与角平分线的性质；③由全等三角形的判定定理证得结论正确；④由③中的全等三角形的性质得到．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵点A到、的距离相等，
∴和的面积相等，故①正确；
若在中，当时，不是的平分线，即，故②不一定正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③正确；
无法证明，故④不一定正确；
综上所述，正确的有①③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，解题的关键是证明．

【变式训练】
1．（2023春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，平分．其中正确的是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．
【详解】解：在中，
，
，
又、分别平分、，
，
，故①正确；
，
又，
，
，
又，，
，
，，，故②正确；
在和中，
，，，
，
，故③正确；
的角平分线、相交于点，
点到、的距离相等，点到、的距离相等，
点到、的距离相等，
点在的平分线上，
平分，故④正确；
综上，正确的有①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关性质．
2．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，中，于点，为边上一点，连接并延长至，，，若，，则的长度为.
  
【答案】1.1
【分析】过点B作交的延长线于点G，利用证明，得到，再利用证明，得到，利用线段的和差求解即可．
【详解】解：如图，过点B作交的延长线于点G，
  
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
故答案为：1.1．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段的和差，正确作辅助线是解题的关键．
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：是的角平分线，且，
(1)如图，求证：；
  
(2)如图，，点在上，连接并延长交于点，交的延长线于点，且连接．
  
①求证：；
②若，且，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②

【分析】（1）根据角平分线的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得；
（2）①根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质推得；
②过作于，根据全等三角形的性质可得，，，，推得，即，即可求得．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①∵，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴．
在和中，
，
∴，
∴；
②过作于，如图：
  
由①知：，
∵，
∴，
∴，
由①知：，
∴，
∴
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

【重难点训练】
1．（2023春·广东揭阳·七年级校联考阶段练习）如图，在和中，，，添加下列条件，不能判定的是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形全等的判定条件可直接排除选项．
【详解】解：A．添加，不能判定，故A选项符合题意；
B．添加，根据可判定，故B选项不符合题意；
C．添加，可得，根据可判定，故C选项不符合题意；
D．添加，根据可判定，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．
2．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，，，，，则的度数等于（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件证明，再根据三角形内角和定理和外角性质即可得结论．
【详解】解：在和中，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
3．（2022秋·山东威海·七年级校考阶段练习）如图，，则（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由，就可以得出，就可以得出，就可以得出，就可以由三角形的外角与内角的关系求出结论．
【详解】，
，
．
在和中，
，
，
．
．
．
故选：B．
【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，解答时证明三角形的全等是关键．
4．（2023春·七年级课时练习）如图，在与中，点在上，交于点．，，，，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据证明得出，，再由三角形内角和定理即可推出结果．
【详解】解：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2023春·七年级课时练习）如图，中，，．过作的角平分线的垂线，垂足为，点为边的中点连结，，则的最大值为（   ）

A．10 B．9.2 C．8 D．7.5
【答案】D
【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，最大面积为30，即最大面积为7.5．
【详解】解：如图：延长，交点于，

平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，；
，
，即；
，
是的中点，
，
当时，面积最大，
即最大面积．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识；利用三角形中线的性质得到是解题的关键．
6．（2023春·七年级课时练习）已知：如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，当点运动（    ）秒时，和全等．

A．2 B．2或6 C．2或14 D．6或14
【答案】C
【分析】设动点运动秒时，和全等，分两种情况进行讨论，由题意可知和即可求解．
【详解】解：设动点运动秒时，和全等，
①∵，，
，根据证得，
由题意得：，
∴，
②∵，若，
，根据证得，
由题意得：，解得．
∴当点运动2秒或14时，和全等，
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，矩形的性质知识，解题关键是选择合适的方法证明三角形全等，注意利用分类讨论的思想．
7．（2023春·广东深圳·七年级校考期中）如图，在中，，分别是边，上的点，将沿折叠；使点落在点处，若，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由折叠的性质，得，得，再求出的度数，即可得答案．
【详解】解：沿折叠，使点B落在点处，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，外角的性质，解题的关键是证明．
8．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ）

A．120° B．125° C．130° D．135°
【答案】B
【分析】在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可．
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示：

∵，，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．
9．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，这个条件可以是，理由是；这个条件也可以是，理由是；这个条件还可以是，理由是．

【答案】
【分析】条件可以是，可利用判定；条件也可以是，可利用判定；条件还可以是，可利用判定．
【详解】解：添加，
在和中，，
；
添加，
在和中，，
；
添加，
在和中，，
；
故答案为：，；，；，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
10．（2023春·陕西西安·七年级交大附中分校校考期末）如图，在中，，，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接，的面积是．
  
【答案】
【分析】延长，过作，由“”可证，可得，由三角形的面积公式可得结论．
【详解】解：延长，过作，则，
  
由题意可知，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴的面积，
故答案为：．
【点睛】本题是全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．（2023春·江苏苏州·七年级苏州市立达中学校校考期末）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒6个单位的速度，沿做匀速移动，点从点出发沿向点匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为秒．与全等，．
  
【答案】或
【分析】设点E的移动时间为t，点G的运行距离为y，当与全等时，
分,或,分别列方程计算即可得解
【详解】设点E的移动时间为t，点G的运行距离为y，当与全等时，
,
,
,或,
①
当点F由点C到点B，即时，
由得，解得；
②当点F由点C到点B，即时，由
得

解得：
综上，或
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，分类讨论，解方程和方程组等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
12．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，在中，，，平分，平分，与交于点F，G为外一点，，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是．（只需要填写序号）

【答案】①②④
【分析】①利用即可证明；②根据三角形内角和定理即可进行判断；③根据角平分线定义即可进行判断；④连接，可知点F为三角形角平分线交点，即平分，可得，然后证明，可得．进而可以进行判断．
【详解】解：①∵平分，
∴，
∵，
∴．
∴，
在和中，，
∴，故①正确；
②∵，
，
，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∴；故③错误；
④如图，连接，

可知点F为三角形角平分线交点，
即平分，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
∵．
，故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是得到．
13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，为内一点，，连接，过点作于点，延长交于点F，，若，则线段的长是．

【答案】
【分析】作于点，证明，进而证明，得出，根据已知条件设，则，根据建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图所示，作于点，

∴
在中，

∴
∴，
在中，
，
∴
∴，
∵，
∴
设，则
∴，
∵
即
解得：，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，与三角形高相关的计算，正确的添加辅助线是解题的关键．
14．（2023春·浙江·八年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，连接．点P在第二象限，若以点P，A，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P坐标为．

【答案】或或
【分析】分当时，当时，当时，三种情况利用一线三垂直模型构建全等三角形求解即可．
【详解】解：分三种情况讨论：
①如图1所示，当时，过P作轴，过P作轴，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
又∵A，B两点的坐标分别为，
∴，
∵，即，
解得，
∴；

②如图2所示，当时，过点P作轴于点D，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；

③如图3所示，当时，过P作轴于D，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
综上所述，点P坐标为或或．
故答案为：或或．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
15．（2023春·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）如图，在中，．
  
(1)尺规作图，在上求作一点，使（不要求写作法，保留作图痕迹）；请你根据所学的三角形全等的有关知识，作图依据是___________．（提示：）
(2)若（1）中，，求的度数．
【答案】(1)作图见详解，
(2)

【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作图方法可得答案；由作图步骤可知，作图时满足三条边相等，即可判定作图依据；
（2）根据已知条件，利用三角形内角和定理可得，再结合，利用“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和”即可获得答案．
【详解】（1）解：尺规作图如下：
  
由作图可知，，
∴，
∴，
∴作图依据是．
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了作图-基本作图、三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
16．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．
  
(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上．
①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由．
②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件______，使①中的结论仍然成立；
(2)如图3，若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)

【分析】（1）①由，，可得，从而可证，故；
②添加，可证明，则，根据可证明，即可得证①中的结论仍然成立；
（2）题干已知条件可证，故，，从而可证明．
【详解】（1）解：①，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②添加，使①中的结论仍然成立，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2），理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
17．（2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）（1）方法呈现：如图1，在中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．
  
解决此问题可以用如下方法：
延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”．
（2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．
  
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用三角形的三边关系，得到，进而得出结论即可；
（2）倍长中线法，证明，三角形的三边关系求出的取值范围，即可得解．
【详解】解：（1）由题意，，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴．
故答案为：．
（2）如图，延长至点E，使，连接．
  
因为D为的中点，
所以．
在和中，
，
所以，
所以．
因为，且，，
所以，
所以．
因为线段的长度为整数，
所以．
【点睛】本题考查全等是三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握倍长中线法，构造全等三角形，是解题的关键．
18．（2023春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）在中，为边上一点，请回答下列问题：
  
(1)如图，若的角平分线交于点，求证：．
(2)在（1）的条件下，如图②，的外角的平分线交的延长线于点，则与有怎样的数量关系
(3)如图③，点在的延长线上，交于点，且，平分，过点作，垂足为，交于点，求证：平分．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
(3)证明见解析

【分析】（1）先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，由此即可证明；
（2）根据角平分线的定义和平角的定义证明，进而根据三角形内角和定理得到，再由即可得到结论；
（3如图所示，延长交于H，证明，得到，进而得到，根据三角形外角的性质可得，由此可得，则平分．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：如图所示，延长交于H，
∵平分，过点作，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴平分．
  
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
19．（2023春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图1，，，，，分别为线段，上任意一点．
  
(1)若为的中点，点与点重合，试说明与全等；
(2)如图2，若，，求，，之间的数量关系；
(3)如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．
①若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由；
②若，，当与全等时，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①不会改变，理由见解析；②6或8

【分析】（1）根据题意应用证明即可；
（2）根据题意证明，得到，，则问题可证；
（3）①根据题意证明，得到，，则问题可证；
②分别根据讨论全等三角形的对应边，计算的长即可．
【详解】（1）解：由题意可知．
∵，，
∴，，
∴．
又∵为的中点，
∴，
∴；
（2）由（1）可知．
∵，
，
∴．
又∵，
∴，
∴，，
∴，
即，，之间的数量关系为；
（3）①不会改变；  
理由：∵，
，
∴．
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
即（2）中的数量关系不会改变；  
②6或8．
当时，，
∴；
当时，，
故的长为6或8．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题过程中，运用分类讨论思想和类比思想是解题关键．
20．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务．
×年×月×日             星期五
今天某课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，，则边上的中线的取值范围是多少?

小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长至点，使，连接，得到，进而可求得中线的取值范围．
该小组在求解下列拓展题时，发现该题也可以用这种方法解决．
拓展题：如图2，在中，以的边，为边分别向外作和，其中，，是边的中点，连接，．当时，求的长．
同学们提出了思路：如图3，延长至点，使，连接．
……
任务：
(1)材料中得到的依据为_________；
(2)请你根据组内同学们的思路，解决老师提出的问题；
(3)请你直接写出的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)6

【分析】（1）由是的中线，可得，由“”即可证明；
（2）延长至点，使，连接，由是边的中点，可得，由“”即可证明和，从而即可得到答案；
（3）由（2）直接可得出的长．
【详解】（1）解：是的中线，
，
在和中，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图3，延长至点，使，连接，
，
是边的中点，
，
在和中，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，  
，
；
（3）解：由（2）可得：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线构造三角形全等，是解题的关键．