专题二 对棱相等模型-备战2024年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破

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专题二　对棱相等模型
【方法总结】
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．

【例题选讲】
[例]　(1)正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为________．
答案　　解析　这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，，，．
(2)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，则三棱锥外接球的表面积为________．
答案　　解析　构造长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，则，，，，，，．
(3)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____．
答案　　解析　依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则得a2＋b2＋c2＝43，即(2R)2＝a2＋b2＋c2＝43，易知，即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为．
(4)在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　A　解析　将侧面和展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为，则的最小值为，．在正四面体的边长为2，外接球的半径，外接球的体积．
(5)已知三棱锥，三组对棱两两相等，且，，若三棱锥的外接球表面积为．则________．
答案　　解析　将四面体放置于长方体中，四面体的顶点为长方体八个顶点中的四个，长方体的外接球就是四面体的外接球，，，且三组对棱两两相等，设，得长方体的对角线长为，可得外接球的直径，所以，三棱锥的外接球表面积为，，解得，即，解之得，因即．
【对点训练】
1．已知正四面体ABCD的外接球的体积为8π，则这个四面体的表面积为________．
1．答案　16　解析　将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，设正四面体ABCD
的外接球的半径为R，则πR3＝8π，解得R＝，因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有a＝2R＝2，所以a＝2．而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以正四面体ABCD的棱长为a＝4，因此，这个正四面体的表面积为4××42×sin＝16．
2．表面积为的正四面体的外接球的表面积为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
2．答案　B　解析　表面积为的正四面体的棱长为，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的表面积的值为．
3．已知四面体ABCD满足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是
________．
3．答案　7π　解析　在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE．∵AC＝AD＝BC＝BD
＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝，∴AE＝．同理BE＝，取AB的中点为F，连接EF．由AE＝BE，得EF⊥AB．在Rt△EFA中，∵AF＝AB＝，AE＝，∴EF＝1，取EF的中点为O，连接OA，则OF＝．在Rt△OFA中，OA＝．同理得OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面体的外接球的半径是，∴外接球的表面积是7π．
4．三棱锥中S－ABC，SA＝BC＝，SB＝AC＝，SC＝AB＝．则三棱锥的外接球的表面积为______.
4．答案　14π　解析　如图，在长方体中，设AE＝a，BE＝b，CE＝c．则SC＝AB＝＝，SA
＝BC＝＝，SB＝AC＝＝，从而a2＋b2＋c2＝14＝(2R)2，可得S＝4πR2＝14π.故所求三棱锥的外接球的表面积为14π．

5．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC
＝BD＝，则a＝________.
5．答案　2　解析　由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长
方体，如图所示．设AF＝x，BF＝y，CF＝z，则＝＝，又4π×2＝9π，可得x＝y＝2，∴a＝＝2．
6．正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面
体的外接球表面积是　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
6．答案　A　解析　将三角形与三角形展成平面，的最小值，即为两点之间连线
的距离，则，设，则，由余弦定理，解得，则正四面体棱长为，因为正四面体的外接球半径是棱长的倍，所以，设外接球半径为，则，则表面积．