专题四 垂面模型-备战2024年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破

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专题四　垂面模型
【方法总结】
垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．
　　　　　
【例题选讲】
[例]　(1)已知在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1．则该三棱锥的外接球的体积为(　　)
A．π　　　　　　B．13π　　　　　　C．π　　　　　　D．π
答案　D　解析　∵∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，其外接圆半径r＝＝，则三棱锥外接球即为以△ABC为底面，以SA为高的三棱柱的外接球，∴三棱锥外接球的半径R满足R＝＝，故三棱锥外接球的体积V＝πR3＝π．故选D．
　　　　　　　　
第(1)小题图 第(2)小题图1　　　　 　　　第(2)小题图2
(2)三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为(　　)
A．23π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．64π　　　　　　　　D．π
答案　D　解析　如图1，设O为三棱锥外接球的球心，O1为正△PAC的中心，则OO1＝AB＝2．2AO1＝＝，AO1＝，R2＝OA2＝O1A2＋O1O2＝＋4＝，故几何体外接球的表面积S＝4πR2＝π．
另解：如图2，设O′为正△PAC的中心，D为Rt△ABC斜边的中点，H为AC中点．由平面PAC⊥平面ABC，则O′H⊥平面ABC．作O′O∥HD，OD∥O′H，则交点O为三棱锥外接球的球心，连接OP，又O′P＝PH＝××2＝，OO′＝DH＝AB＝2．∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝＋4＝．故几何体外接球的表面积S＝4πR2＝π．
(3)在三棱锥S－ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，SA＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　)
A．π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．π　　　　　　　　D．π
答案　B　解析　由题意知，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，则在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC×cos∠ABC，解得AC＝7，设△ABC的外接圆半径为r，则△ABC的外接圆直径2r＝＝，∴r＝，又∵侧棱SA⊥底面ABC，∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离h＝SA＝，则外接球的半径R＝＝，则该三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝π.
(4)在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120˚，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．10π　　　　　　　B．18π　　　　　　　C．20π　　　　　　　D．9π
答案　C　解析　如图1，先由余弦定理求出BC＝2，再由正弦定理求出r＝AO1＝2，外接球的直径R＝＝，所以该球的表面积为4πR2＝20π．

第(3)小题图 第(4)小题图1　　　　 　　 　第(4)小题图2
另解　如图2，该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P－ABC，PA＝AB＝AC＝2，所以该三棱锥的外接球即该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R＝＝2⇒R＝，所以该球的表面积为4πR2＝20π．
(5)在三棱锥中，平面，，，，设为中点，且直线与平面所成角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为________．
答案　　解析　在中，，，，由余弦定理得：
，即，解得：．设的外接圆半径为，由正弦定理得解得：；且
，又为中点，在中，，，．由余弦定理得：，即：，解得．又因为平面，所以为直线与平面所成角，由，得，，所以在中，．设三棱锥的外接球半径为，所以，三棱锥外接球表面积为．
【对点训练】
1．三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，若SA＝AB＝BC＝AC＝3，则该三棱锥外接球的表面积为(　　)
A．18π　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．21π　　　　　　　　D．42π
2．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若
AB＝2，则球O的表面积为(　　)
A．4π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．32π
3．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠
BAC＝60°，则球O的表面积为(　　)
A．4π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．64π
4．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝，若该三棱锥的顶点
都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．8π　　　　　　　　D．12π
5．在三棱锥A－BCD中，AC＝CD＝，AB＝AD＝BD＝BC＝1，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面
上，则球的表面积是________．
6．如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD
的位置，使PC＝PD，连接PC，得到三棱锥P－BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是(　　)

A．7π　　　　　　　　　B．5π　　　　　　　　　C．3π　　　　　　　　　D．π
7．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为的正方形．若
，则△OAB的面积为(　　)．
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
8．三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为
________．
9．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且
有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD＝，ED＝，若鳖臑P－ADE的外接球的体积为9π，则阳马P－ABCD的外接球的表面积为________．

10．在四棱锥中，平面，，点是矩形内（含边界）的动点，且
，，直线与平面所成的角为．记点的轨迹长度为，则________．；当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为________．