专题五 切瓜模型-备战2024年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破

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专题五　切瓜模型
【方法总结】
切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)

【例题选讲】
[例]　(1)已知在三棱锥P－ABC中，VP­ABC＝，∠APC＝，∠BPC＝，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P－ABC外接球的体积为________．
答案　　解析　如图，取PC的中点O，连接AO，BO，设PC＝2R，则OA＝OB＝OC＝OP＝R，∴O是三棱锥P－ABC外接球的球心，易知，PB＝R，BC＝R，∵∠APC＝，PA⊥AC，O为PC的中点，∴AO⊥PC，又平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AO⊥平面PBC，∴VP­ABC＝VA­PBC＝××PB×BC×AO＝××R×R×R＝，解得R＝2，∴三棱锥P－ABC外接球的体积V＝πR3＝．

(2)如图，已知平面四边形ABCD满足AB＝AD＝2，∠A＝60˚，∠C＝90˚，将△ABD沿对角线BD翻折，使平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的体积为________．

答案　　解析　在四面体ABCD中，∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60˚，∴△ABD为正三角形，设BD的中点为M，连接AM，则AM⊥BD，又平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，∴AM⊥平面CBD．∵△CBD为直角三角形，∴其外接圆的圆心是斜边BD的中点M，由球的性质知，四面体ABCD外接球的球心必在线段AM上，又△ABD为正三角形，∴球心是△ABD的中心，则外接球的半径为×2×＝，∴四面体ABCD外接球的体积为×π×()3＝．
(3)已知三棱锥A－BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A－BD－C为直二面角，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为(　　)
A．　　　　　　　　B．5π　　　　　　　　C．6π　　　　　　　　D．
答案　D　解析　如图，取BD中点M，连接AM，CM，取△ABD，△CBD的中心即AM，CM的三等分点P，Q，过P作平面ABD的垂线，过Q作平面CBD的垂线，两垂线相交于点O，则点O为外接球的球心，如图，其中OQ＝，CQ＝，连接OC，则外接球的半径R＝OC＝，表面积为4πR2＝，故选D．

(4)已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为________．
答案　　解析　由题意知的中点为外接圆的圆心，且平面平面，过作面的垂线，则垂线一定在面内．根据球的性质，球心一定在垂线上，球心一定在平面内，且球心也是外接圆的圆心．在中，由余弦定理得，，由正弦定理得：，解得，三棱锥的外接球的表面积．
(5)已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角(如图)，则四棱锥A－DECB的外接球的表面积为________．
　　　　
答案　10π　解析　取DE的中点M，BC的中点N，连接MN(图略)，由题意知，MN⊥平面ADE，因为△ADE是等腰直角三角形，所以△ADE的外接圆的圆心是点M，四棱锥A－DECB的外接球的球心在直线MN上，又等腰梯形DECB的外接圆的圆心在MN上，所以四棱锥A－DECB的外接球的球心就是等腰梯形DECB的外接圆的圆心．连接BE，易知△BEC是钝角三角形，所以等腰梯形DECB的外接圆的圆心在等腰梯形DECB的外部．设四棱锥A－DECB的外接球的半径为R，球心到BC的距离为d，则解得R2＝，故四棱锥A－DECB的外接球的表面积S＝4πR2＝10π．

【对点训练】
1．把边长为3的正方沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
2．在三棱锥A－BCD中，△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三
棱锥外接球的表面积为________．
3．已知如图所示的三棱锥D－ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂
直，AB＝3，AC＝，BC＝CD＝BD＝2，则球O的表面积为(　　)

A．4π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．36π
4．在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，若，三棱
锥的各个顶点均在球上，则球的表面积为(　　)．
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
5．已知空间四边形，，，，，且平面平面
，则该几何体的外接球的表面积为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
6．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为　　

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
7．在四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，
则该四棱锥的外接球的体积为　　
A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．
8．已知空间四边形，，，，且平面平面，则
空间四边形的外接球的表面积为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
9．在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱
锥外接球的表面积为________．
10．在三棱锥中，平面平面，，且直线与平面
所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．