专题六 斗笠模型-备战2024年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破

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专题六　斗笠模型
【方法总结】
圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R＝(其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)
　　　　　　
【例题选讲】
[例]　(1)一个圆锥恰有三条母线两两夹角为，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥外接球的表面积为________．
答案　解析　设，则．设，则底面圆的直径为，该圆锥的侧面积为，解得，高．．设圆锥外接球的半径为，所以，解得，则外接球的表面积为．
(2)(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　)
A．64π　　　　　　　　B．48π　　　　　　　　C．36π　　　　　　　　D．32π
答案　A　解析　设⊙O1的半径为r，球的半径为R，依题意，得πr2＝4π，∴r＝2．由正弦定理可得＝2r，∴AB＝2r sin 60°＝2．∴OO1＝AB＝2．根据球的截面性质，得OO1⊥平面ABC，∴OO1⊥O1A，R＝OA＝＝＝4，∴球O的表面积S＝4πR2＝64π．故选A．

(3)在三棱锥中，，且，则该三棱锥外接球的表面积为________．
答案　36π　解析　设顶点在底面中的射影为，由于，所以，即点是底面的外心，又，所以为的中点，因为，所以，设外接球的球心为，半径为，则必在上，，在中，，解得，所以．
(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)
A．　　　　　　　　B．16π　　　　　　　　C．9π　　　　　　　　D．
答案　A　解析　如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P­ABCD中AB＝2，∴AO′＝，∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝4π×2＝.

(5)如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，CD的中点，cos∠PEF＝，若A，B，C，D，P在同一球面上，则此球的体积为________．

答案　36π　解析　由题意，得底面ABCD是边长为4的正方形，cos ∠PEF＝，故高PO1为2．易知正四棱锥P－ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记球心为O，则AO1＝2，PO＝AO＝R，PO1＝2，OO1＝2－R或OO1＝R－2(此时O在PO1的延长线上)，在直角△AO1O中，R2＝AO＋OO＝(2)2＋(2－R)2，解得R＝3，所以球的体积为V＝πR3＝×33＝36π．

(6)在三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的体积为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　A　解析　由，过作平面，垂足为，则为三角形的外心，在中，由，，可得，则由正弦定理可得：，即．．取中点，作交于，则为该三棱锥外接球的球心．由，可得，则．可知与重合，即该棱锥外接球半径为1．该三棱锥外接球的体积为．
【对点训练】
1．已知圆锥的顶点为，母线与底面所成的角为，底面圆心到的距离为1，则该圆锥外接
球的表面积为________．
1．答案　　解析　依题意得，圆锥底面半径，高．设圆锥外接球半
径为，则，即，解得：．外接球的表面积为．
2．在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球
的体积为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
2．答案　　解析　过点作底面ABC的垂线，垂足为，设为外接球的球心，连接，因
，，故，，又为直角三角形，，∴，∴，∴，∴．
3．在三棱锥中，，，且，则该三棱锥外接球的表面积为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
3．答案　D　解析　由题意，点在底面上的射影是的中点，是三角形的外心，令球心为，
，且，，又，
如图在直角三角形中，，即，，则该三棱锥外接球的表面积为．
4．已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥外接
球的半径是　　
A．2　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
4．答案　D　解析　正三棱锥的外接球的球心满足，说明三角形在球的
大圆上，并且为正三角形，设球的半径为：，棱锥的底面正三角形的高为，底面三角形的边长为，正三棱锥的体积为，解得，则此三棱锥外接球的半径是．
5．已知正四棱锥P－ABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为
2，则此球的体积为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
5．答案　C　解析　如图所示，设底面正方形ABCD的中心为O′，正四棱锥P－ABCD的外接球的球心为
O，

∵底面正方形的边长为，∴O′D＝1，∵正四棱锥的体积为2，∴VP－ABCD＝×()2×PO′＝2，解得PO′＝3，∴OO′＝|PO′－PO|＝|3－R|，在Rt△OO′D中，由勾股定理可得OO′2＋O′D2＝OD2，即(3－R)2＋12＝R2，解得R＝，∴V球＝πR3＝π×3＝．
6．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为8，则
该圆锥外接球的表面积是________．
6．答案　　解析　如图，设母线长为，，，，，
，延长使，则为外接球球心，半径为4，表面积为．
7．已知圆台上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为，圆台的外接球的球心为，且球心
在圆台的轴上，满足，则圆台的外接球的表面积为________．
7．答案　　解析　设外接球的半径为，，，且
，得，解得，球的表面积为．
8．在六棱锥中，底面是边长为的正六边形，且与底面垂直，则该六棱锥外接球的
体积等于________．
8．答案　　解析　六棱锥中，底面是边长为的正六边形，且与底面垂直，
可得是该六棱锥外接球的直径，底面是边长为的正六边形的对角线差为：，可得，外接球的半径为，外接球的体积为．
9．在三棱锥中，，，，，则三棱锥的
外接球的表面积为________．
9．答案　　解析　，，，又，，
，则，为直角三角形，外接圆的圆心在边的中点上，设外接圆的圆心为，所以三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，设外接球半径为，连接，，则，所以要使，点在的外接圆圆心的位置即可，又，，，则，由正弦定理可得：，解得，，三棱锥的外接球的表面积为．
10．在三棱锥中，，，．顶点在平面内的射影为，
若且，则三棱锥的外接球的体积为________．
10．答案　　解析　由于三棱锥的顶点在平面内的射影为点，为球心，
，，，
，即，①，同理对①两边取点乘，可得，，
②，又③，由①②③解得，舍去），，，
，，，又在直角三角形中，
，解得，则有球的体积．