专题十 内切球模型-备战2024年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破

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专题十　内切球模型
【方法总结】
以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．
方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；
第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；
第三步：解出r＝＝．
秒杀公式(万能公式)：r＝
【例题选讲】
[例]　(1)已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为________．
答案　π　解析　由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示．AE＝AB·sin 60°＝，AO＝AE＝，DO＝＝，三棱锥的体积VD­ABC＝S△ABC·DO＝，设内切球的半径为r，则VD­ABC＝r(S△ABC＋S△ABD＋S△BCD＋S△ACD)＝，r＝，V内切球＝πr3＝π．

(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
答案　π　解析　圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r．作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝2，△PEO∽△PDB，故＝，即＝，解得r＝，故内切球的体积为π3＝π．

(3)阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为(　　)

A．4π　　　　　　　　B．16π　　　　　　　　C．36π　　　　　　　　D．
答案　C　解析　设该圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R，则圆柱的表面积S＝S底＋S侧＝2×πR2＋2·π·R·2R＝54π，解得R2＝9，即R＝3．∴圆柱的体积为V＝πR2×2R＝54π，∴该圆柱的内切球的体积为×54π＝36π．故选C．
(4)已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球与内切球的半径比为________．
答案　　解析　以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱，作长方体，由PA＝PB＝PC＝2，可知此长方体即为正方体．设外接球的半径为R，则R＝＝，设内切球的半径为r，则内切球的球心到四个面的距离均为r，由(S△ACP＋S△APB＋S△PCB＋S△ABC)·r＝·S△PCB·AP，解得r＝，所以＝＝．

(5)正四面体的外接球和内切球上各有一个动点、，若线段长度的最大值为，则这个四面体的棱长为________．
答案　4　解析　设这个四面体的棱长为，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径，，依题意得，．
【对点训练】
1．若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________.
2．已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，
小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
3．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的
球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是(　　)
A．6　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
4．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为(　　)
A．π　　　　　　　　B．2π　　　　　　　　C．3π　　　　　　　　D．4π
5．体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________.
6．在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在这
个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为________．
7．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
8．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥
为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为________．
9．在三棱锥中，，，，二面角、、的大
小均为，设三棱锥的外接球球心为，直线交平面于点，则三棱锥的内切球半径为________．________．
10．已知直三棱柱中，，，设二面角的平面角为，且
，现在该三棱柱的内部空间放一个小球，设小球的表面积为，三棱柱的外接球的表面积为，则的最大值为_______






















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