初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形精品一课一练

这是一份初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形精品一课一练，文件包含专题07全等三角形经典压轴题型专训原卷版docx、专题07全等三角形经典压轴题型专训解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共100页， 欢迎下载使用。

专题07全等三角形经典压轴题型专训
【精选40道全等三角形经典压轴题型专训】
1．（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积（    ）
  
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】延长交于点C，根据题意，易证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出．
【详解】如图所示，延长，交于点D，
  ，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴,
∴，
∵和同底等高，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．
2．（2023春·河南开封·七年级统考期末）如图，在中，，平分，于，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的是（　　）
  
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①根据角平分线的性质得出结论：；②证明，得平分；③由四边形的内角和为得，再由平角的定义可得结论是正确的；④由得，再由，得出结论是正确的．
【详解】解：①，平分，，
；
所以此选项结论正确；
②，，，
，
，
平分，
所以此选项结论正确；
③，
，
，
，
所以此选项结论正确；
④，
，
，
，
所以此选项结论正确；
本题正确的结论有4个，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，同时运用角平分线的性质得出两条垂线段相等；本题难度不大，关键是根据证明两直角三角形全等，根据等量代换得出线段的和，并结合四边形的内角和与平角的定义得出角的关系．
3．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期末）如图，在四边形中，BD平分，于点D，，，则面积的最大值为（    ）
  
A． B．6 C．9 D．12
【答案】A
【分析】延长，两者交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，证明，即有，进而有，根据，有△AGC的面积为，当G点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，则的最大面积为：；根据，可得，则的最大面积可求．
【详解】延长，两者交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，如图，
  
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴的面积，
∵，
∴，
∵在中，，
∴即，是直角三角形，斜边为，
∴，
∵，
∴，
当G点与H点重合时，即时，可得，
此时达到最大，
∴则的最大值为3，
∴的最大面积为：，
∵，
∴D点为中点，
∴，
∴的最大面积为：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线，并判断出当G点与H点重合时达到最大，是解答本题的关键．
4．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）小明同学在用直尺和圆规作一个角的平分线，具体过程是这样的：
已知：．
求作：的平分线．
作法：第一步：如图，以点为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点．
第二步：分别以点为圆心，大于的长为半径画孤，两弧在的内部相交于点．
第三步：画射线．
射线就是所要求作的的平分线．
下列关于小明同学作法的理由，叙述正确的是（    ）
  
A．由可得，进而可证
B．由可得，进而可证
C．由可得，进而可证
D．由“等边对等角”可得
【答案】B
【分析】根据题意，第一步得到；第二步得到；第三步得到，从而由三角形全等的判定定理得到由可得，进而可证，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，第一步得到；第二步得到；第三步得到；
由可得，进而可证，
故选：B．
【点睛】本题考查尺规作图及全等三角形的判定与性质，掌握角平分线尺规作图及三角形全等的判定是解决问题的关键．
5．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考三模）如图，等腰三角形中，，，平分，则（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点D作于点M，作于点N，根据角平分线的性质得到，从而，过点B作于点E，则，从而得到，又，可求出．
【详解】  
解：过点D作于点M，作于点N，
平分，
∴，
，
过点B作于点E，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是通过三角形的面积得到边之间的关系．
6．（2023春·七年级课时练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ）

A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】证明得出，证明得出，进而即可求解．
【详解】解：如图，在上截取，连接

平分，平分，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
周长为，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角分线的定义，构造全等三角形是解题的关键．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，任意画一个的，再分别作的两角的角平分线和，、相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出即可判定①；如图所示，过点P作于F，于G，于H，利用角平分线的性质得到即可判断②；证明，得到，，即可判断④；再证明，得到，同理可证，推出即可判断⑤；根据现有条件无法证明③．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵的两条角平分线和交于，
∴，
，
，故①正确；
，
如图所示，过点P作于F，于G，于H，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故②正确；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，故④正确；
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证，
∵，
∴，
∴，故⑤正确；
根据现有条件，无法证明，故③错误，
故选：C．

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质及判定，三角形内角和定理等等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．（2023春·全国·七年级期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（  ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D，

∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PN＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴AP平分∠EAC，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC，
∴
∴∠BAC＝2∠BPC，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市广益中学校校考阶段练习）如图，在中，，的外角平分线与内角平分线的延长线交于点，过点作交延长线于点，连接，点为中点．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）

A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】由角平分线的性质和外角的性质可得，可求，故①正确，由余角的性质可证，故②正确，由“”可证，，可得，，，可得，，故③不正确、④正确；即可求解．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，即，
又，
，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确；
过点作于，如图所示：

，
，
点为中点，
，
在中根据三角形三边关系可知，即，故③错误；
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，外角的性质和三角形三边关系等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
10．（2023春·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上，过点E作EF⊥BC于点F，延长CB至点G，使BG＝2FC，连接EG交AB于点H，EP平分∠GEC，交AD的延长线于点P，连接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，则下列结论：①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△PAB＝S△PGE．其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①③④
【答案】D
【分析】过点P分别作GE，AB，AC的垂线，垂足分别为I，M，N，根据角平分线的性质定理可知，PM=PN=PI，易证PH平分∠BGE，即∠PHM=∠PHI．设∠PEH=a，∠PAB=，由外角的性质可得∠APE=a-，∠AHE=2a-2，所以∠APE=∠AHE；故①正确；由外角的性质可得∠PHE=90°-a+，由三角形内角和可得，∠HPE=180°-a-（90°-a+）=90°-，所以∠PHE∠HPE，即PEHE；故②不正确；在射线AC上截取CK=EC，延长BC到点L，使得CL=FC，连接BK，LK，易证△EFC≌△KLC，所以EF=LK，∠L=∠EFC=90°，易证FG=BL，所以△GEF≌△BKL（SAS），所以∠EGF=∠KBC，GE=BK，由由外角的性质可知，∠BAC=∠BKC，所以AB=BK=GE，故③正确；因为S△PAB=·AB·PM，S△PGE=GE·PI，且AB=CE，PM=PI，所以S△PAB=S△PGE，故④正确．
【详解】解：过点P分别作GE，AB，AC的垂线，垂足分别为I，M，N，
∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PM＝PN，∠PAB＝∠PAC，
∵PE平分∠GEC，PN⊥AC，PI⊥EH，
∴PI＝PN，∠PEH＝∠PEN，
∴PM＝PN＝PI，
∴∠PMH＝∠PIH，
∵PH＝PH，
∴∠PHM＝∠PHI，
∴Rt△PMH≌Rt△PIH（HL），
∴∠PHM＝∠PHI，
设∠PEH＝α，∠PAB＝β，
∴∠PEN＝α，∠BAN＝β，
对于△APE，∠PEC＝∠PAE+∠APE，
∴∠APE＝α﹣β，
对于△AEH，∠HEC＝∠BAC+∠AHE，
∴∠AHE＝2α﹣2β，
∴∠APE＝∠AHE；故①正确；
∵∠AHE+∠MHE，∠PHM＝∠PHI，
∴∠PHE＝90°﹣α+β，
∴∠HPE＝180°﹣α﹣（90°﹣α+β）＝90°﹣β，
∴∠PHE≠∠HPE，即PE≠HE；故②不正确；
在射线AC上截取CK＝EC，延长BC到点L，使得CL＝FC，连接BK，LK，
∵∠ECF＝∠LCK，
∴△EFC≌△KLC（ASS），
∴EF＝LK，∠L＝∠EFC＝90°，
∵BG＝2FC，FC＝CL，
∴BG＝FL，
∴FG＝BL，
∴△GEF≌△BKL（SAS），
∴∠EGF＝∠KBC，GE＝BK，
∵∠ACB＝∠EGC+∠BAC，∠ACB＝∠KBC+∠BKC，
∴∠BAC＝∠BKC，
∴AB＝BK，
∴GE＝AB，故③正确；
∵S△PAB＝•AB•PM，S△PGE＝GE•PI，
又∵AB＝GE，PM＝PI，
∴S△PAB＝S△PGE．故④正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形外角的性质定理，作出辅助线，构造全等是解题关键．
11．（2023秋·山东淄博·八年级淄博市张店区实验中学校考期末）如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交下点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH．则下列结论：
①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的有（    ）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】①利用三角形内角和定理即可说明其正确；②利用垂直平分线的性质即可说明其正确；③利用SAS判定全等即可；④利用③中的结论结合等量代换和等式的性质即可得出结论；⑤利用③中的结论结合等量代换和等式的性质即可得出结论．
【详解】
如图所示，设EH与AD交于点M，
∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，
∴∠EBD＝90°﹣∠ACD＝45°，
故①正确；
∵AD⊥BC，∠EBD＝45°，
∴∠BFD＝45°，
∴∠AFE＝∠BFD＝45°，
∵BE⊥AC，
∴∠FAE＝∠AFE＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∵EM是∠AEF的平分线，
∴EM⊥AF，AM＝MF，即EH为AF的垂直平分线，
∴AH＝HF，
∴②正确；
∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
同理，BD＝DF，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（SAS）,
∴③正确；
∵△ABD≌△CFD，
∴CF＝AB，
∵CH＝CF+HF，
由②知：HF＝AH，
∴CH＝AB+AH，
∴④正确；
∵BD＝DF，CD＝AD，
又∵DF＝AD﹣AF，
∴BD＝CD﹣AF，
∴⑤正确，
综上，正确结论的个数为5个．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等相关知识，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．
12．（2023春·江西吉安·七年级统考期末）如图1，已知 AB=AC，D为∠BAC 的平分线上一点，连接 BD、 CD；如图2，已知 AB= AC，D、E为∠BAC的平分线上两点，连接 BD、CD、BE、CE；如图3，已知 AB=AC，D、E、F为∠BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、 BF、CF；…，依次规律，第n个图形中全等三角形的对数是（  ）

A．n B．2n-1 C． D．3（n+1）
【答案】C
【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．
【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
AB=AC，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等；
同理：图3中有6对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．
13．（2023春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，，点在上，与交于点，．
  
（1）若，则的长为；
（2）连接，若，则的值为．
【答案】
【分析】（1）根据全等三角形的性质分析求解；
（2）结合三角形中线的性质求得的面积，从而利用全等三角形的性质分析求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
（2）又（1）可得，
∴，
∵，
∴
  
故答案为：；．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形中线的性质，理解全等三角形的性质及三角形中线的概念是解题关键．
14．（2023春·广东佛山·七年级校联考阶段练习）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上运动速度为，它们运动的时间为（s）（当点运动结束时，点运动随之结束），当点，运动到某处时，有与全等，此时.
  
【答案】或
【分析】分两种情况解决：①若，则；②若,则，建立方程求得答案即可．
【详解】解：分两种情况：
①若，则，可得
，
解得：，
②若,则，
，
解得．
故答案为或．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．
15．（2023秋·广东广州·八年级统考开学考试）如图，点是的中点，，，平分，则下列结论中，正确的是．（填序号）．
①；②；③；④．

【答案】①②④
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据可证，可得，；根据可得，再运用全等三角形的性质即可判断②④；根据，，即可判断①，根据，，即可判断③．
【详解】解：过点作于点，如图所示：
，平分，
，
在和中，
，
，
，，
点是的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，，
故②符合题意；
，
故④符合题意；
，
故①符合题意，
，
，
故③不符合题意，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16．（2023·福建漳州·统考一模）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于点，交于点，过点作于点，连接．现给出以下结论：

①；
②若，，则；
③；
④当时，．
其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【分析】过O作，，交、于点G、H，根据角平分线性质可得到，即可判断①②，在中根据三角形内角和定理可得，可得，结合即可判断③，在上截取，当时，由③可得，即可得到，即可判断④，即可得到答案；
【详解】解：过O作，，交、于点G、H，
∵和的平分线，相交于点，，，，
∴，
∴平分角，故①正确；
∵，，
∴，故②错误；
在中根据三角形内角和定理可得，，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
在上截取，
∵和的平分线，相交于点，平分角，
∴，，，
在与，
，
，
∴，
∴，
∴，
在与，
，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①③④；

【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键作辅助线．
17．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有（填序号）
  
【答案】①②③
【分析】由题意易证，即得出，，故②正确；结合，即可求出，故①正确；由角平分线的定义可知，从而可证，进而可证．即可利用“”证明故③正确；过点O作于点G，于点H，易证，即得出，说明平分，即．假设成立，得出，从而可求出，进而可证平分．因为不确定平分，不一定成立，故④错误．
【详解】解： ∵，
∴，即．
在和中，
，
∴，
∴，，故②正确；
∵，
∴，故①正确；
∵若平分，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵，
∴．
又∵，
∴，故③正确；
如图，过点O作于点G，于点H，
在和中，
，
∴，  
∴，
∴平分，即．
假设成立，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即平分．
∵不确定平分，
∴不一定成立，故④错误．
故答案为：①②③．
  
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
18．（2023春·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）如图，在中，，角平分线、交于点O，于点．下列结论；①；②；③；④，其中正确结论是．
  
【答案】①③④
【分析】过点作于点，由角平分线的性质定理可得，然后结合三角形面积公式即可判断结论①；首先求得，假设，则，可求得，再根据，即可判断结论②；在上截取，连接，分别证明和，由全等三角形的性质可得，即可判断结论③；由全等三角形的定义和性质易得，，可知，即可判断结论④．
【详解】解：如下图，过点作于点，
      
∵平分，，，
∴，
∴，
故结论①正确；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故结论②错误；
在上截取，连接，
    
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故结论③正确；
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故结论④正确．
综上所述，结论正确的为①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，熟练掌握相关知识并熟练运用是解题关键．
19．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，边长为6的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③；④的周长最小值为9；⑤当周长最小时，．其中正确的结论有（填序号）．
  
【答案】①②③④
【分析】①根据等边三角形三线合一可以判断；②由垂直平分，得到，而，得到，得到②中结论；③根据②中可得到结论；④当点和点重合时，的边长最短为3，此时的周长为9；⑤先证明点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，的周长最小，即最小，而，即最小，当和重合时，取最小值，而此时，据此可判断．
【详解】解：①根据等边三角形三线合一可以得：，故①正确；
②∵垂直平分，
∴，
而，
得到；
故②正确；
③根据②中的结论可得③正确；
④的周长最短，即的长度最小，当点和点重合时，，此时的周长为9，故④正确；
⑤连接并延长，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，
  
∵
即
∴
在和中，

∴≌
∴
∴点在射线上移动；
∵、关于直线对称，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
又∵为中点
∴
∴
周长最小，则最小；
∵直线为的垂直平分线，
∴，

在中，
所以当与重合时最小，即为的长，
此时，
故⑤错误；
故正确结论序号为①②③④．
【点睛】本题考查了轴对称最短问题，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明在射线上运动．
20．（2023秋·湖南岳阳·八年级统考期末）如右图，在和中，，，．过A作于点G，的延长线与交于点F，连接．

（1）若，，则；
（2）若，，则四边形的面积为．
【答案】 14 33
【分析】先根据“”证明≌，再根据全等三角形的对应边相等得出答案．作，再根据（1）得出≌，进而证明≌，然后证明≌，即可得出，代入数值计算得出答案．
【详解】∵，
∴，
即．
∵，，
∴≌，
∴．
∵，
∴．
故答案为：14；

作，交于点H，
由（1）得≌，
∴，，
∴≌，≌，
∴．
∵，，
∴．
故答案为：33．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，将不规则四边形的面积转化为三角形的面积是解题的关键．
21．（2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，在中，，、为边上两点，为边上的一点，连接，，，，．则．

【答案】22
【分析】如图，在右侧作，交延长线于点K,过点D作,交于G，交于L，过L分别作、、的高，分别相交于H、I、J；由根据平行线和角的数量关系得到,，从而得到，将转到，利用角的关系和角平分线的性质可再证明，然后利用线段的关系计算从而得出结果．
【详解】如图，在右侧作，交延长线于点K,过点D作,交于G，交于L，过L分别作、、的高，分别相交于H、I、J；


,
，


是的平分线；
又


在与中，


；
又角平分线、交于L，
，，





在与中，
，

在与中，



，，



．
故答案为22．

【点睛】本题主要考查了与三角形有关的角的计算、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，重点是利用三角形全等，对线段进行转换，从而进行求解，难点是通过辅助线构造全等三角形．
22．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点M，作的延长线得到射线，作射线，有下面四个结论：
①；
②；
③射线是的角平分线；
④．
所有正确结论的序号是．

【答案】①③④
【分析】由角平分线的定义可知．再根据三角形外角的性质得出，即可确定，故①正确；过点M作于点F，于点G，于点H，由角平分线的性质定理可得出．即易证，得出，即说明射线是的角平分线，故③正确；利用反证法，假设，易证，即得出．由，可知，即说明不成立，故②错误；由，即得出．再根据角平分线的定义即得出，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确．
【详解】解：∵为的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，故①正确；
如图，过点M作于点F，于点G，于点H，

∵为的平分线，为的平分线，
∴．
又∵，
∴，
∴，即射线是的角平分线，故③正确；
假设，
∴．
∵为的平分线，是的角平分线，
∴，，
∴，即，
∴，即．
∵，
∴，
∴假设不成立，故②错误；
∵，
∴．
∵，
∴，
∴




，
∴④正确．
综上可知所有正确结论的序号是①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键．
23．（2023春·七年级课时练习）如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为．

【答案】
【分析】过C作的延长线于点F，由条件可证，得到．再由条件，由，由全等的性质可得，问题可得解．
【详解】证明：如图，

过C作的延长线于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵cm，cm，
∴，
∴cm，
∴cm．
故答案为：3
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握常用的判定方法为：是解决问题的关键．
24．（2023春·八年级课时练习）如图，四边形中，对角线平分，，，并且，则的度数为．

【答案】/21度
【分析】过点D分别作的三条垂线，利用角平分线的性质，然后再证明，推出，再根据三角形内角和定理，推出，从而得到的度数．
【详解】解：过点D作于点E，于点F，于点G，
对角线平分，，
，，，
，，
，
，
，
，

，
=，
，
，
即，
，
，
，
，
．
故答案为：．

【点睛】此题考查了角平分线的性质，三角形全等判定与性质和三角形内角和定理，熟练运用各个知识点进行综合推理是解题的关键．
25．（2023·全国·九年级专题练习）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．
    
请写出平分的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
  
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析；
【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案；
（2）先证明，可得，可得是的角平分线；
（3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
故答案为：
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（3）如图，点即为所求作的点；
  ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．
26．（2023春·河南郑州·七年级统考期末）在一次主题为“神奇的等腰直角三角板”的数学探究活动中，卓越小组做出了如下研究：
(1)小组中动手操作能力最强的小华同学用10块高度都为的小长方体黑白积木，垒了两堵与地面垂直的木墙（点在同一平面内），两堵木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点与点分别与木墙的顶端重合，小华说无需测量便可直接求出两堵木墙之间的距离，请你帮小华写出求解过程．
  
(2)小组中探索能力最强的小聪同学先画了一个四边形，其中，，，，接着小聪以点为直角顶点，画出的等腰直角三角板，连接，探索中发现无论以及的长度怎么变化，的面积始终不变，请直接写出的面积．
  
【答案】(1)，求解过程见解析
(2)的面积为

【分析】（1）由题中图形，结合“一线三垂直”模型，证明，从而由两个三角形全等的性质得到，，则；
（2）过点作交于，过点作于，如图所示，由（1）的解答过程，证得，得到，过点作于，如图所示，由平行线间的距离相等，得到，，进而利用三角形面积公式求出的面积为即可得到答案．
【详解】（1）解：10块高度都为的小长方体黑白积木，垒了两堵与地面垂直的木墙，如图所示：
  
，，
，，，
，，
，
在和中，

，
，，
；
（2）解：过点作交于，过点作于，如图所示：
  
∵，
∴，
，，
，，
，
在和中，，
，
，
，，
，
在四边形中，，
由平行线间的距离相等得到，，
过点作于，如图所示：
  
，
，
，即为底边上的高，
,
无论以及的长度怎么变化，的面积始终不变，的面积为．
【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握“一线三垂直”模型中全等的判定与性质、掌握平行线的判定与性质、平行线间的平行线段相等等知识是解决问题的关键．
27．（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．
  
(1)求证：．
(2)写出线段的长（用含t的式子表示）．
(3)连接，当线段经过点C时，求t的值．
【答案】(1)见解析
(2)当时，；当时，
(3)或

【分析】（1）证明，可得，可得；
（2）分两种情况计算即可；
（3）先证，得，再分两种情况，建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴．
（2）当时，；
当时，
（3）当线段经过点C时，则，
  
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴或，
∴或．
【点睛】本题考查的是三角形全等中的动态几何问题，全等三角形的判定与性质，理解题意，熟练的建立方程求解是解本题的关键．
28．（2023春·陕西渭南·七年级统考期末）问题背景：如图，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是，，请说明理由；
实际应用：如图，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，，在小径，上各修一凉亭，，在凉亭与之间有一池塘，不能直接到达．经测量得到，米，米，试求两凉亭之间的距离．
  
【答案】结论应是，理由见解析；米
【分析】问题背景：根据可得根据得，进而求得结果；延长至，使，连接，可证得进而证得，进一步求得，即可得出最后结果．
【详解】解：问题背景：结论应是，理由如下：
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：；
实际应用：如图，延长至，使，连接，
  
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
米，米，
米．
【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键．
29．（2023春·江苏南京·七年级统考期末）中，平分线与相交于点，，垂足为．
(1)如图1，若，则______°；

  
(2)如图2，若是锐角三角形．过点作，交于点．依题意补全图2，用等式表示，与之间的数量关系并证明．

  
(3)若是钝角三角形，其中．过点作，交直线于点，直接写出，与之间的数量关系．
【答案】(1)45
(2)，证明见解析
(3)

【分析】（1）首先证明得到，得到，再根据角平分线的定义得到，即可证明；
（2）延长、交于，利用平行线的性质得，再利用三角形外角的性质可得结论；
（3）由（2）同理解决问题．
【详解】（1）解：，
．
，
．
．
．
平分，
．
．
（2）如图，，
理由如下：延长、交于，
    
，
，
平分，
，
是的外角，
，
；
（3）．如图，
  
，
，
是的外角，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
30．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：
  
【知识回顾】
（1）如图1，是的平分线上的一点，于点，作于点，试证：
【深入探究】
（2）如图2，在中，为的角平分线交于于点，其中，求．
【应用迁移】
（3）如图3，中，的角平分线与的中线交于点为中点，连接，若，则的长度为__________．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）10
【分析】（1）根据证明即可；
（2）作于点，作于点，由角平分线的性质得，由三角形的面积公式可得，结合即可求解；
（3）过E作于G，连接，由P为中点，设，根据是边上的中线，设，根据三角形的面积的计算得到，根据角平分线的性质得到，于是得到结论．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，

（2）解：如图，过点作于点，作于点，
  
平分，
，
，
，
同理可证，
∴．
，
，
设，则
，
，
；
（3）解：过E作于G，连接，
  
∵P为中点，
∴，
设，
∵是边上的中线，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了三角形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
31．（2023春·重庆南岸·七年级统考期末）在中，平分交于点，交于点，P是边上的动点（不与重合），连接，将沿翻折得，记．
  
(1)如图1，点与点重合时，用含的式子表示；
(2)当点与点不重合时，
①如图2，若平分交于点，猜想之间存在的等量关系，并说明你的理由；
②若，请直接写出的大小（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)①；理由见解析；②或

【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据平行线的性质得出，即可得出，根据直角三角形性质得出，根据折叠得出，根据求出结果即可；
（1）①在上截取，连接，证明，得出，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，求出即可；
②分两种情况，当点P在点E的左侧时，当点P在点E的右侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据折叠可知，，
∴．
（2）解：①；理由如下：
在上截取，连接，如图所示：
  
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据折叠可知，，，，
∵平分，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点P在点E的左侧时，如图所示：
  
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
根据折叠可知，，，
∴；
当点P在点E的右侧时，如图所示：
  
∵，，
∴，
根据折叠可知，，，
∴；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，构造全等三角形，注意分类讨论．
32．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．
  
(1)求证：平分；
(2)连接交于点G，若，求证：；
(3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)7.5

【分析】（1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明；
（2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明；
（3）根据及为边上的高证明，得出，再根据，解得，结合即可求出；
【详解】（1）证明：是的角平分线，
.
，
.
.
为边上的高，
.
.   
平分.
（2）过点F作于点M，于点N，
平分，且，，
.
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
  
（3），
，，
，
为边上的高，
，
，
.
在和中，
.
，
，
，
，
.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．
33．（2023·宁夏银川·银川市第三中学校考二模）问题提出
（1）如图①，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点C，画射线，连接，则图①中与全等的是___________；
    
问题探究
（2）如图②，在中，平分，过点D作于点M，连接，，若，求证：；
问题解决
（3）如图③，工人刘师傅有块三角形铁板，，他需要利用铁板的边角裁出一个四边形，并要求，．刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作出的平分线交于点D，作的平分线交于点E，交于点F，得到四边形．请问，若按上述作法，裁得的四边形是否符合要求？请证明你的结论．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）裁得的四边形符合要求，理由见解析
【分析】（1）利用证明即可求解；
（2）过点D作交的延长线于点N，证明，推出，结合已知推出，再证明，据此即可求解；
（3）作出如图的辅助线，利用角平分线的定义结合四边形的内角和定理推出，证明，据此即可证明结论．
【详解】解：（1），理由如下：
由作法知，，，又，
∴，
故图①中与全等的是，
故答案为：；
（2）如图，过点D作交的延长线于点N，
  
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）符合要求，
证明：如图，过点F分别作于点G，作于点H，作于点K，
  
∵分别是的平分线，
∴，
∵，
∴在四边形中，
∵，，
在中，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴裁得的四边形符合要求．
【点睛】本题考查了角平分线性质定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形的解题的关键．
34．（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）在和中，，，．

(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)是，

【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答；
（2）证明，得到，又由，得到，即可解答；
（3），如图3，过点作，，垂足分别为、，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到．
【详解】（1）解：证明：如图1，

在和中，
，
，
，，
，
，
；
（2）成立，证明：如图2，

，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
（3），
如图3，过点作，，垂足分别为、，

，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等．
35．（2023春·广东深圳·七年级深圳市高级中学校考期末）已知：中，，，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作，且．

(1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作于H，连接DE，求证：；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．
求证：；
(3)当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若，则的值为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)或

【分析】（1）由，得，根据余角的性质可证，根据证明即可；
（2）作交的延长线于点F，先证明，得，再证明可证结论成立；
（3）分当点D在的延长线上时和当点D在线段上时两种情况求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）如图，作交的延长线于点F，

∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵．
（3）当点D在的延长线上时，作交的延长线于点G，则，

∵，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴的值为；
当点D在线段上时，作于点G，

同理可证：，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
36．（2023春·七年级课时练习）（1）如图1，，求的长度.
（2）如图2，，探索的数量关系，并证明.
（3）如图3，在中，，则______.

【答案】（1）6；（2），证明见解析；（3）5
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形的内角和定理得到，根据全等三角形的性质得到，最后由即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质得到，求得，最后根据全等三角形的性质即可解答；
（3）在内部作交于F，于是得到，求得，最后根据全等三角形的性质得到BD=EF=CF=2，最后根据即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∴；
（2），证明如下：
∵，
∴，
∴∠，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图：在△ABC内部作交于F，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
37．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知，射线分别和直线，交于A、B，射线分别和直线，交于C、D，点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合）

(1)如图①，如果，，　　．
若，，，请直接写出，，之间的数量关系　　．
(2)如图②，若于点A，，，，当为多少时，，请判断此时与的数量与位置关系，并说明理由．
(3)请用尺规作图作出的角平分线，其中P为角平分线与的交点，若此时点P为线段的中点，请你在备用图中再画出合适的辅助线以能展现你的做题思路，并直接写出线段的数量关系，不用再说明理由．
【答案】(1)；；
(2)，，理由见解析；
(3)作图见解析；．

【分析】（1）过点P作，交于点Q，如图①，利用平行线性质即可得到答案；
（2）由得到，，，再利用三角形内角和定理得到，即可证明；
（3）以点D为圆心，以任意长度为半径画弧，交，于F、H，分别以H、F为圆心，以大于的长为半径画弧，相交于Q、T两点，连接，即为的角平分线，
设交于P，交于G，如图③，可证，得到，再结合是的角平分线及平行线性质，即可得到，进而得到，即可得到结论．
【详解】（1）解：过点P作，交于点Q，如图①，
，，
，
，
，
，
，
，，，
同理可得：，
，
故答案为：；；

（2）解：，，理由如下：
如图②，若，
则，，，
，，
，
，
，
，

；

（3）解：，理由如下：
以点D为圆心，以任意长度为半径画弧，交，于F、H，分别以H、F为圆心，以大于的长为半径画弧，相交于Q、T两点，连接，即为的角平分线，令交于P，交于G，如图③，
在和中，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
．

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，作角平分线等知识，解题关键是熟练掌握平行线的性质和全等三角形的判定和性质等基础知识，属于中考常考题型．
38．（2023·河北秦皇岛·模拟预测）如图1，是的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

①如图2，在中，是直角，，、分别是和的平分线，、相交于点F，求的度数；
②在①的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由；
③如图3，在中，如果不是直角，而①中的其他条件不变，试问在②中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】见解析；①；②，理由见解析；③成立，证明见解析
【分析】根据可知：在的两边上以O为端点截取相等的两条线段，另外两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形全等，它们关于对称；
①根据三角形内角和定理可求，是的外角，根据外角的性质计算求解；
②根据图1的作法，在上截取，则；根据证明，得，故判断；
③只要的度数不变，结论仍然成立．证明同②．
【详解】解：在的两边上以O为端点截取，在上任意取一点D，连接、，则与即为所求作的三角形，如图1所示：

①如图2，∵，°，
∴，
∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴；
②．理由如下：
在上截取，连接，如图2所示：

∵是的平分线，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴．
③在②中的结论仍然成立．
在上截取，连接，如图所示：

同②可得：，
∴，，
又由①知，，
∴，
∴，
∴，
同②可得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，作出相应的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键，本题的综合性较强，难度较大．
39．（2023春·全国·七年级期末）已知ABC．

(1)如图1，按如下要求用尺规作图：
①作出ABC的中线CD；
②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）
(2)在（1）中，直线AE与直线BC的关系是；
(3)如图2，若∠ACB＝，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；
(4)如图3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF＝4，则DE的长是．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
(4)

【分析】（1）①根据三角形的中线的定义，作的垂直平分线，交于点，连接即可．
②根据要求，延长CD至E，使DE＝CD，连接AE即可．
（2）结论：，利用全等三角形的判定和性质证明即可．
（3）结论：．利用全等三角形的判定和性质证明即可．
（4）利用全等三角形的性质证明，再利用（3）中结论解决问题．
【详解】（1）①如图1所示，作的垂直平分线，交于点，连接，则线段CD即为所求；
②如图1中，线段DE，AE即为所求；

（2）结论：．
理由：在△CDB和△EDA中，
，
∴△CDB≌△EDA（SAS），
∴∠B=∠DAE，
∴．
故答案为：．
（3）AB与CD的数量关系是：AB=2CD，理由如下：
如图3-2，延长CD至E，使DE=DC，连接BE，

∵CD是中线，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴∠E=∠ACD，AC=BE，
∴，
∴∠ACB+∠EBC=，
∵∠ACB=，
∴∠EBC=，
在△ACB和△EBC中，
，
∴△ACB≌△EBC（SAS），
∴AB=CE，
∵CE=2CD，
∴AB=2CD．
（4）如图3中，

∵BE⊥AC，∠ACB=，
∴∠CEB=∠BEA=，∠ECB=∠EBC=，
∴EC=EB，
∵AC=BC，CD是中线，
∴CD⊥AB，
∵∠CEF=∠BDF=，∠CFE=∠BFD，
∴∠ECF=∠ABE，
在△CEF和△BEA中，
，
∴△CEF≌△BEA（ASA），
∴CF=AB=4，
∵AD=BD，∠AEB=，
∴DE=AB=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形的中线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，等腰三角形的性质，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
40．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）在中，，点是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接．

(1)如图1，当点在边上时，
①若时，则____________°；
②若时，则____________°；
③观察以上结果，猜想与的数量关系，并说明理由．
(2)当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①140；②100；③，理由见解析
(2)，理由见解析

【分析】（1）证，推出，代入求出即可求出即可；
（2）由已知条件可得证出，，推出，根据三角形外角性质即可得证．
【详解】（1）①∵，
∴，即．
在和中，
∴．
∴，
∴，

∴，
当时，．
故答案为：140．
②由①可得：，
当时，．
故答案为：100．
③．
方法一：
∵，
∴，即．
在和中，，
∴，
∴，
∴．

方法二：
∵，
∴，即．
在和中，
∴，
∴．
∵，∴，
∴，∴，
∴．
即．

（2）．
∵，
∴，即．
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴．

【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键