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2022-2023学年陕西省咸阳市武功县八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年陕西省咸阳市武功县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省咸阳市武功县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 已知x
A. a为非负数 B. a为正数 C. a为整数 D. a为负数
4. 如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是( )
A. AE=DF B. ∠A=∠D C. ∠B=∠C D. AB=DC
5. 如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD=BC，则点D在( )
A. AC的垂直平分线上 B. ∠BAC的平分线上
C. BC的中点 D. AB的垂直平分线上
6. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是( )
A. ∠B=∠C B. AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
C. AD⊥BC，∠BAD=∠ACD D. AD⊥BC，BD=CD
7. 若关于x的不等式x+6<2+3xa+x4>x有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是( )
A. 15
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. “全等三角形的对应边相等”的逆命题是：______．
10. 若关于x的不等式ax>2，可化为x<2a，则a的取值范围是______ ．
11. 如图.平面直角坐标系中，线段AB端点坐标分别为A(−5,0)，B(0,−3)，若将线段AB平移至线段A1B1，且A1(−3,m)，B1(2,1)，则m的值为 ．
12. 如图，已知函数y1=3x+b和y2=ax−3的图象交于点P(−2,−5)，则不等式3x+b>ax−3的解集为______．
13. 如图，四边形ABCD中，∠DAB=30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合得到△EBD，若AB=5，AD=4，则AC的长度为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
14. 某物流公司要将300吨货物运往某地，现有甲，乙两种型号的汽车调用．已知甲型汽车每辆可装载该货物20吨，乙型汽车每辆可装载该货物15吨，在每辆汽车不超载的前提下，要把这300吨货物一次性装运完，并且甲型汽车确定要用7辆．至少调用乙型汽车多少辆？
四、解答题（本大题共12小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
解不等式：x−42−x−14<1．
16. (本小题8.0分)
如图，△ABC沿直线l向右平移3cm，得到△FDE，且BC=6cm，∠ABC=45°．
(1)求BE的长；
(2)求∠FDB的度数．
17. (本小题8.0分)
如图，O为等边三角形ABC内一点，∠OCB=∠ABO，求∠BOC的度数．
18. (本小题8.0分)
如图，已知线段a和h．
求作：△ABC，使得AB=AC，BC=a，且BC边上的高AD=h．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
19. (本小题8.0分)
解不等式组1−3(x−1)<8−xx−32+3≥x+1，并在数轴上表示出其解集．
20. (本小题8.0分)
如图，已知AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N、M，OM=ON，BM与AN相交于点P，连接OP.求证：点P在∠AOB的平分线上．
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R.若AQ=AR，求证：△ABC是等腰三角形．
22. (本小题8.0分)
如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD．
23. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2；
(3)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A3B3C3．
24. (本小题8.0分)
如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，EC⊥BC与点C，连接BD、DE、AE且CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．
25. (本小题8.0分)
某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原价收款，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%．
(1)试写出甲、乙两商场的收费y(元)与所买电脑台数x之间的关系式；
(2)若学校只在一家商场购买，选择哪家商场购买更优惠？请说明理由．
26. (本小题8.0分)
在△ABC中AB=AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．
(1)如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是______ ．
(2)如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.请仅以图2所示的位置关系加以证明(或说明)．
(3)如图3，在△ABC中，AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，试求线段CQ长度的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行解答即可．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．
2.【答案】C
【解析】解：A、若x−2y，故本选项符合题意；
D、若x
根据不等式的基本性质，逐项判断即可求解．
本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】A
【解析】解：用反证法证明“若a<|a|，则a为负数”应先假设a为非负数，
故选：A．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】
解：条件是AB=CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
AB=DCBE=CF,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
故选D．
5.【答案】A
【解析】解：∵BD+DC=BC，BD+AD=BC，
∴DC=DA，
∴点D在AC的垂直平分线上，
故选：A．
根据题意得到DC=DA，根据线段垂直平分线的判定定理解答即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键.根据等腰三角形的判定逐项判断即可．
【解答】
解：A.由∠B=∠C可得AB=AC，则△ABC为等腰三角形，故A能推出△ABC是等腰三角形；
B.由AD⊥BC且∠BAD=∠CAD，可得△BAD≌△CAD，则可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形，故B能推出△ABC是等腰三角形；
C.由AD⊥BC，∠BAD=∠ACD，无法求得AB=AC或AC=BC，故C不能推出△ABC是等腰三角形；
D.由AD⊥BC，BD=CD，可得AD为线段BC的垂直平分线，可得AB=AC，故D能推出△ABC是等腰三角形；
故选C．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．不等式组整理后，由有且只有三个整数解确定出a的范围即可．
【解答】
解：解不等式组可得：x>2x
∴5
8.【答案】A
【解析】解：连接CD，如图所示，
∵AC=BC，点D为AB中点，∠GDH=90°，
∴CD=BD，∠B=∠DCA=45°，CD=12AB，∠CDE+∠CDF=90°，
∵∠BDF+∠CDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
∴△CDE≌△BDF(AAS)，
∴CE=BF，DE=DF，
故①正确；
∵∠GDH=90°，
∴△DEF始终为等腰三角形，故④正确；
∵△CDE≌△BDF(AAS)，
∴S△CDE=S△BDF，
∴S四边形CEDF=S△CDB=12S△ABC，故③正确；
∴AC= 22AB，即AE+EC= 22AB，
∴AE+BF= 22AB
故②正确；
综上所述：①②③④正确，
故选：A．
连接CD，根据题中条件证明△CDE≌△BDF(AAS)，即可得到答案．
本题考查了三角形全等的有关问题，正确作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】三边对应相等的三角形是全等三角形
【解析】
【分析】
本题考查的是互逆命题的定义，根据命题的定义得出原命题的题设和结论是解答此类问题的关键．
根据互逆命题的定义进行解答即可．
【解答】
解：∵命题“全等三角形的对应边相等”的题设是：如果两个三角形是全等三角形，结论是：这两个三角形的对应边相等．
∴此命题的逆命题是：三边对应相等的三角形是全等三角形．
故答案为：三边对应相等的三角形是全等三角形．
10.【答案】a<0
【解析】解：∵不等式ax>2，可化为x<2a，
∴a<0．
故答案为：a<0．
依据不等式的性质解答即可．
本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵A(−5,0)，B(0,−3)，若将线段AB平移至线段A1B1，且A1(−3,m)，B1(2,1)，
∴线段AB向右平移2个单位，向上平移4个单位可得线段A1B1，
∴m=0+4=4，
故答案为：4．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得线段AB向右平移2个单位，向上平移4个单位，进而可得m的值．
此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12.【答案】x>−2
【解析】解：由题意及图象得：不等式3x+b>ax−3的解集为x>−2，
故答案为：x>−2
根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．
此题考查了一次函数与一元一次不等式，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．
13.【答案】 41
【解析】
【分析】
本题考查旋转变换，勾股定理，全等三角形的性质等知识，解题的关键是证明∠EAD=90°．
由旋转的性质和等边三角形的性质可证∠EAD=90°，利用勾股定理求出DE即可解决问题．
【解答】
解：∵△EBD是由△ABC旋转得到，
∴△EBD≌△ABC，
∴BA=BE，AC=DE，
∵旋转角度为60°，BA旋转到BE，
∴∠ABE=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=60°，
∵∠BAD=30°，
∴∠EAD=90°，
∵AE=AB=5，AD=4，
∴DE= AE2+AD2= 25+16= 41，
∴AC=DE= 41，
故答案为： 41．
14.【答案】解：设调用乙型汽车x辆，
根据题意，得：7×20+15x≥300，
解得：x≥323，
∵x必须取正整数，且大于323的最小整数为11，
∴x=11，
答：至少调用乙型汽车11辆．
【解析】设至少调用乙型汽车的辆数为x辆，根据7辆甲汽车的装货物的吨数+乙汽车装货物的吨数≥300吨，由此列出不等式，求出x的值即可得出答案．
此题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，本题的等量关系为：7辆甲汽车的装货物的吨数+乙汽车装货物的吨数≥300吨．
15.【答案】解：去分母，得2(x−4)−(x−1)≤4．
去括号，得2x−8−x+1<4．
移项，得2x−x<4+8−1．
合并同类项，得x<11．
【解析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
16.【答案】解：(1)∵△ABC沿直线l向右平移3cm，得到△FDE，
∴BD=CE=3cm，
∵BC=6cm，
∴BE=BC+CE=6+3=9(cm)；
(2)∵△ABC沿直线l向右平移3cm，得到△FDE，且∠ABC=45°，
∴∠FDE=∠ABC=45°，
∴∠FDB=180°−∠FDE=135°．
【解析】(1)根据平移的性质：平移前后的两个图形的对应线段平行且相等，即可得到结论；
(2)根据平移的性质：对应角相等得到答案即可．
本题考查了平移的性质，解题的关键是能够了解平移的性质，属于基础题，比较简单．
17.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠OCB=∠ABO，
∴∠OBC+∠OCB=∠OBC+∠ABO=∠ABC=60°，
∴在△OBC中，∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−60°=120°．
【解析】根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ABC=60°，再求出∠OBC+∠OCB=60°，然后根据三角形内角和定理列式计算即可得解．
本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记等边三角形的每一个内角都是60°是解题的关键．
18.【答案】解：如图所示．△ABC就是所求的三角形．
【解析】先画BC=a，进而作出BC的垂直平分线DM，交BC于D，以D为圆心，h为半径画弧，交DM于点A，连接AB，AC即可．
考查已知等腰三角形底边和高画等腰三角形的方法；主要利用了等腰三角形三线合一的性质．
19.【答案】解：1−3(x−1)<8−x ①x−32+3≥x+1 ②，
解不等式①，得x>−2，
解不等式②，得x≤1，
把不等式①和②的解集在数轴表示出来如下图所示：
从上图中可看出不等式组的解集为：−2
本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
20.【答案】证明：∵AN⊥OB，BM⊥OA，
∴∠ANO=∠BMO=90°，
在Rt△ONP和Rt△OMP中，
OP=OPOM=ON，
∴Rt△ONP≌Rt△OMP(HL)，
∴PM=PN，
∴OP平分∠AOB，即点P在∠AOB的平分线上．
【解析】根据全等三角形的判定和性质得出PM=PN，再由角平分线的判定定理即可证明．
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握这两个定理是解题关键．
21.【答案】证明：∵AQ=AR，
∴∠R=∠AQR．
又∵∠BQP=∠AQP，
∴∠R=∠BQP．
在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】先由AQ=AR，运用等腰三角形的性质可得∠R=∠AQR，再根据对顶角相等可得∠BQP=∠AQP；进而得出∠R=∠BQP，在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°，进而得出∠B=∠C，进而求解即可．
本题主要考查的是等腰三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
22.【答案】证明：在△AOB与△COD中，
∠A=∠COA=OC∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
【解析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．
本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质．
23.【答案】解：(1)△A1B1C1如图所示：
(2)△A2B2C2如图所示：
(3)△A3B3C3如图所示．
【解析】(1)找A、B、C沿x轴方向向左平移6个单位的对应点，再连接即可；
(2)找A、B、C绕着点A顺时针旋转90°的对应点，再连接即可；
(3)找A、B、C关于原点O的对应点，再连接即可．
本题考查了平移、旋转和中心对称，掌握平移、旋转和中心对称的作法是解题的关键．
24.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，
∴AD=DC，BC=CA，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，即∠DBC+∠DCB=90°，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠DBC，
在△CBD和△ACE中，
BC=CA∠DBC=∠ACEBD=CE，
∴△CBD≌△ACE(SAS)，
∴CD=AE，
∴∠AEC=∠CDB=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DE，AD=DC，
∴AD=AE=DE，
即△ADE为等边三角形．
【解析】利用△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，求得∠ADB=90°，再用SAS证明△CBD≌△ACE，推出AE=CD=AD，∠AEC=∠BDC=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=AD，即可证明．
本题主要考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线等．解答此题的关键是先证明△CBD≌△ACE，然后再利用三边相等证明此三角形是等边三角形．
25.【答案】解：(1)由题意可得，甲商场的收费y(元)与所买电脑台数x之间的关系式是：y甲=6000+6000(x−1)(1−25%)=4500x+1500，
乙商场的收费y(元)与所买电脑台数x之间的关系式是：y乙=6000x(1−20%)=4800x．
(2)令4500x+1500>4800x，得x<5，
∴4500x+1500<4800x，得x>5，
∴4500x+1500=4800x，得x=5，
∴当购买电脑小于5台时，在乙商场购买比较优惠，当购买电脑大于5台时，在甲商场购买比较优惠，当购买电脑5台时，两家商场收费相同．
【解析】(1)根据题意，列出函数关系式即可；
(2)根据(1)中的函数关系式可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
26.【答案】BQ=PC
【解析】解：(1)由旋转知，AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ−∠BAP=∠BAC−∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
在△BAQ和△CAP中，
AQ=AP∠BAQ=∠CAPAB=AC，
∴△BAQ≌△CAP(SAS)，
∴BQ=CP，
故答案为：BQ=PC；
(2)结论：BQ=PC仍然成立，
理由：由旋转知，AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ−∠BAP=∠BAC−∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
在△BAQ和△CAP中，
AQ=AP∠BAQ=∠CAPAB=AC，
∴△BAQ≌△CAP(SAS)，
∴BQ=CP；
(3)如图，在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=60°，
∵∠ABC=30°，∠ACB=90°，
∴∠EAC=60°，
∴∠PAQ=∠EAC，
∴∠CAQ=∠EAP，
在△CAQ和△EAP中，
AQ=AP∠CAQ=∠EAPAC=AE，
∴△CAQ≌△EAP(SAS)，
∴CQ=EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是AB上的动点，
∴当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，
即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，
在Rt△ACB中，∠ACB=30°，AC=2，
∴AB=4，
∵AE=AC=2，
∴BE=AB−AE=2，
在Rt△BFE中，∠EBF=30°，BE=2，
∴EF=12BE=1．
故线段CQ长度最小值是1．
(1)由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=∠BAC，可得∠BAQ=∠CAP，可知△BAQ≌△CAP(SAS)，BQ=CP即可；
(2)结论：BQ=PC仍然成立，理由：由旋转知，AQ=AP，由∠PAQ=∠BAC，可得∠BAQ=∠CAP，可知△BAQ≌△CAP(SAS)，可得BQ=CP；
(3)在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=60°，可求∠CAQ=∠EAP，可证△CAQ≌△EAP(SAS)，CQ=EP，当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，在Rt△ACB中，∠ACB=30°，AC=2可求AB=4，由AE=AC=2，可求BE=AB−AE=2，在Rt△BFE中，∠EBF=30°，BE=2，可得EF=12BE=1即可．
本题考查三角形旋转变换性质，三角形全等判定与性质，30°角直角三角形性质，掌握旋转变换性质，三角形全等判定与性质，30°角直角三角形性质，利用辅助线构造准确的图形．把所求线段转化为与动点P有关的线段，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键．
2022-2023学年陕西省咸阳市武功县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 已知x
A. a为非负数 B. a为正数 C. a为整数 D. a为负数
4. 如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是( )
A. AE=DF B. ∠A=∠D C. ∠B=∠C D. AB=DC
5. 如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD=BC，则点D在( )
A. AC的垂直平分线上 B. ∠BAC的平分线上
C. BC的中点 D. AB的垂直平分线上
6. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是( )
A. ∠B=∠C B. AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
C. AD⊥BC，∠BAD=∠ACD D. AD⊥BC，BD=CD
7. 若关于x的不等式x+6<2+3xa+x4>x有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是( )
A. 15
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. “全等三角形的对应边相等”的逆命题是：______．
10. 若关于x的不等式ax>2，可化为x<2a，则a的取值范围是______ ．
11. 如图.平面直角坐标系中，线段AB端点坐标分别为A(−5,0)，B(0,−3)，若将线段AB平移至线段A1B1，且A1(−3,m)，B1(2,1)，则m的值为 ．
12. 如图，已知函数y1=3x+b和y2=ax−3的图象交于点P(−2,−5)，则不等式3x+b>ax−3的解集为______．
13. 如图，四边形ABCD中，∠DAB=30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合得到△EBD，若AB=5，AD=4，则AC的长度为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
14. 某物流公司要将300吨货物运往某地，现有甲，乙两种型号的汽车调用．已知甲型汽车每辆可装载该货物20吨，乙型汽车每辆可装载该货物15吨，在每辆汽车不超载的前提下，要把这300吨货物一次性装运完，并且甲型汽车确定要用7辆．至少调用乙型汽车多少辆？
四、解答题（本大题共12小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
解不等式：x−42−x−14<1．
16. (本小题8.0分)
如图，△ABC沿直线l向右平移3cm，得到△FDE，且BC=6cm，∠ABC=45°．
(1)求BE的长；
(2)求∠FDB的度数．
17. (本小题8.0分)
如图，O为等边三角形ABC内一点，∠OCB=∠ABO，求∠BOC的度数．
18. (本小题8.0分)
如图，已知线段a和h．
求作：△ABC，使得AB=AC，BC=a，且BC边上的高AD=h．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
19. (本小题8.0分)
解不等式组1−3(x−1)<8−xx−32+3≥x+1，并在数轴上表示出其解集．
20. (本小题8.0分)
如图，已知AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N、M，OM=ON，BM与AN相交于点P，连接OP.求证：点P在∠AOB的平分线上．
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R.若AQ=AR，求证：△ABC是等腰三角形．
22. (本小题8.0分)
如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD．
23. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2；
(3)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A3B3C3．
24. (本小题8.0分)
如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，EC⊥BC与点C，连接BD、DE、AE且CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．
25. (本小题8.0分)
某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原价收款，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%．
(1)试写出甲、乙两商场的收费y(元)与所买电脑台数x之间的关系式；
(2)若学校只在一家商场购买，选择哪家商场购买更优惠？请说明理由．
26. (本小题8.0分)
在△ABC中AB=AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．
(1)如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是______ ．
(2)如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.请仅以图2所示的位置关系加以证明(或说明)．
(3)如图3，在△ABC中，AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，试求线段CQ长度的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行解答即可．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．
2.【答案】C
【解析】解：A、若x
D、若x
根据不等式的基本性质，逐项判断即可求解．
本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】A
【解析】解：用反证法证明“若a<|a|，则a为负数”应先假设a为非负数，
故选：A．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】
解：条件是AB=CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
AB=DCBE=CF,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
故选D．
5.【答案】A
【解析】解：∵BD+DC=BC，BD+AD=BC，
∴DC=DA，
∴点D在AC的垂直平分线上，
故选：A．
根据题意得到DC=DA，根据线段垂直平分线的判定定理解答即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键.根据等腰三角形的判定逐项判断即可．
【解答】
解：A.由∠B=∠C可得AB=AC，则△ABC为等腰三角形，故A能推出△ABC是等腰三角形；
B.由AD⊥BC且∠BAD=∠CAD，可得△BAD≌△CAD，则可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形，故B能推出△ABC是等腰三角形；
C.由AD⊥BC，∠BAD=∠ACD，无法求得AB=AC或AC=BC，故C不能推出△ABC是等腰三角形；
D.由AD⊥BC，BD=CD，可得AD为线段BC的垂直平分线，可得AB=AC，故D能推出△ABC是等腰三角形；
故选C．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．不等式组整理后，由有且只有三个整数解确定出a的范围即可．
【解答】
解：解不等式组可得：x>2x
∴5
8.【答案】A
【解析】解：连接CD，如图所示，
∵AC=BC，点D为AB中点，∠GDH=90°，
∴CD=BD，∠B=∠DCA=45°，CD=12AB，∠CDE+∠CDF=90°，
∵∠BDF+∠CDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
∴△CDE≌△BDF(AAS)，
∴CE=BF，DE=DF，
故①正确；
∵∠GDH=90°，
∴△DEF始终为等腰三角形，故④正确；
∵△CDE≌△BDF(AAS)，
∴S△CDE=S△BDF，
∴S四边形CEDF=S△CDB=12S△ABC，故③正确；
∴AC= 22AB，即AE+EC= 22AB，
∴AE+BF= 22AB
故②正确；
综上所述：①②③④正确，
故选：A．
连接CD，根据题中条件证明△CDE≌△BDF(AAS)，即可得到答案．
本题考查了三角形全等的有关问题，正确作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】三边对应相等的三角形是全等三角形
【解析】
【分析】
本题考查的是互逆命题的定义，根据命题的定义得出原命题的题设和结论是解答此类问题的关键．
根据互逆命题的定义进行解答即可．
【解答】
解：∵命题“全等三角形的对应边相等”的题设是：如果两个三角形是全等三角形，结论是：这两个三角形的对应边相等．
∴此命题的逆命题是：三边对应相等的三角形是全等三角形．
故答案为：三边对应相等的三角形是全等三角形．
10.【答案】a<0
【解析】解：∵不等式ax>2，可化为x<2a，
∴a<0．
故答案为：a<0．
依据不等式的性质解答即可．
本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵A(−5,0)，B(0,−3)，若将线段AB平移至线段A1B1，且A1(−3,m)，B1(2,1)，
∴线段AB向右平移2个单位，向上平移4个单位可得线段A1B1，
∴m=0+4=4，
故答案为：4．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得线段AB向右平移2个单位，向上平移4个单位，进而可得m的值．
此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12.【答案】x>−2
【解析】解：由题意及图象得：不等式3x+b>ax−3的解集为x>−2，
故答案为：x>−2
根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．
此题考查了一次函数与一元一次不等式，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．
13.【答案】 41
【解析】
【分析】
本题考查旋转变换，勾股定理，全等三角形的性质等知识，解题的关键是证明∠EAD=90°．
由旋转的性质和等边三角形的性质可证∠EAD=90°，利用勾股定理求出DE即可解决问题．
【解答】
解：∵△EBD是由△ABC旋转得到，
∴△EBD≌△ABC，
∴BA=BE，AC=DE，
∵旋转角度为60°，BA旋转到BE，
∴∠ABE=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=60°，
∵∠BAD=30°，
∴∠EAD=90°，
∵AE=AB=5，AD=4，
∴DE= AE2+AD2= 25+16= 41，
∴AC=DE= 41，
故答案为： 41．
14.【答案】解：设调用乙型汽车x辆，
根据题意，得：7×20+15x≥300，
解得：x≥323，
∵x必须取正整数，且大于323的最小整数为11，
∴x=11，
答：至少调用乙型汽车11辆．
【解析】设至少调用乙型汽车的辆数为x辆，根据7辆甲汽车的装货物的吨数+乙汽车装货物的吨数≥300吨，由此列出不等式，求出x的值即可得出答案．
此题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，本题的等量关系为：7辆甲汽车的装货物的吨数+乙汽车装货物的吨数≥300吨．
15.【答案】解：去分母，得2(x−4)−(x−1)≤4．
去括号，得2x−8−x+1<4．
移项，得2x−x<4+8−1．
合并同类项，得x<11．
【解析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
16.【答案】解：(1)∵△ABC沿直线l向右平移3cm，得到△FDE，
∴BD=CE=3cm，
∵BC=6cm，
∴BE=BC+CE=6+3=9(cm)；
(2)∵△ABC沿直线l向右平移3cm，得到△FDE，且∠ABC=45°，
∴∠FDE=∠ABC=45°，
∴∠FDB=180°−∠FDE=135°．
【解析】(1)根据平移的性质：平移前后的两个图形的对应线段平行且相等，即可得到结论；
(2)根据平移的性质：对应角相等得到答案即可．
本题考查了平移的性质，解题的关键是能够了解平移的性质，属于基础题，比较简单．
17.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠OCB=∠ABO，
∴∠OBC+∠OCB=∠OBC+∠ABO=∠ABC=60°，
∴在△OBC中，∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−60°=120°．
【解析】根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ABC=60°，再求出∠OBC+∠OCB=60°，然后根据三角形内角和定理列式计算即可得解．
本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记等边三角形的每一个内角都是60°是解题的关键．
18.【答案】解：如图所示．△ABC就是所求的三角形．
【解析】先画BC=a，进而作出BC的垂直平分线DM，交BC于D，以D为圆心，h为半径画弧，交DM于点A，连接AB，AC即可．
考查已知等腰三角形底边和高画等腰三角形的方法；主要利用了等腰三角形三线合一的性质．
19.【答案】解：1−3(x−1)<8−x ①x−32+3≥x+1 ②，
解不等式①，得x>−2，
解不等式②，得x≤1，
把不等式①和②的解集在数轴表示出来如下图所示：
从上图中可看出不等式组的解集为：−2
本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
20.【答案】证明：∵AN⊥OB，BM⊥OA，
∴∠ANO=∠BMO=90°，
在Rt△ONP和Rt△OMP中，
OP=OPOM=ON，
∴Rt△ONP≌Rt△OMP(HL)，
∴PM=PN，
∴OP平分∠AOB，即点P在∠AOB的平分线上．
【解析】根据全等三角形的判定和性质得出PM=PN，再由角平分线的判定定理即可证明．
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握这两个定理是解题关键．
21.【答案】证明：∵AQ=AR，
∴∠R=∠AQR．
又∵∠BQP=∠AQP，
∴∠R=∠BQP．
在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】先由AQ=AR，运用等腰三角形的性质可得∠R=∠AQR，再根据对顶角相等可得∠BQP=∠AQP；进而得出∠R=∠BQP，在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°，进而得出∠B=∠C，进而求解即可．
本题主要考查的是等腰三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
22.【答案】证明：在△AOB与△COD中，
∠A=∠COA=OC∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
【解析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．
本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质．
23.【答案】解：(1)△A1B1C1如图所示：
(2)△A2B2C2如图所示：
(3)△A3B3C3如图所示．
【解析】(1)找A、B、C沿x轴方向向左平移6个单位的对应点，再连接即可；
(2)找A、B、C绕着点A顺时针旋转90°的对应点，再连接即可；
(3)找A、B、C关于原点O的对应点，再连接即可．
本题考查了平移、旋转和中心对称，掌握平移、旋转和中心对称的作法是解题的关键．
24.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，
∴AD=DC，BC=CA，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，即∠DBC+∠DCB=90°，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠DBC，
在△CBD和△ACE中，
BC=CA∠DBC=∠ACEBD=CE，
∴△CBD≌△ACE(SAS)，
∴CD=AE，
∴∠AEC=∠CDB=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DE，AD=DC，
∴AD=AE=DE，
即△ADE为等边三角形．
【解析】利用△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，求得∠ADB=90°，再用SAS证明△CBD≌△ACE，推出AE=CD=AD，∠AEC=∠BDC=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=AD，即可证明．
本题主要考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线等．解答此题的关键是先证明△CBD≌△ACE，然后再利用三边相等证明此三角形是等边三角形．
25.【答案】解：(1)由题意可得，甲商场的收费y(元)与所买电脑台数x之间的关系式是：y甲=6000+6000(x−1)(1−25%)=4500x+1500，
乙商场的收费y(元)与所买电脑台数x之间的关系式是：y乙=6000x(1−20%)=4800x．
(2)令4500x+1500>4800x，得x<5，
∴4500x+1500<4800x，得x>5，
∴4500x+1500=4800x，得x=5，
∴当购买电脑小于5台时，在乙商场购买比较优惠，当购买电脑大于5台时，在甲商场购买比较优惠，当购买电脑5台时，两家商场收费相同．
【解析】(1)根据题意，列出函数关系式即可；
(2)根据(1)中的函数关系式可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
26.【答案】BQ=PC
【解析】解：(1)由旋转知，AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ−∠BAP=∠BAC−∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
在△BAQ和△CAP中，
AQ=AP∠BAQ=∠CAPAB=AC，
∴△BAQ≌△CAP(SAS)，
∴BQ=CP，
故答案为：BQ=PC；
(2)结论：BQ=PC仍然成立，
理由：由旋转知，AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ−∠BAP=∠BAC−∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
在△BAQ和△CAP中，
AQ=AP∠BAQ=∠CAPAB=AC，
∴△BAQ≌△CAP(SAS)，
∴BQ=CP；
(3)如图，在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=60°，
∵∠ABC=30°，∠ACB=90°，
∴∠EAC=60°，
∴∠PAQ=∠EAC，
∴∠CAQ=∠EAP，
在△CAQ和△EAP中，
AQ=AP∠CAQ=∠EAPAC=AE，
∴△CAQ≌△EAP(SAS)，
∴CQ=EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是AB上的动点，
∴当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，
即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，
在Rt△ACB中，∠ACB=30°，AC=2，
∴AB=4，
∵AE=AC=2，
∴BE=AB−AE=2，
在Rt△BFE中，∠EBF=30°，BE=2，
∴EF=12BE=1．
故线段CQ长度最小值是1．
(1)由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=∠BAC，可得∠BAQ=∠CAP，可知△BAQ≌△CAP(SAS)，BQ=CP即可；
(2)结论：BQ=PC仍然成立，理由：由旋转知，AQ=AP，由∠PAQ=∠BAC，可得∠BAQ=∠CAP，可知△BAQ≌△CAP(SAS)，可得BQ=CP；
(3)在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=60°，可求∠CAQ=∠EAP，可证△CAQ≌△EAP(SAS)，CQ=EP，当EF⊥BC(点P和点F重合)时，EP最小，在Rt△ACB中，∠ACB=30°，AC=2可求AB=4，由AE=AC=2，可求BE=AB−AE=2，在Rt△BFE中，∠EBF=30°，BE=2，可得EF=12BE=1即可．
本题考查三角形旋转变换性质，三角形全等判定与性质，30°角直角三角形性质，掌握旋转变换性质，三角形全等判定与性质，30°角直角三角形性质，利用辅助线构造准确的图形．把所求线段转化为与动点P有关的线段，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键．
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