初中数学沪教版 (五四制)八年级上册19．2 证明举例优秀随堂练习题

19.2证明举例

一、解答题

1．已知：如图点D在AB上，E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠∠C，求证：BD=CE．

2．如图， AB=AC， E是AD上的一点，∠BAE=∠CAE．求证：∠EBD=∠ECD．

3．如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求证：BC∥EF．

4．已知：如图，AB=DE，A=D，AC=DF．求证：AC∥DF．

5．已知：如图所示，BE，CD相交于O，AB=AC，AD=AE

（1）求证：OD=OE

（2）联结DE，求证：DE//BC．

6．如图，在已知△ABC中，AB=AC，点在BC上，过点的直线分别交AB于点E，交AC的延长线于点，且BE=CF．求证：DE=DF．

7．如图，是等腰锐角三角形，，是腰上的高．求证：.

8．如图，平分，且，求证：为等腰三角形.

9．已知：如图，，、分别平分、，、交于点．求证：．

10．如图，，，，直线过点交于，交于点．求证：．

11．如图，在和中，，，、分别为、的中点，且，求证：≌．

12．如图，已知≌，．

（1）求的长．

（2）与平行吗？为什么？

13．如图，于点、是上一点，于点，，求证：．

14．填写推理的理由．

已知：如图，于点，于点，，交于点，交于点．求证：．

证明：∵，（          ），

∴（              ）．

∴（              ）．

∵（              ），

∴（              ）．

∴（          ）．

∴（          ）．

15．如图，在中，已知是的中点，，求证：．

16．如图，在等边三角形中，点、分别在、上，且，和相交一点，于，，，请你解答下列问题：

（1）求的度数；

（2）求的长．

参考答案

1．见解析．

【分析】

根据ASA，判断△ABE≌△ACD，再得到对应线段相等，即可证明．

【解析】

在△ABE和△ACD中，

∵

∴△ABE≌△ACD（ASA），

∵AD=AE，

AB=AC，

∴AB-AD=AC-AE，

即:BD=CE．

【点睛】

本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用ASA证两个三角形全等．

2．见解析

【分析】

先证明△ABD≌△ACD，得到∠ADB=∠ADC，BD=CD，再证明△BDE≌△CDE，问题得证．

【解析】

证明：在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD，

∴∠ADB=∠ADC，BD=CD，

在△BDE和△CDE中

∴△BDE≌△CDE，

∴∠EBD=∠ECD．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理并根据题意灵活选择方法是解题关键．

3．见解析

【分析】

由全等三角形的性质判定，则对应角，故证得结论．

【解析】

解：证明：，

，

，

．

在与中，

，

，

，

．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．

4．见解析

【分析】

由边角边证得△ABC≌△DEF，得到∠ACB=∠DFE，由同位角相等两直线平行即可得证.

【解析】

证明：在△ABC和△DEF中，

，

所以△ABC≌△DEF（SAS），

所以∠ACB=∠DFE，

所以AC∥DF.

【点睛】

本题主要考查三角形全等的判定和性质，要牢固掌握并灵活运用这些知识．

5．（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据SAS证明，再由全等三角形对应边、对应角相等解题即可；

（2）先根据AB=AC，整理出BD、EC的数量关系，再由AAS证明,最后根据全等三角形对应边相等的性质解题即可．

【解析】

（1）证明：在和中

AB=AC；

∠A=∠A；

AD=AE，

所以

所以∠ABE=∠ACD，

又因为AD=AE，

所以BD=CE，

在和中

BD=EC

∠ABE=∠ACD

∠DOB=∠EOC

所以

所以OD=OE

（2）证明：

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

6．证明见解析

【分析】

过点作交于，根据平行的性质可得，再根据等边对等角可得，进而得到，再根据等角对等边可得BE=GE，从而得到GE=CF，利用AAS证得，根据全等三角形的性质可得DE=DF.

【解析】

证明：过点作交于，

∴，

∵

∴

∴

∴．

又∵

∴．

∵在和中

，

∴（AAS）．

∴．

【点睛】

本题考查了等腰三角形、全等三角形的判定与性质，构造出全等三角形是解答本题的关键.

7．证明见解析

【分析】

首先过点作于点，得出，又由得出，进而得出，又由，，得出，进而得出.

【解析】

过点作于点，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，，

∴．

∴．

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解题.

8．证明见解析

【分析】

首先根据角平分线的性质得出，然后根据平行的性质，得出，，进而得出，即可得证.

【解析】

∵平分，

∴，

∵

∴，．

∴．

∴为等腰三角形．

【点睛】

此题主要考查平行线和角平分线的性质，熟练掌握，即可解题.

9．证明见解析

【分析】

首先根据两直线平行，同旁内角互补得出，然后根据角平分线的性质，得出，进而得出，，即可得证.

【解析】

∵，

∴（两直线平行，同旁内角互补）．

∵、分别是平分、，

∴．

∴．

∴．

∴．

【点睛】

此题主要考查平行线以及角平分线的性质，熟练掌握，即可解题.

10．详见解析

【分析】

在线段上取，连接，易证≌，可得，因为得，∠D+∠C=180°，再根据邻补角∠AFE+∠BFE=180°，可得∠BFE=∠C，可证≌，可得BC=BF，再进行等量代换即可得出答案.

【解析】

解：在线段上取，连接，

在与中，，

∴≌（SAS）．

∴．

由又可得，

∴．

又，

∴．

在与中，，

∴≌（AAS）．

∴．

∵，

∴．

【点睛】

本题考查全等三角形证明中辅助线其中一种截长补短的方法，在遇到两条线段和等于第三条线段的时候可用截长补短构造全等三角形，即在较长的线段上截取某条较短线段长度，或者延长一条较短线段长度使之等于另一条线段长度.

11．详见解析

【分析】

分别延长、到，，使得，，连接、，

易证≌，≌，可得到，．

易证≌，可得．再证明≌．可得，，即可证得≌.

【解析】

解：如图，分别延长、到，，使得，，

连接、，

在△ACD与△EDB中

∴△ACD≌△EDB（SAS）

同理可证,

∴AC=EB，;

在△ABE与中，

∴△ABE（SSS）

∴，

∴,

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，,

∴；

在△ABC与中

∴△ABC（SAS）

【点睛】

本题考查全等三角形的证明，在证明全等但条件不够的时候可以考虑做辅助线，并且本题有中点，所以考虑倍长中线的辅助线做法是本题的解题关键.

12．（1）；（2）与平行，见解析．

【分析】

（1）根据全等三角形对应边相等即可求解，

（2）根据全等三角形对应角相等和内错角相等可得两直线平行．

【解析】

（1）∵≌，

∴．

∴，即．

∵，

∴．

（2）∵≌，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质，主要是对逻辑推理能力的训练．

13．证明见解析

【分析】

如图，根据平行线的判定可知EF∥CD，则易证，结合已知条件可以判定内错角，则DG∥BC，故同位角∠AGD=∠ACB．

【解析】

∵，，

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

【点睛】

此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.

14．（1）已知

（2）如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行

（3）两直线平行，同位角相等

（4）已知

（5）等量代换

（6）内错角相等，两直线平行

（6）两直线平行，同位角相等

【分析】

根据已知条件，先判定和，然后利用平行线的性质来求证．

【解析】

∵，（已知），

∴（如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）．

∴（两直线平行，同位角相等）．

∵（已知），

∴（等量代换）．

∴（内错角相等，两直线平行）．

∴（两直线平行，同位角相等）．

【点睛】

此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.

15．证明见解析

【分析】

延长FD到M使MD=DF，连接BM，EM.构造出两三角形全等，可得MD=DF，三角形EFM中，ED⊥MF，MD=FD，那么ED就是MF的垂直平分线，可得EM=EF，最后根据三角形三边的关系即可证明.

【解析】

证明：延长FD到M使MD=DF，连接BM，EM.

∵是的中点，

∴．

在与中，

，

∴≌（SAS）

∴．

在中，．

又∵，，

∴．

∴，即．

【点睛】

本题考查了全等三角形和三角形三边关系；做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键.

16．（1）；（2）7

【分析】

（1）根据是等边三角形，则，，即可证明≌，再利用等角替换即可证明；

（2）由（1）得≌，则，利用直角三角形的性质求出BP则可知BE，即可求AD的长.

【解析】

解：（1）如图

∵是等边三角形，

∴，．

∵，

∴≌（SAS）．

∴．

又，

∴．

∴．

（2）由（1）得≌，∴，

在中，，．

∵，∴．

又，∴．∴．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及30度直角三角形的性质．