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初中数学沪教版 (五四制)八年级上册19.8 直角三角形的性质优秀课时练习
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这是一份初中数学沪教版 (五四制)八年级上册19.8 直角三角形的性质优秀课时练习,共17页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
19.8直角三角形的性质 一、单选题1.如图所示,公路AC、BC互相垂直,点M为公路AB的中点,为测量湖泊两侧C、M两点间的距离,若测得AB的长为6km,则M、C两点间的距离为( )A.2.5km B.4.5km C.5km D.3km2.如图,在中,,是的垂直平分线,恰好平分.若,则的长是( )A.9 B.6 C.7 D.53.如图,在中,,,AD平分,E是AD中点,若,则CE的长为( )A. B. C. D.4.如图,,交于点C,于D,若,则等于( )A.3 B.2 C.1.5 D.15.如图,在△ABC中,点D在BC边上,点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上,若BC垂直平分AB′,则的值为( )A. B. C. D.26.如图,在等边ABC中,AD是它的角平分线,DE⊥AB于E,若AC=8,则BE=( )A.1 B.2 C.3 D.47.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,交BC于点E,AC=3cm,则BE等于( ).A. B. C. D.8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC的中点,连结AD,AE是∠BAD的平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,若EF=3,则AE的长是( )A.3 B.6 C.9 D.129.如图,四边形ABCD中,BD交AC于点E,CN⊥BD于点N,AB=AC=AD,∠BAD=90°,则①∠CAD=2∠CBD;②∠BCD=135°;③若∠ABC=60°,则CE=2EN;④若∠ABC=60°,则ED=2NC,以上结论正确的有( )个 A.1 B.2 C.3 D.410.如图,在平面直角坐标系中xOy中,已知点A的坐标是(0,2),以OA为边在右侧作等边三角形OAA1,过点A1作x轴的垂线,垂足为点O1,以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2,再过点A2作x轴的垂线,垂足为点O2,以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3,……,按此规律继续作下去,得到等边三角形O2020A2020A2021,则点A2023的纵坐标为( )A.()2021 B.()2022 C.()2023 D.()2024 二、填空题11.在直角三角形中,斜边及其中线之和为9,则该三角形的斜边长为__________.12.若直角三角形的两个锐角的比是2:7,则这个直角三角形的较大的锐角是___________度.13.一个直角三角形房梁如图所示,其中,,,,垂足为,那么________________.14.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=4,D为BC的中点,AD⊥AB,则AC的长为__________.15.如图,在等边中,E、F分别为CB、AB边上的点,且,连接AE,CF,两条线段交于点N,做,交CF于点M,若,,那么______________. 三、解答题16.如图,在△ABC中,点D在边AC上,DB=BC,E是CD的中点,F是AB的中点,求证:EF=AB.17.已知:如图,,,AD是BC上的高线,CE是AB边上的中线,于G.(1)若,求线段AC的长;(2)求证:.18.已知:如图,中,与的平分线交于点D,过点D的BC的平行线分别交AB于E,交BC于F.(1)求证:;(2)若,,,求的周长.
参考答案1.D【解析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=AB,即可求出CM.【解答】解:∵公路AC,BC互相垂直,∴∠ACB=90°,∵M为AB的中点,∴CM=AB,∵AB=6km,∴CM=3km,即M,C两点间的距离为3km,故选:D.【点睛】本题考查了直角三角形的性质,解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2.A【分析】根据角平分线上点到角两边的距离相等可得,再根据等边对等角的性质求出,然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余,求出,再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出,然后求解即可.【解析】解:平分,且,,,是的垂直平分线,,,,,,,,,,故选:A【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理,直角三角形的性质,等腰三角形的性质等知识,熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等;等边对等角;直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.3.B【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC,根据角平分线的定义∠DAB=∠B,求出AD,根据直角三角形的性质解答即可.【解析】解:∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠BAC=90°-30°=60°,∵AD平分∠BAC,∴∠DAB=∠BAC=30°,∴∠DAB=∠B,∴AD=BD=a,在Rt△ACB中,E是AD中点,∴CE=AD=,故选: B.【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义,掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键.4.C【分析】过P点作PE⊥OB,垂足为E,结合平行线的性质可得∠BOP=∠CPO=15°,利用三角形外角的性质可得∠BCP=30°,由含30° 角的直角三角形的性质可求解PE的长,再根据角平分线的性质可求解.【解析】解:过P点作PE⊥OB,垂足为E,∵PC∥OA,∴∠CPO=∠AOP,∵∠AOP=∠BOP=15°,∴∠BOP=∠CPO=15°,∴∠BCP=∠BOP+∠CPO=30°,∴PE=PC=,∵∠AOP=∠BOP,PE⊥OB,PD⊥OA于D,∴PD=PE==1.5.故选:C.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,平行线的性质,含30°角的直角三角形的性质,求得∠BCP=30°是解题的关键.5.D【分析】证明∠ACB=90°,∠B=∠DAB=∠DAC=30°,可得结论.【解析】解:∵点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上,∴DB=DB′,∠B=∠B′,∠DAB=∠DAC,∵BC垂直平分AB′,∴DA=DB′,∠ACB=90°,∴∠B′=∠DAC=∠DAB=∠B,∵∠B+∠CAB=90°,∴∠B=∠DAB=∠DAC=30°,∴AD=DB=2CD,∴ =2,故选:D.【点睛】本题考查轴对称的性质,线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是证明∠ACB=90°,∠B=30°.6.B【分析】由等边△ABC的“三线合一”的性质推知,根据等边三角形三个内角都相等的性质、直角三角形的两个锐角互余推知∠BDE=30°,最后根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”来求BE即可.【解析】∵是等边三角形,是它的角平分线,∴,.∵于,∴,∴.故选B【点睛】本题考查了等边三角形的性质及含30°角的直角三角形,解题的关键是熟练掌握以上知识.7.A【分析】由DE垂直平分AB,得BE=AE.欲求BE,可求AE.由BE=AE,得∠B=∠BAE=15°,那么∠AEC=∠B+∠BAE=30°.根据含30度角的直角三角形的性质,得AE=2AC=6cm,从而解决此题.【解析】解:∵DE垂直平分AB,∴BE=AE.∴∠B=∠BAE=15°.∴∠AEC=∠B+∠BAE=30°.∵∠ACB=90°,∠AEC=30°,∴AE=2AC=6cm.∴BE=AE=6cm.故选:A.【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质,熟练掌握垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解决本题的关键.8.B【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得,,,再根据角平分线,求出,然后根据平行线的性质求出,从而得到,最后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半即可解答.【解析】解:∵,AD是的中线,∴,,.∵AE是的角平分线,∴.∵,∴, ∴.在中,,∴.故选B.【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质,角平分线的性质,平行线的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,利用数形结合的思想是解题关键.9.C【分析】由三角形内角和定理得出∠CAD+∠ADB=∠DBC+∠BCA,由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB,∠ACD=∠ADC,等量代换得出①正确;由三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°,即可得出2(∠ACB+∠ACD)+∠BAC+∠CAD=360°,由已知条件得出∠ACB+∠ACD=135°,得出②是正确的;由等边三角形的判定得出△ABC为等边三角形,结合已知条件算出∠ECN=15°≠30°,故③的结论错误;结合已知条件计算出∠BDC=30°,得出DC=2CN,由等腰三角形的判定得出DE=DC,得出④结论正确;综上所述正确的个数由3个即可得出选项.【解析】解:∵BD交AC于点E,∴∠AED=∠BEC,∴∠CAD+∠ADB=∠DBC+∠BCA,又∵AB=AC=AD,∴∠ABC=∠ACB,∠ACD=∠ADC,∠ADB=∠ABD,∴∠CAD+∠ADB=∠DBC+∠ABC=∠DBC+∠ABD+∠DBC=2∠DBC+∠ABD∴①∠CAD=2∠CBD正确;∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°,∠ABC=∠ACB,∠ACD=∠ADC,∴2∠ACB+∠BAC=180°,2∠ACD+∠CAD=180°∴2(∠ACB+∠ACD)+∠BAC+∠CAD=360°即2(∠ACB+∠ACD)+∠BAD=360°∵∠BAD=90°,∴2(∠ACB+∠ACD)=270°,∴∠ACB+∠ACD=135°,即②∠BCD=135°正确;∵AB=AC=AD,∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,∵∠BAD=90°,∴∠ABD=∠ADB=45°,∴∠CBD=15°,∵CN⊥BD于点N,∴∠BNC=90°,∠BCN=90°-15°=75°,∴∠ECN=∠BCN-∠ACB=75°-60°=15°≠30°,∴CE≠2EN;故③错误;∵∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,∠BAD=90°,∴∠CAD=30°,∴∠ACD=∠ADC=75°,∵∠ABD=∠ADB=45°,∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=75°-45°=30°,∵CN⊥BD于点N,∴DC=2CN,∵∠DEC=∠AEC=180°-60°-45°=75°,∠DCE=180°-30°-75°=75°∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC,∴ED=2NC,故④正确;∴正确的有①②④三个,故C.【点睛】本题考查了三角形形的内角和定理,等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定,直角三角形中30°所对的边是斜边的一半,熟练掌握各性质定理是解题的关键.10.B【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出O1A1=OA1=1,O2A2=O1A2=()1,O3A3=O2A3=()2,即点A1的纵坐标为1;点A2的纵坐标为(),点A3的纵坐标为()2,以此类推,从中得出规律,即可求出答案.【解析】解:∵三角形OAA1是等边三角形,∴OA1=OA=2,∠AOA1=60°,∴∠O1OA1=30°.在直角△O1OA1中,∵∠OO1A1=90°,∠O1OA1=30°,∴O1A1=OA1=1,即点A1的纵坐标为1,同理,O2A2=O1A2=()1,O3A3=O2A3=()2,即点A2的纵坐标为()1,点A3的纵坐标为()2,…∴点A2023的纵坐标为()2022.故选:B.【点睛】此题考查了规律型:点的坐标,等边三角形的性质,解答此题的关键是通过认真分析,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,从中发现规律.11.6【分析】根据直角三角形斜边上中线性质推出AB=2CD,代入AB+CD=9,即可求出AB.【解析】如图:∵∠ACB=90°,CD是△ACB的中线,∴AB=2CD,∵AB+CD=9,∴CD=3,AB=2CD=6,故答案为:6.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线,关键是得出AB=2CD.12.70【分析】根据“直角三角形两锐角互余”进行计算求解即可.【解析】∵直角三角形中的两个锐角互余,∴较大的锐角=90°÷(2+7)×7=70°.故答案为:70.【点睛】本题考查了直角三角形的性质,明确直角三角形角的性质是解题的关键.13.【分析】利用直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,即可求解.【解析】解:∵,,,∴ , ,∵,∴ ,∴ ,∴ .故答案为:【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质,熟练掌握直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.14.8【分析】延长AD至E,使DE=AD,连接CE,先求出∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°,然后证明△BAD≌△CED得到∠BED=∠DAC=90°,CE=AB=4,则AC=2CE=8.【解析】解:如图所示,延长AD至E,使DE=AD,连接CE,∵BA⊥AD,∴∠DAB=90°,∵∠BAC=120°,∴∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°,∵D为BC的中点,∴BD=CD,在△BAD和△CED中,,∴△BAD≌△CED(SAS),∴∠DEC=∠DAB=90°,CE=AB=4,∴AC=2CE=8,故答案为:8.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质,正确添加辅助线构造出含30度角的直角三角形是解题的关键.15.7【分析】首先根据SAS证明,然后根据全等三角形对应角相等得到,进而得到,然后根据角所对直角边是斜边的一半求出的长度,即可求出的长度.【解析】解:∵是等边三角形,∴,,∴在与中,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴在中,,∴.故答案为:7.【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定,等边三角形的性质以及外角的性质等知识,解题的关键是根据题意证明出.16.证明详见解析.【解析】试题分析:连接BE,由BD=BC,点E是CD的中点,可得BE⊥CD,结合F是AB的中点,可由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得结论;试题解析:(1)如图,连接BE,∵BD=BC,点E是CD的中点,∴BE⊥CD,∴∠BED=90°,又∵F是AB的中点,∴EF=AB; 17.(1);(2)见解析【分析】(1)根据30°角所对直角边等于斜边的一半,得到AD=3,根据等腰直角三角形,得到CD=AD=3,根据勾股定理,得到AC的长即可;(2)根据斜边上的中线等于斜边的一半,得到DE=DC,根据等腰三角形三线合一性质,证明即可.【解析】(1),;(2)连接DE,,,,,,.【点睛】本题考查了30°角的性质,等腰直角三角形的性质,斜边上中线的性质,等腰三角形三线合一性质,熟练掌握性质是解题的关键.18.(1)见解析;(2)9【分析】(1)根据平行线的性质与角平分线的定义可得,根据等角对等边可得,同理可得,进而即可证明,即(2)根据含30度角的直角三角形的性质和(1)的结论,即可求得的周长【解析】(1)证明:∵AD平分,∴∵,∴,,∴同理可证:∴即(2)∵中,,,∴,∵,∴,∴的周长为:.【点睛】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,等角对等边,含30度角的直角三角形的性质,掌握等角对等边是解题的关键.
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