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高考数学二轮复习专题检测20 “选填”压轴小题的4大抢分策略 含解析
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这是一份高考数学二轮复习专题检测20 “选填”压轴小题的4大抢分策略 含解析，共13页。
专题检测（二十） “选填”压轴小题的4大抢分策略
A组——选择题解题技法专练
1．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，α，β∈(0，π)，则α－β的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D 令β＝，则有sin α＝－cos α⇒tan α＝－，α∈(0，π)，
所以α＝，从而α－β＝.
2．已知0
3．若不等式x2－logax<0在内恒成立，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为x∈，当a＝时，显然x2；当x→0时，可推得a<1，故选A.
4．双曲线x2－y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支异于顶点A的任意一点，则直线PF斜率的变化范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选C 如图所示，当P→A时，PF的斜率k→0.
当PF⊥x轴时，PF的斜率不存在，即k→±∞.
当P在无穷远处时，PF的斜率k→1.
结合四个备选项得C项正确．
5．已知θ∈[0，π)，若对任意的x∈[－1,0]，不等式x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x>0恒成立，则θ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 令x＝－1，不等式化为cos θ>0；
令x＝0，不等式化为sin θ>0.
又0≤θ<π，所以0<θ<.
当－1
设＝t(t<0)，
则t2cos θ＋t＋sin θ>0对t<0恒成立．
设f(t)＝t2cos θ＋t＋sin θ＝cos θ2＋sin θ－，
则f(t)min＝sin θ－>0，即sin 2θ>.
又0<2θ<π，所以<2θ<，故<θ<.
6．在对角线AC1＝6的正方体ABCDA1B1C1D1中，正方形BCC1B1所在平面内的动点P到直线D1C1，DC的距离之和为4，则·的取值范围是( )
A．[－2,1] B．[0,1]
C．[－1,1] D.
解析：选A 法一：依题意可知CC1＝2，
点P到点C1与C的距离之和为4，
从而可得点P在以C1C为y轴，C1C的中点为原点的椭圆4x2＋y2＝4上．设P(x0，y0)，
则·＝(x0，y0－)·(x0，y0＋)＝x＋y－3＝ y－2(－2≤y0≤2)．
由此可得－2≤·≤1，故选A.
法二：由四个备选项可知，B、C、D都是A的子集．
于是，由“若A则B把A抛，A，B同真都去掉”可知，应着重考查“－2”与“1”的值能否取到．
又由条件易知，点P在以C1C为y轴，C1C的中点为原点的椭圆4x2＋y2＝4上．
由此可得，当y＝0时，·可取到－2，
当x＝0时，·可取到1.故选A.
7.如图所示，A是函数f(x)＝2x的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数g(x)＝2x＋2的图象于点B，若函数f(x)＝2x的图象上存在点C使得△ABC为等边三角形，则称A为函数f(x)＝2x的图象上的“好位置点”，则函数f(x)＝2x的图象上的“好位置点”的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 设A(x,2x)，B(x－2,2x)，若△ABC为等边三角形，则C(x－1,2x－1)，且AC＝AB＝2，即＝2，即22x－2＝3，又y＝22x－2单调递增，所以方程有唯一解x＝＋1，即函数f(x)＝2x的图象上的“好位置点”的个数为1.
8．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函数
解析：选D 法一：因为f(x＋1)是奇函数，
所以f(x)＝f(x－1＋1)＝－f[－(x－1)＋1]＝－f(－x＋2)，
又因为f(x－1)是奇函数，则－f(－x＋2)＝－f[(－x＋3)－1]＝f(x－3－1)＝f(x－4)，
所以f(x)＝f(x－4)．
所以f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)是奇函数，因而选D.
法二：令f(x)＝sin πx，
则f(x＋1)＝sin[π(x＋1)]＝－sin πx，
f(x－1)＝sin[π(x－1)]＝－sin πx.
所以，当f(x＋1)，f(x－1)都是奇函数时，f(x)不是偶函数，排除A.
令f(x)＝cos x，则
f(x＋1)＝cos＝－sinx，
f(x－1)＝cos＝sin x，
且f(x＋2)＝cos＝－cosx，
所以，当f(x＋1)，f(x－1)都是奇函数时，f(x)不是奇函数，且f(x)≠f(x＋2)，排除B、C，故选D.
9．已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)，若关于x的不等式f(x＋a)
C.∪ D.
解析：选A 由题意得(x＋a)(1＋a|x＋a|)
当a＝，x＝时，
有＝1×<不成立．故C错．
当a＝，x＝时，
有<，
即<，显然，此式成立，故B不对．所以选A.
10．已知函数f(x)＝ex＋e2－x，若关于x的不等式[f(x)]2－af(x)≤0恰有3个整数解，则实数a的最小值为( )
A．1 B．2e
C．e2＋1 D．e3＋
解析：选C 因为f(x)＝ex＋e2－x＞0，所以由[f(x)]2－af(x)≤0可得0＜f(x)≤a.令t＝ex，则g(t)＝t＋(t＞0)，画出函数g(t)的大致图象如图所示，结合图象分析易知原不等式有3个整数解可转化为0＜g(t)≤a的3个解分别为1，e，e2.又当t＝ex的值分别为1，e，e2时，x＝0,1,2.画出直线y＝e2＋1，故结合函数图象可知a的最小值为e2＋1.故选C.
11．设F为双曲线－y2＝1的左焦点，在点F右侧的x轴上有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M，N，则 的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 法一：如图，取点A为右焦点F′，
则|FA|＝|FF′|.
由对称性知|FM|＝|F′N|，
所以＝＝＝.
法二：由已知得F(－2,0)，如图，设A(m，0)(m>)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则以AF为直径的圆的方程为(x－m)(x＋2)＋y2＝0.
由
消去y，得 x2－(m－2)x－2m－1＝0.
所以x1＋x2＝(m－2)．
所以＝
＝＝＝.
12．在我们学过的函数中有这样一类函数：“对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有函数值f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长”．下面四个函数：
①f(x)＝(x>0)；②f(x)＝x2(x>0)；
③f(x)＝sin x(0
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B ①设0c，
∴a＋b＋2＞c，∴(＋)2>c，∴＋>，
即f(a)＋f(b)>f(c)，
∴f(x)＝(x>0)属于这一类函数；
②举反例：若a＝3，b＝3，c＝5，则a2＋b20)不属于这一类函数；
③举反例：若a＝，b＝，c＝，则sin a＝sin b＋sin c，
即f(a)＝f(b)＋f(c)＝＋＝1，
∴f(x)＝sin x(0，
∴f(b)＋f(c)＝cos b＋cos c>，而cos a<1，
即f(b)＋f(c)>f(a)，∴f(x)＝cos x属于这一类函数．
综上，属于这一类函数的有2个，故选B.
B组——填空题解题技法专练
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b－c＝acos C，且4(b＋c)＝3bc，a＝2，则△ABC的面积S＝________.
解析：由正弦定理得sin B－ sin C＝sin Acos C，
∵sin B＝sin(A＋C)，
∴sin(A＋C)－sin C＝sin Acos C，
即cos Asin C＝sin C.
又sin C≠0，∴cos A＝，
又A是△ABC的内角，∴A＝60°，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
∴(b＋c)2－4(b＋c)＝12，
得b＋c＝6，∴bc＝8，
∴S＝bcsin A＝×8×＝2.
答案：2
2．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，当x>0且x≠1时，>0，若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为－，则f(1)＝________.
解析：因为当x>0且x≠1时，>0，
所以当x>1时，2f(x)＋xf′(x)>0；
当0
则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，
所以当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)＝x2f(x)单调递增；
当0
所以g′(1)＝2f(1)＋f′(1)＝0.
因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为－，
所以f′(1)＝－，所以f(1)＝×＝.
答案：
3．已知函数f(x)＝当10，解得0，0,2
4．(2019届高三·武汉调研)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与准线交于点M，且＝3，则||＝________.
解析：过点P作PP1垂直准线于P1，
由＝3，得|PM|＝2|PF|，
又由抛物线的定义知|PF|＝|PP1|，所以|PM|＝2|PP1|.
由三角形相似得＝＝，
所以|PP1|＝，所以||＝.
答案：
5．已知函数f(x)＝x＋3＋mx3＋nx(m<0，n<0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为－，则f(x)在[－1,0]上的最大值为________．
解析：令g(x)＝mx3＋nx(m<0，n<0)，则g′(x)＝3mx2＋n，
因为m<0，n<0，所以g′(x)<0，所以g(x)为减函数．
又y＝x＋3为减函数，所以f(x)为减函数．
当x∈[0,1]时，f(x)min＝f(1)＝m＋n＋＝－，得m＋n＝－2，
当x∈[－1,0]时，f(x)max＝f(－1)＝－m－n＋＝.
答案：
6．已知向量a，b，c满足|a|＝，|b|＝a·b＝3，若(c－2a)·(2b－3c)＝0, 则|b－c|的最大值是________．
解析：设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
设＝a，＝b，c＝(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(1,1)，B(3,0)，
∴c－2a＝(x－2，y－2)，2b－3c＝(6－3x，－3y)，
∵(c－2a)·(2b－3c)＝0，
∴(x－2)(6－3x)＋(y－2)(－3y)＝0.
即(x－2)2＋(y－1)2＝1.
∵b－c＝(3－x，－y)，
∴|b－c|＝≤＋1＝＋1，
即|b－c|的最大值为＋1.
答案：＋1
7．(2018·开封高三定位考试)已知正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的表面积为________．
解析：如图①，在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，则BD＝DC＝1，AD＝，在翻折后所得的几何体中，如图②，AD⊥BD，AD⊥CD，则AD⊥平面BCD，三棱锥ABCD的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，球心到截面BCD的距离d＝AD＝.在△BCD中，BC＝，则由余弦定理，得cos∠BDC＝＝＝－，所以∠BDC＝120°.设球的半径为R，△BCD的外接圆半径为r，则由正弦定理，得2r＝＝＝2，解得r＝1，则球的半径R＝＝＝，故球的表面积 S＝4πR2＝4π×2＝7π.
答案：7π
8.(2018·湘中名校联考)一块边长为a cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则容器的容积的最大值是________．
解析：如图，设AB＝x，OF＝，
EF＝(0
所以V(x)＝S正方形ABCD·EO＝x2＝(0
当y′＝0时，x＝a.
当y′<0时，a
即V(x)max＝ ＝a3.
答案：a3
9．已知函数f(x)＝sin与函数g(x)＝cos在区间上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的周长为________．
解析：因为函数f(x)＝sin与函数g(x)＝cos在区间上的图象交于A，B，C三点，所以由sin ＝cos，x∈，解得x＝－1,0,1，
不妨设A，B，C，
所以AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，
所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝2＋2.
答案：2＋2
10．(2019届高三·昆明调研)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：
记数阵中的第1列数a1，a2，a4，…构成的数列为{bn}，Sn为数列{bn}的前n项和．若Sn＝2bn－1，则a56＝________.
解析：当n≥2时，∵Sn＝2bn－1，∴Sn－1＝2bn－1－1，
∴bn＝2bn－2bn－1，∴bn＝2bn－1(n≥2且n∈N*)，
∵b1＝2b1－1，∴b1＝1，
∴数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴bn＝2n－1.
设a1，a2，a4，a7，a11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{cn}，
则c2－c1＝1，c3－c2＝2，c4－c3＝3，c5－c4＝4，…，cn－cn－1＝n－1，
累加得，cn－c1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)，∴cn＝＋1，
由cn＝＋1＝56，得n＝11，∴a56＝b11＝210＝1 024.
答案：1 024
11．(2018·郑州第一次质量测试)已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2＝，则双曲线的渐近线方程为________．
解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x，F(c,0)，则|MF|＝b，
由2＝，可得＝，所以|FN|＝2b.
在Rt△OMF中，由勾股定理，
得|OM|＝＝a，
因为∠MOF＝∠FON，所以由角平分线定理可得＝＝，|ON|＝2a，
在Rt△OMN中，由|OM|2＋|MN|2＝|ON|2，可得a2＋(3b)2＝(2a)2,9b2＝3a2，即＝，
所以＝，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
答案：±x
12．已知O是△ABC的外心，取∠C＝45°，若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________．
解析：因为∠C＝45°，所以∠AOB＝90°.由已知，不妨设△ABC的外接圆半径为1，并设＝i，＝j，则C(m，n)，点C的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆弧(不含端点)，如图所示．设m＋n＝t，则直线x＋y＝t与此圆弧有公共点，故－≤t<1，即m＋n的取值范围是[－，1)．
注：也可设m＝cos θ，n＝sin θ，则m＋n＝sin.
因为<θ＋<，
所以－1≤sin<，所以－≤m＋n<1.
答案：[－，1)
13．设点(1,2)在抛物线y＝ax2上，直线l与抛物线交于A，B两点，直线l1是线段AB的垂直平分线．若直线l1的斜率为2，则l1在y轴上截距的取值范围为________．
解析：由点(1,2)在抛物线y＝ax2上，得a＝2，即抛物线方程为y＝2x2.设直线l1在y轴上的截距为t，依题意得l1的方程为y＝2x＋t.直线l的方程可设为y＝－x＋b，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y可得2x2＋x－b＝0，则x1＋x2＝－，Δ＝＋8b＞0，即b>－.设AB的中点P(x0，y0)，则x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝－x0＋b＝＋b.由点P在直线l1上，得＋b＝－＋t，于是t＝＋b>－＝.故l1在y轴上截距的取值范围为.
答案：
14．(2019届高三·广州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y－2＝0与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相切，且椭圆C的右焦点F(c,0)关于直线l：y＝x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为________．
解析：联立消去x，化简得(a2＋2b2)·y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，
由Δ＝0，得2b2＋a2－8＝0.设F′为椭圆C的左焦点，
连接F′E，易知F′E∥l，所以F′E⊥EF，
又点F到直线l的距离d＝＝，所以|EF|＝，|F′E|＝2a－|EF|＝，
在Rt△F′EF中，|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，化简得2b2＝a2，
代入2b2＋a2－8＝0，得b2＝2，a＝2，所以|EF|＝|F′E|＝2，
所以S△OEF＝S△F′EF＝1.
答案：1
15.(2019届高三·山西四校联考)如图，等边△ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上移动，M为AB的中点，则·的最大值为________．
解析：设∠OBC＝θ，因为BC＝2，所以B(2cos θ，0)，C(0,2sin θ)，
则＝(－2cos θ，2sin θ)，设＝(x，y)，
因为△ABC是边长为2的等边三角形，
所以解得
即＝(sin θ－cos θ，cos θ＋sin θ)，
则＝＋＝(sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ)，
因为M为AB的中点，
所以＝＋＝sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ，
所以·＝＋sin 2θ＋＋sin 2θ＋cos2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋＝sin(2θ＋φ)＋，其中cos φ＝，sin φ＝，
所以·的最大值为＋.
答案：＋
16．已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为3，则
(1)m＝________；
(2)对任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零点个数为________．
解析：(1)因为f(x)＝2sin＋1＋m，
当x∈时，≤2x＋≤，
所以当x＝时，f(x)取最大值3＋m，所以m＝0.
(2)易知函数f(x)是周期为π的周期函数，由图可知，在每个周期内只有2个零点，而[a，a＋20π]有20个周期，故有40个零点，特别地，当a为零点时，a＋20π也是零点，由此可得，此时可有41个零点．所以填40或41.
答案：(1)0 (2)40或41
专题检测（二十） “选填”压轴小题的4大抢分策略
A组——选择题解题技法专练
1．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，α，β∈(0，π)，则α－β的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D 令β＝，则有sin α＝－cos α⇒tan α＝－，α∈(0，π)，
所以α＝，从而α－β＝.
2．已知0
3．若不等式x2－logax<0在内恒成立，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为x∈，当a＝时，显然x2
4．双曲线x2－y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支异于顶点A的任意一点，则直线PF斜率的变化范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选C 如图所示，当P→A时，PF的斜率k→0.
当PF⊥x轴时，PF的斜率不存在，即k→±∞.
当P在无穷远处时，PF的斜率k→1.
结合四个备选项得C项正确．
5．已知θ∈[0，π)，若对任意的x∈[－1,0]，不等式x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x>0恒成立，则θ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 令x＝－1，不等式化为cos θ>0；
令x＝0，不等式化为sin θ>0.
又0≤θ<π，所以0<θ<.
当－1
设＝t(t<0)，
则t2cos θ＋t＋sin θ>0对t<0恒成立．
设f(t)＝t2cos θ＋t＋sin θ＝cos θ2＋sin θ－，
则f(t)min＝sin θ－>0，即sin 2θ>.
又0<2θ<π，所以<2θ<，故<θ<.
6．在对角线AC1＝6的正方体ABCDA1B1C1D1中，正方形BCC1B1所在平面内的动点P到直线D1C1，DC的距离之和为4，则·的取值范围是( )
A．[－2,1] B．[0,1]
C．[－1,1] D.
解析：选A 法一：依题意可知CC1＝2，
点P到点C1与C的距离之和为4，
从而可得点P在以C1C为y轴，C1C的中点为原点的椭圆4x2＋y2＝4上．设P(x0，y0)，
则·＝(x0，y0－)·(x0，y0＋)＝x＋y－3＝ y－2(－2≤y0≤2)．
由此可得－2≤·≤1，故选A.
法二：由四个备选项可知，B、C、D都是A的子集．
于是，由“若A则B把A抛，A，B同真都去掉”可知，应着重考查“－2”与“1”的值能否取到．
又由条件易知，点P在以C1C为y轴，C1C的中点为原点的椭圆4x2＋y2＝4上．
由此可得，当y＝0时，·可取到－2，
当x＝0时，·可取到1.故选A.
7.如图所示，A是函数f(x)＝2x的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数g(x)＝2x＋2的图象于点B，若函数f(x)＝2x的图象上存在点C使得△ABC为等边三角形，则称A为函数f(x)＝2x的图象上的“好位置点”，则函数f(x)＝2x的图象上的“好位置点”的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 设A(x,2x)，B(x－2,2x)，若△ABC为等边三角形，则C(x－1,2x－1)，且AC＝AB＝2，即＝2，即22x－2＝3，又y＝22x－2单调递增，所以方程有唯一解x＝＋1，即函数f(x)＝2x的图象上的“好位置点”的个数为1.
8．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函数
解析：选D 法一：因为f(x＋1)是奇函数，
所以f(x)＝f(x－1＋1)＝－f[－(x－1)＋1]＝－f(－x＋2)，
又因为f(x－1)是奇函数，则－f(－x＋2)＝－f[(－x＋3)－1]＝f(x－3－1)＝f(x－4)，
所以f(x)＝f(x－4)．
所以f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)是奇函数，因而选D.
法二：令f(x)＝sin πx，
则f(x＋1)＝sin[π(x＋1)]＝－sin πx，
f(x－1)＝sin[π(x－1)]＝－sin πx.
所以，当f(x＋1)，f(x－1)都是奇函数时，f(x)不是偶函数，排除A.
令f(x)＝cos x，则
f(x＋1)＝cos＝－sinx，
f(x－1)＝cos＝sin x，
且f(x＋2)＝cos＝－cosx，
所以，当f(x＋1)，f(x－1)都是奇函数时，f(x)不是奇函数，且f(x)≠f(x＋2)，排除B、C，故选D.
9．已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)，若关于x的不等式f(x＋a)
C.∪ D.
解析：选A 由题意得(x＋a)(1＋a|x＋a|)
当a＝，x＝时，
有＝1×<不成立．故C错．
当a＝，x＝时，
有<，
即<，显然，此式成立，故B不对．所以选A.
10．已知函数f(x)＝ex＋e2－x，若关于x的不等式[f(x)]2－af(x)≤0恰有3个整数解，则实数a的最小值为( )
A．1 B．2e
C．e2＋1 D．e3＋
解析：选C 因为f(x)＝ex＋e2－x＞0，所以由[f(x)]2－af(x)≤0可得0＜f(x)≤a.令t＝ex，则g(t)＝t＋(t＞0)，画出函数g(t)的大致图象如图所示，结合图象分析易知原不等式有3个整数解可转化为0＜g(t)≤a的3个解分别为1，e，e2.又当t＝ex的值分别为1，e，e2时，x＝0,1,2.画出直线y＝e2＋1，故结合函数图象可知a的最小值为e2＋1.故选C.
11．设F为双曲线－y2＝1的左焦点，在点F右侧的x轴上有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M，N，则 的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 法一：如图，取点A为右焦点F′，
则|FA|＝|FF′|.
由对称性知|FM|＝|F′N|，
所以＝＝＝.
法二：由已知得F(－2,0)，如图，设A(m，0)(m>)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则以AF为直径的圆的方程为(x－m)(x＋2)＋y2＝0.
由
消去y，得 x2－(m－2)x－2m－1＝0.
所以x1＋x2＝(m－2)．
所以＝
＝＝＝.
12．在我们学过的函数中有这样一类函数：“对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有函数值f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长”．下面四个函数：
①f(x)＝(x>0)；②f(x)＝x2(x>0)；
③f(x)＝sin x(0
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B ①设0
∴a＋b＋2＞c，∴(＋)2>c，∴＋>，
即f(a)＋f(b)>f(c)，
∴f(x)＝(x>0)属于这一类函数；
②举反例：若a＝3，b＝3，c＝5，则a2＋b2
③举反例：若a＝，b＝，c＝，则sin a＝sin b＋sin c，
即f(a)＝f(b)＋f(c)＝＋＝1，
∴f(x)＝sin x(0
∴f(b)＋f(c)＝cos b＋cos c>，而cos a<1，
即f(b)＋f(c)>f(a)，∴f(x)＝cos x属于这一类函数．
综上，属于这一类函数的有2个，故选B.
B组——填空题解题技法专练
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b－c＝acos C，且4(b＋c)＝3bc，a＝2，则△ABC的面积S＝________.
解析：由正弦定理得sin B－ sin C＝sin Acos C，
∵sin B＝sin(A＋C)，
∴sin(A＋C)－sin C＝sin Acos C，
即cos Asin C＝sin C.
又sin C≠0，∴cos A＝，
又A是△ABC的内角，∴A＝60°，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
∴(b＋c)2－4(b＋c)＝12，
得b＋c＝6，∴bc＝8，
∴S＝bcsin A＝×8×＝2.
答案：2
2．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，当x>0且x≠1时，>0，若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为－，则f(1)＝________.
解析：因为当x>0且x≠1时，>0，
所以当x>1时，2f(x)＋xf′(x)>0；
当0
则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，
所以当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)＝x2f(x)单调递增；
当0
所以g′(1)＝2f(1)＋f′(1)＝0.
因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为－，
所以f′(1)＝－，所以f(1)＝×＝.
答案：
3．已知函数f(x)＝当1
4．(2019届高三·武汉调研)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与准线交于点M，且＝3，则||＝________.
解析：过点P作PP1垂直准线于P1，
由＝3，得|PM|＝2|PF|，
又由抛物线的定义知|PF|＝|PP1|，所以|PM|＝2|PP1|.
由三角形相似得＝＝，
所以|PP1|＝，所以||＝.
答案：
5．已知函数f(x)＝x＋3＋mx3＋nx(m<0，n<0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为－，则f(x)在[－1,0]上的最大值为________．
解析：令g(x)＝mx3＋nx(m<0，n<0)，则g′(x)＝3mx2＋n，
因为m<0，n<0，所以g′(x)<0，所以g(x)为减函数．
又y＝x＋3为减函数，所以f(x)为减函数．
当x∈[0,1]时，f(x)min＝f(1)＝m＋n＋＝－，得m＋n＝－2，
当x∈[－1,0]时，f(x)max＝f(－1)＝－m－n＋＝.
答案：
6．已知向量a，b，c满足|a|＝，|b|＝a·b＝3，若(c－2a)·(2b－3c)＝0, 则|b－c|的最大值是________．
解析：设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
设＝a，＝b，c＝(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(1,1)，B(3,0)，
∴c－2a＝(x－2，y－2)，2b－3c＝(6－3x，－3y)，
∵(c－2a)·(2b－3c)＝0，
∴(x－2)(6－3x)＋(y－2)(－3y)＝0.
即(x－2)2＋(y－1)2＝1.
∵b－c＝(3－x，－y)，
∴|b－c|＝≤＋1＝＋1，
即|b－c|的最大值为＋1.
答案：＋1
7．(2018·开封高三定位考试)已知正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的表面积为________．
解析：如图①，在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，则BD＝DC＝1，AD＝，在翻折后所得的几何体中，如图②，AD⊥BD，AD⊥CD，则AD⊥平面BCD，三棱锥ABCD的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，球心到截面BCD的距离d＝AD＝.在△BCD中，BC＝，则由余弦定理，得cos∠BDC＝＝＝－，所以∠BDC＝120°.设球的半径为R，△BCD的外接圆半径为r，则由正弦定理，得2r＝＝＝2，解得r＝1，则球的半径R＝＝＝，故球的表面积 S＝4πR2＝4π×2＝7π.
答案：7π
8.(2018·湘中名校联考)一块边长为a cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则容器的容积的最大值是________．
解析：如图，设AB＝x，OF＝，
EF＝(0
所以V(x)＝S正方形ABCD·EO＝x2＝(0
当y′＝0时，x＝a.
当y′<0时，a
即V(x)max＝ ＝a3.
答案：a3
9．已知函数f(x)＝sin与函数g(x)＝cos在区间上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的周长为________．
解析：因为函数f(x)＝sin与函数g(x)＝cos在区间上的图象交于A，B，C三点，所以由sin ＝cos，x∈，解得x＝－1,0,1，
不妨设A，B，C，
所以AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，
所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝2＋2.
答案：2＋2
10．(2019届高三·昆明调研)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：
记数阵中的第1列数a1，a2，a4，…构成的数列为{bn}，Sn为数列{bn}的前n项和．若Sn＝2bn－1，则a56＝________.
解析：当n≥2时，∵Sn＝2bn－1，∴Sn－1＝2bn－1－1，
∴bn＝2bn－2bn－1，∴bn＝2bn－1(n≥2且n∈N*)，
∵b1＝2b1－1，∴b1＝1，
∴数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴bn＝2n－1.
设a1，a2，a4，a7，a11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{cn}，
则c2－c1＝1，c3－c2＝2，c4－c3＝3，c5－c4＝4，…，cn－cn－1＝n－1，
累加得，cn－c1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)，∴cn＝＋1，
由cn＝＋1＝56，得n＝11，∴a56＝b11＝210＝1 024.
答案：1 024
11．(2018·郑州第一次质量测试)已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2＝，则双曲线的渐近线方程为________．
解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x，F(c,0)，则|MF|＝b，
由2＝，可得＝，所以|FN|＝2b.
在Rt△OMF中，由勾股定理，
得|OM|＝＝a，
因为∠MOF＝∠FON，所以由角平分线定理可得＝＝，|ON|＝2a，
在Rt△OMN中，由|OM|2＋|MN|2＝|ON|2，可得a2＋(3b)2＝(2a)2,9b2＝3a2，即＝，
所以＝，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
答案：±x
12．已知O是△ABC的外心，取∠C＝45°，若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________．
解析：因为∠C＝45°，所以∠AOB＝90°.由已知，不妨设△ABC的外接圆半径为1，并设＝i，＝j，则C(m，n)，点C的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆弧(不含端点)，如图所示．设m＋n＝t，则直线x＋y＝t与此圆弧有公共点，故－≤t<1，即m＋n的取值范围是[－，1)．
注：也可设m＝cos θ，n＝sin θ，则m＋n＝sin.
因为<θ＋<，
所以－1≤sin<，所以－≤m＋n<1.
答案：[－，1)
13．设点(1,2)在抛物线y＝ax2上，直线l与抛物线交于A，B两点，直线l1是线段AB的垂直平分线．若直线l1的斜率为2，则l1在y轴上截距的取值范围为________．
解析：由点(1,2)在抛物线y＝ax2上，得a＝2，即抛物线方程为y＝2x2.设直线l1在y轴上的截距为t，依题意得l1的方程为y＝2x＋t.直线l的方程可设为y＝－x＋b，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y可得2x2＋x－b＝0，则x1＋x2＝－，Δ＝＋8b＞0，即b>－.设AB的中点P(x0，y0)，则x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝－x0＋b＝＋b.由点P在直线l1上，得＋b＝－＋t，于是t＝＋b>－＝.故l1在y轴上截距的取值范围为.
答案：
14．(2019届高三·广州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y－2＝0与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相切，且椭圆C的右焦点F(c,0)关于直线l：y＝x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为________．
解析：联立消去x，化简得(a2＋2b2)·y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，
由Δ＝0，得2b2＋a2－8＝0.设F′为椭圆C的左焦点，
连接F′E，易知F′E∥l，所以F′E⊥EF，
又点F到直线l的距离d＝＝，所以|EF|＝，|F′E|＝2a－|EF|＝，
在Rt△F′EF中，|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，化简得2b2＝a2，
代入2b2＋a2－8＝0，得b2＝2，a＝2，所以|EF|＝|F′E|＝2，
所以S△OEF＝S△F′EF＝1.
答案：1
15.(2019届高三·山西四校联考)如图，等边△ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上移动，M为AB的中点，则·的最大值为________．
解析：设∠OBC＝θ，因为BC＝2，所以B(2cos θ，0)，C(0,2sin θ)，
则＝(－2cos θ，2sin θ)，设＝(x，y)，
因为△ABC是边长为2的等边三角形，
所以解得
即＝(sin θ－cos θ，cos θ＋sin θ)，
则＝＋＝(sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ)，
因为M为AB的中点，
所以＝＋＝sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ，
所以·＝＋sin 2θ＋＋sin 2θ＋cos2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋＝sin(2θ＋φ)＋，其中cos φ＝，sin φ＝，
所以·的最大值为＋.
答案：＋
16．已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为3，则
(1)m＝________；
(2)对任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零点个数为________．
解析：(1)因为f(x)＝2sin＋1＋m，
当x∈时，≤2x＋≤，
所以当x＝时，f(x)取最大值3＋m，所以m＝0.
(2)易知函数f(x)是周期为π的周期函数，由图可知，在每个周期内只有2个零点，而[a，a＋20π]有20个周期，故有40个零点，特别地，当a为零点时，a＋20π也是零点，由此可得，此时可有41个零点．所以填40或41.
答案：(1)0 (2)40或41
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