高考数学二轮复习知识 方法篇 专题3　函数与导数 第13练 含答案

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第13练　必考题型——导数与单调性
[题型分析·高考展望]　利用导数研究函数单调性是高考每年必考内容，多以综合题中某一问的形式考查，题目承载形式多种多样，但其实质都是通过求导判断导数符号，确定单调性.题目难度为中等偏上，一般都在最后两道压轴题上，这是二轮复习的得分点，应高度重视.
体验高考
1.(2015·福建)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是(　　)
A.f＜ B.f＞
C.f＜ D.f＞
答案　C
解析　由已知条件，构造函数g(x)＝f(x)－kx，
则g′(x)＝f′(x)－k＞0，故函数g(x)在R上单调递增，且＞0，故g()＞g(0)，
所以f()－＞－1，f()＞，
所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；
构造函数h(x)＝f(x)－x，
则h′(x)＝f′(x)－1＞0，所以函数h(x)在R上单调递增，且＞0，
所以h()＞h(0)，即f()－＞－1，f()＞－1，选项A，B无法判断，故选C.
2.(2015·课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1)∪(0，1)
B.(－1，0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(－1，0)
D.(0，1)∪(1，＋∞)
答案　A
解析　记函数g(x)＝，则g(x)＝，
因为当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，
故当x＞0时，g′(x)＜0，
所以g(x)在(0，＋∞)单调递减；
又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，
故函数g(x)是偶函数，
所以g(x)在(－∞，0)单调递增，且g(－1)＝g(1)＝0.
当0＜x＜1时，g(x)＞0，则f(x)＞0；
当x＜－1时，g(x)＜0，则f(x)＞0.
综上所述，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.
3.(2016·浙江)设函数f(x)＝x3＋，x∈[0，1].证明：
(1)f(x)≥1－x＋x2；
(2)＜f(x)≤.
证明　(1)因为1－x＋x2－x3＝＝，
由于x∈[0，1]，有≤，
即1－x＋x2－x3≤，
所以f(x)≥1－x＋x2.
(2)由0≤x≤1得x3≤x，
故f(x)＝x3＋≤x＋
＝x＋－＋＝＋≤，
所以f(x)≤.
由(1)得f(x)≥1－x＋x2＝2＋≥，
又因为f＝＞，所以f(x)＞.
综上，＜f(x)≤.
4.(2016·课标全国乙)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
解　(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)
＝(x－1)(ex＋2a).
(ⅰ)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)0.
所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
(ⅱ)设a－，则ln(－2a)0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)0，则由(1)知，f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b0，
所以f(x)有两个零点.
(ⅱ)设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，所以f(x)只有一个零点.
(ⅲ)设a