高考数学二轮复习知识 方法篇 专题6　立体几何与空间向量 第26练 含答案

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[题型分析·高考展望] 三视图是高考的热点和重点.其考查形式多种多样，选择题、填空题和综合解答题都有出现，而这些题目以选择题居多；立体几何中的计算问题考查的知识，涉及到三视图、空间几何体的表面积和体积以及综合解答和证明.
体验高考
1.(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.3π B.4π C.2π＋4 D.3π＋4
答案 D
解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为
S＝2×eq \f(1,2)π×12＋eq \f(1,2)×2π×1×2＋2×2
＝π＋2π＋4＝3π＋4.
2.(2016·课标全国乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是eq \f(28π,3)，则它的表面积是( )
A.17π B.18π C.20π D.28π
答案 A
解析 由题意知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)切掉左上角的eq \f(1,8)后得到的组合体，其表面积是球面面积的eq \f(7,8)和三个eq \f(1,4)圆面积之和，由几何体的体积易得球的半径为2，则得S＝eq \f(7,8)×4π×22＋3×eq \f(1,4)π×22＝17π，故选A.
3.(2016·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.1
答案 A
解析 由三视图知，三棱锥如图所示.由侧(左)视图得高h＝1，
又底面积S＝eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2)，
所以体积V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,6).
4.(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正(主)视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正(主)视图可得俯视图(如图)，
且三棱锥高为h＝1，
则面积V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2\r(3)×1))×1＝eq \f(\r(3),3).
5.(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm2，体积是________cm3.
答案 72 32
解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体的组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm、2 cm、2 cm，其直观图如下：
其体积V＝2×2×2×4＝32(cm3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm2).
高考必会题型
题型一 三视图识图
例1 (1)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正(主)视图和俯视图分别为( )
A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和②
(2)将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到如图②所示的几何体，则该几何体的侧(左)视图为( )
答案 (1)D (2)B
解析 (1)由三视图可知，该几何体的正(主)视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正(主)视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.
(2)还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.
点评 画法规则：(1)由几何体的轮廓线定形状，看到的画成实线，看不到的画成虚线.
(2)正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高.
变式训练1 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
答案 B
解析 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.
题型二 空间几何体的表面积和体积
例2 (1)(2015·安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )
A.1＋eq \r(3) B.2＋eq \r(3) C.1＋2eq \r(2) D.2eq \r(2)
(2)(2015·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m3.
答案 (1)B (2)eq \f(8,3)π
解析 (1)由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，
∴该四面体的表面积为S表＝2×eq \f(1,2)×2×1＋2×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2))2＝2＋eq \r(3)，故选B.
(2)由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1 m，圆锥的高为1 m，圆柱的高为2 m，所以该几何体的体积V＝2×eq \f(1,3)π×12×1＋π×12×2＝eq \f(8,3)π(m3).
点评 利用三视图求几何体的表面积、体积，需先由三视图还原几何体，三个图形结合得出几何体的大致形状，由实、虚线得出局部位置的形状， 再由几何体的面积体积公式求解.
变式训练2 (1)(2016·课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A.20π B.24π C.28π D.32π
(2)(2015·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.eq \f(1,3)＋π B.eq \f(2,3)＋π C.eq \f(1,3)＋2π D.eq \f(2,3)＋2π
答案 (1)C (2)A
解析 (1)由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝eq \r(2\r(3)2＋22)＝4，
所以圆锥的侧面积为S锥侧＝eq \f(1,2)×4π×4＝8π，
圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，
所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，
故选C.
(2)这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，
V＝eq \f(1,2)π×12×2＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×1×2))×1＝π＋eq \f(1,3)，
选A.
高考题型精练
1.如图所示的几何体是棱柱的有( )
A.②③⑤ B.③④⑤ C.③⑤ D.①③
答案 C
解析 由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱，故选C.
2.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为( )
A.36eq \r(3)(π＋eq \r(2)) B.36eq \r(3)(π＋2)
C.108eq \r(3)π D.108(eq \r(3)π＋2)
答案 B
解析 由俯视图可知该几何体的底面由三角形和半圆两部分构成，结合正(主)视图和侧(左)视图可知该几何体是由半个圆锥与一个三棱锥组合而成的，并且圆锥的轴截面与三棱锥的一个侧面重合，两个锥体的高相等.
由三视图中的数据，可得该圆锥的底面半径r＝6，三棱锥的底面是一个底边长为12，高为6的等腰三角形，两个锥体的高h＝eq \r(122－62)＝6eq \r(3)，
故半圆锥的体积V1＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)π×62×6eq \r(3)＝36eq \r(3)π.
三棱锥的底面积S＝eq \f(1,2)×12×6＝36，
三棱锥的体积V2＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×36×6eq \r(3)＝72eq \r(3).
故该几何体的体积V＝V1＋V2＝36eq \r(3)π＋72eq \r(3)＝36eq \r(3)(π＋2).故选B.
3.(2016·课标全国丙)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
A.18＋36eq \r(5) B.54＋18eq \r(5) C.90 D.81
答案 B
解析 由题意知，该几何体为底面为正方形的斜平行六面体，边长分别为3，3，eq \r(45)，几何体的表面积S＝3×6×2＋3×3×2＋3×eq \r(45)×2＝54＋18eq \r(5).
4.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于( )
A.eq \f(7,3)π B.16π C.8π D.eq \f(28,3)π
答案 D
解析 由三视图知，几何体是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面三角形中心连线的中点，外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离，可求得其半径为 eq \r(12＋\f(2\r(3),3)2)＝eq \f(\r(21),3)，那么外接球的表面积为4π×(eq \f(\r(21),3))2＝eq \f(28,3)π，故选D.
5.已知某几何体的三视图如图所示，其正(主)视图和侧(左)视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是( )
A.2 B.1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 C
解析 根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱，且该三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，所以该三棱柱的体积为V＝Sh＝eq \f(1,2)×1×1×1＝eq \f(1,2)，故选C.
6.(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)π B.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),3)π C.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),6)π D.1＋eq \f(\r(2),6)π
答案 C
解析 由三视图知，半球的半径R＝eq \f(\r(2),2)，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝eq \f(1,3)×1×1×1＋eq \f(1,2)×eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3＝eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),6)π，故选C.
7.某几何体的正(主)视图和侧(左)视图均为如图1所示的图形，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )
A.①③ B.①④ C.②④ D.①②③④
答案 A
解析 由正(主)视图和侧(左)视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确.
8.(2015·山东)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(4π,3) C.eq \f(5π,3) D.2π
答案 C
解析 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，
该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－eq \f(1,3)·π·CE2·DE＝π·12·2－eq \f(1,3)π·12·1＝eq \f(5π,3)，故选C.
9.(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.
答案 eq \r(7)
解析 设新的底面半径为r，由题意得eq \f(1,3)πr2·4＋πr2·8＝eq \f(1,3)π×52×4＋π×22×8，解得r＝eq \r(7).
10.一个几何体的侧(左)视图和俯视图如图所示，则其正(主)视图的面积为________.
答案 4
解析 由题意知其正(主)视图如图所示，
则其面积为eq \f(1,2)×(1＋3)×2＝4.
11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
答案 2
解析 由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×2×1×3＝2.
12.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________.
答案 eq \f(9,32)
解析 设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，
则V圆锥＝eq \f(1,3)·πa2·eq \r(3)a＝eq \f(\r(3),3)πa3.
又R2＝a2＋(eq \r(3)a－R)2，所以R＝eq \f(2\r(3),3)a，
故V球＝eq \f(4π,3)·(eq \f(2\r(3),3)a)3＝eq \f(32\r(3)π,27)a3，
则其体积比值为eq \f(9,32).
13.在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正(主)视图和侧(左)视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形.设点M，N，P分别是棱AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是________.
答案 eq \f(1,24)
解析 由三视图易知几何体ABC－A1B1C1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱，
则 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝VA－PMN.
又S△PMN＝eq \f(1,2)MN·NP＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×1＝eq \f(1,4)，
A到平面PMN的距离h＝eq \f(1,2)，
∴VA－PMN＝eq \f(1,3)S△PMN·h＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,24).