高考数学二轮复习知识 方法篇 专题7　解析几何 第32练 含答案

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第32练　双曲线的渐近线和离心率问题
[题型分析·高考展望]　双曲线作为三种圆锥曲线之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在选择题、填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.
体验高考
1.(2015·四川)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于(　　)
A. B.2 C.6 D.4
答案　D
解析　设A，B两点的坐标分别为(x，yA)，(x，yB)，将x＝c＝2代入渐近线方程y＝±x得到yA，yB，进而求|AB|.由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.
2.(2016·天津)已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)

A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案　D
解析　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，
联立
解得或
即第一象限的交点为.
由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.
故双曲线的方程为－＝1.故选D.
3.(2016·浙江)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)
A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1
C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜1
答案　A
解析　由题意可得：m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，
又∵m＞0，n＞0，故m＞n.
又∵e·e＝·＝·
＝＝1＋＞1，∴e1·e2＞1.
4.(2015·上海)已知点P和Q横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和 C2，若C1的渐近线为y＝±x，则C2的渐近线方程为____________.
答案　y＝±x
解析　设点P和Q的坐标为(x，y)，(x0，y0)，
则有又因为C1的渐近线方程为y＝±x，
故设C1的方程为3x2－y2＝λ，
把点坐标代入，可得3x－4y＝λ，
令λ＝0⇒x±2y＝0，
即为曲线C2的渐近线方程，
则y＝±x.
5.(2015·北京)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________.
答案　
解析　直接求解双曲线的渐近线并比较系数.
双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>0，
所以＝，所以a＝.
高考必会题型
题型一　双曲线的渐近线问题
例1　(1)已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).

①求双曲线C的方程；
②过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.
解　①设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝，
直线OB的方程为y＝－x，
直线BF的方程为y＝(x－c)，解得B(，－).
又直线OA的方程为y＝x，
则A(c，)，kAB＝＝.
又因为AB⊥OB，所以·(－)＝－1，
解得a2＝3，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
②由①知a＝，则直线l的方程为
－y0y＝1(y0≠0)，即y＝.
因为直线AF的方程为x＝2，
所以直线l与AF的交点为M(2，)；
直线l与直线x＝的交点为N(，).
则＝＝＝·.
因为P(x0，y0)是C上一点，
则－y＝1，
代入上式得＝·＝·＝，
即所求定值为＝＝.
点评　(1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y＝±x⇔±＝0⇔－＝0，所以可以把标准方程－＝1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.
(2)已知双曲线渐近线方程：y＝x，可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，求出λ即得双曲线方程.
变式训练1　已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)
A.x±y＝0 B.x±y＝0 C.x±2y＝0 D.2x±y＝0
答案　C
解析　由已知，得e1＝ ，e2＝ ，
所以e1e2＝ ＝，解得＝±，
所以C2的渐近线方程为y＝±x＝±x，
即x±2y＝0，故选C.
题型二　双曲线的离心率问题
例2　(1)点A是抛物线C1：y2＝2px(p>0)与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于(　　)
A. B. C. D.
(2)(2016·课标全国甲)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin F2＝，则E的离心率为(　　)
A. B. C. D.2
答案　(1)C　(2)A
解析　(1)双曲线的渐近线方程为：y＝x，
由题意可求得点A(，p)代入渐近线得＝＝2，
∴()2＝4，∴＝4，
∴e2＝5，∴e＝，故选C.
(2)离心率e＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.故选A.
点评　在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1.同时注意双曲线方程中x，y的范围问题.
变式训练2　(2016·上海)双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.
(1)若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2)设b＝，若l的斜率存在，且(＋)·＝0，求l的斜率.
解　(1)由已知F1(－，0)，F2(，0)，
取x＝，得y＝b2，
|F1F2|＝|F2A|，
∵|F1F2|＝2，|F2A|＝b2，
∴2＝b2，
即3b4－4b2－4＝(3b2＋2)(b2－2)＝0，
∴b＝，∴渐近线方程为y＝±x.
(2)若b＝，则双曲线方程为x2－＝1，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2)，＝(x2－x1，y2－y1)，
∴＋＝(x1＋x2＋4，y1＋y2)，
(＋)·＝x－x＋4(x2－x1)＋y－y＝0，(*)
∵x－＝x－＝1，
∴y－y＝3(x－x)，
∴代入(*)式，可得4(x－x)＋4(x2－x1)＝0，
直线l的斜率存在，故x1≠x2，
∴x1＋x2＝－1.
设直线l为y＝k(x－2)，代入3x2－y2＝3，
得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0，
∴3－k2≠0，
且Δ＝16k4＋4(3－k2)(4k2＋3)＝36(k2＋1)>0，
x1＋x2＝－＝－1，
∴k2＝，
∴k＝±，
∴直线l的斜率为±.
题型三　双曲线的渐近线与离心率综合问题
例3　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ＝60°，且＝3，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　如图所示，

设∠AOQ＝α，
∴tan α＝⇒cos α＝，sin α＝，
∴|OH|＝a·cos α＝，|AH|＝a·sin α＝，
又∵＝3，
∴|OP|＝|PH|＝|HQ|＝，
∴|AH|＝|PH|⇒＝·⇒2b＝a，
∴e＝ ＝.
故选C.
点评　解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.
变式训练3　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)以及双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为(　　)
A.2或 B.或 C.2或 D.或
答案　A
解析　由题意可知，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的倾斜角为30°或60°，
则k＝＝或，
则e＝＝＝＝＝2或.
高考题型精练
1.(2015·课标全国Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点.若·0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝________.
答案　
解析　设P(x，x)，则由题意，知c＝|x|，
因为PF1垂直于x轴，则由双曲线的通径公式知|x|＝，即c＝，所以b＝.
又由a2＝c2－b2，得a2＝c2，
所以e＝＝.
9.(2016·山东)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.
答案　2
解析　由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c，又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－(舍去).
10.已知A(1，2)，B(－1，2)，动点P满足⊥，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.
答案　(1，2)
解析　根据条件⊥，可得P点的轨迹方程x2＋(y－2)2＝1，
求出双曲线的渐近线方程y＝x，运用圆心到直线的距离大于半径，得到3a2>b2，
再由b2＝c2－a2，
得出离心率e＝1，所以10)的左，右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好在以F2为圆心，|OF2|(O为坐标原点)为半径的圆上，则该双曲线的离心率为______.
答案　2
解析　设F1(－c，0)，F2(c，0)，
设一条渐近线方程为y＝－x，
则F1到渐近线的距离为＝b，
设F1关于渐近线的对称点为M，
F1M与渐近线交于点A，所以|MF1|＝2b，
A为F1M的中点，又O是F1F2的中点，
所以OA∥F2M，∠F1MF2是直角，
由勾股定理得：4c2＝c2＋4b2，
化简得e＝2.
12.已知双曲线C1：x2－＝1.
(1)求与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；
(2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点，当·＝3时，求实数m的值.
解　(1)∵双曲线C1：x2－＝1，
∴焦点坐标为(，0)，(－，0)，
设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，)，∴
解得
∴双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
(2)双曲线C1的两条渐近线为y＝2x，y＝－2x，
由可得x＝m，y＝2m，∴A(m，2m)，
由可得x＝－m，y＝m，
∴B(－m，m)，
∴·＝－m2＋m2＝m2，
∵·＝3，∴m2＝3，∴m＝±.