高考数学二轮复习知识 方法篇 专题11　数学方法 第50练 含答案

第50练　关于计算过程的再优化

[题型分析·高考展望]　中学数学的运算包括数的计算，式的恒等变形，方程和不等式同解变形，初等函数的运算和求值，各种几何量的测量与计算，求数列和函数、定积分、概率、统计的初步计算等.《高中数学新课程标准》所要求的数学能力中运算求解能力更为基本，运算求解能力指的是要求学生会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等.

数学运算，都是依据相应的概念、法则、性质、公式等基础知识进行的，尤其是概念，它是思维的形式，只有概念明确、理解透彻，才能作出正确的判断及合乎逻辑的推理.计算法则是计算方法的程序化和规则化，对法则的理解是计算技能形成的前提.高考命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算为主的考查.因此在高中数学中，对于运算求解能力的培养至关重要.

提高数学解题能力，首先是提高数学的运算求解能力，可以从以下几个方面入手：

1.培养良好的审题习惯.

2.培养认真计算的习惯.

3.培养一些常用结论的记忆的能力，记住一些常用的结论，比如数列求和的公式12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，三角函数中的辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)等等.

4.加强运算练习是提高基本运算技能的有效途径，任何能力都是有计划、有目的地训练出来的，提高基本运算技能也必须加强练习、严格训练.

5.提高运算基本技能，必须要提高学生在运算中的推理能力，这就首先要清楚运算的定理及相关理论.

6.增强自信是解题的关键，自信才能自强，在数学解题中，自信心是相当重要的.

高考必会题型

题型一　化繁为简，优化计算过程

例1　过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)

A.  B.－  C.±  D.－

答案　B

解析　由y＝得，x2＋y2＝1(y≥0)，

设直线方程为x＝my＋，m<0(m≥0不合题意)，

代入x2＋y2＝1(y≥0)，整理得，

(1＋m2)y2＋2my＋1＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝－，y1y2＝，

则△AOB的面积为×|y1－y2|＝|y1－y2|，

因为|y1－y2|＝＝

＝＝＝≤＝，

当且仅当＝，

即m2－1＝2，m＝－时取等号.

此时直线方程为x＝－y＋，

即y＝－x＋，

所以直线的斜率为－.

点评　本题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式，先设出直线方程x＝my＋，表示出△AOB的面积，然后探讨面积最大时m的取值，得到直线的斜率.

题型二　运用概念、性质等优化计算过程

例2　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.

答案　

解析　如图，设|BF|＝m，

由题意知，

m2＋100－2×10mcos∠ABF＝36，

解得m＝8，所以△ABF为直角三角形，

所以|OF|＝5，即c＝5，

由椭圆的对称性知|AF′|＝|BF|＝8(F′为右焦点)，

所以a＝7，所以离心率e＝.

点评　熟练掌握有关的概念和性质是快速准确解决此类题目的关键.

题型三　代数运算中加强“形”的应用，优化计算过程

例3　设b>0，数列{an}满足a1＝b，an＝(n≥2).

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)证明：对于一切正整数n，an≤＋1.

(1)解　由a1＝b>0，知an＝>0，

＝＋·.

令An＝，A1＝，

当n≥2时，An＝＋An－1

＝＋＋…＋＋A1

＝＋＋…＋＋.

①当b≠2时，

An＝＝；

②当b＝2时，An＝.

综上，an＝

(2)证明　当b≠2时，(2n＋1＋bn＋1)

＝(2n＋1＋bn＋1)(bn－1＋2bn－2＋…＋2n－1)

＝2n＋1bn－1＋2n＋2bn－2＋…＋22n＋b2n＋2b2n－1＋…＋2n－1bn＋1

＝2nbn(＋＋…＋＋＋＋…＋)

>2nbn(2＋2＋…＋2)，

＝2n·2nbn＝n·2n＋1bn，

∴an＝<＋1.

当b＝2时，an＝2＝＋1.

综上所述，对于一切正整数n，an≤＋1.

点评　结合题目中an的表达式可知，需要构造an新的形式＝＋·，得到新的数列，根据新数列的形式求和；不等式的证明借用放缩完成.

高考题型精练

1.已知函数f(x)＝的定义域是一切实数，则m的取值范围是(　　)

A.0<m≤4  B.0≤m≤1  C.m≥4  D.0≤m≤4

答案　D

解析　根据题意mx2＋mx＋1≥0(x∈R)恒成立，

当m＝0时，满足不等式；

当m≠0时，需满足

解得0<m≤4，综上0≤m≤4.

2.已知函数f(x－)＝x2＋，则f(3)的值为(　　)

A.8  B.9  C.11  D.10

答案　C

解析　∵f(x－)＝(x－)2＋2，

∴f(3)＝9＋2＝11.

3.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>}，则f(10x)>0的解集为(　　)

A.{x|x<－1或x>lg 2} B.{x|－1<x<lg 2}

C.{x|x>－lg 2} D.{x|x<－lg 2}

答案　D

解析　由题意知，一元二次不等式f(x)>0的解集为(－1，)，即－1<10x<⇒x<－lg 2.

4.设函数f(x)＝则当x>0时，f(f(x))表达式的展开式中常数项为(　　)

A.－20  B.20  C.－15  D.15

答案　A

解析　当x>0时，f[f(x)]＝(－＋)6＝(－)6的展开式中，常数项为C()3(－)3＝－20.

5.在△ABC中，若＝，则(　　)

A.A＝C  B.A＝B  C.B＝C  D.以上都不正确

答案　C

解析　∵＝＝，

∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0.

∴sin(B－C)＝0.

又∵－π<B－C<π，

∴B－C＝0，即B＝C.

6.已知直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，若P(2，2)为AB的中点，则直线AB的方程为________.

答案　x－y＝0

解析　∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y2＝4x上，

∴∴y－y＝4x2－4x1，

即＝.

∵P(2，2)为AB的中点，所以y2＋y1＝4，

∴直线AB的斜率k＝＝＝1，

∴直线AB的方程为x－y＝0.

7.抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________.

答案　[－2，]

解析　易知切线方程为：y＝2x－1，所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为A(0，0)，B(，0)，C(0，－1).易知过C点时有最小值－2，过B点时有最大值.

8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin(＋C)－csin(＋B)＝a.

(1)求证：B－C＝；

(2)若a＝，求△ABC的面积.

(1)证明　由bsin(＋C)－csin(＋B)＝a，

应用正弦定理，得sin Bsin(＋C)－sin Csin(＋B)＝sin A，

sin B(sin C＋cos C)－sin C(sin B＋cos B)＝，

整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，

即sin(B－C)＝1.

由于0<B，C<π，

从而B－C＝.

(2)解　由(1)知，B－C＝，

又B＋C＝π－A＝，

因此B＝，C＝.

由a＝，A＝，得

b＝＝2sin ，c＝＝2sin ，

所以△ABC的面积S＝bcsin A＝sin sin ＝cos sin ＝.

9.在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1.

(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明；

(2)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角θ的大小.

解　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(0，0，2)，B(2，0，1)，C(1，，0).

(1)点F应是线段CE的中点，证明如下：

设F是线段CE的中点，则点F的坐标为(，，1)，

＝(0，0，2)，＝，

∴·＝0，∴⊥.

而是平面ACD的一个法向量.

此即证得BF∥平面ACD.

(2)设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，

则n⊥，且n⊥，

由＝(1，－，1)，＝(－1，－，2)，

得

不妨设y＝，

则即n＝(1，，2)，

∴所求角θ满足cos θ＝＝＝，

∴θ＝.

10.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(，)在双曲线上.

(1)求双曲线方程；

(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且·＝0，求＋的值.

解　(1)∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，

∴双曲线方程为－＝1，

即3x2－y2＝3a2，

∵点M(，)在双曲线上，

∴15－3＝3a2，∴a2＝4，

∴所求双曲线方程为－＝1.

(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，

联立－＝1得

∴|OP|2＝x2＋y2＝.

∵·＝0，

∴直线OQ的方程为y＝－x，

同理可得|OQ|2＝，

∴＋＝＝＝.

11.已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0).

(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；

(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.

解　(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，

又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N*).

结合函数f(x)＝1＋的单调性，

可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，

a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*).

∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.

(2)an＝1＋＝1＋，

已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，

结合函数f(x)＝1＋的单调性，

可知5＜＜6，即－10＜a＜－8.

12.若正数x，y满足x＋2y＋4＝4xy，且不等式(x＋2y)a2＋2a＋2xy－34≥0恒成立，求实数a的取值范围.

解　∵正实数x，y满足x＋2y＋4＝4xy，

即x＋2y＝4xy－4.

不等式(x＋2y)a2＋2a＋2xy－34≥0恒成立，

即(4xy－4)a2＋2a＋2xy－34≥0恒成立，

变形得2xy(2a2＋1)≥4a2－2a＋34恒成立，

即xy≥恒成立.

又∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2，

∴4xy＝x＋2y＋4≥4＋2，

即2()2－－2≥0，

∴≥或≤－(舍去)，可得xy≥2.

要使xy≥恒成立，

只需2≥恒成立，

化简得2a2＋a－15≥0，

解得a≤－3或a≥.

故a的取值范围是(－∞，－3]∪[，＋∞).