高考数学二轮复习课时跟踪检测17圆锥曲线的方程与性质小题练（含答案）

这是一份高考数学二轮复习课时跟踪检测17圆锥曲线的方程与性质小题练（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
课时跟踪检测（十七）  圆锥曲线的方程与性质 （小题练）A级——12＋4提速练一、选择题1．(2018·广西南宁模拟)双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)A．y＝±x　　　　　　 B．y＝±xC．y＝±x  D．y＝±x解析：选D　在双曲线－＝1中，a＝5，b＝2，∴其渐近线方程为y＝±x，故选D.2．(2018·福州模拟)已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为.若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为(　　)A.－＝1  B.－＝1C．x2－＝1  D．y2－＝1解析：选C　由题意可知，OM为Rt△MF1F2斜边上的中线，所以|OM|＝|F1F2|＝c.由M到原点的距离为，得c＝，又e＝＝，所以a＝1，所以b2＝c2－a2＝3－1＝2.故双曲线C的方程为x2－＝1.故选C.3．已知椭圆C的方程为＋＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为(　　)A．2  B．2C．8  D．2解析：选B　根据已知条件得c＝，则点在椭圆＋＝1(m>0)上，∴＋＝1，可得m＝2.4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l.若射线y＝2(x－1)(x≤1)与C，l分别交于P，Q两点，则＝(　　)A.  B．2C.  D．5解析：选C　由题意，知抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，设准线l：x＝－1与x轴的交点为F1.过点P作直线l的垂线，垂足为P1(图略)，由得点Q的坐标为(－1，－4)，所以|FQ|＝2.又|PF|＝|PP1|，所以＝＝＝＝，故选C.5．(2018·湘东五校联考)设F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，过F作双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于P，Q，若＝3，则双曲线的离心率为(　　)A.  B.C.  D.解析：选C　不妨设F(－c,0)，过F作双曲线一条渐近线的垂线，可取其方程为y＝(x＋c)，与y＝－x联立可得xQ＝－，与y＝x联立可得xP＝，∵ ＝3，∴＋c＝3，∴a2c2＝(c2－2a2)·(2c2－3a2)，两边同时除以a4得，e4－4e2＋3＝0，∵e>1，∴e＝.故选C.6．(2019届高三·山西八校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1  B.－＝1C.－＝1  D.－＝1解析：选A　法一：易知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得＝2，因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.法二：易知双曲线的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，可设双曲线的方程为x2－＝λ(λ>0)，即－＝1，因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.7.过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若<k<，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)A.  B.C.  D.解析：选C　由题图可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝，于是k＝＝.又<k<，所以<<，化简可得<1－e<，从而可得<e<，故选C.8．(2018·陕西模拟)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　)A.  B．－C．±  D．－解析：选B　将y＝1代入y2＝4x，可得x＝，即A.由抛物线的光学性质可知，直线AB过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k＝＝－.故选B.9．(2018·郑州一模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|－|MF2|＝2b，该双曲线的离心率为e，则e2＝(　　)A．2  B.C.  D.解析：选D　由得即点M(a，b)，则|MF1|－|MF2|＝－＝2b，即－＝2，－＝2，化简得e4－e2－1＝0，故e2＝，故选D.10．(2018·石家庄一模)已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1(a>b>0)截得的弦长为7，有下列直线：①y＝2x－3; ②y＝2x＋1; ③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3.其中被椭圆C截得的弦长一定为7的有(　　)A．1条  B．2条C．3条  D．4条解析：选C　易知直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.故选C.11．(2018·洛阳尖子生统考)设双曲线C：－＝1的右焦点为F，过F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若d是双曲线上任意一点P到直线MN的距离，则的值为(　　)A.  B.C.  D．无法确定解析：选B　双曲线C：－＝1中，a＝4，b＝3，c＝5，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设M在直线y＝x上，N在直线y＝－x上，则直线MF的斜率为－，其方程为y＝－(x－5)，设M，代入直线MF的方程，得t＝－(t－5)，解得t＝，即M.由对称性可得N，所以直线MN的方程为x＝.设P(m，n)，则d＝，－＝1，即n2＝(m2－16)，则|PF|＝＝|5m－16|.故＝＝，故选B.12．已知椭圆＋＝1，F为其右焦点，A为其左顶点，P为该椭圆上的动点，则能够使·＝0的点P的个数为(　　)A．4  B．3C．2  D．1解析：选B　由题意知，a＝3，b＝，c＝2，则F(2,0)，A(－3,0)．当点P与点A重合时，显然·＝0，此时P(－3,0)．当点P与点A不重合时，设P(x，y)，·＝0⇔PA⊥PF，即点P在以AF为直径的圆上，则圆的方程为2＋y2＝.①又点P在椭圆上，所以＋＝1，②由①②得4x2＋9x－9＝0，解得x＝－3(舍去)或，则y＝±，此时P.故能够使·＝0的点P的个数为3.二、填空题13．(2018·陕西模拟)若直线2x－y＋c＝0是抛物线x2＝4y的一条切线，则c＝________.解析：由x2＝4y，可得y′＝，由于直线2x－y＋c＝0的斜率k＝2，因此令＝2，得x＝4，代入x2＝4y得y＝4，所以切点为(4,4)，代入切线方程可得8－4＋c＝0，故c＝－4.答案：－414．(2018·益阳、湘潭联考)已知F为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若＝3，则此双曲线的离心率为________．解析：F(－c,0)，不妨令A(0，b)，得直线AF：y＝x＋b.根据题意知，直线AF与渐近线y＝x相交，联立得消去x得，yB＝.由＝3，得yB＝4b，所以＝4b，化简得3c＝4a，离心率e＝.答案：15．(2018·广州模拟)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点．若|AF|＝6，|BF|＝3，则p的值为________．解析：设抛物线C的准线交x轴于点F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A′，B′(图略)，设直线AB交准线于点C，则|AA′|＝|AF|＝6，|BB′|＝|BF|＝3，|AB|＝9，|FF′|＝p，＝，即＝，解得|BC|＝9，又＝，即＝，解得p＝4.答案：416．(2018·南昌质检)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若点A(3,2)，则|PA|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为________．解析：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.∵>2，∴A在抛物线内部．如图，设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，则当PA⊥l时，|PA|＋d有最小值，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时点P纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．答案：(2,2)B级——难度小题强化练1．(2018·郑州模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为(　　)A.  B.C.  D.解析：选B　由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且OP＝c，即点O到直线AB的距离为c.又直线AB的方程为y＝x＋b，整理得bx－ay＋ab＝0，点O到直线AB的距离d＝＝c，两边同时平方整理得，a2b2＝c2(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4，可得b4＋a2b2－a4＝0，两边同时除以a4，得2＋－1＝0，可得＝，则e2＝＝＝1－＝1－＝，故选B.2.(2018·益阳、湘潭联考)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)A．5  B．6C.  D.解析：选C　法一：如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，解得y1＝2，所以A(3,2)，又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.法二：同法一得抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.3．(2018·长郡中学模拟)已知椭圆C：＋＝1，若直线l经过M(0,1)，与椭圆交于A，B两点，且＝－，则直线l的方程为(　　)A．y＝±x＋1  B．y＝±x＋1C．y＝±x＋1  D．y＝±x＋1解析：选B　依题意，设直线l：y＝kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．则由消去y，整理得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0，Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)>0，则由此解得k＝±，即直线l的方程为y＝±x＋1，故选B.4．(2018·齐鲁名校联考)已知双曲线C过点A(2，)，渐近线为y＝±x，抛物线M的焦点与双曲线C的右焦点F重合，Q是抛物线上的点P在直线x＝－4上的射影，点B(4,7)，则|BP|＋|PQ|的最小值为(　　)A．6  B．5C．－1＋5  D．1＋5解析：选D　由题意，双曲线C的渐近线为y＝±x，故可设双曲线C的方程为2－2＝λ(λ≠0)，即－＝λ(λ≠0)．又点A(2，)在双曲线上，所以－＝λ，解得λ＝1，故双曲线C的方程为－＝1，其右焦点为F(3,0)，所以抛物线M的方程为y2＝12x.如图，作出抛物线M，其准线为x＝－3，显然点B在抛物线的上方．设PQ与直线x＝－3交于点H，连接PF，则由抛物线的定义可得|PH|＝|PF|，所以|PQ|＝|PH|＋|QH|＝|PF|＋1，故|BP|＋|PQ|＝|BP|＋|PF|＋1，显然，当P为线段BF与抛物线的交点时，|BP|＋|PQ|取得最小值，且最小值为|BF|＋1＝＋1＝5＋1.所以|BP|＋|PQ|的最小值为1＋5.故选D.5．(2018·沈阳模拟)已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是____________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则y1＋y2＝2，又点A，B在抛物线y2＝4x上，所以两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则＝＝2，即直线AB的斜率k＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.答案：2x－y－1＝06．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2,4]，则·的最小值的取值范围是________．解析：设P(m，n)，则－＝1，即m2＝a2.又F1(－1,0)，F2(1,0)，则＝(－1－m，－n)，＝(1－m，－n)，·＝n2＋m2－1＝n2＋a2－1＝n2＋a2－1≥a2－1，当且仅当n＝0时取等号，所以·的最小值为a2－1.由2≤≤4，得≤a≤，故－≤a2－1≤－，即·的最小值的取值范围是.答案：