高考数学二轮复习大题专项练01三角函数与解三角形（含答案）

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2020年高考数学二轮复习大题专项练01三角函数与解三角形1.设函数f(x)=2sin xcos x-cos 2x+1.(1)求f();(2)求f(x)的最大值和最小正周期.                2.已知函数f(x)=sin2x+sin x·cos x+2cos2x,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin 2x的图象经过怎样的变换得到?                3.已知函数f(x)=2sin x(sin x+cos x)-a的图象经过点(,1),a∈R.(1)求a的值,并求函数f(x)的单调递增区间;(2)若当x∈[0,]时,不等式f(x)≥m恒成立,求实数m的取值范围.                4.已知函数f(x)=sin(2x-)-2sin(x-)sin(x+).(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间[-,]上的最值.                   5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos A=,tan(B-A)=.(1)求tan B的值;(2)若c=13,求△ABC的面积.              6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+bsin A=c.(1)求角A的大小;(2)若a=,△ABC的面积为,求b+c的值.                      7.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,已知sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B≠.(1)求证:c=2b;(2)若△ABC的面积S=5b2-a2,求tan A的值.                 8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B).(1)求A;(2)若a=4,求b2+c2的取值范围.                
参考答案1.解:(1)函数f(x)=2sin xcos x-cos 2x+1=sin 2x-cos 2x+1=sin(2x-)+1,所以f()=sin(2×-)+1=×+1=2.(2)由f(x)=sin(2x-)+1,当2x-=+2kπ,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值为+1,最小正周期为T==π. 2.解:(1)f(x)=sin2x+sin x·cos x+2cos2x=sin 2x+cos2x+1=sin 2x++1=sin(2x+)+,函数的最小正周期为T==π.令+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x≤kπ+(k∈Z),函数的单调递减区间为[+kπ,+kπ](k∈Z).(2)函数y=sin 2x的图象向左平移个单位得到函数y=sin(2x+)的图象,再将函数图象向上平移个单位得到f(x)=sin(2x+)+的图象. 3.解:(1)函数f(x)=2sin x(sin x+cos x)-a的图象经过点(,1),所以2sin (sin +cos )-a=1,即2-a=1,解得a=1,所以函数f(x)=2sin x(sin x+cos x)-1=2sin2x+2sin xcos x-1=2×+sin 2x-1=sin 2x-cos 2x=sin(2x-),令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.(2)当x∈[0,]时,2x-∈[-,],令g(t)=sin t在[-,]上单调递增,在[,π]上单调递减,且g(-)=-<g(π)=,所以sin(2x-)≥×(-)=-1,又不等式f(x)≥m恒成立,所以实数m的取值范围是(-∞,-1]. 4.解:(1)因为f(x)=sin(2x-)-2sin(x-)·sin(x+)=sin(2x-)-2sin(x-)cos(x-)=sin(2x-)-sin(2x-)=sin(2x-)+cos 2x=sin 2x-cos 2x+cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin(2x-),所以T==π,令2x-=kπ+(k∈Z),解得x=+(k∈Z).所以函数f(x)的最小正周期为π,图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).(2)因为x∈[-,],所以2x-∈[-,].因为f(x)=sin(2x-)在区间[-,]上单调递增,在区间[,]上单调 递减,所以当x=时,f(x)取最大值1.又因为f(-)=-<f()=,所以当x=-时,f(x)取最小值-. 5.解:(1)在△ABC中,由cos A=,得A为锐角,所以sin A=,所以tan A==,所以tan B=tan[(B-A)+A]===3.(2)在三角形ABC中,由tan B=3,得sin B=,cos B=,由sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,由正弦定理=,得b===15,所以△ABC的面积S=bcsin A=×15×13×=78. 6.解:(1)在△ABC中,acos B+bsin A=c,由正弦定理得sin Acos B+sin Bsin A=sin C,又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sin Bsin A=cos Asin B,又sin B≠0,所以sin A=cos A,又A∈(0,π),所以tan A=1,A=.(2)由S△ABC=bcsin A=bc=,解得bc=2-,又a2=b2+c2-2bccos A,所以2=b2+c2-bc=(b+c)2-(2+)bc,所以(b+c)2=2+(2+)bc=2+(2+)(2-)=4,所以b+c=2.7.解答：(1)证明:△ABC中,由sin A=sin(B-C)+2sin 2B,得sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B,又因为B≠,所以cos B≠0,所以sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b.(2)解:因为△ABC的面积为S=5b2-a2,所以有bcsin A=5b2-a2,由(1)知c=2b,代入上式得b2sin A=5b2-a2,①又由余弦定理有a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,代入①得b2sin A=4b2cos A,所以tan A=4. 8.解:(1)根据正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c-b),即a2-b2=c2-bc,则=,即cos A=,由于0<A<π,所以A=.(2)根据余弦定理,a2=b2+c2-2bccos =b2+c2-bc,所以b2+c2=16+bc≤16+,当且仅当b=c时取等号,则有b2+c2≤32,又b2+c2=16+bc>16,所以b2+c2的取值范围是(16,32].