高考数学二轮复习课时跟踪检测 17基本初等函数函数与方程小题练（含答案解析）

课时跟踪检测  基本初等函数、函数与方程 （小题练）

A级——12＋4提速练

一、选择题

1．设a=log32，b=ln 2，c=5，则(　　)

A．a<b<c　　　　　　　 B．b<c<a

C．c<a<b  D．c<b<a

2．已知函数f(x)=x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

3．若函数f(x)=(x2＋1)·是奇函数，则m的值是(　　)

A．－1  B．1

C．－2  D．2

4．若函数f(x)=m＋log2x(x≥1)存在零点，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]  B．[0，＋∞)

C．(－∞，0)  D．(0，＋∞)

5．已知实数a=log23，b=2，c=log，则它们的大小关系为(　　)

A．a>c>b  B．c>a>b

C．a>b>c  D．b>c>a

6．若函数y=loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　)

A．(0,1)  B．(0,1)∪(1,2)

C．(1,2)  D．[2，＋∞)

7．若a=2x，b=logx，则“a>b”是“x>1”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

8．设函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f(x)－f(－x)=0，当x∈[－1,0]时，f(x)=x2，若g(x)=f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有三个零点，则a的取值范围为(　　)

A．[3,5]  B．[4,6]

C．(3,5)  D．(4,6)

9．设m∈N，若函数f(x)=2x－m＋10存在整数零点，则符合条件的m的个数为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

10．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n=(　　)

A．3  B．7

C．10  D．14

11．定义在R上的偶函数f(x)满足f(1－x)=f(1＋x)，且当x∈[1,2]时，f(x)=ln x．则直线x－5y＋3=0与曲线y=f(x)的交点个数为(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

12．已知函数f(x)=若F(x)=f[f(x)＋1]＋m有两个零点x1，x2，则x1·x2的取值范围是(　　)

A．[4－2ln 2，＋∞)  B．(，＋∞)

C．(－∞，4－2ln 2]  D．(－∞，)

二、填空题

13．已知函数f(x)=则f＋f=________.

14．已知函数f(x)=有两个零点，则实数a的取值范围是________．

15．已知函数f(x)为偶函数且f(x)=f(x－4)，又在区间[0,2]上f(x)=函数g(x)=|x|＋a，若F(x)=f(x)－g(x)恰有2个零点，则a=________.

16．20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．

B级——难度小题强化练

1．已知x，y∈R，且x>y>0，若a>b>1，则一定有(　　)

A.>  B．sin ax>sin by

C．logax>logby  D．ax>by

2．已知函数f(x)=ex－1＋4x－4，g(x)=ln x－，若f(x1)=g(x2)=0，则(　　)

A．0<g(x1)<f(x2)  B．f(x2)<g(x1)<0

C．f(x2)<0<g(x1)  D．g(x1)<0<f(x2)

3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)=，

则关于x的函数f(x)=f(x)－a(0<a<1)的所有零点之和为(　　)

A．2a－1  B．2－a－1

C．1－2－a  D．1－2a

4．已知y=f(x)是定义在R上的函数，且满足①f(4)=0；②曲线y=f(x＋1)关于点(－1,0)对称；③当x∈(－4,0)时f(x)=log2.若y=f(x)在x∈[－4,4]上有5个零点，则实数m的取值范围为(　　)

A．[－3e－4,1)  B．[－3e－4,1)∪{－e－2}

C．[0,1)∪{－e－2}  D．[0,1)

5．函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为________．

6．已知函数f(x)=在[0,1]上单调递增，则a的取值范围为________．

答案解析

1．答案为：C　因为c=5=<，a=log32=<ln 2=b，a=log32>log3=，所以c<a<b，故选C.

2．答案为：C　作出g(x)=x与h(x)=cos x的图象(图略)，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.

3．答案为：B　设g(x)=x2＋1，h(x)=，易知g(x)=x2＋1是偶函数，则依题意可得h(x)=是奇函数，故h(－x)==－h(x)=－，化简得2x＋m=m·2x＋1，解得m=1.选B.

4．答案为：A　∵函数f(x)=m＋log2x(x≥1)存在零点，∴方程m＋log2x=0在x≥1时有解，∴m=－log2x≤－log21=0.

5．答案为：B　由对数函数的性质知1<a=log23<2，c=log>log=3>2，

又b=2=<1，从而c>a>b.故选B.

6．答案为：C　当a>1时，若y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1=0中Δ<0，即a2－4<0，∴2>a>1.当1>a>0时，若y有最小值，则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，选C.

7．答案为：B　如图，x=x0时，a=b，∴若a>b，则得到x>x0，且x0<1，∴a>b不一定得到x>1，充分性不成立；若x>1，则由图象得到a>b，必要性成立．∴“a>b”是“x>1”的必要不充分条件．故选B.

8．答案为：C　∵f(x)－f(－x)=0，∴f(x)=f(－x)，∴f(x)是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f(x)的图象如图所示：

∵g(x)=f(x)－logax在(0，＋∞)上有三个零点，

∴y=f(x)和y=logax的图象在(0，＋∞)上有三个交点，作出函数y=logax的图象，如图，

∴解得3<a<5.故选C.

9．答案为：C　由f(x)=0得m= .又m∈N，因此有解得－5≤x<10，x∈Z，∴x=－5，－4，－3，…，1,2,3，…，8,9，将它们分别代入m=，一一验证得，符合条件的m的取值为0,4,11,28，共4个，故选C.

10．答案为：C　由题中函数图象知f(±1)=0，f(0)=0，g=0，g(0)=0，g(±2)=1，g(±1)=－1，所以f(g(±2))=f(1)=0，f(g(±1))=f(－1)=0，f=f(0)=0，f(g(0))=f(0)=0，所以f(g(x))有7个零点，即m=7.又g(f(0))=g(0)=0，g(f(±1))=g(0)=0，所以g(f(x))有3个零点，即n=3.所以m＋n=10，选C.

11．答案为：B　由f(1－x)=f(1＋x)知，函数f(x)的图象关于直线x=1对称，又当x∈[1,2]时，f(x)=ln x，则当x∈[0,1]时，f(x)=ln(2－x)．由f(x)是定义在R上的偶函数，得f(－x)=f(x)，所以f(x＋2)=f[(x＋1)＋1]=f[1－(x＋1)]=f(－x)=f(x)，于是f(x)是周期为2的周期函数，值域为[0，ln 2]，从而可以画出函数f(x)的大致图象(如图所示)，

然后画出直线y=g(x)=x＋.当x=－3时，f(－3)=f(3)=f(1)=0，g(－3)=×(－3)＋=0，此时有一个交点；当x=0时，f(0)=f(2)=ln 2≈0.69，g(0)==0.6，g(0)<f(0)；当x=2时，f(2)=ln 2≈0.69，g(2)=1，g(2)>f(2)，于是根据图象，直线x－5y＋3=0与曲线y=f(x)的交点个数为4，故选B.

12．答案为：D　因为函数f(x)=所以F(x)=由F(x)=0得，x1=ee－m－1，x2=4－2e－m，由得m<ln.设t=e－m，则t>，所以x1·x2=2et－1(2－t)，设g(t)=2et－1·(2－t)，则g′(t)=2et－1(1－t)，因为t>，所以g′(t)=2et－1(1－t)<0，即函数g(t)=2et－1(2－t)在区间上是减函数，所以g(t)<g=，故选D.

13．解析：由题可知f=log=2，因为log2<0，所以f==2log26=6，故f＋f=8.

答案为：8

14．解析：当x<1时，令ln(1－x)=0，解得x=0，故f(x)在(－∞，1)上有1个零点，

∴f(x)在[1，＋∞)上有1个零点．

当x≥1时，令－a=0，得a=≥1.

∴实数a的取值范围是[1，＋∞)．

答案为：[1，＋∞)

15．解析：由题意可知f(x)是周期为4的偶函数，画出函数f(x)与g(x)的大致图象，如图，由图可知若F(x)=f(x)－g(x)恰有2个零点，则有g(1)=f(1)，解得a=2.

答案为：2

16．解析：根据题意有lg A=lg A0＋lg 10M=lg(A0·10M)，所以A=A0·10M，则=100.

答案为：100

B级——难度小题强化练

1．答案为：D　对于A选项，不妨令x=8，y=3，a=5，b=4，显然=<=，A选项错误；

对于B选项，不妨令x=π，y=，a=2，b=，此时sin ax=sin 2π=0，sin by=sin=，显然sin ax<sin by，B选项错误；

对于C选项，不妨令x=5，y=4，a=3，b=2，此时logax=log35，logby=log24=2，显然logax<logby，C选项错误；

对于D选项，∵a>b>1，∴当x>0时，ax>bx，又x>y>0，∴当b>1时，bx>by，∴ax>by，D选项正确．

综上，选D.

2．答案为：D　易知f(x)=ex－1＋4x－4，g(x)=ln x－在各自的定义域内是增函数，而f(0)=e－1＋0－4=－4<0，f(1)=e0＋4×1－4=1>0，g(1)=ln 1－=－1<0，g(2)=ln 2－=ln>ln 1=0.又f(x1)=g(x2)=0，所以0<x1<1,1<x2<2，所以f(x2)>f(1)>0，g(x1)<g(1)<0，故g(x1)<0<f(x2)．

3．答案为：D　因为f(x)为R上的奇函数，所以当x<0时，f(x)=－f(－x)=画出函数y=f(x)的图象和直线y=a(0<a<1)，如图．

由图可知，函数y=f(x)与直线y=a(0<a<1)共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则=－3，=3，而－log(－x3＋1)=a，即log2(1－x3)=a，可得x3=1－2a，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5=1－2a，选D.

4．答案为：B　∵曲线y=f(x＋1)关于点(－1,0)对称，∴曲线y=f(x)关于点(0,0)对称，∴f(x)在R上是奇函数，则f(0)=0.又f(4)=0，∴f(－4)=0，而y=f(x)在x∈[－4,4]上有5个零点，故当x∈(－4,0)时，f(x)=log2有1个零点，而此时f(x)=log2=log2=log2(xex＋ex－m＋1)，故xex＋ex－m＋1=1在x∈(－4，0)上有1个解．令g(x)=xex＋ex－m，则g′(x)=ex＋xex＋ex=ex(x＋2)，故g(x)在(－4，－2)上是减函数，在(－2,0)上是增函数．而g(－4)=－4e－4＋e－4－m=－3e－4－m，g(0)=1－m，g(－2)=－2e－2＋e－2－m=－e－2－m，而g(－4)<g(0)，故g(－2)=－e－2－m=0或－3e－4－m≤0<1－m，故m=－e－2或－3e－4≤m<1，∴实数m的取值范围为[－3e－4,1)∪{－e－2}．故选B.

5．解析：依题意得f(x)=log2x·(2＋2log2x)=(log2x)2＋log2x=2－≥－，

当且仅当log2x=－，即x=时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.

答案为：－

6．解析：令2x=t，t∈[1,2]，则y=在[1,2]上单调递增．当a=0时，y=|t|=t在[1,2]上单调递增显然成立；当a>0时，函数y=，t∈(0，＋∞)的单调递增区间是[，＋∞)，此时≤1，即0<a≤1时成立；当a<0时，函数y==t－，t∈(0，＋∞)的单调递增区间是[，＋∞)，此时≤1，即－1≤a<0时成立．综上可得a的取值范围是[－1,1]．

答案为：[－1,1]