和田地区第二中学2023届高三上学期第三次质量检测数学（文）试卷（含答案）

和田地区第二中学2023届高三上学期第三次质量检测数学（文）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、设全集，，，则(   )

A. B. C. D.

2、已知，a，，若，则(   )

A.1 B.2 C. D.

3、实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围是(   )

A. B. C. D.

4、如图，在三棱锥中，平面ABC，，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为(   )

A. B. C. D.

5、若向量，，则与的夹角等于(   )

A. B. C. D.

6、已知直线m，n和平面，如果，那么“”是“”的(   )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

7、函数，若关于x的方程有四个不等的实数根，则a的取值范围是(   )

A.  B. 

C.  D.

8、已知数列满足，，是等差数列，则数列的前10项的和(   )

A.220 B.110 C.99 D.55

9、已知是奇函数，且满足，当时，，当时，的最大值为，则(   )

A.1 B. C. D.2

二、多项选择题

10、如图所示，正方体的棱长为1，E，F分别是棱的中点，过直线E，F的平面分别与棱、交于M，N，设，给出以下四个命题：

①平面平面；

②当且仅当时，四边形MENF的面积最小；

③四边形MENF周长，是单调函数；

④四棱雉的体积为常函数；

以上命题中假命题的序号为(   )

A.①④ B.② C.③ D.③④

11、已知，分别为椭圆的左､右焦点，M是C上一点，O为坐标原点，过点作的角平分线的垂线，垂足为N，若，，则C的离心率为(   )

A. B. C. D.

12、已知函数，则下列关于函数图像的结论正确的是(   )

A.关于点对称  B.关于点对称

C.关于轴对称  D.关于直线对称

三、填空题

13、函数，则函数的最小正周期是__________，y取最大值时x的集合为__________.

14、已知，，则行列式的值等于________.

15、在棱长为2的正方体中任取一点M，则满足的概率为________.

16、已知x，y都为正实数，则的最小值为___________.

四、解答题

17、2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年.截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2018年的1.7%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤.某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取100户，得到这100户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图：

（1）求a的值，并求出这100户家庭人均年纯收入的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：

①由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系，请求出回归直线方程；

②由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响，该家庭2020年每月的人均月纯收入只能达到预估值的，试估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由.

附：①可能用到的数据：，，；

②参考公式：线性回归方程中，，.

18、已知函数，.

（1）若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；

（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.

19、如图所示，在四棱锥中，，，平面ABCD，E为PD中点，.

（1）求证：平面PBC.

（2）若四面体PABC的体积为，求的面积.

20、已知函数.

（1）若在点处的切线与圆相切，求实数m的值；

（2）若当时，有成立，求实数m的取值范围.

21、已知函数.

（1）求的最小值；

（2）若对所有，都有，求实数a的取值范围；

（3）若关于x的方程有且只有一个实数根，求实数b的取值范围.

22、在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程是（t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（1）若，求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）已知曲线与曲线交于A，B两点，且，求实数a的值.

23、设.

（1）解不等式；

（2）若不等式恒成立，求m的取值范围.

参考答案

1、答案：D

解析：由条件可知，，所以.

故选：D

2、答案：C

解析：由，可得，

由复数相等的充要条件得，解得，，

即，所以.

故选：C.

3、答案：A

解析：因为实数x，y满足，画出可行域如图，

由图可知，当经过点时，有最大值9，所以，

故选：A.

4、答案：A

解析：由已知平面ABC，，可得，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为.

故选：A.

5、答案：C

解析：求出与的坐标，然后根据向量夹角余弦公式即可求夹角.

，，

，

，，

设与的夹角为，则，

，

.

故选：C.

6、答案：B

解析：若，则，即必要性成立，

当时，不一定成立，必须m垂直平面内的两条相交直线，即充分性不成立，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

7、答案：D

解析：利用的导函数判断出的单调区间，由此画出的大致图像，令，对t的取值进行分类讨论，结合的图像以及方程有四个不相等的实数根列不等式，解不等式求得a的取值范围.

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，且，当时，，当时，单调递减，所以的图象如图所示：

令，则由上图可知当或1时，方程有两个实根；

当时，方程有3个实数根；

当时，方程有一个实数根，

所以关于x的方程有四个不等的实数根

等价于关于t的方程有两个实数根，或，，当，时，，

当，时，，解得，综上所述，

故选：D.

8、答案：B

解析：先利用已知求得，再求数列的前10项的和.

设等差数列的公差为d，则，，

因为，，所以，解得，

所以，即，

所以故选B.

9、答案：A

解析：因为，，

当时，，则，

，

当时，递增，当时，递减，由，得，所以最大值为，所以得故选：A

10、答案：C

解析：①连结，，则由正方体的性质可知，平面，所以平面平面，所以①正确；②连结MN，因为平面，所以，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小，所以②正确；③因为，所以四边形MENF是菱形，当时，EM的长度由大变小，当时，EM的长度由小变大，所以函数不单调，所以③错误；④连结，，，则四棱锥可分割为两个小三棱锥，它们以为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥，因为三角形的面积是个常数，M，N到平面的距离是个常数，所以四棱锥的体积为常函数，所以④正确，所以四个命题中③假命题，所以选C.

11、答案：D

解析：延长交直线于点P.

因为MN为的角平分线，且，所以，

所以.

因为O，N分别为，的中点，所以ON为的中位线，

所以，所以.

由椭圆的定义知，不妨设，

则，.

在中，因为，所以，

所以，所以.

因为，所以，故.

故选：D

12、答案：D

解析：由函数，则，

即函数满足，所以函数关于直线对称，故选D.

13、答案：

解析：利用公式即可计算周期，令，即可求出y取最大值时x的集合.

最小正周期，

y取最大值时，

即.

故答案为：；.

14、答案：

解析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求，进而可求secx的值，再计算行列式的值即可得解.

，，，，，

故答案为：..

15、答案：

解析：点M满足的区域是球的内部，根据在正方体内的部分求出体积，即可得出概率.

空间中点M满足的区域是以AB为直径的球的内部，

在棱长为2的正方体中任取一点M，

满足的区域的体积是半径为1的球的，其体积为，

棱长为2的正方体的体积为8，

所以所求概率为.

故答案为：

16、答案：8

解析：化简，由基本不等式得，再代入原式得，判断相等条件后即可得最小值.

，因为x，y都为正实数，，当且仅当，即时等号成立，所以，当且仅当，即时等号成立，综上所述，当，时，取最小值为8.

故答案为：8

17、答案：（1）；平均数为（千元）；

（2）①；②能.

解析：（1）组距为1，频率之和为1，故，解得；

平均数为（千元）；

（2），，

，

故，，

所以回归直线方程为：；

②设y是2020年该家庭人均纯收入，则，14，15，…，24时，，即2020年每月收入依次成等差数列，首项为，最后一项为，故2020年总收入为，

所以该家庭2020年能否达到小康标准.

18、答案：（1）4；

（2）或

解析：（1）对任意，恒成立，令，，因为在单调递增，故，

则对恒成立，

当时，，故，即.

（2）由题：方程有且只有一个根，

即有且只有一个根，

令，因为在R上单调递增，且，

故方程式）有且只有一个正根，

①当时，方程有唯一根，符合题意；

②当时，方程变形为，解得两根为，，

因为式）有且只有一个正根，故或，解得或，

综上：a的取值范围为或.

19、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）取CD中点F，连接EF，AF，则，

又，

所以，

所以平面平面PBC，

所以平面PBC.

（2）因为，，，

所以，.

由已知得：，即，

可得.

过A作于Q，连接PQ，AQ，

因为平面ABCD，所以，，所以，

中，，，，

所以，，，

，

所以.

20、答案：（1）实数m的值为0或；

（2）.

解析：由题知，，又

所以在处的切线斜率为，

所以在处的切线为，即，

因为圆的圆心为，半径为1，

所以则圆心到直线的距离为：，解得或，

所以实数m的值为0或.

（2）当时，，即，

设，

所以，

当，时，，所以在区间上是单调递增函数，

所以，所以，

当时，当时，，当时，，

所以在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数，

所以，

即，解得，

综上所述，实数m的取值范围为.

21、答案：（1）

（2）

（3）或

解析：（1）的定义域是，，令，得，

当时，有，当时，有，

故在上单调递减，在上单调递增，

故.

（2）因为，对所有，都有，

等价于恒成立，等价于恒成立，

令，则；

因为，所以当时，有，

所以在上单调递增，所以，

所以，即实数a的取值范围为；

（3）若关于x的方程有且只有一个实数根，

即和在上有且只有一个交点，

由（1）知在上单调递减且，在上单调递增，

当时，，在时，，当时，，

，

作出函数的大致图象：

故当或时，满足和在上有且只有一个交点，

即若关于x的方程有且只有一个实数根，则或.

即实数b的取值范围为或.

22、答案：（1）

（2）或

解析：（1），

，

，

，

；

（2）将代入，得，

，

则，，

又，

①当时，联立，得，则，所以；

②当时，联立，得，则，所以.

综上，或.

23、答案：（1）；

（2）.

解析：（1）当时，，解得，故此情况无解；

当时，，解得，故；

当时，，解得，故.

综上所述，满足的解集为.

（2）当时，可知对于，不等式均成立；

当时，由已知可得，

因为，当或时，等号成立，

所以.

综上所述，使得不等式恒成立的m的取值范围为.